數(shù)學與應用數(shù)學本科畢業(yè)論文-不等式證明的若干種方法

1、<p><b>　　本科生畢業(yè)論文</b></p><p>　　題　　目　 不等式證明的若干種方法 </p><p>　　姓　　名　 　 </p><p><b>　　學　　號　　 </b></p><p>　　院 　系　　　 數(shù)學系　　　　　 </p&

2、gt;<p>　　?！　I(yè)　 數(shù)學與應用數(shù)學　　 </p><p>　　指導教師　 莎仁格日勒 　 </p><p><b>　　2013 年5 月</b></p><p>　　本科生畢業(yè)設計（論文、創(chuàng)作）聲明</p><p>　　本人鄭重聲明：所呈交的畢業(yè)設計，是本人在指導教

3、師指導下，進行研究工作所取得的成果。除文中已經(jīng)注明引用的內(nèi)容外，本設計的研究成果不包含任何他人創(chuàng)作的、已公開發(fā)表或沒有公開發(fā)表的作品內(nèi)容。對本論文所涉及的研究工作做出貢獻的其他個人和集體，均已在文中以明確方式標明。本設計創(chuàng)作聲明的法律責任由本人承擔。</p><p><b>　　作者簽名：</b></p><p>　　年 月 日</p>&

4、lt;p>　　本人聲明：該畢業(yè)設計是本人指導學生完成的研究成果，已經(jīng)審閱過畢業(yè)設計的全部內(nèi)容，保證題目、關鍵詞、摘要部分中英文內(nèi)容的一致性和準確性，并通過一定檢測手段保證畢業(yè)設計未發(fā)現(xiàn)違背學術(shù)道德誠信的不端行為。</p><p><b>　　指導教師簽名：</b></p><p>　　年 月 日</p><p>　　不等式證

5、明的若干種方法</p><p><b>　　高銀梅</b></p><p>　　（集寧師范學院 數(shù)學系 數(shù)學與應用數(shù)學 2009級）</p><p>　　摘要：無論在初等數(shù)學還是高等數(shù)學中，不等式都是十分重要的內(nèi)容。而不等式的證明則是不等式知識的重要組成部分。在本文中，我總結(jié)了一些數(shù)學中證明不等式的方法。在初等數(shù)學不等式的證明中經(jīng)常用到的有比較

6、法、綜合法、分析法、換元法、增量代換法、反證法、放縮發(fā)、構(gòu)造法、數(shù)學歸納法、判別式法等等。在高等數(shù)學不等式的證明中經(jīng)常利用中值定理、泰勒公式、拉格朗日函數(shù)以及一些著名不等式，如：柯西不等式、詹森不等式、施瓦茨不等式、赫爾德不等式等等。從而使不等式的證明方法更加完善，有利于我們進一步探討和研究不等式的證明。通過學習這些證明方法，可以幫助我們解決一些實際問題，培養(yǎng)邏輯推理論證能力和抽象思維的能力以及養(yǎng)成勤于思考、善于思考的良好學習習慣。&l

7、t;/p><p>　　關鍵詞：不等式，證明方法，常用，特殊 </p><p>　　Abstract: both in elementary mathematics and higher mathematics, the inequality is very important content. Inequality and the proof is an important part of

8、knowledge. In this article, I summarized some mathematical proof of the method of inequality. Inequality in elementary mathematics analyst is often used with comparison method, synthesis, analysis, change element method,

9、 incremental substitution method, the reduction to absurdity, zooming, construction method, mathematical induction, discrimi</p><p>　　Keywords: inequality, the proof method, commonly used, special目錄</p>

10、;<p><b>　　1 前言6</b></p><p>　　2 利用常用方法證明不等式7</p><p><b>　　2.1 比較法7</b></p><p><b>　　2.2綜合法7</b></p><p><b>　　2.3分析法8

11、</b></p><p><b>　　2.4換元法8</b></p><p>　　2.5增量代換法8</p><p><b>　　2.6反證法9</b></p><p><b>　　2.7放縮法9</b></p><p><b&

