mers傳播地?cái)?shù)學(xué)模型地建立及分析報(bào)告

1、<p>　　2015高教社杯全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽</p><p><b>　　承 諾 書</b></p><p>　　我們仔細(xì)閱讀了《全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽章程》和《全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽參賽規(guī)則》（以下簡(jiǎn)稱為“競(jìng)賽章程和參賽規(guī)則”，可從全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽網(wǎng)站下載）。</p><p>　　我們完全明白，在競(jìng)賽開始后參賽隊(duì)員不

2、能以任何方式（包括電話、電子郵件、網(wǎng)上咨詢等）與隊(duì)外的任何人（包括指導(dǎo)教師）研究、討論與賽題有關(guān)的問題。</p><p>　　我們知道，抄襲別人的成果是違反競(jìng)賽章程和參賽規(guī)則的，如果引用別人的成果或其他公開的資料（包括網(wǎng)上查到的資料），必須按照規(guī)定的參考文獻(xiàn)的表述方式在正文引用處和參考文獻(xiàn)中明確列出。</p><p>　　我們鄭重承諾，嚴(yán)格遵守競(jìng)賽章程和參賽規(guī)則，以保證競(jìng)賽的公正、公平性。

3、如有違反競(jìng)賽章程和參賽規(guī)則的行為，我們將受到嚴(yán)肅處理。</p><p>　　我們授權(quán)全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽組委會(huì)，可將我們的論文以任何形式進(jìn)行公開展示（包括進(jìn)行網(wǎng)上公示，在書籍、期刊和其他媒體進(jìn)行正式或非正式發(fā)表等）。</p><p>　　我們參賽選擇的題號(hào)是（從A/B/C/D中選擇一項(xiàng)填寫）： A </p><p>　　我們的參賽報(bào)名號(hào)為（如果

4、賽區(qū)設(shè)置報(bào)名號(hào)的話）： </p><p>　　所屬學(xué)校（請(qǐng)?zhí)顚懲暾娜?成都工業(yè)學(xué)院 </p><p>　　參賽隊(duì)員 (打印并簽名) ：1. 王××

5、 </p><p>　　2. 盧×× </p><p>　　3. 唐×× </p><p>　　指導(dǎo)教師或指導(dǎo)教師組負(fù)責(zé)人 (打印并簽名)：

6、 </p><p>　?。ㄕ撐募堎|(zhì)版與電子版中的以上信息必須一致，只是電子版中無需簽名。以上內(nèi)容請(qǐng)仔細(xì)核對(duì)，提交后將不再允許做任何修改。如填寫錯(cuò)誤，論文可能被取消評(píng)獎(jiǎng)資格。）</p><p>　　日期： 2015年 7 月 27 日</p><p>　　賽區(qū)評(píng)閱編號(hào)（由賽區(qū)組委會(huì)評(píng)閱前進(jìn)行編號(hào)）

7、：</p><p>　　2015高教社杯全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽</p><p><b>　　編 號(hào) 專 用 頁</b></p><p>　　賽區(qū)評(píng)閱編號(hào)（由賽區(qū)組委會(huì)評(píng)閱前進(jìn)行編號(hào)）：</p><p>　　賽區(qū)評(píng)閱記錄（可供賽區(qū)評(píng)閱時(shí)使用）：</p><p>　　全國統(tǒng)一編號(hào)（由賽區(qū)組委會(huì)送交全國

8、前編號(hào)）：</p><p>　　全國評(píng)閱編號(hào)（由全國組委會(huì)評(píng)閱前進(jìn)行編號(hào)）：</p><p>　　MERS傳播的數(shù)學(xué)模型的建立與分析</p><p><b>　　摘要</b></p><p>　　本文針對(duì)MERS的傳播建立了傳統(tǒng)的SIR倉室數(shù)學(xué)模型。</p><p>　　針對(duì)問題一，對(duì)附件一提供的

