畢業(yè)論文--探討導數在函數單調性中的應用

1、<p><b>　　本科生畢業(yè)論文</b></p><p>　　探討導數在函數單調性中的應用</p><p>　　院 系：數學與計算機科學學院 </p><p>　　專 業(yè)：數學與應用數學 </p><p>　　班 級：2009級數學與應用數學(1)班 <

2、/p><p>　　學 號：200907110129 </p><p>　　姓 名： 田智梅 </p><p>　　指導教師： 戴曉娟 </p><p>　　完成時間：2013年5月20日 </p><

3、;p>　　探討導數在函數單調性中的應用</p><p>　　摘要　函數是貫穿于中學數學的一條主線，它不僅是研究導數的一個重要載體，而且涉及高中數學諸多的數學思想和方法，又是初等數學與高等數學的銜接部分．其中函數的單調性是函數的重要性質之一，也是研究函數圖象增、減性態(tài)的主要方法．應用導數求解函數的單調性具有很多優(yōu)勢，它在函數單調性中的應用極好的解決了用函數單調性的定義判斷、證明函數的單調性運算量大，過程繁瑣，

4、求解中需要很多變形技巧等缺點．本論文通過四章內容的書寫，應用了數形結合、導數法，定義法等數學思想方法，通過歸納、整理清晰地呈現了導數求解函數單調性的優(yōu)勢．本篇論文主要涉及四章內容，第一章介紹了函數及其單調性的相關定義及概念，第二章介紹了導數的基礎知識，第三章主要介紹了導數在函數單調性以及極值中的應用，主要以例題的形式進行歸納整理，第四章簡單介紹了應用導數求解函數單調性需要注意的幾個方面，其中論文核心內容為第三章導數在函數單調性以及極值中

5、的應用．</p><p>　　關鍵詞　函數　導數　函數單調性　證明</p><p>　　Abstract 　Function is a thread that runs through the middle school mathematics, it is not only an important carrier of derivative, and it is relates man

6、y thought to the high school mathematics method of mathematics, it is the connection part of elementary mathematics and higher mathematics．The monotonicity of the function is one of the important properties of functions,

7、 the main method of image enhancement, but also a function reduction behavior．Monotonicity derivation function has many advantag</p><p>　　Keywords 　function 　derivative of function 　monotonicity 　proof</p

8、><p><b>　　目錄</b></p><p><b>　　1 引言1</b></p><p>　　2 函數及其單調性2</p><p>　　2.1 函數的定義2</p><p>　　2.2函數的性質2</p><p>　　2.2.1函數的單調

9、性2</p><p>　　2.2.2函數的極值3</p><p>　　3 導數的基礎知識6</p><p>　　3.1 導數的定義6</p><p>　　3.1.1函數的平均變化率6</p><p>　　3.1.2 導數的定義6</p><p><b>　　3.2導函數

10、8</b></p><p>　　3.3導數的幾何意義8</p><p>　　3.4 幾種常見函數的導數10</p><p>　　4 導數在函數單調性以及極值中的應用13</p><p>　　4.1 導數與函數單調性的關系13</p><p>　　4.1.1 探討函數的單調性與其導數正負的關系13

11、</p><p>　　4.1.2 運用導數判斷，求證函數的單調性及單調區(qū)間14</p><p>　　4.2 導數與函數極值的關系24</p><p>　　4.2.1極值判別24</p><p>　　4.3 應用導數求函數單調性常見的錯誤及分析26</p><p>　　4.3.1求函數單調區(qū)間忽視定義域而致錯2

12、6</p><p>　　4.3.2導數為零的點不一定是極值點26</p><p><b>　　5 結 論27</b></p><p><b>　　謝 辭29</b></p><p><b>　　參考文獻30</b></p><p><b&g

13、t;　　1 引言</b></p><p>　　函數是貫穿于中學數學的一條主線[1]，它不僅是研究導數的一個重要載體，而且涉及高中數學諸多的數學思想和方法，又是初等數學與高等數學的銜接部分．為了描寫現實世界中運動、變化著的現象，在數學中引入了函數．隨著對函數研究的不斷深化，產生了微積分，而導數是微積分的核心概念之一．恩格斯說過：＂在一切理論成就中，未必再有什么像17世紀下半葉微積分的發(fā)明那樣被看作是人類

14、精神的最高勝利了，如果在某一個地方我們看到人類精神的純粹和唯一功績，那就是這里＂．導數是課改以后新教材中的新增內容之一，在高中教材中起著承上啟下的作用：承上是它的加入為高中數學注入了新的活力，使中學數學解題方法有了新的突破，它的應用潛移默化的改善了學習者的思維習慣；啟下是它的加入完善了高中階段教學內容，使高中學生具有一般人才必備的基礎知識，為接下來進一步學習高等數學和其他自然科學作了必要的鋪墊，同時在中學數學與大學數學之間起著銜接作用．

