數(shù)學(xué)專業(yè)畢業(yè)論文---函數(shù)極值問題的探討

1、<p><b>　　淺談函數(shù)的極值問題</b></p><p><b>　　專業(yè)名稱：數(shù)學(xué)分析</b></p><p><b>　　班 級(jí)： </b></p><p><b>　　學(xué)生姓名： </b></p><p><b>　　

2、指導(dǎo)教師： </b></p><p><b>　　完成時(shí)間： </b></p><p><b>　　摘 要</b></p><p>　　在工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)、經(jīng)濟(jì)管理和經(jīng)濟(jì)核算中，常常要解決在一定條件下怎么使投入最小，產(chǎn)出最多，效益最高等問題。在生活中也經(jīng)常會(huì)遇到求利潤最大化、用料最省、效率最高等問題。因此解決這些問

3、題具有現(xiàn)實(shí)意義。這些經(jīng)濟(jì)和生活問題通常都可以轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)中的函數(shù)問題來探討，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為求函數(shù)中最大（?。┲档膯栴}。而極值的概念來自數(shù)學(xué)中的最大（小）問題。故函數(shù)極值問題的探討也具有了其重要意義。</p><p>　　本文在給出一元函數(shù)極值的定義的同時(shí),探討了一元函數(shù)極值和最值的求解方法。并在此基礎(chǔ)上給出了多元函數(shù)極值存在的充分條件與必要條件, 并對結(jié)果進(jìn)行了簡要的證明。將一元函數(shù)判別方法推廣到多元函數(shù)極值的判別,提

4、出了判定多元函數(shù)極值的幾個(gè)方法。得到關(guān)于多元函數(shù)極值的判定法則。探討了多元函數(shù)極值和條件極值的一般判別方法和求法,研究了適用于所有情況的降維求解法和拉格朗日乘數(shù)法,而降維求極法比拉格朗日乘數(shù)法更加直觀、計(jì)算更加簡便,并且同時(shí)解決了條件極值的判定問題。</p><p>　　關(guān)鍵詞 極值;多元函數(shù);正定負(fù)定判別法;條件極值;</p><p><b>　　ABSTRACT</b

5、></p><p>　　In industrial and agricultural production, management of the economy and the economic accounting , we often solve the problems such as how to make input smallest , output most efficient in give

6、n conditions. In the life we often encounter how to achieve maximum profit, use the minimum materials and get maximum efficiency, to deal with the similar problems that have its realistic significance. Above problems can

7、 be transformed with function and its function of maximum and minimum value. The concep</p><p>　　This article gives concept of extreme value for the monadic functions, meanwhile obtain the methods of solutio

8、n of extreme values for the monadic functions. Based on the extreme value of monadic functions, this paper has given the sufficient and necessary condition for the existence of extremum of multivariate function, the corr

9、esponding results are proved. Some methods of deciding the extreme values for the monadic functions were applied to decide the extreme values for the multivariate functio</p><p>　　Keywords extreme values；mu

10、ltivariate function；deciding positive definition or negative definition；constrained extreme values；</p><p>　　一、概述極值問題………………………………………………………1</p><p>　?。ㄒ唬O值的定義………………………………………………………1</p><

11、;p>　?。ǘ┮辉瘮?shù)極值與多元函數(shù)極值的關(guān)系…………………………2</p><p>　　二、一元函數(shù)極值問題的求解…………………………………………3</p><p>　?。ㄒ唬┮辉瘮?shù)極值的充分必要條件…………………………………</p><p>　　（二）一元函數(shù)極值和最值問題………………………………………</p><p>　　1．

12、一元函數(shù)極值的求法……………………………………………</p><p>　　2．一元函數(shù)最值的求法……………………………………………</p><p>　　三、二元函數(shù)極值問題的求解…………………………………………3</p><p>　?。ㄒ唬┒瘮?shù)極值的充分必要條件…………………………………</p><p>　?。ǘ┒瘮?shù)極值和最值問題…

13、……………………………………</p><p>　　1．二元函數(shù)極值的求法……………………………………………</p><p>　　2．二元函數(shù)最值的求法……………………………………………</p><p>　　四、多元函數(shù)極值問題的求解…………………………………………4</p><p>　?。ㄒ唬┒嘣瘮?shù)極值的充分必要條件………………………………

