概率論在生活中的若干應(yīng)用畢業(yè)論文

1、<p>　　湖 南 科 技 大 學(xué)</p><p>　　畢 業(yè) 設(shè) 計（ 論 文 ）</p><p><b>　　二〇一三年五月 </b></p><p>　題目概率論在生活中的若干應(yīng)用</p><p>　作者鄒宇龍</p><p>　學(xué)院數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院</p><

2、;p>　專業(yè)信息與計算科學(xué)</p><p>　學(xué)號0907020220</p><p>　指導(dǎo)教師彭丹</p><p><b>　　湖南科技大學(xué)</b></p><p>　　畢業(yè)設(shè)計（論文）任務(wù)書</p><p>　　指導(dǎo)教師： （簽名）</p><p&

3、gt;　　學(xué) 生： （簽名）</p><p>　　湖 南 科 技 大 學(xué)</p><p>　　畢業(yè)設(shè)計（論文）指導(dǎo)人評語</p><p>　　[主要對學(xué)生畢業(yè)設(shè)計（論文）的工作態(tài)度，研究內(nèi)容與方法，工作量，文獻應(yīng)用，創(chuàng)新性，實用性，科學(xué)性，文本（圖紙）規(guī)范程度，存在的不足等進行綜合評價]</p><p>　　指導(dǎo)人：

4、 （簽名）</p><p><b>　　年 月 日</b></p><p>　　指導(dǎo)人評定成績： </p><p>　　湖 南 科 技 大 學(xué)</p><p>　　畢業(yè)設(shè)計（論文）評閱人評語</p><p>　　[主要對學(xué)生畢業(yè)設(shè)計（論文）的文本格式、

5、圖紙規(guī)范程度，工作量，研究內(nèi)容與方法，實用性與科學(xué)性，結(jié)論和存在的不足等進行綜合評價]</p><p>　　評閱人： （簽名）</p><p><b>　　年 月 日</b></p><p>　　評閱人評定成績： </p><p>　　湖 南 科 技 大 學(xué)</p&g

6、t;<p>　　畢業(yè)設(shè)計（論文）答辯記錄</p><p>　　日期：2013年6月1日</p><p>　　學(xué)生： 鄒宇龍 學(xué)號： 0907020220 班級： 09級信息與計算科學(xué)2班 </p><p>　　題目： 概率論在生活中的若干應(yīng)用 </p><p>　　提交畢業(yè)設(shè)計（論文）答辯委員會下列材

7、料：</p><p>　　1 設(shè)計（論文）說明書共頁</p><p>　　2 設(shè)計（論文）圖 紙共頁</p><p>　　3 指導(dǎo)人、評閱人評語共頁</p><p>　　畢業(yè)設(shè)計（論文）答辯委員會評語：</p><p>　　[主要對學(xué)生畢業(yè)設(shè)計（論文）的研究思路，設(shè)計（論文）質(zhì)量，文本圖紙規(guī)范程度和

8、對設(shè)計（論文）的介紹，回答問題情況等進行綜合評價]</p><p>　　答辯委員會主任： （簽名）</p><p>　　委員： （簽名）</p><p><b>　　（簽名）</b></p><p><b>　?。ê灻?lt;/b><

9、/p><p><b>　?。ê灻?lt;/b></p><p>　　答辯成績： </p><p>　　總評成績： </p><p><b>　　摘 要</b></p><p>　　概率論是研究隨機現(xiàn)象數(shù)量規(guī)律的一門科學(xué)，已有300 余年的歷史。隨

10、著社會的發(fā)展，概率論的理論方法已成為研究國民經(jīng)濟、社會現(xiàn)象、現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)必不可少的一個工具，了解概率論的起源及其在實踐中的發(fā)展很有必要。本文通過對日常生活現(xiàn)象中所包含的概率論思想進行分析，討論了福利彩票、經(jīng)濟效益問題、責(zé)任追究問題、市場分析與預(yù)測、商業(yè)評估等生活中常見的概率問題，同時就生活中有趣的概率現(xiàn)象也進行闡述和分析，最后得出了概率論不僅是一門課程、一門科學(xué)，更是一門生活哲學(xué)的最終論斷。</p><p>　　

11、關(guān) 鍵 詞：概率論；理論發(fā)展；生活現(xiàn)象；</p><p><b>　　ABSTRACT</b></p><p>　　Probability theory is a scientific study of random phenomenon law of quantity,has a history of 300 years.With the development o

12、f society,the theory of probability method has become a tool for the study of the national economy,the social phenomenon of modern science and technology,it is necessary to understand the essential,the origin of probabil

13、ity theory and its development in practice.In this paper,through the probability contained in daily life phenomenon in the theory analysis,discusses the </p><p>　　Key words:Probability theory; theoretical de

14、velopment; life phenomena; </p><p><b>　　目 錄</b></p><p>　　第一章 引 言1</p><p>　　1.1 概率論發(fā)展簡介1</p><p>　　第二章 概率論在生活中的應(yīng)用3</p><p>　　2.1古典概率典型分析3&l

15、t;/p><p>　　2.1.1福利彩票中的概率分析3</p><p>　　2.2 獨立事件的概率分析5</p><p>　　2.2.1最優(yōu)經(jīng)濟效益問題5</p><p>　　2.3 條件概率分析6</p><p>　　2.3.1討論抽簽先后是否公平（全概率公式的應(yīng)用）6</p><p>

16、　　2.3.2追究責(zé)任問題 （葉貝斯公式的應(yīng)用）7</p><p>　　2.3.3 在疾病預(yù)測上的應(yīng)用（ 葉貝斯公式的應(yīng)用）8</p><p>　　2.4 概率論中期望和方差的應(yīng)用9</p><p>　　2.4.1 在經(jīng)濟分析中的應(yīng)用10</p><p>　　2.4.2 產(chǎn)品是否符合標準問題（方差分析）11</p>&

17、lt;p>　　2.5 伯努利概型的應(yīng)用12</p><p>　　2.5.1 正常運作的問題12</p><p>　　2.5.2在比賽方面的應(yīng)用13</p><p>　　2.6 泊松分布的應(yīng)用13</p><p>　　2.6.1 保險業(yè)務(wù)問題14</p><p>　　2.7 正態(tài)分布的應(yīng)用16<

18、/p><p>　　2.7.1 確定巴士門的高度16</p><p>　　2.8 中心極限定理的應(yīng)用16</p><p>　　2.8.1 誤差分析17</p><p>　　2.8.2商業(yè)評估問題17</p><p>　　2.8.3電影院的座位問題18</p><p>　　2.9 馬爾科夫鏈的

19、應(yīng)用19</p><p>　　2.9.1 預(yù)測市場占有率問題19</p><p>　　第三章 生活中趣味概率問題22</p><p>　　3.1巴拿郝火柴問題（負二項分布）22</p><p>　　3.2“運氣輪”賭博中的概率問題（二項分布）22</p><p>　　3.3麻雀逃殺問題（期望的性質(zhì) 期望公式）

20、23</p><p><b>　　結(jié) 論25</b></p><p><b>　　參考文獻26</b></p><p><b>　　致 謝27</b></p><p><b>　　附 錄28</b></p><p>