15、本篇論文從高中知識入手，從易到難，在題目中突出導數的作用，應用導數解題探究，突出導數在新課程以及在求函數單調性中具有的一切優(yōu)勢和作用．</p><p>　　導數（導函數的簡稱）是一個特殊函數，它的引出和定義始終貫穿著函數思想．新課程增加了導數的內容，隨著課改的不斷深入，導數知識考查的要求逐漸加強，而且導數已經由前幾年只是在解決問題中的輔助地位上升為分析和解決問題時的不可缺少的工具．函數是中學數學研究導數的一個重要

16、載體，函數涉及高中數學較多的知識點和數學思想方法．近年好多省的高考題中都出現以函數為載體，通過研究其圖像性質，來考查學生的創(chuàng)新能力和探究能力的試題．本人結合教學實踐，就導數在函數中的應用作了初步探究．</p><p>　　本論文主要探究了導數在函數的單調性及極值中的應用，由于利用函數單調性的定義判斷、證明函數的單調性往往運算量很大，求解過程中需要很多變形技巧，一般較為復雜，對于初學者而言利用函數單調性的定義判斷、

17、證明函數的單調性題目時往往半途而廢，失分率較高，這對于大部分初學者來說很難攻克[2]，但是導數在函數單調性中的應用卻極好的解決了上面的問題，在求解題目時，它具有運算量小，簡便快捷的優(yōu)勢[3]，因此導數成了分析和解決這類問題的有效工具，并且人們將它廣泛應用于函數單調性的判斷、證明以及曲線切線的求解、函數的極值和最值等多個方面．</p><p><b>　　2 函數及其單調性</b></p

18、><p><b>　　2.1 函數的定義</b></p><p>　　定義1　設,均是非空的數集，若按照某種確定的對應關系，對于集合中的每一個元素，在集合中都有唯一確定的元素與之對應，這樣的對應關系:為集合到集合的一個函數，記作 ,,其中的取值范圍稱為函數的定義域，是函數值，函數值的集合｛｝稱為函數的值域．由此可知函數是特殊的映射．</p><p>

19、;<b>　　2.2函數的性質</b></p><p>　　函數的性質有單調性、奇偶性、周期性、有界性、凹凸性、極大值和極小值等，本篇論文主要討論函數的單調性以及函數的極值．</p><p>　　2.2.1函數的單調性</p><p>　　定義2　一般地，設函數的定義域為，若對于定義域內某一區(qū)間上任意兩個自變量和，當時，恒有()()，那么就說在

20、此區(qū)間上是增函數．</p><p>　　定義3　一般地，設函數的定義域為，若對于定義域內某一區(qū)間上任意兩個自變量和，當時，恒有()()，那么就說在此區(qū)間上是減函數．</p><p>　　定義4　若在某個區(qū)間上是增（減）函數，那么就說函數在這個區(qū)間具有單調性，這個區(qū)間叫做函數的單調區(qū)間．</p><p>　　下面通過簡單的幾個例題簡單的求函數的單調區(qū)間：</p&

21、gt;<p>　　例 1 求下列函數的單調區(qū)間.</p><p>　　(1)； (2)．</p><p>　　解　(1)函數的單調遞增區(qū)間為：</p><p>　　函數的單調遞減區(qū)間為：</p><p>　　(2)函數的單調遞增區(qū)間為：</p><p>　　函數的單調遞減區(qū)間為：</p>

22、;<p>　　這是函數的單調性定義的簡單應用，后面將應用于大量的例題中．</p><p>　　2.2.2函數的極值</p><p>　　定義5　函數在點附近的所有點都有,則稱是函 數的一個極大值，記作：;</p><p>　　定義6　函數在點附近有定義，如果對附近的所有點都有 ,則稱是函數的一個極小值，記作：;</p><p&

23、gt;　　極大值與極小值統(tǒng)稱為極值，稱為極值點．</p><p>　　例2 已知函數是函數的一個極值點，其中</p><p>　　(1)求與的關系表達式；</p><p>　　(2)求的單調區(qū)間；</p><p>　　(3)當時，函數的圖象上任意一點的切線斜率恒大于3，求的取值范圍．</p><p>　　解析 利用導

24、數判斷函數的單調性其主要題型以函數單調區(qū)間的求解、單調性的證明，求參變量的取值范圍為主．而熟練掌握導數與函數單調性的關系是解題的突破口．這類題目的解決，關鍵在于深刻理解并靈活運用導數的知識，第1小題根據極值點處導數為零，可確定與的關系；第2小題求函數的單調區(qū)間可根據導數法得到，列出表格，答案一目了然；第3小題根據導數的幾何意義結合一元二次函數的性質即可得到結論．</p><p>　　解(1)　　　　　 </