14、…</p><p>　?。ǘ┒嘣瘮?shù)極值和最值問題………………………………………</p><p>　　1、多元函數(shù)極值的求法……………………………………………</p><p>　　2、多元函數(shù)最值的求法……………………………………………</p><p>　　五、極值在實(shí)際問題中的應(yīng)用………………………………………12</p>

15、<p>　　參考文獻(xiàn)…………………………………………………………………</p><p><b>　　淺談函數(shù)的極值問題</b></p><p>　　函數(shù)極值問題是一個(gè)非常普通的數(shù)學(xué)問題，是經(jīng)典微積分學(xué)最成功的應(yīng)用，不僅在實(shí)際問題中占有重要地位，而且也是函數(shù)性態(tài)的一個(gè)重要特征。本文研究了一元、二元、多元函數(shù)（）的極值和等約束條件下多元函數(shù)極值，得出了判定多元函

16、數(shù)極值和等約束條件下多元函數(shù)極值的一系列充分和必要條件。</p><p><b>　　一、簡述極值問題</b></p><p><b>　?。ㄒ唬O值的定義</b></p><p>　　極值的概念來自數(shù)學(xué)應(yīng)用中的最值問題。定義在一個(gè)有界閉區(qū)域上的每一個(gè)連續(xù)函數(shù)都必定達(dá)到它的最大值和最小值，問題在于要確定它在哪些點(diǎn)處達(dá)到最大

17、值或最小值。如果不是邊界點(diǎn)就一定是內(nèi)點(diǎn)，因而是極值點(diǎn)。</p><p>　　一元極值的定義比較簡單，其定義如下： </p><p>　　定義1　 設(shè)函數(shù)在的某個(gè)鄰域有定義，如果對該鄰域的所有點(diǎn)，都有，則是函數(shù)的一個(gè)極大值。如果該鄰域的所有的點(diǎn)，都有，則是函數(shù)的一個(gè)極小值。極大值和極小值統(tǒng)稱為極值。</p><p>　　其實(shí)極值概念是分為極值和弱極值兩種，以二元極值為

18、例其定義如下:</p><p>　　定義2 設(shè)函數(shù) 在點(diǎn) 的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義, 對于該鄰域內(nèi)任一異于 的點(diǎn) ,</p><p>　　( 1) 如果 , 則稱函數(shù)在點(diǎn) 處有極大值 ;</p><p>　　( 2) 如果,則稱函數(shù)在點(diǎn) 處有極小值 ;</p><p>　　定義3 設(shè)函數(shù) 在點(diǎn)的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義, 對于該點(diǎn)鄰域內(nèi)任一個(gè)異于點(diǎn) 的

19、點(diǎn)</p><p>　　( 1) 如果, 則稱 在點(diǎn) 處有極大值 </p><p>　　( 2) 如果 , 則稱 在點(diǎn) 處有極小值 </p><p>　　定義3將定義2中的不等式) (或換為不等式 ( 或 , 則稱函數(shù)在點(diǎn)處有弱極大值( 或弱極小值)。定義2 和定義3 的區(qū)別就在“” 和“”但在實(shí)際問題中這種區(qū)別是十分明顯的。</p><p>

20、;　　在前文中一元和二元函數(shù)極值的定義都已給出，下面是多元函數(shù)極值（）的定義。</p><p>　　定義4 若多元函數(shù)于點(diǎn) 的鄰域內(nèi)有定義, 并且當(dāng) 時(shí), (或), 則說函數(shù) 在處取極大值 (或極小值) ,點(diǎn) 稱為函數(shù)的極值點(diǎn)。</p><p>　?。ǘ?一元極值與多元極值的關(guān)系</p><p>　　在此我們來簡單探討一元函數(shù)與多元函數(shù)的關(guān)系，以一元函數(shù)與