21、　　基于JAVA 開發(fā)的福彩搖獎程序28</p><p><b>　　第一章 引 言</b></p><p>　　17、18世紀，數(shù)學(xué)獲得了巨大的進步。隨著人類的社會實踐，人們需要了解各種不確定現(xiàn)象中隱含的必然規(guī)律性，并用數(shù)學(xué)方法研究各種結(jié)果出現(xiàn)的可能性大小，從而產(chǎn)生了概率論，并使之逐步發(fā)展成一門嚴謹?shù)膶W(xué)科。概率與統(tǒng)計的方法日益滲透到各個領(lǐng)域，并廣泛應(yīng)用于自然科學(xué)

22、、經(jīng)濟學(xué)、醫(yī)學(xué)、金融保險甚至人文科學(xué)中。</p><p>　　概率論進入其他科學(xué)領(lǐng)域的趨勢在不斷發(fā)展。下面簡略介紹一下概率論本身在現(xiàn)代的應(yīng)用情況。</p><p>　　物理方面，放射性衰變，粒子計數(shù)器，原子核照相乳膠中的徑跡理論和原子核反應(yīng)堆中的問題等的研究，都要用到泊松過程和更新理論。</p><p>　　化學(xué)反應(yīng)動力學(xué)中，研究化學(xué)反應(yīng)的時變率及影響這些時變率的因

23、素問題,自動催化反應(yīng)，單分子反應(yīng),雙分子反應(yīng)及一些連鎖反應(yīng)的動力學(xué)模型等，都要以生滅過程（馬爾柯夫）來描述。</p><p>　　許多服務(wù)系統(tǒng)，如電話通信，船舶裝卸，機器損修，病人候診，紅綠燈交換，存貨控制，水庫調(diào)度，購貨排隊，等等，都可用一類概率模型來描述。在社會科學(xué)領(lǐng)域，特別是經(jīng)濟學(xué)中研究最優(yōu)決策和經(jīng)濟的穩(wěn)定增長等問題，也大量采用概率論方法。</p><p>　　同時它對各種應(yīng)用數(shù)學(xué)如

24、統(tǒng)計學(xué)、運籌學(xué)、生物學(xué)、經(jīng)濟學(xué)和心理學(xué)的數(shù)學(xué)化起著中心作用。</p><p>　　20世紀以來，由于物理學(xué)、生物學(xué)、工程技術(shù)、農(nóng)業(yè)技術(shù)和軍事技術(shù)發(fā)展的推動，概率論飛速發(fā)展，理論課題不斷擴大與深入，應(yīng)用范圍大大拓寬。在最近幾十年中，概率論的方法被引入各個工程技術(shù)學(xué)科和社會學(xué)科。為此，應(yīng)用概率論來探討生活中的應(yīng)用有必然的重要性。</p><p>　　1.1 概率論發(fā)展簡介</p>

25、<p>　　如果一定要追述概率思想的產(chǎn)生，那應(yīng)該可以回到2000多年前的愛琴海岸了，亞里士多德曾經(jīng)表達過現(xiàn)實世界的現(xiàn)象中的一些現(xiàn)象總是這樣發(fā)生的，而另一些發(fā)生的原因是不確定的，而這不確定性正是概率存在和發(fā)展的前提，但是在那個年代，這種不確定性更多地成了神的領(lǐng)地，人類的禁區(qū)，沒有人知道應(yīng)當(dāng)如何去面對這種不確定性。同樣有意思的是，雖然如此，古希臘人已經(jīng)知道用抽簽決定一些爭端，不知道那隱含在等概率條件下的公平在他們的腦海中是怎樣的

26、形象。 </p><p>　　真正開始引起對這種不確定性認識還是從賭博開始。17世紀中葉，在法國出現(xiàn)了對賭博問題的研究，也正是對這個問題的研究，推動了數(shù)學(xué)的發(fā)展，使一門嶄新的學(xué)科—概率論誕生。1654年法國著名數(shù)學(xué)家帕斯卡（B.Pascal，1623-1662）與費爾馬（Fermat，1651-1665）寫信，商量如何解決其好友德梅雷（De mere,1610-1684）提出的關(guān)于賭博的賭金分配等概率問

27、題。17世紀中葉，荷蘭數(shù)學(xué)家惠更斯(C.Huygens,1629-1695)夜試圖解決帕斯卡與費爾馬通信中所提出的問題，撰寫了《論賭博中的計算》一書，建立了概率和數(shù)學(xué)期望等重要概念，揭示了他們的性質(zhì)和演算方法，這是最早的概率論著作。這些數(shù)學(xué)家的著述中所出現(xiàn)的第一批概率論概念與定理，標志著概率論的誕生。</p><p>　　到18世紀，有不少數(shù)學(xué)家從事概率的研究。瑞士著名數(shù)學(xué)家雅格布?伯努利(J.Bernoulli

28、，1654-1705)的巨著《精度術(shù)》是一項重大的成就，在這部著作中，伯努利提出了新的概念和定理，尤其是論證了概率論的重要定律之一的“大數(shù)定理”，這使得建立在經(jīng)驗之上的頻率穩(wěn)定性推測進一步理論化。從此，由對特殊問題的求解，發(fā)展到了一般理論概括，為概率論這門學(xué)科的承受奠定了基礎(chǔ)。繼伯努利之后，法國數(shù)學(xué)家德莫瓦佛（De Moivre，1667-1754）的《機遇原理》(Doct rine of Chances, 1718, 倫敦出版) 提出

29、了概率乘法法則，以及“正態(tài)分布”和“非正態(tài)分布”的概念，為概率論的“中心極限定理”的建立奠定了基礎(chǔ)。</p><p>　　19世紀初期，法國數(shù)學(xué)家拉普拉斯（Laplace,1749-1827）的經(jīng)典著作《分析概率論》總結(jié)了這一時代的研究，這部巨作明確的表述了概率的基本定義和定理，嚴格的證明了德莫瓦佛-拉普拉斯定理，建立了誤差理論和最小二乘法，研究了廣泛的統(tǒng)計問題。后來德國數(shù)學(xué)家高斯（ Gauss.Garl Fri

30、edrich，1777-1855）和法國數(shù)學(xué)家泊松（ Poisson，1781-1840）等人進一步發(fā)展了概率論，高斯確立了最小二乘法的誤差論的基礎(chǔ)；泊松推廣了大數(shù)定理引入十分重要的“泊松分布”。19世紀后期，極限理論成為概率論所要研究的核心課題，俄國著名數(shù)學(xué)家切比雪夫（Chebyshev，1821-1894）在此方面做出了重大貢獻。他建立的大數(shù)定律，推廣了德莫弗-拉普拉斯極限定理。19世紀末，一方面概率論在統(tǒng)計物理等領(lǐng)域的應(yīng)用提出了對

31、概率論基本概念與原理進行解釋的需要，另一方面，科學(xué)家們在這一時期發(fā)現(xiàn)的一些概率論悖論也揭示出古典概率論中基本概念存在的矛盾與含糊之處。</p><p>　　概率論的創(chuàng)立與發(fā)展的過程極大地推動了數(shù)學(xué)思想和方法的發(fā)展，尤其是形成了獨具特色的概率論的思想方法，推進概率論的應(yīng)用和對生活中概率問題的解決方法。</p><p>　　第二章 概率論在生活中的應(yīng)用</p><p>