12、gt;　　2.8構(gòu)造法10</b></p><p>　　2.9數(shù)學歸納法10</p><p>　　2.10判別式法。11</p><p>　　2.11導數(shù)法11</p><p>　　2.12利用冪級數(shù)展開式證明不等式12</p><p>　　2.13向量法12</p><p&

13、gt;　　2.14利用定積分性質(zhì)證明不等式13</p><p>　　3 利用函數(shù)的性質(zhì)證明不等式14</p><p>　　4 利用柯西不等式證明15</p><p>　　5 利用均值不等式證明16</p><p>　　6 利用施瓦茨不等式證明17</p><p>　　7 利用中值定理法證明不等式1

14、8</p><p>　　7.1 拉格朗日中值定理：18</p><p>　　7.2積分第一中值定理：18</p><p>　　8 利用詹森不等式證明19</p><p><b>　　致謝20</b></p><p><b>　　參考文獻21</b></p&

15、gt;<p><b>　　1 前言</b></p><p>　　不等式的證明問題，由于題型多變、方法多樣、技巧性強，加上無固定的規(guī)律可循，往往不是用一種方法就能解決的，它是多種方法的靈活運用，也是各種思想方法的集中體現(xiàn)，因此難度較大，所以怎樣區(qū)分題目類型，弄清每種證明方法所適用的題型范圍，是學生掌握不等式證明的關鍵所在。解決這個問題的途徑在于熟練掌握不等式的性質(zhì)和一些基本的不

16、等式，靈活運用常用和特殊的證明方法。不等式是數(shù)學的基本內(nèi)容之一，它是研究許多數(shù)學分支的重要工具，在數(shù)學中有重要的地位，也是高中數(shù)學的重要組成部分，在高考和競賽中都有舉足輕重的地位。不等式的證明變化大，技巧性強，它不僅能夠檢驗學生數(shù)學基礎知識的掌握程度，而且是衡量學生數(shù)學水平的一個重要標志。</p><p>　　2 利用常用方法證明不等式</p><p><b>　　2.1 比較

17、法</b></p><p>　　所謂比較法，就是通過兩個實數(shù)與的差或商的符號（范圍）確定與大小關系的方法，有做差比較和作商比較兩種基本途徑。即通過“，，(為作差法)或，，(為作商法)?！眮泶_定，大小關系的方法。</p><p>　　例 已知：，，求證：.</p><p>　　分析：兩個多項式的大小比較可用作差法</p><p>&

18、lt;b>　　證明 ，</b></p><p><b>　　故得 .</b></p><p><b>　　故原不等式成立。</b></p><p><b>　　例 設，求證：.</b></p><p>　　分析：對于含有冪指數(shù)類的用作商法</

19、p><p>　　證明 因為 ，所以 ，.</p><p>　　而 ，故 ． </p><p><b>　　故原不等式成立。</b></p><p><b>　　2.2綜合法</b></p><p>　　綜合法就是從已知式證明過的不等式出發(fā)，根據(jù)不等式的性質(zhì)推出欲證的不

20、等式，通過一系列已確定的命題（包含不等式的性質(zhì)，已掌握的重要不等式）逐步推演，從而得到所要求證的不等式成立，這種方法叫做綜合法。</p><p>　　例 已知且 求證： ．</p><p><b>　　證： 所以</b></p><p><b>　　兩邊同時乘 得</b></p><p>

21、;<b>　　即．</b></p><p><b>　　故原不等式成立。</b></p><p><b>　　2.3分析法</b></p><p>　　從求證的不等式出發(fā)分析不等式成立的條件，把證明這個不等式轉(zhuǎn)化為判定使這個不等式成立的條件是否具備的問題。如果能夠肯定這些條件都以具備，那么就可以判定這

22、個不等式成立，這種證明方法叫做分析法。</p><p><b>　　例 求證： ．</b></p><p><b>　　證即：因為</b></p><p>　　因為為了證明原不等式成立，只需證明</p><p>　　即 即 即 </p><p><b>

23、　　故原不等式成立。</b></p><p><b>　　2.4換元法</b></p><p>　　換元法實質(zhì)上就是變量代換法，即對所證不等式的題設和結(jié)論中的字母作適當?shù)淖儞Q，以達到化難為易的目的。</p><p>　　例 －1≤－x≤．</p><p>　　證明：∵1－x≥0，∴－1≤x≤1，故可設x