21、二元函數(shù)之間的關(guān)系為例：</p><p>　　一元極值與二元極值的關(guān)系：如果二元函數(shù) 在點(diǎn)處取得極值則一元函數(shù)及在也取得極值。但若一元函數(shù)及均在取得極值，則二元函數(shù) 在點(diǎn)處不一定取得極值。</p><p>　　故同理可得一元極值與多元極值的關(guān)系：如果多元函數(shù)在某點(diǎn)處取得極值，則一元函數(shù)也在該點(diǎn)取得極值。但若一元函數(shù)在某點(diǎn)處取得極值，則多元函數(shù)不一定在該點(diǎn)取得極值。</p>&

22、lt;p>　　二、一元函數(shù)極值問題的求解</p><p>　　（一）一元函數(shù)極值的充分必要條件</p><p>　　定理l (第一充分條件)：設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)連續(xù)且可導(dǎo)(導(dǎo)數(shù)也可不存在),</p><p>　　(1)如果 ，則是的極大值點(diǎn)；</p><p>　　(2)如果 ，則是的極小值點(diǎn)；</p><p&

23、gt;　　(3)如果在點(diǎn)的鄰域內(nèi)，不變號(hào)，則不是的極值點(diǎn)。</p><p>　　如果函數(shù)在某駐點(diǎn)具有二階導(dǎo)數(shù)。也可用極值的第二充分條件判斷。</p><p>　　定理2 (第二充分條件)：設(shè)函數(shù)在二階可導(dǎo)，，則為的極大值，反之，則為的極小值。</p><p>　　定理3 （必要條件） 設(shè)函數(shù)在區(qū)間有定義，若是的極值點(diǎn)，且在可導(dǎo)，則.</p><

24、;p>　?。ǘ┮辉瘮?shù)極值和最值問題</p><p>　　1．一元函數(shù)求極值方法</p><p>　　求一元函數(shù)極值的步驟如下：</p><p>　?。?）函數(shù)的定義域；</p><p>　?。?）并求，并在定義域內(nèi)求的點(diǎn)（駐點(diǎn)）和不存在的點(diǎn)；</p><p>　　（3）對于駐點(diǎn)可利用定理l或定理2判定，對于導(dǎo)

25、數(shù)不存在的點(diǎn)利用定理1確定函數(shù)的極值點(diǎn)；</p><p>　?。?）求出各極值點(diǎn)的函數(shù)值，得到函數(shù)的極值。</p><p>　　2．一元函數(shù)最值的方法</p><p>　　求函數(shù)在上的最大值和最小值應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：</p><p>　?。?）若在上單調(diào)增（減）的，則是其最?。ù螅┲?，是其最大（小）值。</p><p>

26、　?。?）若在內(nèi)只有一極值點(diǎn)（唯一駐點(diǎn)）且此極值是極大（?。┲?，則它也是在上的最大（小）值，常稱這些函數(shù)為單峰（單谷）函數(shù)。</p><p>　?。?）若函數(shù)在開區(qū)間、半開區(qū)間或無窮區(qū)間內(nèi)連續(xù)，求函數(shù)的最值時(shí)，需求出區(qū)間內(nèi)函數(shù)的全部極值和區(qū)間端點(diǎn)處的單側(cè)極限，如果單側(cè)極限最大（?。┲担瑒t函數(shù)在該區(qū)間內(nèi)無最大（?。┲担蚨陂_區(qū)間或無窮區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)不一定有最值。</p><p>　?。?

27、）除以上三種特別情況外，一般按下述步驟求在上的最值。</p><p>　?、偾蟪霾⒃趦?nèi)求出其駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn)（不必判斷這些駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn)是否為極值點(diǎn)，但函數(shù)在這些點(diǎn)必有定義）。</p><p>　?、谟?jì)算在這些點(diǎn)的值，且求出、。</p><p>　?、郾容^步驟②中所得的函數(shù)值，其中最大（?。┲稻褪窃谏系淖畲螅ㄐ。┲?。</p><p>　　三、二

28、元函數(shù)極值問題的求解</p><p>　?。ㄒ唬┒瘮?shù)極值的充分必要條件</p><p>　　定理1 （充分條件）設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)連續(xù)且有一階及二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù), 又令,令, ,, 則在處是否取得極值的條件如下: </p><p>　?。?）時(shí)具有極值, 且當(dāng)時(shí)有極大值, 當(dāng)時(shí)有極小值;</p><p><b>　?。?）時(shí)沒有