32、　　概率論這一門產(chǎn)生于生活的典型問題，經(jīng)過幾代數(shù)學(xué)家們的努力，不但將理論發(fā)展到一個空前的規(guī)模，更將它應(yīng)用到了生活的方方面面，下面簡單介紹概率論在生活中常見的應(yīng)用以及理論基礎(chǔ)。</p><p>　　2.1古典概率典型分析</p><p>　　定義 概率發(fā)生的方式是利用時間發(fā)生的頻率。定義如下：一個實驗的樣本空間為S，在相同的條件下可重復(fù)進行。對于樣本空間S里的事件E，記你n（E）為n次重復(fù)試

33、驗E發(fā)生的次數(shù)，那么，該事件發(fā)生的概率為</p><p>　　我們生活中的福利彩票，存在簡單的概率問題。福利彩票的規(guī)則是這樣的：</p><p>　　2.1.1福利彩票中的概率分析</p><p>　　例1：每一期彩票獎金：三、四、五、六等獎的獎金固定，一、二等獎的獎金浮動。例如，如果紅球是“○○○○○○”，藍球為 “●”，那么各獎項的中獎號碼和每注所得的獎金 ，如

34、下表所列 ：</p><p>　　分析：中獎概率以一注為單位，計算每一注彩票的中獎概率。</p><p>　　中一等獎(無順序、無重復(fù)數(shù)、紅球由6個數(shù)組成，藍球只有一個數(shù))共有m1種可能存在的排序方式： </p><p>　　中二等獎共有m2種排序方式：</p><p>　　中三等獎共有m3種排序方式：</p><p

35、>　　中二等獎共有m4種排序方式：</p><p>　　中二等獎共有m5種排序方式：</p><p>　　中二等獎共有m6種排序方式：</p><p>　　解：通過計算我們可得：</p><p>　　一等獎中獎概率P1=1/m1=0.784×10-10；</p><p>　　二等獎中獎概率P2=1/m2

36、=0.125×10-8；</p><p>　　三等獎中獎概率P3=1/m3=0.219×10-8;</p><p>　　四等獎中獎概率P4=1/m4=0.351×10-7;</p><p>　　五等獎中獎概率P5=1/m5=0.636×10-7;</p><p>　　六等獎中獎概率P6=1/m6=0.6

37、64×10-6;</p><p>　　所以綜合中獎率P=P1+P2+P3+P4+P5+P6=0.766×10-6。</p><p>　　通過對本例的研究，我們可以了解到：每 1000000注彩票，約有 7.7注彩票(包括高等獎到低等獎)中獎，另外有注的彩票全部都未能得到回報。由此可見，通過博彩來賺錢絕對是不合算的，從純數(shù)學(xué)的角度來講，當(dāng)概率低于1/1000時我們就可以忽

38、略不計。在實際生活上，也只有極少數(shù)人中獎，購買者應(yīng)保持平常心，決不能將它當(dāng)做一種純粹的投資，也不能把它視為純粹的賭博。只能將其作為一種娛樂，甚至也可以將此視為公益事業(yè)。作貢獻 、獻愛心，達到“濟困、助殘、扶老、救孤”的目的，從而在購買彩票的活動中使我們更具有理性。</p><p>　　2.2 獨立事件的概率分析</p><p>　　定義 如果已知事件A的發(fā)生不會影響事件B發(fā)生的可能性，那么

39、事件A和B就是獨立的，事件A和B都稱為獨立事件。</p><p>　　2.2.1最優(yōu)經(jīng)濟效益問題 </p><p>　　在相互獨立的條件下，做經(jīng)濟效益的抉擇時也可以用概率論的只是來解決，在省錢的前提下，達到最大的經(jīng)濟效益，下面就做例述。</p><p>　　例2：某公司為防止某突發(fā)事件發(fā)生，有甲、乙、丙、丁四種相互獨立的預(yù)防措施可以采用，單獨采用甲、乙、丙、丁預(yù)防措

40、施后不發(fā)生此突發(fā)事件的概率(記為P)，所需費用情況如下表所示： </p><p>　　這家公司的預(yù)防方案可以單獨采用一種預(yù)防措施或者聯(lián)合采用多種預(yù)防措施。但必須保證總費用不超過120萬元。請問：我們應(yīng)該采取怎樣的策略達到防止突發(fā)事故所需費用和概率達到最優(yōu)？</p><p>　　分析：每種預(yù)防措施都是相互獨立的，這樣，可根據(jù)事件的獨立性性質(zhì)及加法公式進行計算。</p><

41、p>　　方案1：單獨采用一種預(yù)防措施的費用均不超過120萬元。通過上表可知，當(dāng)采用甲措施時，可使不發(fā)生此突發(fā)事件的概率達到最大，其概率為P1=0.9。</p><p>　　方案2：采用聯(lián)合兩種預(yù)防措施,并使得費用不超過120萬元。由上表可知，聯(lián)合甲和丙兩種措施時，得到不發(fā)生突發(fā)事件的概率的概率為:</p><p>　　方案3：采用聯(lián)合三種預(yù)防措施，并使得費用不超過120萬元。由上表可

42、知，聯(lián)合乙、丙、丁三種預(yù)防措施，得到不發(fā)生突發(fā)事件的概率為：</p><p>　　通過上述三種預(yù)防方案可知，該公司在總費用不超過120萬元的大前提下，聯(lián)合乙、丙、丁三種預(yù)防措施時，可以將突發(fā)事件控制在最低發(fā)生水平，概率為0.976。</p><p>　　2.3 條件概率分析</p><p>　　在談及隨機試驗及其中各個事件的概率的時候，總是在一組確定的條件下討論。附

43、加一些條件。通常以某個事件已經(jīng)發(fā)生的形式給出，這就是已知某事件已發(fā)生后的條件概率。</p><p>　　2.3.1討論抽簽先后是否公平（全概率公式的應(yīng)用）</p><p>　　全概率公式：設(shè)B1，B2，...,Bn為樣本空間Ω的一個分割，即B1，B2，...,Bn互不相容，且 ，如果 則對任意事件A有</p><p&g

44、t;<b>　　。</b></p><p>　　生活中，我們有時要用抽簽的方法來決定一件事情。我們就來研究一下，從概率的方面來說明抽簽次序是否影響抽簽結(jié)果？</p><p>　　例3：在一次判定物品歸屬的決策時，眾人決定通過抽簽決定。設(shè)共有n張紙簽，其中有一張做了彩色標記，抽到就可以得到判定物。問第二個人就抽到彩簽的概率是多少。</p><p>

45、;　　解：設(shè)Ai表示事件“第i人抽到彩簽”，i=1,2,...,n?，F(xiàn)在目的是求P（Ai）。因為A1是否發(fā)生直接關(guān)系到A2發(fā)生的概率，即</p><p>　　而A1與 是兩個概率大于0的事件：</p><p>　　于是由全概率公式得：</p><p><b>　　同理可得</b></p><p>　　這說明，在抽簽過