25、p><p><b>　　由是的一個極值點</b></p><p>　　知　　　　　　　　　　　　</p><p>　　即　　　　　　　　　　</p><p>　　所以 　　　　　　　　　　</p><p>　　(2)　由(1)可知</p><p>　　又由　　　　　　　　　　　

26、　　</p><p>　　知　　　　　　　　　　　　　</p><p>　　當變化時，與的變化如下：</p><p>　　由上表可知：在區(qū)間和上遞減；</p><p>　　在區(qū)間在區(qū)間上遞增.</p><p>　　(3)　由已知條件得 </p><p>　　即

27、 　　　　　</p><p>　　即當 　　　　</p><p>　　時有 　　　　</p><p><b>　?、?lt;/b></p><p>　　設 </p><p>　　

28、此函數開口向上,由題意知①式恒成立</p><p>　　所以 　　　 </p><p>　　即 　　　 </p><p>　　解得 　　　　 </p><p>　　又 　　　　　</p><p>　　所

29、以 　　　　 </p><p><b>　　即的取值范圍為.</b></p><p>　　通過例題可以看出對于這部分知識的學習，可以認識到新課程中增加了導數內容的作用，在學習中要明確導數作為一種工具在解答函數的單調性，極值等方面起著不可替代的作用，需要抓住導數基礎知識學習．</p><p><b>　　3 導數的

30、基礎知識</b></p><p><b>　　3.1 導數的定義</b></p><p>　　3.1.1函數的平均變化率</p><p>　　定義7　對于函數有自變量，若自變量在處的增量為，那么函數值也相應的有增量</p><p><b>　　(＋)-()</b></p>

31、<p>　　其比值叫做函數從到+之間的平均變化率，即　　　　　　　　　 </p><p>　　若則平均變化率可表示為:</p><p><b>　　稱為函數從．</b></p><p>　　3.1.2 導數的定義</p><p>　　定義8　如果函數處函數值的增量與自變量的增量的比值，當有極限，就說函數

32、在點處可導，并把這個極限叫做在點處的導數（或變化率），記作,即</p><p>　　由定義可知處連續(xù)是可導的必要條件．且由導數的定義可知，求函數的導數的一般方法是：</p><p>　　(1)求函數的改變量　　　　</p><p>　　(2)求平均變化率　　　　　</p><p>　　(3)取極限，得導數　　　　　　</p>&

33、lt;p><b>　　＝</b></p><p>　　例3　用定義分別求函數在處的導數．</p><p>　　解析　解有關這類題目時必須熟記導數的定義和解題的一般方法，按三步走的步驟就能得到準確結果．</p><p>　　解 (1) 因為　　　　　　　</p><p>　　所以　　 　</p>

34、<p>　　所以　　　　　　　　 　</p><p>　　因此　　　　　　　 　</p><p>　　(2) 因為　　　　　　　　　</p><p><b>　　,</b></p><p>　　所以　　　　 　</p><p><b>　　所以　　　　

35、</b></p><p>　　因此　　　　　　　　</p><p><b>　　3.2導函數</b></p><p>　　定義9　如果函數開區(qū)間內的每一點都可導，就說開區(qū)間內可導．這時，對于開區(qū)間內每一個確定的值，都對應著一個確定的導數，這樣就在開區(qū)間內構成一個新的函數，我們把這一個新函數叫做開區(qū)間內的導函數，記作：或（需指明自變量

36、時記作：）即 　　　 　</p><p><b>　　==</b></p><p>　　3.3導數的幾何意義</p><p>　　定義10　若函數處可導，則它在該點的導數等于曲線點處切線的斜率．若處可導，則曲線處的切線方程為：</p><p>　　導數的幾何意義主要用于求解函數的切線問題，求解過程中主要注意事項是熟

37、記導數的幾何意義，以達到準確．下面我們在例題中看看導數的幾何意義的具體用法：</p><p><b>　　例4 已知曲線．</b></p><p>　　(1)求曲線在點處的切線方程；</p><p>　　(2)求曲線過點的切線方程；</p><p>　　(3)求斜率為4的曲線的切線方程．</p><

38、p>　　解析 解這類題目必須審清題意，注意“在某一點”和“過某一點”的區(qū)別，避免沒有審清題意而犯錯誤．</p><p>　　解 (1) 因為點在曲線上</p><p>　　所以 </p><p>　　所以在點處的切線的斜率</p><p>　　所以曲線在點處的切線方程為</p>