9、早期模型，認(rèn)為“傳染概率”的說法欠妥，傳染期限L的確定缺乏醫(yī)學(xué)上的支持，使模型的說服力降低。模型中借鑒廣東香港的參數(shù)來預(yù)測(cè)北京的疫情走勢(shì)，不失為一種方法。但在不同國家因政策，地域的不同，病毒的傳播和控制呈現(xiàn)不同的特點(diǎn)，使不同國家不同城市之間的可比性降低。而且由于MERS和SARS的治病機(jī)理不同，傳染率和死亡率不同，患病人數(shù)規(guī)模不同，所以對(duì)MERS的傳播分析，不能簡(jiǎn)單的套用附件一所用的模型。</p><p>　　針

10、對(duì)問題二，我們?cè)赪HO(World Health Orgnazation)的官方網(wǎng)站上查找到了韓國MERS疫情從2015年5月20日至2015年7月5日的詳細(xì)數(shù)據(jù)[1]。對(duì)MERS的傳播建立傳統(tǒng)的SIR倉室模型，采用最小二乘法擬合參數(shù)，利用MATLAB編程求解，畫出參數(shù)感染率的參數(shù)散點(diǎn)圖和參數(shù)移出率的散點(diǎn)圖</p><p>　　對(duì)第三個(gè)問題，本文研究對(duì)MERS疫情對(duì)韓國入境旅游收入的影響，建立了灰色預(yù)測(cè)GM（1，

11、1）模型。</p><p>　　關(guān)鍵字： SIR倉室模型 常微分方程參數(shù)擬合 灰色預(yù)測(cè)</p><p><b>　　1.問題重述</b></p><p>　　MERS（Middle East Respiratory Syndrome）病毒是一種新型的冠狀病毒，這種病毒已經(jīng)被命名為中東呼吸綜合征冠狀病毒，大多數(shù)MERS病毒

12、感染病例發(fā)生在沙特。</p><p>　　2015年，MERS在韓國又有新一輪的爆發(fā)和蔓延，給韓國的經(jīng)濟(jì)發(fā)展和人民生活帶來了較大影響。對(duì)MERS 的傳播建立數(shù)學(xué)模型，具體要求如下：</p><p>　?。?）對(duì)附件所提供的一個(gè)SARS傳播的早期模型，請(qǐng)對(duì)其評(píng)價(jià)是否適用MERS。</p><p>　?。?）收集MERS的韓國疫情數(shù)據(jù)，建立MERS傳播的數(shù)學(xué)模型，說明優(yōu)

13、于附件1中的模型的原因；特別要說明怎樣建立一個(gè)真正能夠預(yù)測(cè)以及能為預(yù)防和控制提供可靠、足夠的信息的模型。對(duì)于衛(wèi)生部門所采取的措施做出評(píng)論，如：提前或延后n天采取嚴(yán)格的隔離措施，對(duì)疫情傳播所造成的影響做出估計(jì)。</p><p>　?。?）收集MERS對(duì)韓國旅游方面影響的數(shù)據(jù)，建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型并進(jìn)行預(yù)測(cè)。</p><p><b>　　2.模型假設(shè)</b></p&g

14、t;<p>　　1.假設(shè)一個(gè)MERS康復(fù)者不會(huì)二度感染，他們已退出傳染體系，因此將其歸為“退出者”；</p><p>　　2.模型不考慮所研究這段時(shí)間內(nèi)的自然出生率和死亡率，MERS引起的死亡人數(shù)歸為“退出者”；</p><p>　　3.假設(shè)在疾病傳播期內(nèi)所考察地區(qū)總?cè)藬?shù)視為常數(shù)；</p><p>　　4.假設(shè)每個(gè)病人單位時(shí)間有效接觸的人數(shù)為常數(shù)；&l

15、t;/p><p>　　5. 假設(shè)韓國在MERS疫情流行期間和結(jié)束之后，旅游業(yè)數(shù)據(jù)的變化只與MERS疫情的影響有關(guān)，不考慮其它隨機(jī)因素的影響。</p><p><b>　　3.變量說明</b></p><p>　?。罕硎疽赘腥救巳?(susceptible)占總?cè)藬?shù)的比例；</p><p>　??；表示感染人群(infected