46、程中，無論先抽還是后抽，抽中的機會是相同的。</p><p>　　2.3.2追究責(zé)任問題 （葉貝斯公式的應(yīng)用）</p><p>　　定理1：通過乘法規(guī)則（ ）和全概率公式，我們可以推倒出著名的葉貝斯公式：</p><p>　　設(shè) 是樣本空間的一個分割，即

47、 互不相容，且 ，如果 則：</p><p>　　例4：某工廠有4個車間同時生產(chǎn)一種產(chǎn)品，其產(chǎn)量分別占總產(chǎn)量的15%、20%、30%和35%，各個車間的次品率分別為5%，4%，3%，2%，有一用戶買了該廠的一件產(chǎn)品，發(fā)現(xiàn)是次品。當(dāng)廠長追究車間生產(chǎn)責(zé)任時，發(fā)現(xiàn)該產(chǎn)品的生產(chǎn)車間標志已脫落。問廠長應(yīng)當(dāng)如何追究各個車間的生產(chǎn)責(zé)任？<

48、;/p><p>　　分析：由于不知該產(chǎn)品哪個車間生產(chǎn)的，因此每個車間都要負責(zé)任。各車間所負責(zé)任的大小應(yīng)該正比該產(chǎn)品是各個車間生產(chǎn)的概率。</p><p>　　解：設(shè)Aj=“該產(chǎn)品是j車間生產(chǎn)的”，j=1，2，3，4;</p><p>　　B=“從該廠的產(chǎn)品中任取1件恰好取到次品”．</p><p>　　則第j個車間所負責(zé)任的大小（比例）為條件概率

49、 ;</p><p>　　由貝葉斯公式，得： </p><p><b>　　又因 </b></p><p><b>　　從而</b></p><p>　　即第1，2，3，4車間所負責(zé)任比重為0.238，0.254，0.286，0.222。</p><

50、;p>　　2.3.3 在疾病預(yù)測上的應(yīng)用（ 葉貝斯公式的應(yīng)用）</p><p>　　例5：假設(shè)在是否進行手術(shù)決策時，藥劑師考慮如下方案：如果有80%的可能確定病人有此病，那么他將會建議手術(shù)；而如果他并不確定，那么他將會推薦做進一步檢查。現(xiàn)在，開始他僅僅只有60%的把握認為小李患有此病，因此他推薦做了C項檢查，該檢查對于確有此病的患者給出養(yǎng)性結(jié)果，而對健康人卻不會給出陽性結(jié)果。經(jīng)檢查小李的結(jié)果是陽性后，正當(dāng)他

51、建議手術(shù)時，小李給他了另一消息，他患有糖尿病。這個消息所附帶的信息是：盡管它不影響一開始認為小李患有此病60%的把握，但是卻影響了檢查項目C的效果。因為雖然該檢查項目對健康人不給出陽性，但對于患有糖尿病卻不患有此病的人來說，有30%的可能給出陽性結(jié)果。那么，這名藥劑師該如何做？是做進一步檢查還是立即手術(shù)？</p><p>　　解：決定是否手術(shù)，藥劑師首先要計算在檢查項目C為陽性結(jié)果的情況下，小李患該病的概率。&l

52、t;/p><p>　　令A(yù)表示“小李患此病”事件。B表示“項目C為陽性結(jié)果”事件，那么在檢查項目C為陽性結(jié)果的情況下，小李患該病的條件P(A|B)概率為：</p><p>　　我們以小李是否患此病為條件，計算了項目C為陽性結(jié)果的概率，并且利用了如下事實：因為小李患有糖尿病，已知其不患上述疾病的條件下項目C為陽性結(jié)果的條件概率等于0.3.因此，藥劑師現(xiàn)在能80%多的概率卻仍小李已經(jīng)患病，所以應(yīng)建

53、議手術(shù)。</p><p>　　2.4 概率論中期望和方差的應(yīng)用</p><p>　　前面在提到概率論起源時我們提到，早在17世紀，有一個賭徒向數(shù)學(xué)家帕斯卡提出了一道題目：甲乙兩個人賭博，他們兩人獲勝的機率相等，比賽規(guī)則是先勝三局者為贏家，贏家可以獲得100法郎的獎勵。當(dāng)比賽進行到第三局的時候，甲勝了兩局，乙勝了一局，這時由于某些原因中止了比賽，那么如何分配這100法郎才比較公平？用概率論的

54、知識，不難得知，甲獲勝的概率為 ，或者分析乙獲勝的概率則為 。因此由此引出了甲的期望所得值為 法郎，乙的期望所得值為25法郎。這個故事里出現(xiàn)了“期望”這個詞，數(shù)學(xué)期望由此而來。</p><p>　　定義 離散型數(shù)學(xué)期望是指隨機變量的一切可能的取值Xi與對應(yīng)的概率P(Xi)之積的和稱為的數(shù)學(xué)期望（設(shè)級數(shù)絕對收斂），記為E。隨機變量是最基本的數(shù)學(xué)特征之一。它反映隨機變量平均取

55、值的大小。</p><p>　　數(shù)學(xué)期望的表達式為：</p><p>　　方差是指表示一系列數(shù)據(jù)或統(tǒng)計總體的分布特征的值，即方差表示的是和中心偏離的程度，用來衡量一批數(shù)據(jù)的波動大?。催@批數(shù)據(jù)偏離平均數(shù)的大?。┎阉凶鲞@組數(shù)據(jù)的方差。在樣本容量相同的情況下，方差越小，說明數(shù)據(jù)的波動越小，越穩(wěn)定；反之，波動方差越大，表示數(shù)據(jù)波動越不穩(wěn)定。 </p><p>　　設(shè)X

56、的期望是E(X)，則X的方差記為Var（X），定義為：</p><p>　　2.4.1 在經(jīng)濟分析中的應(yīng)用</p><p>　　例6：在產(chǎn)品性能試驗中，如果樣品報廢，則企業(yè)損失2萬元；如果樣品試驗后仍然完好，則降價處理后只損失1萬元。假若樣品報廢和完好的概率分別是1/4和3/4，試求為試驗該產(chǎn)品性能，企業(yè)平均每次支付費用。</p><p>　　解：在本例中平均支付費

57、用就是期望值</p><p>　　例7：某服裝廠準備參加某市舉辦的服裝展銷會，打算租用該會陳設(shè)的攤位出手其服裝產(chǎn)品。展銷會的攤位分設(shè)于會場的不同三個區(qū)域。展銷產(chǎn)品收益的大小，受攤位的位置和展銷期間天氣的影響。根據(jù)過去的資料估計，展銷時間天氣屬于晴朗、多云、多雨三種情況的概率分別為0.35、0.40、0.25；如選A區(qū)展銷，天氣晴朗、多云、多雨時，可獲利率分別為4000元、6000元和1000元；如選B區(qū)展銷，天氣

58、晴朗、多云、多雨時，可獲利率分別為5000元、4000元和1100元；如選C區(qū)展銷，天氣晴朗、多云、多雨時，可獲利率分別為4000元、3000元和2000元；問在上述情況下，該廠應(yīng)選哪個區(qū)域攤位展銷服裝產(chǎn)品？</p><p>　　解：三種方案的期望利率分別為：</p><p>　　比較三種方案的利潤期望，可知租用A攤位展銷產(chǎn)品期望利潤最多。</p><p>　　例8