39、;<p>　　即 </p><p>　　(2) 設曲線與過點的切線相切與點</p><p>　　則切線的斜率 </p><p>　　所以切線方程為 </p><p>　　即 </p>

40、<p><b>　　因為點在切線上</b></p><p>　　所以 </p><p>　　即 </p><p>　　所以 </p><p>　　所以 <

41、/p><p>　　所以 </p><p>　　解得 </p><p>　　故所求的切線方程為 </p><p><b>　　或</b></p><p>　　(3) 設切點為，則切線斜率</p><

42、;p><b>　　所以切點為，</b></p><p>　　所以切線方程為 </p><p><b>　　和</b></p><p>　　即 </p><p><b>　　和</b></p><p>

43、　　介紹了導數的定義和幾何意義后，下面我們利用導數的定義證明本論文中常用的幾個函數的導數．其他函數的導數只給出來不作詳細的證明．</p><p>　　3.4 幾種常見函數的導數</p><p>　　1．若(為常數)，則</p><p>　　證明 因為 　</p><p><b>　　0</b></

44、p><p>　　所以 </p><p>　　故表示函數圖像上每一點處的切線的斜率都是0．</p><p><b>　　2．若，則</b></p><p>　　在這里只對的情況進行證明</p><p>　　(1)求函數的導數（證明）</p><p>

45、　　證明 因為 </p><p><b>　　所以 </b></p><p>　　(2) 求函數的導數（證明）</p><p><b>　　證明　因為 　 </b></p><p><b>　　1</b></p><p>　

46、　所以 </p><p>　　(3) 求函數的導數（證明）</p><p>　　證明　因為 </p><p>　　所以 </p><p>　　表示函數圖像上點處切線的斜率為，說明隨著的變化，切線的斜率也在變化．另一方面，從導數作為函數在一點的瞬間變化率來看，表明：</p>

47、<p>　　當0時，隨著的增加，減少的越來越慢；</p><p>　　當0時，隨著的增加，反之增加的越來越快．</p><p><b>　　3．若；</b></p><p><b>　　4．若；</b></p><p><b>　　5．若；</b></p>

48、<p><b>　　6．若；</b></p><p><b>　　7．若 (且)；</b></p><p><b>　　8．若． </b></p><p>　　學習了導數的基礎知識之后，如何將導數的數學思想方法滲透到學生的解題過程中去，并使他們改變一貫利用函數的定義解題的思維，是數學老師

49、的主要任務．數學思想方法是數學新課程的重要目的，是發(fā)展學生智力的關鍵所在，是培養(yǎng)學生數學創(chuàng)新意識的基礎，也是一個人數學素養(yǎng)的重要組成部分．新課改后，導數作為高考的熱點考察內容之一，要求學生不僅掌握導數的概念，導數的幾何意義等基礎知識，還要學會導數在函數單調性和極值，曲線的切線等問題的應用.下一章節(jié)的內容本論文將詳細的探討導數在函數的單調性以及極值中的應用.主要用大量的實例通過定義法和導數法的對比，凸顯出導數法在求解相關問題中的優(yōu)越性.&

50、lt;/p><p>　　4 導數在函數單調性以及極值中的應用</p><p>　　4.1 導數與函數單調性的關系</p><p>　　4.1.1 探討函數的單調性與其導數正負的關系</p><p>　　例 5　觀察下面?zhèn)€函數的圖像，探討函數的單調性與其導數正負的關系</p><p>　　4.1.1-1

51、 4.1.1-2 　4.1.1-3</p><p>　　圖4.1.1-1函數（）,通過觀察其圖像發(fā)現在定義域上是單調遞增的，其導數．</p><p>　　圖4.1.1-2函數，通過觀察圖像發(fā)現其函數在定義域上不是純單調函數，當0時，函數是單調遞減的，此時導數0；當0時，函數是單調遞增的，此時導數．</p><p>　　圖4.1.1

52、-3 函數，過觀察其函數圖像，發(fā)現函數在定義域上均是單調遞減的，且當0時，；當0時，</p><p>　　通過上面的觀察與探討發(fā)現函數的單調性與其導數的符號有如下關系：</p><p><b>　　在某個確定的區(qū)間內</b></p><p>　　如果　　　　　　　　　　</p><p>　　那么函數在這個區(qū)間內單調遞增&

53、lt;/p><p>　　如果　　　　　　　　　　</p><p>　　那么函數在這個區(qū)間內單調遞減．</p><p>　　如此得到如下的定理：</p><p>　　若在上連續(xù)，在內可導，則在單調遞增（減）的充要條件為：在內（）．</p><p>　　4.1.2 運用導數判斷，求證函數的單調性及單調區(qū)間</p>