29、極值;</b></p><p>　?。?）時(shí)可能有極值, 也可能沒有極值, 還需另作討論。</p><p>　　定理2 （必要條件）設(shè)函數(shù)在點(diǎn)具有偏導(dǎo)數(shù)且取得極值, 則它在該點(diǎn)的偏導(dǎo)數(shù)必為零, 即，。</p><p>　　（二）二元函數(shù)的極值和最值問題</p><p>　　1．二元函數(shù)求極值方法</p><p

30、>　　1.1無條件極值的求解</p><p>　　（1）利用函數(shù)極值的定義求極值</p><p>　?。?）利用函數(shù)極值存在的充分必要條件求極值，則求的極值的一般步驟為:</p><p>　?、俳夥匠探M，，求得一切實(shí)數(shù)解，即可求得一切駐點(diǎn)；</p><p>　　②對于每一個(gè)駐點(diǎn)，求出二階偏導(dǎo)數(shù)的值；</p><p&g

31、t;　　③確定的符號(hào)，按定理2的結(jié)論判定是否是極值，是極大值還是極小值；</p><p>　　④考察函數(shù)是否有導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)，若有用定義加以判別是否為極值點(diǎn)。</p><p>　　1.2條件極值的求解</p><p>　　在約束條件下，函數(shù)的極值稱為條件極值</p><p>　?。?）直接將條件代入轉(zhuǎn)化為無條件極值</p>&l

32、t;p>　　由解出代入便化為無條件極值。</p><p>　?。?）乘數(shù)法求極值,</p><p>　　設(shè)，有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，且，不同時(shí)為零。</p><p>　?、?根據(jù)條件和目標(biāo)函數(shù)，作出輔助函數(shù)其中，為待定常數(shù)。 </p><p><b>　　②解方程組</b></p><p>　　消去

33、，解出一切實(shí)數(shù)解,所得的點(diǎn)就是在 的條件下的可能極值點(diǎn)。</p><p>　?、?根據(jù)問題的性質(zhì)去判別這種點(diǎn)是否為條件極值點(diǎn)。</p><p>　　2．求二元函數(shù)最值的方法</p><p>　　在有界閉域上的二元連續(xù)函數(shù)的最大值和最小值只能在區(qū)域內(nèi)的可能極值點(diǎn)（，處及，不存在的點(diǎn)）和邊界上達(dá)到，其中函數(shù)最大的為最大值，函數(shù)最小的為最小值。</p>&

34、lt;p>　　求函數(shù)的最大值和最小值的一般步驟為:</p><p>　?。?）根據(jù)題意列出函數(shù)及條件函數(shù)的解析式。</p><p>　?。?）求函數(shù)在內(nèi)所有駐點(diǎn)。</p><p>　　（3）在通常遇到的實(shí)際問題中，如果根據(jù)問題的性質(zhì)，可以判斷出函數(shù)的最大值（最小值）一定在的內(nèi)部取得，而函數(shù)在內(nèi)只有一個(gè)駐點(diǎn)，則可以肯定該駐點(diǎn)處的函數(shù)值就是函數(shù)在上的最大值（最小值

35、）。</p><p>　?。?）將前三步得到的所有函數(shù)值進(jìn)行比較，其中最大者即為最大值, 最小者即為最小值。</p><p>　　四、多元函數(shù)極值問題的求解</p><p><b>　　1、預(yù)備知識(shí) </b></p><p>　　定義1 設(shè)n元函數(shù)在點(diǎn)具有偏導(dǎo)數(shù)，則稱向量[]為函數(shù)在點(diǎn)的梯度，記作,即 []</p

36、><p>　　設(shè)n元函數(shù)在點(diǎn)具有偏導(dǎo)數(shù)，則稱矩陣</p><p>　　為函數(shù)在點(diǎn)的Hesinn矩陣，若二階偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)則H是實(shí)對稱矩陣。</p><p>　?。ㄒ唬┒嘣瘮?shù)極值的充分必要條件 </p><p>　　定理1 （充分條件）　設(shè)多元函數(shù) 在 的某鄰域內(nèi)存在一階及二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù), 又則:</p><p>　　（