24、= cos，其中0≤≤．</p><p>　　則－x =－cos= sin－cos=sin(－)，∵－≤－≤，∴－1≤sin(－)≤，即－1≤－x≤．</p><p><b>　　故原不等式成立。</b></p><p><b>　　2.5增量代換法</b></p><p>　　在對稱式(任意互換兩

25、個字母，代數(shù)式不變)和給定字母順序(如a＞b＞c)的不等式，常用增量進行代換，代換的目的是減少變量的個數(shù)，使要證的結(jié)論更清晰，思路更直觀，這樣可以使問題化難為易，化繁為簡。</p><p>　　例 已知a，bR，且a＋b = 1，求證：(a＋2)＋(b＋2)≥．</p><p>　　證明：∵a，bR，且a＋b = 1，∴設a =＋t，b=－t， (tR)</p><p

26、>　　則(a＋2)＋(b＋2)= (＋t＋2)＋(－t＋2)= (t＋)＋(t－)= 2t＋≥．</p><p>　　∴(a＋2)＋(b＋2)≥．</p><p><b>　　故原不等式成立。</b></p><p><b>　　2.6反證法</b></p><p>　　反證法的原理是：否定之

27、否定等于肯定。反證法的思路是“假設矛盾肯定”，采用反證法時，應從與結(jié)論相反的假設出發(fā)，推出矛盾的過程中，每一步推理必須是正確的。</p><p>　　例 已知 求證 ： ．</p><p><b>　　證：假設成立則．</b></p><p><b>　　即　．</b></p><p><

28、;b>　?。?lt;/b></p><p><b>　?。?．</b></p><p>　　由此得，這是不可能的，得出矛盾。 ．</p><p><b>　　故原不等式成立。</b></p><p><b>　　2.7放縮法</b></p>&l

29、t;p>　　放縮法是證明不等式的一種特殊的方法。從不等式的一邊入手，逐漸放大或縮小不等式，直到不等式的另一邊，這種方法叫做放縮法。</p><p>　　例 求證： </p><p><b>　　證：有．</b></p><p><b>　?。?lt;/b></p><p><b>

30、　　所以 ．</b></p><p><b>　　故原不等式成立。</b></p><p><b>　　2.8構(gòu)造法</b></p><p>　　構(gòu)造法是通過類比、聯(lián)想、轉(zhuǎn)化，合理的構(gòu)造函數(shù)模型，從而使問題迎刃而解。過程簡單，一目了然。</p><p>　　例 已知三角形ABC的三邊長

31、是a,b,c,且m為正數(shù)，求證：.</p><p>　　證明：設顯然函數(shù)在是增函數(shù)。</p><p>　　a,b,c是三角形ABC的三邊長.</p><p><b>　　，，即，</b></p><p><b>　　又．</b></p><p><b>　?。?lt

32、;/b></p><p><b>　　.</b></p><p><b>　　故原不等式成立。</b></p><p><b>　　2.9數(shù)學歸納法</b></p><p>　　證明有關自然數(shù)的不等式，可以采用數(shù)學歸納法來證明。</p><p>　

33、　驗證取第一個數(shù)值時，不等式成立，</p><p>　　2.假設取某一自然數(shù)時，不等式成立。（歸納假設），由此</p><p>　　推演出取時，此不等式成立。</p><p>　　例 求證： </p><p>　　證：（1）當時，左邊=1，右邊=2不等式顯然成立。</p><p>　　（2）假設時，．則時，

34、 </p><p><b>　　左邊 =．</b></p><p>　　=． 時不等式也成立.</p><p><b>　　故原不等式成立。</b></p><p><b>　　2.10判別式法。</b></p><p>　　判別式法是根據(jù)已知的或

35、構(gòu)造出來的一元二次方程，一元二次不等式，二次函數(shù)的根，函數(shù)解集的性質(zhì)等特征來確定判別式所應滿足的不等式，從而推出欲證的不等式的方程。</p><p>　　例 設 ， 求證：．</p><p><b>　　證：．</b></p><p><b>　?。?lt;/b></p><p>　　因為 的系數(shù)為