16、)占總?cè)藬?shù)的比例；</p><p>　?。罕硎疽瞥鋈巳赫伎?cè)藬?shù)的比例；</p><p>　?。罕硎靖腥菊邔?duì)易感染者有效感染的感染率；</p><p>　　：表示移出率，即移出者的增加率</p><p>　?。罕硎镜趥€(gè)單位時(shí)間的旅游業(yè)的收益；</p><p>　　表示在個(gè)單位時(shí)間時(shí)的累積旅游業(yè)的收益；</p>

17、<p>　?。?稱為系統(tǒng)發(fā)展灰數(shù)；</p><p><b>　?。悍Q為內(nèi)生控制變量</b></p><p>　　4.對(duì)早期模型的評(píng)價(jià)</p><p>　　附件1的模型主要采用“數(shù)據(jù)擬合”和“借鑒參數(shù)”的方法對(duì)北京疫情走勢(shì)進(jìn)行預(yù)測(cè)。</p><p>　　在數(shù)據(jù)擬合方面，該模型中有兩個(gè)疑點(diǎn)：</p>

18、<p>　　1、感染期限L的確定。由于被嚴(yán)格隔離、治愈、死亡等原因，感染者在某一時(shí)段后不再具有對(duì)易感人群的傳染力，故對(duì)病毒的傳染加上感染期限是合理的。但在對(duì)該參數(shù)的確定上，作者為了較好地?cái)M合各階段的數(shù)據(jù) ,通過人為調(diào)試來確定L的取值，缺乏醫(yī)學(xué)上的支持，使模型的說服力減弱，合理性和可靠性大大降低。</p><p>　　2、文中認(rèn)為“K代表某種環(huán)境下一個(gè)人傳染他人的平均概率”。但從模型的公式中可以看出，

19、參數(shù)K的實(shí)際意義是一個(gè)病人平均每天傳染其他人的個(gè)數(shù)。兩者之間有實(shí)質(zhì)的區(qū)別，文中的說法顯然不妥。</p><p>　　從預(yù)測(cè)思想來看，該模型是借鑒先發(fā)地區(qū)——廣東、香港的有關(guān)參數(shù)對(duì)北京的疫情進(jìn)行預(yù)測(cè)的。由于廣東、香港的疫情和控制都在北京之前，已經(jīng)過了高峰期，到5月8日為止每日新增病例已降至10來例，基本處于后期控制階段。而當(dāng)時(shí)北京的疫情剛過了高峰期，正處于社會(huì)劇烈調(diào)整時(shí)期，數(shù)據(jù)較為凌亂，略有下降趨勢(shì)，但不明顯。可見

20、在當(dāng)時(shí)，采取這種借鑒是無奈之舉。</p><p>　　但是由于城市之間的政策，風(fēng)俗習(xí)慣等不同，城市之間的可比性不強(qiáng)，借鑒存在很大的局限性。如在香港，由于對(duì)傳播機(jī)制認(rèn)識(shí)不足，中途又出現(xiàn)高度感染的特殊情況。另外使用借鑒法無法對(duì)首發(fā)城市進(jìn)行預(yù)測(cè)。</p><p>　　MERSS和SARS又有許多不同, 例如，MERS的病死率約為40.7%，傳染性沒有SARS強(qiáng)，但SARS的病死率為14%-15%

21、，低于MERS，傳染性則強(qiáng)于MERS。MERS和SARS治病機(jī)理不同，傳染率死亡率不同，病毒潛伏時(shí)間也不同，所以不能簡(jiǎn)單的套用附件所給模型來分析和預(yù)測(cè)MERS的傳播。</p><p>　　5.模型的建立與求解</p><p>　　問題2的模型建立與求解</p><p>　　5.1.1 問題2的模型思路</p><p>　　對(duì)于傳染病感染區(qū)，

22、由于為了避免傳染病的更大的擴(kuò)散，一方面政府會(huì)對(duì)人口的流動(dòng)做出限制，另一方面?zhèn)€人由于對(duì)傳染病的警惕也不會(huì)進(jìn)入感染區(qū)，所以，感染區(qū)人口流動(dòng)很小。即可把它看作一個(gè)封閉區(qū)，則可以建立SIR倉室模型[2],里面的總?cè)藬?shù)不變，里面的人分類為：</p><p>　　易感染者:即正常人，但可能會(huì)被感染。</p><p>　　感染者：已經(jīng)感染這種病的人，可以傳染給周圍的人。</p><p