54、<p>　　運用導數判斷，求證函數的單調性與導數的符號關系判斷函數的單調性，是導數的幾何意義在研究曲線變化規(guī)律時的一個重要應用，它充分體現了數形結合的數學思想，也充分表明了導數是研究函數單調性的一個必不可缺的，重要的工具．</p><p>　　例6　判斷下列函數的單調性，并求出單調區(qū)間．</p><p>　　(1)；　　　　　　　　　　　　　　　　(2).</p>

55、<p>　　解析　(1)、(2)兩道題目我們可以應用函數的單調性的定義來求解，也可以應用導數法來求解．在這里我們應用導數與函數單調性的關系求解．首先求解，然后由的符號判斷函數的單調性，確定單調區(qū)間．</p><p>　　解 (1) 因為　　 </p><p>　　所以 　　　 　</p><p><b

56、>　　當0時</b></p><p>　　有　　　　　　　　　 　 </p><p><b>　　0</b></p><p>　　得　　　　　　　　　　 </p><p><b>　　1</b></p><p>　　即1時，函數 單調

57、遞增；</p><p><b>　　當0時</b></p><p>　　有　　　　　　　　　　</p><p><b>　　0</b></p><p>　　得　　　　　　　　　　 </p><p><b>　　1</b></p>&

58、lt;p>　　即1時,函數單調遞減．</p><p>　　4.1.2-1 4.1.2-2</p><p>　　函數的圖像如圖 4.1.2-1所示．

59、 </p><p>　　(2) 因為 </p><p>　　所以 　　　　　 </p><p>　　所以 </p><p>　　所以　　　　　　　　　 </p><p>　　所以　　　　　　　 　</p>

60、<p>　　0 　　　　　　　　　　　　 </p><p><b>　　故函數內單調遞減．</b></p><p>　　函數的圖像為4.1.2-2所示． </p><p>　　利用導數分析函

61、數的增、減形態(tài)是一種重要手段，而在分析函數的圖像、 　 判斷函數的單調性．求解函數的極值等方面，利用導數可使問題簡單化．對于一些高次函數中的問題，用定義解決運算量大、繁瑣、困難甚至無法做到，但是導數的應用則會取得預想的效果．</p><p>　　例

62、7 討論函數的單調性</p><p>　　解析 求解本題有兩種方法，一是應用函數單調性定義，二是導數法；而求解的關鍵在于找到參數的分界點，相比之下導數法更加地簡捷一些．</p><p><b>　　解法一 （定義法）</b></p><p><b>　　的定義域為</b></p><p><b

63、>　　因為　　　　　　 </b></p><p>　　所以是奇函數，則在全體實數上關于原點對稱</p><p><b>　　設，且,則</b></p><p><b>　　當時</b></p><p>　　恒有 </p>

64、<p>　　則 </p><p><b>　　故在上是減函數．</b></p><p><b>　　當時</b></p><p>　　恒有 </p><p>　　則

65、 </p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　故在上是增函數．</b></p><p>　　又因為是奇函數在上具有相同的增減性</p><p>　　所以在和上為增函數，在，上是減函數．</p><p><b>　　解法二 （導數

66、法）</b></p><p><b>　　因為的定義域為</b></p><p>　　又 　　</p><p>　　所以是奇函數，它在圖像在整個定義域上具有對稱性，故先討論函數在上的單調性 </p><p>　　求導數得　　　　　　　　　　</p><p&

67、gt;　　令　　　　　　　　　　　　　　</p><p>　　即 　　　　　　　　　　　　　</p><p>　　解得　　　　　　　　　　　　　</p><p>　　因為 　　　　　　　　　　　　 </p><p>　　又 　　　　　　　　　　　　　</p><p>　　即　　　　　　　　　　　　</p>

68、<p>　　所以 　　　　　　　　　　　</p><p><b>　　即在上是增函數．</b></p><p>　　令　　　　　　　　　　　　</p><p>　　得　　　　　　　　　　　　</p><p><b>　　故在上是減函數．</b></p><p>

69、<b>　　因為是奇函數</b></p><p><b>　　所以在，上為增函數</b></p><p><b>　　在，上是減函數．</b></p><p>　　通過對解題過程的對比，可以看出：定義法具有一定的開放性，只有扣緊單調數的定義，才能找到此題的突破口；而應用導數只需解不等式就可以了．如此我

70、們得到一個結論，并且它會廣泛應用于求解函數單調性這類題目及其它的函數題目之中，那就是導數法是一個有力的工具，幫我們解決一些較難的題目．</p><p>　　例8 判斷函數的單調性，并求出單調區(qū)間．</p><p>　　解析 本題同樣可用兩種方法解決，運用單調性的定義和導數法．</p><p><b>　　解法一 （導數法）</b></p