37、1） 當(dāng)H 是正定矩陣時(shí), 函數(shù)在點(diǎn)取得極小值;</p><p>　?。?） 當(dāng)H 是負(fù)定矩陣時(shí), 函數(shù) 在點(diǎn) 取得極大值。</p><p>　　證明　考慮函數(shù)在 點(diǎn)的展開式: </p><p><b>　　[]</b></p><p><b>　　因?yàn)? 所以, </b></p>&

38、lt;p>　　因此, 函數(shù)在點(diǎn) 是否取得極值完全取決于二次型 的符號(hào)。如果二次型是正定二次型( H 是正定矩陣) , 即, 則在足夠小時(shí), , 在處取極小值; 同樣, 如果二次型 是負(fù)定二次型( H 是負(fù)定矩陣) , 即則在足夠小時(shí), 有, 在處取極大值。</p><p>　　定理2 （必要條件）設(shè)n元函數(shù)在點(diǎn)具有偏導(dǎo)數(shù)并且取得極值，則。（滿足的點(diǎn)稱為n元函數(shù)的駐點(diǎn)）</p><p&

39、gt;　　證明: 因?yàn)楹瘮?shù)在點(diǎn) 取得極值, 所以固定在 后所得的一元函數(shù)在點(diǎn)取得極值，于是 ，同理，，因此 []。</p><p>　?。ǘ┒嘣瘮?shù)的極值和最值問題</p><p>　　1、求多元函數(shù)極值的方法</p><p>　　前面所討論的極值問題，對于函數(shù)的自變量一般只要求落在定義域內(nèi)，并無其它限制條件，這類極值我們稱為無條件極值.但在實(shí)際問題中，常會(huì)遇到對

40、函數(shù)的自變量還有附加條件的極值問題. 對自變量有附加條件的極值稱為條件極值.下面是關(guān)于多元函數(shù)條件極值與無條件極值問題的探討。</p><p>　　1.1無條件極值的求解</p><p>　　多元函數(shù)在定義域內(nèi)求極值，可按下述步驟進(jìn)行：</p><p>　?。?）令 []，求出的所有駐點(diǎn)；</p><p>　　（2）求出在點(diǎn)的Hesinn矩陣

41、；</p><p>　?。?）判定正定或負(fù)定，若正定，則在點(diǎn)取得極小值；若負(fù)定，則在取得極大值。</p><p><b>　　例 求函數(shù)的極值</b></p><p><b>　　解: 求解方程組</b></p><p><b>　　, 即</b></p>&l

42、t;p>　　得四個(gè)駐點(diǎn): ,, , </p><p><b>　　進(jìn)一步計(jì)算得</b></p><p><b>　　,,</b></p><p>　　矩陣是正定矩陣, 是極小值點(diǎn)。</p><p>　　是負(fù)定矩陣, 是極大值點(diǎn)。</p><p>　　，均是不定矩陣,

43、 ，均不是極值點(diǎn)。</p><p>　　1.2條件極值的求解</p><p><b>　　1,降維求極法</b></p><p>　　對于滿足條件的極值，可降為維函數(shù)，轉(zhuǎn)化為非條件極值的思路求解。</p><p>　　不妨設(shè)，則以為獨(dú)立的變量（自變量），為為因變量，這時(shí)它們是一組彼此獨(dú)立的函數(shù)。</p>&

44、lt;p>　　設(shè)為該維空間中的一個(gè)任意單位向量，作為輔助函數(shù)：和，則和分別是和沿方向且過點(diǎn)的方向?qū)Ш瘮?shù)，特別就是在點(diǎn)沿方向的方向?qū)?shù)。</p><p>　　求導(dǎo)過程中把作為t的函數(shù)，按鏈?zhǔn)椒▌t進(jìn)行，由解出，再代入。顯然是一個(gè)關(guān)于的m元線性方程組。</p><p>　　令，此時(shí)是關(guān)于的多項(xiàng)式，要使對任意的k均有，則必有的各項(xiàng)系數(shù)均為0..由此既得個(gè)關(guān)于的方程，再與合為n個(gè)方程，解得駐點(diǎn)