36、 ， ． </p><p><b>　　故原不等式成立。</b></p><p><b>　　2.11導數(shù)法</b></p><p>　　當屬于某個區(qū)間，有，則單調(diào)遞增；若，則單調(diào)遞減.推廣之，若證，只須證及即可.</p><p>　　例 證明不等 ，</p><p

37、>　　證明 設則故當時，遞增；當遞減.</p><p><b>　　則當時， </b></p><p><b>　　從而證得 </b></p><p><b>　　故原不等式成立。</b></p><p>　　2.12利用冪級數(shù)展開式證明不等式</p>

38、<p><b>　　例 當，證明.</b></p><p>　　證明：因，分別可寫成冪級數(shù)展開式：</p><p><b>　　=</b></p><p><b>　　=,;</b></p><p><b>　　=,.</b></p&

39、gt;<p>　　則要證不等式左邊的一般項為，右邊的一般項為，因此當，，有.所以，.</p><p><b>　　故原不等式成立。</b></p><p><b>　　2.13向量法</b></p><p>　　利用向量的數(shù)量積及不等式關系</p><p>　　例 已知a、b、c都是

40、正實數(shù)，求證．</p><p><b>　　證明：設，，則</b></p><p><b>　　．</b></p><p><b>　?。?lt;/b></p><p><b>　　故原不等式成立。</b></p><p>　　2.14

41、利用定積分性質(zhì)證明不等式</p><p>　　對可積函數(shù)，，若，則．</p><p><b>　　例 證明：．</b></p><p>　　證明 當時，，，則，因在（1,2）上均為連續(xù)函數(shù)。則在（1,2）均可導，由定積分性質(zhì)可知</p><p><b>　?。?lt;/b></p>&l

42、t;p><b>　　故原不等式成立。</b></p><p>　　3 利用函數(shù)的性質(zhì)證明不等式</p><p>　　設，和為增函數(shù)，滿足，，證明：，利用復合函數(shù)及其單調(diào)性質(zhì)。</p><p>　　證明：因?qū)τ谌我獾?，有，且，和均為增函?shù)，所以有?。?lt;/p><p><b>　　即．</b>&

43、lt;/p><p><b>　　故原不等式成立。</b></p><p>　　4 利用柯西不等式證明</p><p>　　設均為實數(shù)，則，當且僅當時成立.</p><p>　　例 15 若，求證．</p><p>　　證明：　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　＝</p><

44、;p><b>　　當時等號成立。</b></p><p><b>　　故原不等式成立。</b></p><p>　　5 利用均值不等式證明</p><p>　　均值不等式公式：①，（當且僅當時取“”）；</p><p>　?、冢ó斍覂H當時取“”）。</p><p>

45、　　均值不等式是高考中一個重要知識點，其變形多，約束條件“苛刻“（一正、二定，三相等）。</p><p>　　例 已知a，b，c為不全相等的正數(shù)，求證： a(b2+c2)+b(c2+a2)+c(a2+b2)>6abc. </p><p>　　分析：觀察要證不等式的兩端都是關于a，b，c的3次多項式，左側(cè)6項，右側(cè)6項，左和右積，具備均值不等式的特征。 </p>&l

46、t;p>　　證明: ∵ b2+c2≥2bc, a>0, ∴ a(b2+c2)≥2abc </p><p>　　同理，b(c2+a2)≥2bac, c(a2+b2)≥2cab, </p><p>　　又 因為a，b，c不全相等， </p><p>　　所以上述三個不等式中等號不能同時成立，</p><p><b>　　因此

47、　．</b></p><p><b>　　故原不等式成立。</b></p><p><b>　　例 若，求證：．</b></p><p><b>　　證明：</b></p><p><b>　?。郑?lt;/b></p><p

48、><b>　　．</b></p><p>　　當且僅當，即時等號成立．</p><p><b>　　故原不等式成立。</b></p><p>　　6 利用施瓦茨不等式證明</p><p>　　施瓦茨不等式：若和在上可積，則</p><p><b>　　．&l