71、><p>　　因為 的定義域是 </p><p>　　所以 　　　　　　　　　</p><p>　　因為　　　　　　　　　　</p><p><b>　　又 </b></p><p><b>　　所以 恒大于等于0</b></p><p>　　因此函

72、數在單調增函數</p><p><b>　　解法二 （定義法）</b></p><p><b>　　因為的定義域是</b></p><p><b>　　且　　　　　</b></p><p><b>　　所以是奇函數</b></p><p

73、>　　由于的圖像在全體實數上關于原點對稱，故先討論函數在上的單調性</p><p><b>　　設、，</b></p><p>　　且　　　　　　　　　　　　　</p><p><b>　　則</b></p><p>　　因為 　　　　　　　　　　　　　　 </p><p&

74、gt;　　所以　　　　　　　　　　　　　　</p><p><b>　　又因為、 </b></p><p>　　所以　　　　　　　　　　　</p><p>　　所以　　　　　　　　　　　　</p><p>　　即　　　　　　　　　　　　　</p><p>　　因此在上是單調增函數</p&g

75、t;<p>　　又因為是奇函數，故函數在上與在上的單調性相同所以在整個定義域上是單調增函數</p><p>　　通過對此題解題過程中兩種解法的對比，我們發(fā)現應用導數法求解簡便富有程序化，而定義法在求解過程中，計算量大，需要變形技巧，更需要嚴密的邏輯推理，因此導數法的應用簡單新穎．</p><p>　　例9 求函數的單調區(qū)間． </p><p>　　解

76、 因為　　　　　</p><p><b>　　，</b></p><p>　　令　　　　　　　　　　　</p><p>　　得　　　　　　　　　　　　　　</p><p>　　又 </p><p><b>　　所以當時，;當時，</b

77、></p><p>　　因此的單調增區(qū)間是；單調減區(qū)間是． </p><p>　　顯然此函數在上不具備單調性，若利用單調性的定義來解，需找出恰當的臨界值（點），但找這個臨界值對大部分初學者還是比較困難．如果利用導數，則簡單得多． </p><p>　　例10　證明函數在上是減函數． </p><p><b>　　解法一 （定義

78、法）</b></p><p><b>　　設　　　　　　　　</b></p><p><b>　　則 </b></p><p><b>　　在上由均值不等式</b></p><p><b>　　得 </b></p><p&g

79、t;<b>　　因為,</b></p><p>　　所以　　　　　　　　　　</p><p>　　因此　　　　　　　　　　　</p><p>　　故函數在上是減函數． </p><p><b>　　解法二 （導數法）</b></p><p><b>　　因為　　　　

80、　　　</b></p><p><b>　　當時，,</b></p><p>　　所以　　　　　　　　　　　　</p><p>　　所以　　　　　　　　　　　</p><p><b>　　1-</b></p><p>　　即　　　　　　　　　　　　</p&g

81、t;<p>　　所以在上是減函數, 由此可見用導數法比用定義法要簡單得多. </p><p>　　例11　求實數，使得函數在上具有單調性． </p><p><b>　　解 　　　　　　</b></p><p>　　為使函數在上具有單調性，必須</p><p><b>　　或</b>&

82、lt;/p><p><b>　　即或恒成立</b></p><p><b>　　因為時，</b></p><p>　　故當時，恒成立，此時，函數在上是增函數；</p><p>　　當時，恒成立，此時，函數在上是減函數．</p><p>　　例12　求函數的值域． </p&g

83、t;<p>　　解　令　　　　　　　　　</p><p>　　則　　　　　　　　　　　　</p><p>　　且　　　　　　　　　　　</p><p><b>　　因為　　</b></p><p>　　又因為　　　　　　　　　　</p><p>　　所以　　　　　　　　　　</

84、p><p>　　因此在上是減函數. </p><p><b>　　所以當時，；</b></p><p><b>　　當時，． </b></p><p>　　故所求函數的值域為． </p><p>　　通過以上例題可以看出，利用導數解決函數的單調性問題，簡單快捷，便于掌握，且容易操

85、作，利用導數判斷函數的單調性或求單調區(qū)間的一般步驟是： </p><p>　　(1)確定定義域； </p><p><b>　　(2)求； </b></p><p><b>　　(3)求方程的根；</b></p><p>　　(4)由的根將分成若干個區(qū)間，分區(qū)間判斷符號； </p>&

86、lt;p><b>　　(5)得出結論． </b></p><p>　　導數這一靈活有效地工具，使很多問題變得簡單，并且有廣泛的應用領域，例如求導還可解決一些實際應用問題．因此，熟練掌握和深刻理解利用導數解題的方法是非常必要的．當然求導的方法也必須和以前的各種方法密切配合，才能真正體現數學解法的整體性． </p><p>　　導數在函數單調性中的應用就以上部分的