45、，這是一個(gè)n元的方程組。</p><p>　　對是否是的極值點(diǎn)的判定問題，即可直接利用前述的非條件極值判定方法解決。但在求的各階導(dǎo)數(shù)中，注意每次都要將已求的代入，這樣即可保證不會(huì)出現(xiàn)關(guān)于的高階導(dǎo)數(shù)。</p><p>　　利用上述方法解條件極值問題，要解一個(gè)m元方程組和一個(gè)n元的方程組。而用乘數(shù)法，則要解一個(gè)元方程組。顯然前者復(fù)雜程度低于后者。并且乘數(shù)法沒有解決條件極值的判定問題。</

46、p><p><b>　　2、乘數(shù)法求極值,</b></p><p>　　考慮函數(shù)在個(gè)約束條件下的極值。</p><p><b>　　引入函數(shù)</b></p><p>　　式中為待定函數(shù)，把當(dāng)作個(gè)變量和的無條件函數(shù)，對這些變量求一階偏導(dǎo)數(shù)，得駐點(diǎn)所要滿足的方程如下：</p><p>

47、;　　從上述方程中解得駐點(diǎn)，即可能極值點(diǎn)。</p><p>　　利用上述方法只是求出駐點(diǎn)，還需要進(jìn)一步判斷。若函數(shù)在點(diǎn)處取得極值，則在條件下在點(diǎn)處也取得極值，且同取極大值和極小值。</p><p>　　判定準(zhǔn)則：設(shè)為的極值點(diǎn)，滿足式。記矩陣</p><p><b>　　則有</b></p><p>　?。?）若正定，則在

48、條件下在點(diǎn)取得極小值；</p><p>　?。?）若負(fù)定，則在條件下在點(diǎn)取得極大值；</p><p>　　（3）若不定，則在條件下在點(diǎn)不取得極值。</p><p>　　例 求三元函數(shù)在受約束條件限制下的極值。</p><p><b>　　解：設(shè)，</b></p><p><b>　　由&

49、lt;/b></p><p><b>　　有：當(dāng)時(shí)，，</b></p><p><b>　　當(dāng)時(shí)，。</b></p><p>　　現(xiàn)在判定是極大值還是極小值。</p><p>　　方法1（降維求極法）對函數(shù)使用定理，其中視為的函數(shù)，即，它由決定?？汕蟮茫?，然后，可求得：</p>

50、<p>　　，，，當(dāng)時(shí)，，，，，故是極大值點(diǎn)。</p><p>　　同理可知，當(dāng)時(shí)，，，，，其是極小值點(diǎn)。</p><p><b>　　所以：，</b></p><p>　　方法2（正定判別法） 利用Hesinn的正或負(fù)定性來判定，可求得：，</p><p>　　當(dāng)時(shí)，為負(fù)定陣，是極大值點(diǎn)；</p>

51、<p>　　當(dāng)時(shí)，為正定陣，是極小值點(diǎn)</p><p>　　2、 求多元函數(shù)最值的方法</p><p>　　求函數(shù)的最值的一般步驟為：</p><p>　　（1）求函數(shù)所有駐點(diǎn)和至少有一個(gè)偏導(dǎo)數(shù)存在的點(diǎn)的函數(shù)值；</p><p>　?。?）函數(shù)定義域的邊界上的最大值和最小值；</p><p>　?。?）比

52、較以上各函數(shù)值的大小,最大者為最大值,最小者為最小值。</p><p><b>　　五、極值問題的應(yīng)用</b></p><p>　　在經(jīng)濟(jì)分析中,決策者（無論是個(gè)人消費(fèi)者、家庭、企業(yè)還是國家政府）經(jīng)常需要利用最大化或最小化的方法,在多種可能中,做出選擇 。比如,在消費(fèi)者需求的效用理論中,消費(fèi)者以效用最大為目標(biāo),在成本理論中,企業(yè)主生產(chǎn)定量產(chǎn)品以成本最小為目標(biāo),在廠商理