59、： 某糧油期貨公司,決定下季度銷售三種不同的糧食大米 、面粉 和玉米 三個,其收益與市場狀態(tài)有關(guān),若把未來的市場劃分為好、中、差三個等級,其發(fā)生的概率分別為 , , ,根據(jù)市場調(diào)研的情況，可知不同等級狀態(tài)下的各種投資收益(萬元)，見表:</p><p>　　請問:該糧油公司下季度銷售什么產(chǎn)品最好? </p><p>　　分析：要達到銷售平均回報的最

60、大，當(dāng)然要求出當(dāng)銷售這種產(chǎn)品的數(shù)學(xué)期望，而對風(fēng)險，我們就必須使用方差進行評估。</p><p>　　解：我們首先考察數(shù)學(xué)期望,可知 </p><p><b>　　；</b></p><p><b>　　；</b></p><p><b>　　；</b></p>&

61、lt;p>　　然后對方差進行求解，得：</p><p><b>　　;</b></p><p><b>　　;</b></p><p>　　在上例中，根據(jù)數(shù)學(xué)期望可知,銷售大米的平均收益最大,可能選擇銷售大米,但同時投資也要考慮風(fēng)險,我們再來考慮它們的方差，為方差愈大,則收益的波動大,從而風(fēng)險也大,所以從方差看,銷售

62、大米的風(fēng)險比銷售面粉的風(fēng)險大得多,若收益與風(fēng)險綜合權(quán)衡,該投資者還是應(yīng)該選擇投資面粉為好,雖然平均收益少 萬元,但風(fēng)險要小一半以上。</p><p>　　通過以上實例說明在進行經(jīng)濟決策之前,存在很多不確定的隨機因素,從而所作的任何決策都存在風(fēng)險,只有通過正確、科學(xué)的決策才能以最小的成本獲得最大的安全保障的總目標,才能盡可能節(jié)約成本。而期望和方差的數(shù)字特征含義可以幫助我們可以進行合理的選擇,為我們的科學(xué)決策提供

63、良好的依據(jù)，從而最優(yōu)地實現(xiàn)目標。</p><p>　　2.4.2 產(chǎn)品是否符合標準問題（方差分析）</p><p>　　例9：一汽車輪胎制造商聲稱，他們生產(chǎn)的某一等級的輪胎平均壽命在一定汽車重量和正常行駛條件下大于50 000 。現(xiàn)對這一等級的120個輪胎組成的隨機樣本進行了測試，測得平均每一個輪胎的壽命為51 000 ，樣本標準差是5000 .已知這種輪胎壽命服從正態(tài)分布。試

64、根據(jù)抽樣數(shù)據(jù)在顯著水平 下判斷該制造商的產(chǎn)品是否與他所說的標準相符合。</p><p>　　解：設(shè) 表示制造商生產(chǎn)的某一等級輪胎的壽命 。由題意知， ，方差 未知。</p><p><b>　　設(shè)統(tǒng)計假設(shè)</b></p><p>　　設(shè) 時，臨界值 </p>

65、<p><b>　　拒絕域</b></p><p>　　由于 ，所以拒絕域 ,接受 ，即認為該制造商的聲稱可信，其生產(chǎn)的輪胎平均壽命顯著地大于50 000 。</p><p>　　2.5 伯努利概型的應(yīng)用</p><p>　　定理2 如果試驗只有兩個可能的結(jié)果：與 ,并且

66、 ,把 獨立地重復(fù)進行n次的試驗構(gòu)成了一個試驗，這個試驗稱作重伯努利試驗或伯努利概型。</p><p>　　在n重伯努利試驗中事件出現(xiàn)k次的概率為</p><p>　　下面我們應(yīng)用伯努利概型來解決日常生活中遇到的問題。</p><p>　　2.5.1 正常運作的問題 </p><p>　　例10：某車間有10臺同類型的設(shè)備，

67、每臺設(shè)備的電動機功率為10千瓦.已知每臺設(shè)備每小時實際開動12分鐘，它們的使用是相互獨立的.因某種原因，這天供電部門只能給車間提供50千瓦的電力.問該天這10臺設(shè)備能正常運作的概率是多少？</p><p>　　分析：由題意知，所要求的概率就是求“該天同時開動的設(shè)備不超過5臺”這一事件的概率.因為每臺設(shè)備的使用是相互獨立的，且在某一時刻，設(shè)備只有開動與不開動兩種情況，所以本題可視為10重伯努利試驗，可用二項概率公式

68、進行求解.</p><p>　　解：設(shè)A表示事件“設(shè)備開動”，X表示“同時開動的設(shè)備數(shù)”，則由二項概率公式得：</p><p>　　同時開動不超過5臺的概率： ；</p><p>　　故該天這10臺設(shè)備能正常運作的概率為0.994。</p><p>　　2.5.2在比賽方面的應(yīng)用</p><p>

69、　　例11：某大學(xué)的校足球隊與數(shù)學(xué)系足球隊進行比賽。校足球隊的實力比系足球隊要強，當(dāng)此時校足球隊運動員與一個系足球隊運動員比賽時，校足球隊獲勝的概率為0.6?，F(xiàn)在校、系兩支球隊經(jīng)過商量比賽方式，提了三種方案：</p><p>　?。?）雙方各出3人，比三局；</p><p>　?。?）雙方各出5人，比五局；</p><p>　　（3）雙方各出7人，比七局。</

70、p><p>　　三種方案均以比賽中所得勝的人數(shù)多的一方獲勝。問：對系隊來說，哪種方案有利？</p><p>　　解： 設(shè)系隊得勝人數(shù)為，則在上述三種方案中，系隊獲勝的概率為：</p><p><b>　　。</b></p><p>　　由此可第一種方案對系隊最有利（當(dāng)然，對校隊最為不利）。這在直覺上是容易理解的，因為參加比賽

71、的人數(shù)愈少，系隊僥幸獲勝的可能性也就愈大。很顯然，如果雙方只出一個人比賽，則系隊獲勝的概率大約就是0.4。所以，當(dāng)兩方實力有差距時，所比局數(shù)越少，對實力弱的一方就越有利。</p><p>　　2.6 泊松分布的應(yīng)用</p><p>　　定理3 泊松分布是一種統(tǒng)計與概率學(xué)里常見到的離散概率分布，由法國數(shù)學(xué)家莫恩·德尼·泊松（Siméon-Denis Poisso

72、n）在1838年時發(fā)表。泊松分布的概率分布列是：</p><p>　　泊松分布常與單位時間（或單位面積、單位產(chǎn)品等）上的計數(shù)過程相聯(lián)系，譬如，</p><p>　　·在單位時間內(nèi)，總機電話接到來電的次數(shù)；</p><p>　　·在單位時間內(nèi)，一電路受電磁波沖擊的次數(shù)；</p><p>　　·一平方米內(nèi)，玻璃上所存