87、探討還不夠完善，在以后的學習中，我會繼續(xù)學習和探討，以下本論文也簡單介紹了導數與函數極值的關系以及在函數在極值中的應用.</p><p>　　4.2 導數與函數極值的關系</p><p><b>　　4.2.1極值判別</b></p><p>　　函數的極值不僅在實際問題中占有重要的地位，而且也是函數性態(tài)的一個重要特征．下面我們通過兩個定理的證

88、明來討論極值的充分條件：</p><p>　　定理4.2.1（極值的第一充分條件）設在點連續(xù)，在某領域內可導．</p><p>　　(1)若當時，當時，，則在點取得極小值．</p><p>　　(2)若當時，當時，，則在點取得極大值．</p><p>　　證明 下面對(2)進行證明，第(1)題可以類似的證明．</p><

89、p>　　由定理的條件及單調函數在某個區(qū)間上遞增(減)的充要條件可知在內遞增，在內遞減，又由在處連續(xù)，故對任意，恒有</p><p><b>　　即在取得極大值．</b></p><p>　　若是二階可導函數，則有如下判別極值定理．</p><p>　　定理4.2.2（極值的第二充分條件）設在的某領域內一階可導，在處二階可導，且．</

90、p><p>　　(1)若，則在點取得極小值．</p><p>　　(2)若，則在點取得極大值．</p><p>　　例13　求函數的極值(圖像如右圖所示) </p><p><b>　　解 因為 　　 </b></p><p>　　令　　　　　　　　　　</p><p>　　

91、求得 　　　　　　　　</p><p>　　則隨著的變化，和的變化如下表 </p><p>　　所以函數的極大值為，極小值為.</p><p>　　這是通過第一充分條件所求的極值，也可以用第二充分條件求解，這里不再求解．</p><p>　　應用導數求解函數單調性中還有一些初學者所忽略的問題，下面作一簡單歸納.</p>&

92、lt;p>　　4.3 應用導數求函數單調性常見的錯誤及分析</p><p>　　4.3.1求函數單調區(qū)間忽視定義域而致錯</p><p>　　求函數單調區(qū)間必須在清楚函數的定義域的前提下作答，否則會因為忽視定義域而致錯得不到正解．</p><p>　　例14 求函數的單調區(qū)間．</p><p>　　錯解　因為　　　　　　　　　</

93、p><p>　　令　　　　　　　　　　　　　　　</p><p><b>　　=0</b></p><p>　　解得　　　　　　　　　　　　　　</p><p><b>　　或</b></p><p>　　所以函數的單調遞增區(qū)間為</p><p>　　所以

94、函數的單調遞減區(qū)間為．</p><p>　　錯因　求函數的單調區(qū)間應首先考慮函數的定義域,錯解忽略了這一環(huán)節(jié)．</p><p>　　正解　因為函數的定義域為</p><p>　　又因為　　　　　　　　　</p><p><b>　　，</b></p><p>　　所以函數的單調遞增區(qū)間為；<

95、/p><p>　　函數的單調遞減區(qū)間為．</p><p>　　4.3.2導數為零的點不一定是極值點</p><p>　　導數為零的點不一定是極值點．以下有這樣的實例 ：</p><p>　　例15 當函數為常值函數，即若（為常數），則．</p><p>　　證明　因為 　　　　　 </p><p>

96、<b>　　0</b></p><p>　　所以 　　　　　　　　</p><p>　　表示函數圖像上每一點處的切線的斜率都是0．</p><p>　　這是本論文在用導數的定義在前面所證明過的.這個函數的導數為零但是這個函數卻沒有增減性，即沒有極值點．</p><p>　　例 16　函數為,求它的導數.</p&g

97、t;<p>　　證明　因為　　　　　　　　 </p><p>　　利用前面所提到的幾種常見函數的導數可直接求得</p><p>　　由于這個函數的定義域為，它的圖像在整個定義域上是單調遞增的，當時導數為0，但這個零點并不是它的極值點.</p><p>　　在這里我們對另一個知識點駐點給以說明(導數為零的點稱之為駐點，如果駐點兩側的導數的符號相反，則該點

98、為極值點，否則為一般的駐點，如中，的左右導數符號為正，該點為一般駐點．)8</p><p><b>　　5 結 論</b></p><p>　　從以上可以看出，數學是一門邏輯性相當強的學科，對學生的思維邏輯能力有很高的要求，而掌握正確的學習方法是學習數學的關鍵所在．導數是研究函數的工具，加入新教材之后，給函數問題注入了新的生機和活力，開辟了許多解題新途徑，拓展了初學者