23、>　　移出者：包括感染者中死亡的人，感染者中自愈的人和先天對(duì)這種病毒有免疫的人，他們將不在受這種傳染病的影響。</p><p>　　5.1.2 問題2的模型建立</p><p>　　根據(jù)傳染病的感染而致的各類人口比例的變化可以建立微分方程。這里用表示易感染人群 (susceptible)的比例關(guān)于時(shí)間的函數(shù)，同樣用表示感染人群(infected)的比例關(guān)于時(shí)間的函數(shù)，用表示移出人群的

24、比例關(guān)于時(shí)間的函數(shù)。</p><p>　　方程一：根據(jù)感染人群比例增長相等，可建立如下方程：</p><p><b>　　(1) </b></p><p>　　這里表示感染者對(duì)易感染者有效感染的感染率，即單位時(shí)間內(nèi)單位病人傳染的人數(shù)與易感者之比值；表示移出率，即單位時(shí)間內(nèi)移出者占染病者的比率；表示感染者比例關(guān)于時(shí)間的函數(shù)；表示易感染人者比例關(guān)于

25、時(shí)間的函數(shù)。</p><p>　　方程二：根據(jù)易感染者比例減少相等，可建立如下方程：</p><p><b>　　(2)</b></p><p>　　方程三：根據(jù)移出者的增長相等，建立如下方程：</p><p><b>　　(3)</b></p><p>　　這里表示移出者比

26、例關(guān)于時(shí)間的函數(shù)。</p><p>　　方程四：易感染者比例，感染者比例和移出者比例之和恒為1：</p><p><b>　　(4)</b></p><p><b>　　綜上：</b></p><p><b>　　(5)</b></p><p>　　5.

27、1.3問題2的模型求解</p><p>　　5.2.1問題2的模型微分方程初始值確定</p><p>　　我們統(tǒng)計(jì)的數(shù)據(jù)是從2015年5月20日到2015年7月7日的數(shù)據(jù)（見表一），共計(jì)49天，對(duì)于移除者比例，在病情開始沒有死亡人數(shù)，也沒有治愈人數(shù)，所以移除者比例的初始條件，對(duì)于感染者比例，根據(jù)數(shù)據(jù)看出開始只有1人，所以感染者比例的初始條件，對(duì)于易感染者的初始條件可有算出，即。</p

28、><p>　　表一 對(duì)MERS疫情每天數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)</p><p>　　5.2.2問題2的模型參數(shù)擬合</p><p>　　對(duì)于模型上的參數(shù)感染率和移出率受很多因素影響，很顯然不是一個(gè)常數(shù)。但是對(duì)于不是常數(shù)的參數(shù)很難擬合，所以，我們把所采集的數(shù)據(jù)（見表一）分為適當(dāng)個(gè)組，把每個(gè)組的參數(shù)看作常數(shù)，這樣就很方便擬合出每個(gè)組的參數(shù)，最后再綜合各個(gè)組擬合的參數(shù)，把參數(shù)擬合成關(guān)于自變

29、量時(shí)間的函數(shù)（當(dāng)然這里的組數(shù)分得越多則參數(shù)擬合得更加精確）。這樣就完整擬合出了每個(gè)時(shí)刻的參數(shù)值。</p><p>　　對(duì)于每個(gè)組的參數(shù)擬合，根據(jù)參數(shù)感染率的定義（單位時(shí)間內(nèi)單位病人傳染的人數(shù)與易感者之比值）而易感染人數(shù)遠(yuǎn)大于單位病人傳染人數(shù)，所以。移出率（單位時(shí)間內(nèi)移出者占染病者的比率）同樣可以得知，所以可以定兩個(gè)參數(shù)的范圍都在0到1之間，這里可以用嘗試參數(shù)值去逼近最佳參數(shù)，具體步驟如下：</p>