73、在氣泡的數(shù)量；</p><p>　　·一鑄件上砂眼的個數(shù)；</p><p>　　·單位時間內(nèi)，一種放射性物質(zhì)進行分裂后到某個區(qū)域的質(zhì)點數(shù)，等等。都服從泊松分布。</p><p>　　因此，泊松分布的應(yīng)用面是十分廣泛的。泊松分布還有一個非常實用的特性，即可以用泊松分布作為二項分布的一種近似。在n重伯努利試驗中，記時間A在一次試驗中發(fā)生的概率為 （與

74、試驗次數(shù)n有關(guān)），如果當(dāng) 時，有 ，則</p><p><b>　　。</b></p><p>　　2.6.1 保險業(yè)務(wù)問題</p><p>　　保險行業(yè)是一個對投保人有利，同時也使保險公司賺到錢的行業(yè)。投保人只需交納少許的保險費后，在保險期間內(nèi)所遇到的意外傷害，將會得到保險公司大數(shù)額的理賠補償。所以，有很多人都參加

75、保險，而保險公司也樂意經(jīng)營。但是，這種雙收的結(jié)果導(dǎo)致的原因是什么呢?其實，保險業(yè)的數(shù)學(xué)理論依據(jù)就是：統(tǒng)計推斷原理，小概率事件在少次試驗中不會發(fā)生，或發(fā)生幾率及其低（幾乎可以不計），但在大量次數(shù)的試驗中又是必然發(fā)生的。于是，人們在“以防萬一”的這種心理驅(qū)駛下，用少許的投資去買“平安”，買“放心”。保險公司則通過調(diào)查投保人人群的發(fā)生意外傷害死亡和重大疾病的概率，制定投保金額標準，使保險公司永遠不會虧本。</p><p&g

76、t;　　例12：在某地有10000名同年齡段且同社會階級的人參加了某保險公司的一項人壽保險，每個投保人在每年初需繳納200元保費，而在這一年中若投保人死亡，則受益人可從保險公司獲得100000元的賠償費。據(jù)生命表知這類人的年死亡率為0.001.試求保險公司在這項業(yè)務(wù)上（1）虧本的概率。（2）至少獲利500000元的概率。</p><p>　　解：設(shè)X為10000名投保人在這一年中死亡的人數(shù)，則X服從二項分布b（1

77、0000,0.001）。保險公司在這項業(yè)務(wù)上一年的總收入為200×100000=2000000（元）。因為n=10000很大，p=0.001很小，所以用 的泊松分布進行近似計算。</p><p>　　保險公司在這項業(yè)務(wù)上“虧本”就相當(dāng)于{X>20}。因此所求概率為：</p><p>　　保險公司在這項業(yè)務(wù)上“至少獲利500000元”相當(dāng)于{ }。

78、因此所求概率為： </p><p>　　由此可以看出，保險公司在這項野望中至少獲利500000元的可能性很大。</p><p>　　通過上例題我們就可以明白為什么會有那么多的保險公司成立，因為保險公司虧本的可能性幾乎為零，并且我們還可以用類似的方法算出保險公司所推出的很多保險種類的利潤概率。我們在生活中，選擇保險種類的時候可以根據(jù)這些自己的算法，購買適合自己的保險。</p>

79、<p>　　2.6.2在銷售方面的應(yīng)用</p><p>　　例13：某商店通過過去的銷售記錄表明：某種一商品每月的銷售件數(shù)可以用參數(shù)λ=5的泊松分布來描述，問這家商店在月底至少應(yīng)該進多少件這種商品（假定上個月無存貨）才能有0.999以上的把握保證該產(chǎn)品不脫銷？</p><p>　　解：設(shè)該店每月銷售這種商品X件，月底應(yīng)進貨N件，則當(dāng) 時，才不會脫銷。而</p&

80、gt;<p><b>　　依題意，要求</b></p><p><b>　　，即</b></p><p>　　查泊松分布表，得滿足上述不等式的最小值N+1=14，故N=13。</p><p>　　因此，這家商店在月底至少進13件這種商品，才有可能有99.9%以上的把握，保證這種商品在下個月內(nèi)不會脫銷。<

81、/p><p>　　2.7 正態(tài)分布的應(yīng)用</p><p>　　定義 若連續(xù)型隨機變量X的概率密度為</p><p><b>　　， </b></p><p>　　其中 為常數(shù)，則稱服從參數(shù)為 的正態(tài)分布，記為 。習(xí)慣上，稱服從正態(tài)分布的隨機變量為正態(tài)變量。</p>

82、<p>　　2.7.1 確定巴士門的高度</p><p>　　例14：巴士門的高度一般是按男子與車門頂碰頭的幾率在1%以下來設(shè)計的，設(shè)男子身高X(單位：cm)服從正態(tài)分布N(170，62),試確定車門的高度。</p><p>　　解：設(shè)車門的高度為h(cm)。依題意應(yīng)有</p><p>　　即 </p&g

83、t;<p>　　因為 ,所以 ,從而</p><p>　　查標準正態(tài)分布表，得 。</p><p>　　所以取 ，即 ，故車門的設(shè)計高度至少應(yīng)為 方可保證男子與車門碰頭的概率在0.01以下。</p><p>

84、;　　2.8 中心極限定理的應(yīng)用</p><p>　　定理5：中心極限定理是研究獨立隨機變量和的極限分布為正態(tài)分布的問題。這組定理是數(shù)理統(tǒng)計學(xué)和誤差分析的理論基礎(chǔ)。</p><p>　　設(shè)n重伯努利試驗中，事件A在每次試驗中出現(xiàn)的概率為p，記 為n次試驗中事件A出現(xiàn)的次數(shù)，且記</p><p><b>　　則對任意實數(shù)y，有</b><

85、/p><p><b>　　。</b></p><p>　　棣莫弗—拉普拉斯定理是概率論歷史上第一個中心極限定理，他是專門針對二項分布的。相對于前面的“泊松定理”給出的“二項分布的泊松近似”，一般在p較小時，用泊松分布近似較好；而在 和 時，用正態(tài)分布近似較好。</p><p>　　2.8.1 誤差分析</p>

86、<p>　　例15：一本書共有100萬個印刷符號.排版時每個符號被排錯的概率為0.0001，校對時每個排版錯誤被改正的概率為0.9，求校對后錯誤不多于15個的概率.</p><p>　　分析：根據(jù)題意構(gòu)造一個獨立同分布的隨機變量序列，具有有限的數(shù)學(xué)期望和方差，然后建立一個標準化的隨機變量，應(yīng)用中心極限定理求得結(jié)果.</p><p><b>　　解：設(shè)隨機變量<

87、/b></p><p>　　則是獨立同分布隨機變量序列，有 。</p><p>　　作 ， 為校對后錯誤總數(shù)。按中心極限定理，有</p><p><b>　　.</b></p><p>　　2.8.2商業(yè)評估問題</p

88、><p>　　例16：某調(diào)查公司受委托，調(diào)查某電視節(jié)目在S市的收視率p，調(diào)查公司將所有調(diào)查對象中收看此節(jié)目的平率作為p的估計 。現(xiàn)在要保證有90%的把握，使得調(diào)查所得收視率 與真實收視率p之間的差異不大于50%。問至少要調(diào)查多少對象。</p><p>　　解：設(shè)共調(diào)查n個對象，記</p><p>　　則Xi獨立同分布，且