49、t;/b></p><p>　　例 證明：若在上可積，則．</p><p>　　證明：根據(jù)施瓦茨不等式有：</p><p><b>　?。?lt;/b></p><p><b>　　所以．</b></p><p><b>　　故原不等式成立。</b>&

50、lt;/p><p>　　7 利用中值定理法證明不等式</p><p>　　7.1 拉格朗日中值定理</p><p>　　若函數(shù)滿足如下條件：</p><p>　　在閉區(qū)間上連續(xù)（2）在開區(qū)間（）內(nèi)可導，則在（）內(nèi)至少存在一點，使得．</p><p><b>　　例 證明：，其中．</b></

51、p><p>　　證明：設，顯然在上滿足拉格朗日中值定理的條件，且，故，使．</p><p><b>　　即而，故有．</b></p><p><b>　　即．</b></p><p><b>　　故原不等式成立。</b></p><p>　　7.2積分第一中

52、值定理</p><p>　　若在上連續(xù)，則至少存在一點，使得</p><p><b>　?。?lt;/b></p><p><b>　　例 證明：．</b></p><p>　　證明：在上，，且函數(shù)不恒等于1和，所以有</p><p><b>　?。?lt;/b>

53、</p><p><b>　　故原不等式成立。</b></p><p>　　8 利用詹森不等式證明</p><p>　　詹森不等式：若為上凸函數(shù)，則對任意，有．</p><p>　　例 證明：不等式,其中，，均為正數(shù)</p><p>　　證明：設，，由的一階和二階導數(shù)，可見，在時為嚴格凸函數(shù)，

54、依詹森不等式有：</p><p>　　．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　</p><p><b>　　從而　　?。?lt;/b></p><p><b>　?。?lt;/b></p><p>　　即，又因，再兩邊同乘以次方得</p><p><b>　?。?lt;

55、/b></p><p><b>　　所以．</b></p><p><b>　　故原不等式成立。</b></p><p>　　總之，不等式的證明方法有很多，我們應該在教學和學習中努力將這些好的方法發(fā)揚光大，使我們的教學和學習更加輕松。</p><p><b>　　致謝</b&g

56、t;</p><p>　　踉踉蹌蹌地忙碌了兩個多月，我的畢業(yè)設計課題將告一段落了。我從中明白了做每一件事，不必過于在乎最終的結(jié)果，可貴的是在做事過程中的收獲。</p><p>　　畢業(yè)設計，也許是我大學生涯交上的最后一個作業(yè)。我想借此機會感謝四年來給我?guī)椭乃欣蠋?、同學、家人、親戚，和你們之間的友誼是我人生的財富，是我生命中不可或缺的一部分。我的畢業(yè)指導老師莎仁格日勒老師，她以一位長輩的

57、風范來容諒我的無知和沖動，給我不厭其煩的指導。在此，要特別向她道聲謝謝。</p><p>　　大學生活即將過去，但我卻能無悔地說：“我曾經(jīng)來過?！贝髮W四年，但它給我的影響卻不能用時間來衡量，這四年來，我經(jīng)歷過的所有事，結(jié)交的所有人，都將是我以后生活中回味一輩子的寶貴精神財富，也是日后我為人處事的指南針。就要離開學校，走上工作崗位了，這將是我人生歷程的又一個起點，在這里深深祝福大學里跟我風雨同舟的朋友們，祝你們幸福

58、。也祝愿學校的每一位師長都幸?？鞓?。</p><p><b>　　參考文獻</b></p><p>　　[1] 段志強. 一個不等式的妙用[J]. 數(shù)學通訊, 2004,(17).</p><p>　　[2] 佟成軍. 一個不等式的加強及證明[J]. 數(shù)學通訊, 2006,(07).</p><p>　　[3] 曾峰.

59、一個不等式的證明及應用[J]. 中學課程輔導(初二版), 2005,(02). </p><p>　　[4] 黃長風. 聯(lián)想證明不等式[J]. 數(shù)學教學研究, 2005,(03). </p><p>　　[5] 李歆. 不等式的幾個推論及應用[J]. 中學生數(shù)學, 2005,(05). </p><p>　　[6] 方輝. 淺談哥西不等式的應用[J]. 黃山學院學報