30、<p>　　Step1：因?yàn)槟Ｐ偷膮?shù)感染率和移出率范圍都在0到1之間，這里我們先用0.1的梯度把參數(shù)分成（0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9）九個(gè)值，兩個(gè)參數(shù)共組成81組值。</p><p>　　Step2：把分成的每組參數(shù)值代入模型的微分方程組，用matlab中的函數(shù)可算出一個(gè)數(shù)值解。</p><p>　　Step3：用上面求出來的函數(shù)計(jì)算

31、出的值和實(shí)際值作差計(jì)算平方和（即最小二乘法），找出所有組參數(shù)值中最小的二乘數(shù)，即那組的感染率和移出率就是在梯度0.1下的最佳參數(shù)值。</p><p>　　Step4：畫出已經(jīng)計(jì)算出來的函數(shù)圖，與實(shí)際數(shù)據(jù)的函數(shù)圖對(duì)比，如果相差太遠(yuǎn)這進(jìn)行下一步，反之轉(zhuǎn)到Step7。</p><p>　　Step5：為了更加靠近最終的參數(shù)最佳值，這里再在上次擬合出來的參數(shù)值左右一個(gè)梯度的范圍再以上次梯度的0.1

32、倍進(jìn)行參數(shù)再分組。例如：假設(shè)上次算出來的最佳感染率=0.5移出率=0.2，這次的參數(shù)范圍就是 ，這次就用0.01的梯度把參數(shù)分為20組參數(shù)。</p><p>　　Step6：回到Step2。</p><p>　　Step7：到了這里我們已經(jīng)算出了一組數(shù)據(jù)的最佳參數(shù)值。然后重復(fù)以上步驟，算出每組數(shù)據(jù)的最佳參數(shù)值。</p><p>　　Step8：根據(jù)各組數(shù)據(jù)的最佳參

33、數(shù)值畫出參數(shù)值得散點(diǎn)圖，擬合成適應(yīng)函數(shù)。到這里，全部參數(shù)擬合結(jié)束。</p><p>　　算法流程圖如圖一所示：</p><p><b>　　圖1 算法流程圖</b></p><p>　　根據(jù)以上算法用matlab編程（程序見附件一），可以畫出參數(shù)感染率的參數(shù)散點(diǎn)圖（見圖2）和參數(shù)移出率的散點(diǎn)圖（見圖3）。[程序沒有寫出來，沒有結(jié)果]</p

34、><p>　　5.3問題3的模型建立與求解</p><p>　　5.3.1問題3的模型建立</p><p>　　對(duì)于問題3，MERS疫情對(duì)韓國入境旅游游客人數(shù)的影響，這里建立了一階一元灰色預(yù)測(cè)模型GM(1，1)，對(duì)旅游入境旅游游客人數(shù)進(jìn)行預(yù)測(cè)。</p><p>　　以單位是表示的時(shí)間序列就為：</p><p><b&

35、gt;　　(6)</b></p><p>　　這里表示第個(gè)單位時(shí)間的韓國入境旅游游客人數(shù)</p><p><b>　　令：</b></p><p><b>　　(7)</b></p><p>　　即通過上面公式（7）累積形成新的列：</p><p><b&g

36、t;　　(8)</b></p><p>　　這里表示表示在個(gè)單位時(shí)間時(shí)的韓國累積入境旅游的游客人數(shù)</p><p>　　則可以建立GM(1,1)模型：</p><p><b>　　(9)</b></p><p><b>　　這里</b></p><p><b

37、>　　(10)</b></p><p>　　稱為系統(tǒng)發(fā)展灰數(shù)，稱為內(nèi)生控制變量。</p><p>　　5.3.2問題3的模型求解</p><p><b>　　確定參數(shù)：</b></p><p>　　可利用一階微分方程的解法求得其解，然后將（7）式代入，使用最小二乘法，便可以得出：</p>

38、<p><b>　　(11)</b></p><p><b>　　其中：</b></p><p><b>　　(12)</b></p><p><b>　　(13)</b></p><p>　　生成列可以按以下公式計(jì)算出：</p>

39、<p><b>　　(14)</b></p><p><b>　　其中，。</b></p><p><b>　　計(jì)算預(yù)測(cè)：</b></p><p>　　根據(jù)采集的數(shù)據(jù)（見表2），可以通過以上公式（11）可以用matlab算出參數(shù)，然后用matlab解出微分方程。</p><