89、 。</p><p>　　又記n個被調(diào)查對象中，收看此電視節(jié)目的人數(shù)為Yn，則有</p><p>　　由大數(shù)定理知，當(dāng)n很大時，頻率 與概率p很接近，即用頻率作為p的估計是合適的。根據(jù)題意有</p><p>　　所以 ，查正態(tài)分布表得</p><p><b>　　從

90、中解得</b></p><p>　　又因為 ，所以 ,即至少調(diào)查271個對象。</p><p>　　2.8.3電影院的座位問題（獨立同分布下的中心極限定理）</p><p>　　林德貝格—勒維中心極限定理：設(shè){Xn}是獨立同分布的隨機變量序列，且E（Xi）=μ，Var(Xi)=σ2>0.記</p>

91、<p><b>　　則對任意實數(shù)y，有</b></p><p>　　例17：設(shè)某地擴建電影院，據(jù)分析平均每場觀眾數(shù) 人，預(yù)計擴建后，平均3/4的觀眾仍然會去該電影院，在設(shè)計座位時，要求座位數(shù)盡可能多，但空座達到200或更多的概率不能超過0.1，問應(yīng)該設(shè)多少座位？</p><p>　　解：把每日看電影的人編號為1,2，...，1600，且令&l

92、t;/p><p>　　則由題意 又假定各觀眾去電影院是獨立選擇，則X1、X2、... 是獨立隨機變量，現(xiàn)設(shè)座位數(shù)為m，則按要求</p><p>　　在這個條件下取m最大。</p><p>　　當(dāng)上式取等號時，取最大，因為 ，由定理知，m應(yīng)滿足</p

93、><p>　　查正態(tài)分布表即可確定 ，所以，應(yīng)該設(shè)1377個座位。</p><p>　　2.9 馬爾科夫鏈的應(yīng)用</p><p>　　馬爾科夫鏈是一種特殊的概率模式，它在經(jīng)濟學(xué)和社會學(xué)中有廣泛的應(yīng)用。在市場競爭中，可用馬爾科夫鏈來確定企業(yè)產(chǎn)品短期和長期的市場占有率；而且可以 通過市場占有率的估計，來評估集中廣告策劃之間的有略；又如會計部門，可用馬爾科夫鏈

94、確定可以賬目的允許差額；營銷部門，可用馬爾科夫鏈預(yù)測顧客是堅持用某種品牌的商品，還是轉(zhuǎn)向其他品牌的商品的行為，馬爾科夫鏈成為市場研究的重要工具。</p><p>　　定義：馬爾科夫鏈是建立在“系統(tǒng)的狀態(tài)”和“狀態(tài)轉(zhuǎn)移”等基本概念的基礎(chǔ)之上，系統(tǒng)的狀態(tài)，可用狀態(tài)概率向量表示。所謂概率向量是指各個元素不是負數(shù)，并且其和等于1的任意行向量。即A=(p1 p2 ... pn),其中 ,且

95、 。</p><p>　　2.9.1 預(yù)測市場占有率問題</p><p>　　例18：某地區(qū)某年第一季度甲、乙、丙三種品牌洗發(fā)精的市場占有率分別是40%、25%和35%。三月底進行抽樣調(diào)查，原來使用甲牌洗發(fā)精的100人中，有90人仍堅持用，分別有4人和6人轉(zhuǎn)向使用乙、丙品牌的洗發(fā)精；原來使用乙牌洗發(fā)精的100人中，有80人仍堅持用，分別有15人和5人轉(zhuǎn)向使用甲、丙品牌的洗發(fā)精；原來

96、使用丙品牌洗發(fā)精的100人中，有70人仍堅持用，分別有20人和10人轉(zhuǎn)向使用甲、乙品牌的洗發(fā)精。試問這年第二、第三季度，甲、乙、丙三種品牌的洗發(fā)精的市場占有率分別是多少（已確定個季度洗發(fā)精的市場占有率與前一季度的市場占有率有關(guān)）？</p><p>　　分析：第一季度甲、乙、丙三種品牌洗發(fā)精的市場占有率分別是40%、25%和35%，可用概率向量A0=(0.4 0.25 0.35)表示。如果系統(tǒng)從一種狀態(tài)轉(zhuǎn)變成為

97、另一種狀態(tài)完全是隨機的，則可用轉(zhuǎn)移概率舉證來表示，一個方陣P，當(dāng)他的每行都是由概率向量組成時，就稱P是轉(zhuǎn)移概率矩陣，記為：</p><p>　　由概率向量可知，轉(zhuǎn)移概率矩陣的每一行個元素之和為1，而各列元素之和不一定為一，根據(jù)定義，顧客向甲、乙、丙三種品牌的洗發(fā)精轉(zhuǎn)移，可用下列轉(zhuǎn)移矩陣表示：</p><p>　　為了預(yù)測第二、三季度市場占有率，根據(jù)馬爾科夫過程理論：若隨機現(xiàn)象的概率轉(zhuǎn)移過程

98、 ，僅與前一周期狀態(tài)有關(guān)，而與過去狀態(tài)無關(guān)，則稱它為一階馬爾科夫過程；如果與前兩周期狀態(tài)有關(guān)，則稱為二階馬爾科夫過程；以此類推，如果與前n-1個周期狀態(tài)有關(guān)，則稱為n階馬爾科夫過程。由于這種隨機過程一環(huán)扣一環(huán)，所以又稱為馬爾科夫鏈。若用AK表示第k周期的概率向量，則可證明。</p><p>　　解：由題意，第二季度市場占有率 即</p><p>　　即第二季度甲、乙、丙三種

99、品牌洗發(fā)精的市場占有率分別是46.75%、25.1%、28.15%；</p><p>　　同理，第三季度市場占有率 ，即</p><p>　　即第三季度甲、乙、丙三種品牌洗發(fā)精的市場占有率分別是51.47%、24.765%、23.765%；</p><p>　　以上是有關(guān)概率論在生活中普遍的應(yīng)用的例子。當(dāng)然在生活你會發(fā)現(xiàn)它還有很多有意思的例子，例如在軍事

100、上、在經(jīng)濟應(yīng)用中。通過以上的例述，我們可以從中領(lǐng)悟到概率論就像英國的邏輯學(xué)家的經(jīng)濟學(xué)家杰文斯說的那樣，它是“生活真正的停路人，如果沒有對概率的某種估計，我們就寸步難行，無所作為”。</p><p>　　概率論已被廣泛地應(yīng)用到各個科學(xué)分支和各個生產(chǎn)部門。正如美籍中國數(shù)學(xué)家鐘開萊先生在1974 年3 月所說的那樣:“在過去半個世紀中, 概率論從一個較小的、孤立的課程發(fā)展成為一個與數(shù)學(xué)許多其它分支相互影響, 內(nèi)容寬廣而

101、深入的學(xué)科?！?lt;/p><p>　　第三章 生活中趣味概率問題</p><p>　　3.1巴拿郝火柴問題（負二項分布）</p><p>　　定理1：考慮獨立重復(fù)試驗，每次成功的概率為p， ，試驗一直累積進行到一共累計成功了r次為止。令X表示此次試驗的總次數(shù)，則：</p><p>　　例1：有一個抽煙的數(shù)學(xué)家一直隨身在左右兩個口袋里