99、對函數問題的學習和思考空間．所以把導數與函數綜合在一起是順理成章的事情，初學者需掌握題型命制，它往往融函數，導數，不等式，方程等知識于一體，通過演繹證明，運算推理等理性思維，解決單調性，極值，切線，方程的根，參數的范圍等問題，難度很大，綜合性強，內容新，背景新，方法新，是這塊知識命題的豐富寶藏．解題中需用到函數與方程思想、分類討論思想、數形結合思想、轉化與化歸思想．本文主要通過大量實例探討了導數在函數單調性與極值求解中的應用問題，導數在

100、中學數學中的應用非常廣泛，其思維方法有：利用增（減）函數的定義判斷單調性，利用在內可導的函數在上遞增（或遞減）的充要條件是（或），恒成立（但在的任意子區(qū)間內都不恒等于0）．定義法化簡較為繁瑣，比較適合解決抽象函數的單調性問題，而用導數知識來判斷函數的單調性既快捷又容易掌握，特別是對于具體函數更加適用．</p><p>　　本論文所論述的導數在函數單調性中的應用在中學數學學習中有十分廣泛的運用，所以掌握導數法的運用

101、十分關鍵．首先，本文將函數和導數的基本知識做了簡單介紹，幫助學生對這些知識有更加清晰、細致、系統(tǒng)的認識；其次, 主要是導數法在求解函數單調性中的應用，其中包含了數形結合等數學思想的正確運用； 最后，導數法的數學思想是中學生學習數學必不可少的一種解題思想，它的運用廣泛，在解題過程中可以避開函數單調性的定義求函數單調性的繁、難、偏的步驟，運用了新穎的、簡單的解題思想，使初學者用起來更為方便，更符合課改的目標要求，且更加有助于培養(yǎng)初學者的創(chuàng)新

102、思維[９]，有助于創(chuàng)新性人才的培養(yǎng)．</p><p>　　本論文在設計、歸納整理過程中仍存在許多漏洞，望讀者予以指正．</p><p><b>　　謝 辭</b></p><p>　　大學四年的學習如白駒過隙般在不經意之間匆匆而過，人生黃金的生活已然接近了尾聲，伴隨著答辯的臨近，我們的大學生活就要和我說再見了．回顧這三個多月的論文寫作過程，真的

103、讓我感慨萬千：</p><p>　　首先，我要感謝的是我的論文指導教師戴曉娟老師，在我論文的設計過程中給我提供了很多專業(yè)性的指導和新穎的建議，戴老師嚴謹而熱情的工作態(tài)度給我留下了深刻的印象，若沒有戴老師的幫助，這次的畢業(yè)論文設計不會這樣順利．所以，借此機會我向戴老師致以深深的感謝和敬意．</p><p>　　其次我要真誠地感謝我學習生涯中其他的老師、同學和朋友，在我的課題研究中，他們或多或

104、少提供的信息是我靈感的來源，在知識和工具上都給了我很大的幫助，所以同樣致以感謝．</p><p>　　最后我要感謝四年的大學生活，四年的歷練讓我對自己的人生觀、價值觀有了新的認識，讓我對以后將要走的路有了更加明確的方向感．在今后的人生路上，我將會更加努力的學習，不辜負老師、朋友以及家人的期望．</p><p><b>　　參考文獻</b></p><

105、;p>　　[1]　李宗岳．名師教學設計3—新課標第二課堂[G]．西藏：西藏人民出版社．2006,6:494．</p><p>　　[2]　程曉亮，劉影．初等數學研究[M]．北京：北京大學出版社．2011,1:122-123． </p><p>　　[3]　李名德，李勝宏．高中數學競賽培優(yōu)教程（一試）[M]．浙江：浙江大學出版社．2011，1:352-357．</p>&

106、lt;p>　　[4]　劉紹興，錢佩玲．普通高中課程標準實驗教科書 數學 選修2-2 A版[M]．人民教育出版社出版發(fā)行．2005，6：23-35．</p><p>　　[5]　薛金星．高中數學基礎知識手冊[G]．北京：北京教育出版社出版．2009，3：68．</p><p>　　[6]　劉紹興，錢佩玲，章建躍．普通高中課程標準實驗教科書 數學 選修2-2 A版 教師教學用書[M]．

107、北京：人民教育出版社出版發(fā)行．2007，5：19-25．</p><p>　　[7]　華東師范大學數學系數學分析.上冊 第三版[M]．北京：高等教育出版社．2001,6:142.</p><p>　　[8]　黃珊數．數形結合思想與解題教學研究[J]．數學教學與研究 2009(3)． </p><p>　　[9]　于伯寧．把學生帶進數學樂園——在圓錐曲線教學中培養(yǎng)學生