40、;p>　　表 2 2015年韓國旅游各月份的游客數(shù)</p><p>　　6、模型的分析、推廣與改進(jìn)</p><p>　　要真正建立能夠預(yù)測(cè)以及能為預(yù)防和控制提供可靠，足夠的信息的模型。要怎樣做，以及困難。事實(shí)上，真正情況要比我們的模型復(fù)雜的多，比如，由于初期傳播機(jī)理不明，醫(yī)護(hù)人員為收到好的保護(hù)，很多受到傳染。而傳播率事實(shí)上也是按照某種趨勢(shì)變化的，他與人們的警惕心理等因素有關(guān)。<

41、;/p><p>　　要建立這樣的模型，我們認(rèn)為：</p><p>　　1、要不斷的研究傳染病理，完善模型。</p><p>　　2、建立實(shí)時(shí)反饋機(jī)制，不斷修改模型參數(shù)，以求更準(zhǔn)確的預(yù)測(cè)以后的數(shù)據(jù)。</p><p>　　3、盡量以實(shí)際的研究數(shù)據(jù)建模，力求準(zhǔn)確反映事件的實(shí)質(zhì)。這樣，當(dāng)人為修改參數(shù)進(jìn)行模擬預(yù)測(cè)時(shí)，可以為采取什么措施效果最好做出較準(zhǔn)確的建

42、議。</p><p>　　4、研究各種措施實(shí)際對(duì)疾病傳播的影響。</p><p>　　要做到這些，也恰恰是建模的難點(diǎn)，因?yàn)楫?dāng)涉及到新的傳染病的時(shí)候，以上數(shù)據(jù)或參數(shù)都必須通過長期的研究或擬合才能得到的。比如措施對(duì)疾病傳播的影響，是要統(tǒng)計(jì)大量實(shí)際數(shù)據(jù)才能獲得的。以上也可以看作我們模型的改進(jìn)方向。</p><p><b>　　7、參考文獻(xiàn)</b>&l

43、t;/p><p>　　[1]世界衛(wèi)生組織. http://www.who.int/csr/disease/coronavirus_infections/MERS-CoV-cases-rok-21Jul15.xlsx?ua=1</p><p>　　[2] 周寧 李林，基于灰色微分方程的傳染病預(yù)測(cè)，http://www.cnki.com.cn/Article/CJFDTotal-LLYY2014

44、04016.htm，2015.07.29</p><p><b>　　8、附錄</b></p><p><b>　　附件1：</b></p><p><b>　　附件2：</b></p><p>　　y= dsolve('Dy=81.9185-0.1852*y

45、','y(1)=52','t') y = 819185/1852 - (722881*exp(-(463*t)/2500)*exp(463/2500))/1852 >> x=81.9185-0.5*0.1852*((819185/1852 - (722881*exp(-(463*t)/

46、2500)*exp(463/2500))/1852)+(819185/1852 - (722881*exp(-(463*(t-1))/2500)*exp(463/2500))/1852)) >> x >> t=[1 2 3 4 5 6 7 8]t = &

47、#160;   1     2     3     4     5     6     7 

48、0;   8>> x=81.9185-0.5*0.1852*((819185/1852 - (722881*exp(-(463*t)/2500)*exp(463/2500))/1852)+(819185/1852 - (722881*exp(-(463*(t-1))/2500)*exp(46</p><p>　　y=&

49、#160;dsolve('Dy=81.9185-0.1852*y','y(1)=52','t') y = 819185/1852 - (722881*exp(-(463*t)/2500)*exp(463/2500))/1852t=[1 2 3 4 5 6 7 8

50、]t =     1     2     3     4     5     6   

51、60; 7     8>> x=81.9185-0.5*0.1852*((819185/1852 - (722881*exp(-(463*t)/2500)*exp(463/2500))/1852)+(819185/1852 - (722881*exp(-(463*(t-1))/2500)*exp(463/2500

52、))/1852))x =   79.6419   66.1775   54.9894   45.6928   37.9679   31.5490   26.2152   21.783