102、各帶著一盒火柴，他每次需要火柴時，都隨機從兩個口袋里任取一盒，并取出一根使用。假設(shè)開始時兩盒火柴各有N根火柴，問在他第一次發(fā)現(xiàn)其中一個盒子空了的時候，另一個盒子中恰好有K根火柴的概率。</p><p>　　解：令E表示“第一次發(fā)現(xiàn)其中一個盒子空了的時候，另一個盒子中恰好有K根火柴”事件，這個事件發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)?shù)冢∟+1+N-K）次抽火柴是取中的時左邊（或右邊）口袋，而且是第（N+1）次取中左邊（或右邊）口袋時才會發(fā)

103、生，因此事件E的概率為：</p><p><b>　　。</b></p><p>　　3.2“運氣輪”賭博中的概率問題（二項分布）</p><p>　　定義 定義在樣本空間Ω上的實值函數(shù) 成為隨機變量。加入一個隨機變量僅取有限個或可列個值，則稱其為離散隨機變量。如果記X為n重伯努利試驗中成功（記為事件A）的次數(shù)，則X的可能取值為

104、0,1，...，n。記p為每次試驗中A發(fā)生的概率?？汕蟪鯴的分布列，即事件{X=k}的概率：</p><p>　　這個分布稱為二項分布，記為X～b(n,p)。</p><p>　　例2：在世界各地的狂歡節(jié)和賭場都十分流行的一種賭博方式叫“運氣輪”，賭徒押注于1到6之間的某一個數(shù)，然后莊家擲3枚骰子，如果賭徒押的數(shù)i，i=1,2,3次，那么他將贏得i單位。反之，如果賭徒押的數(shù)沒有出現(xiàn)，他將損

105、失一單位。問這個賭博對賭徒是否公平？</p><p>　　解：我們假設(shè)骰子是均勻的，而且擲出的點數(shù)相互獨立，那么賭徒押的數(shù)出現(xiàn)的次數(shù)就是一個二項隨機變量，其參數(shù)為（3,1/6），因此，令X表示賭徒贏得的數(shù)目，得到：</p><p>　　通過計算這場賭博的方差E（X），我們可以看出這種賭博方式對賭徒是否公平，得：</p><p>　　通過上面的計算可以看出，通過長期的

106、賭博，每216局，賭徒將輸?shù)?7個單位。</p><p>　　3.3麻雀逃殺問題（期望的性質(zhì) 期望公式）</p><p>　　定理2：設(shè)X的分布為二項分布，其參數(shù)為（n,p），我們可以將X寫成，其中：</p><p>　　因此，Xi是一個伯努利隨機變量，其期望E(Xi)=1×p+0×(1-p)=p,因此：</p><p>

107、<b>　　。</b></p><p>　　例3：某日在公園里發(fā)現(xiàn)10個頑童在射麻雀，假設(shè)當(dāng)一群10只麻雀飛過頭頂時，10個頑童隨機瞄準一直麻雀進行攻擊，設(shè)每個頑童射中麻雀的概率都為p，求逃過這一劫的麻雀數(shù)的期望值。</p><p><b>　　解：記</b></p><p><b>　　于是，</b>

108、;</p><p>　　其中，X表示逃過這一劫的麻雀數(shù)量，E(Xi)=P{Xi=1}表示1號麻雀逃過一劫的概率，每個頑童是否擊中麻雀是相互獨立的，概率為p/10，因此</p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　從而</b></p><p><b>　　。</

109、b></p><p>　　從上面三個例子我們可以看出，概率論思想其實已經(jīng)滲透進我們的日常生活中，只要保持一顆探索的心和一雙探索的眼睛，生活中的任何意見是都包含了數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)思想，只要涉及到?jīng)Q策、評估甚至是簡單的游戲都可以運用概率論的思想去探究和解釋，因此，學(xué)好這門課程, 把概率論作為討論和解釋生活現(xiàn)象的必備工具, 是教育中必不可少的要求, 也是科學(xué)研究與應(yīng)用的需求。</p><p>&l

110、t;b>　　結(jié) 論</b></p><p>　　隨機現(xiàn)象在自然界和人類生活中無處不在，隨著人類社會的進步，科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，經(jīng)濟全球華的日益快速進程，概率論在眾多領(lǐng)域內(nèi)扮演著重要的角色。本文就概率論的發(fā)展簡介，具體從概率論的起源、發(fā)展、理論研究過程以及它在生活中方方面面的應(yīng)用作了論述。從而得知；概率論作為一門研究隨機現(xiàn)象中的數(shù)量規(guī)律的科學(xué)，已獲得當(dāng)今社會的廣泛應(yīng)用，正如拉普拉斯所說：“生活中最重

111、要的問題，其中絕大多數(shù)在實質(zhì)上只是概率的問題?！?lt;/p><p>　　在當(dāng)今的社會里，概率統(tǒng)計已經(jīng)滲透入我們生活的方方面面，他已經(jīng)不僅是科學(xué)研究中具有重要意義的理論，也已經(jīng)成為一種具有普遍意義的思想方法。但是，以我們目前的認識水平來看，概率統(tǒng)計還只能是人類認識世界的一種重要方法，對于其本質(zhì)的認識還不是我們現(xiàn)在能夠解決的問題，正如數(shù)學(xué)歸納法對于人類來說一樣無從證明其正確性一樣，我們只能說，大膽地應(yīng)用它吧。</

112、p><p>　　概率論是一門充滿獨特色彩的學(xué)科，通過大學(xué)里對概率論及數(shù)理統(tǒng)計這門課程的學(xué)習(xí)，我也深深被它所吸引。所謂“學(xué)以致用”，在今后的道路上，我將更加堅定的使用科學(xué)的、數(shù)學(xué)的思想去看待問題并解決問題，概率論也將不再僅僅只是一門學(xué)科，更是一種生活的哲學(xué)。</p><p><b>　　參考文獻</b></p><p>　　[1] 茆詩松、程依明、濮

113、曉龍.概率論與數(shù)理統(tǒng)計教程[M].北京.高等教育出版社.2004年7月，75-87,210-213。</p><p>　　[2] 黃愛民．概率統(tǒng)計實際決策問題的常見類型及方法解析[N]．中學(xué)生數(shù)理化（高中版），2006。 4-4。</p><p>　　[3] Sheldon M.Rose.概率論基礎(chǔ)教學(xué)[M].北京.人民郵電出版社.2007年3月。55-65。</p><

114、;p>　　[4] 雒志江．概率在實際生活中的應(yīng)用[N]．呂梁高等?？茖W(xué)校學(xué)報，2008。3-4。</p><p>　　[5] 劉秀芳．概率論基礎(chǔ)[M].北京.科學(xué)出版社.1982。25-27。</p><p>　　[6] 何春輝．概率理論在企業(yè)風(fēng)險決策中的應(yīng)用初探[N]．中國商貿(mào)，2010。5-8。</p><p>　　[7] 徐洪香．概率論的緣起、發(fā)展及其應(yīng)