53、論中,企業(yè)主以利潤最大為目標(biāo)等等。這說明了最大化與最小化概念的重要性,也是經(jīng)濟(jì)決策分析的通常特點(diǎn)。要解決這些向題,需要利用多元函數(shù)的極值理論。下面舉幾個(gè)函數(shù)極值在現(xiàn)實(shí)生活中應(yīng)用的實(shí)例。</p><p>　　例 1 某公司可通過電臺(tái)和報(bào)紙兩種方式做銷售某種商品的廣告．根據(jù)統(tǒng)計(jì)資料，銷售收入（萬元）與電臺(tái)廣告費(fèi)用（萬元）及報(bào)紙廣告費(fèi)（萬元）之間的關(guān)系有如下經(jīng)驗(yàn)公式：</p><p><

54、b>　　,</b></p><p>　　廣告費(fèi)用無限的情況下，求最優(yōu)廣告策略，使所獲利潤最大。</p><p>　　解: 利潤等于收入與費(fèi)用之差，利潤函數(shù)為：</p><p>　　根據(jù)極值存在的必要條件，令 </p><p>　　得，，即為駐點(diǎn)，利潤函數(shù)在駐點(diǎn)處的Hesinn矩陣，</p><p>　

55、　易驗(yàn)證Hesinn矩陣為負(fù)定矩陣，所以在駐點(diǎn)處達(dá)到極大值，也是最大值，即最優(yōu)廣告策略為：電臺(tái)廣告費(fèi)用和報(bào)紙廣告費(fèi)用分別為萬元和萬元，此時(shí)可獲得最大利潤。</p><p>　　例2 由一寬為的長方形鐵板，把它兩邊折起來做成一斷面為等腰梯形的水槽，問怎樣折法才能使斷面的面積最大？ </p><p>　　解: 設(shè)折起來的邊長為，傾斜角為，那么梯形斷

56、面的下底長為，上底長為，高為，則斷面面積</p><p><b>　　即 ，</b></p><p><b>　　D：，，</b></p><p>　　下面是求二元函數(shù)在區(qū)域</p><p>　?。?，上取得最大值的點(diǎn)。</p><p><b>　　令

57、 </b></p><p><b>　　由于，上式為</b></p><p>　　將代入（2）式得，再求出，則有，于是方程組的解是，</p><p>　　在考慮邊界，當(dāng)時(shí)，函數(shù)為的一元函數(shù)，求最值點(diǎn)，由，得 。</p><p><b>　　所以，</b></p>&l

58、t;p><b>　　。</b></p><p>　　根據(jù)題意可知斷面面積的最大值一定存在，并且在區(qū)域：，內(nèi)取得，通過計(jì)算得知時(shí)的函數(shù)值比，時(shí)函數(shù)值為小，又函數(shù)在內(nèi)只有一個(gè)駐點(diǎn)，因此可以斷定，當(dāng)，時(shí)，就能使斷面的面積最大。</p><p>　　例3 證明在所有周長相同的三角形中,等邊三角形面積最大。 </p><p>　　證明: 設(shè)三

59、角形三條邊為 。 周長固定時(shí)并非自由變量，受條件</p><p>　　的約束, 其中為常數(shù)。由面積公式知，三角形面積為 </p><p>　　因此我們需求在條件下的最大值。 </p><p>　　由 解出 這時(shí)是自由變量, 在一個(gè)開集上變化. 代</p><p>　　入條件極值問題化為 </p><p>&

60、lt;b>　　的普通極值問題。</b></p><p><b>　　解方程組 </b></p><p>　　得在 時(shí)只有一個(gè)解。但由問題知，最大值存在，而判別點(diǎn)唯一。因此判別點(diǎn)只能是最大點(diǎn)，得時(shí)三角形面積最大。</p><p>　　上例中我們是通過求解約束條件的方程，得到自由變量，代入求極值的函數(shù)，將條件極值問題化為普通極值問

61、題。但有時(shí)直接解約束條件的方程是困難的，但通過微分約束條件，解出某些變量的微分用另一些變量的微分來表示，再代入求極值函數(shù)的微分中，從而求得其在約束條件下的判別點(diǎn)。</p><p>　　函數(shù)極值不僅在經(jīng)濟(jì)生產(chǎn)和現(xiàn)實(shí)生活中有著廣泛的應(yīng)用，還在物理學(xué)，化學(xué)，生物工程等學(xué)科有重要的作用。因此函數(shù)極值問題的研究具有重大的現(xiàn)實(shí)意思。</p><p><b>　　參考文獻(xiàn)</b>&

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