畢業(yè)論文-帶余除法及其應(yīng)用研究

1、<p>　　學(xué)校代碼: 11059 </p><p>　　學(xué) 號(hào):1107011032</p><p>　　Hefei University</p><p><b>　　畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）</b></p><p>　　BACHELOR DISSERTATION</p><p>　

2、　論文題目: 帶余除法及其應(yīng)用研究 </p><p>　　學(xué)位類(lèi)別: 理學(xué)學(xué)士 </p><p>　　學(xué)科專(zhuān)業(yè): 信息與計(jì)算科學(xué) </p><p>　　作者姓名: 孟飛飛 </p>&

3、lt;p>　　導(dǎo)師姓名: 余海峰 </p><p>　　完成時(shí)間: 2015年05月03日 </p><p>　　帶余除法及其應(yīng)用研究</p><p><b>　　摘要</b></p><p>　　本文的主旨思想是帶余除法的簡(jiǎn)單介紹以

4、及帶余除法在日常生活中的應(yīng)用，整片論文都圍繞帶余除法來(lái)展開(kāi)論述，先是介紹帶余除法的來(lái)源及課題意義，然后通過(guò)整數(shù)的帶余除法和多項(xiàng)式的帶余除法讓大家對(duì)帶余除法的應(yīng)用有一個(gè)更深的認(rèn)識(shí)。最后通過(guò)實(shí)例來(lái)展現(xiàn)其在應(yīng)用研究中所起到的作用。</p><p>　　本文的正文是介紹整數(shù)和多項(xiàng)式的帶余除法，從這二個(gè)層面可以認(rèn)識(shí)到帶余除法是一種普遍應(yīng)用于生活中的思想。可以這樣說(shuō)多項(xiàng)式的帶余除法是整數(shù)帶余除法的推廣，所以有必要對(duì)整數(shù)帶余除

5、法進(jìn)行介紹，多項(xiàng)式的帶余除法中將涉及輾轉(zhuǎn)相除法的介紹，整除的基本概念與基本性質(zhì)、最大公因式、公共根、重根以及一元多項(xiàng)式矩陣的相關(guān)性質(zhì)。下面就開(kāi)始進(jìn)入本文的正題吧!</p><p>　　關(guān)鍵詞：一元多項(xiàng)式 帶余除法 輾轉(zhuǎn)相除法 最大公因式 一元多項(xiàng)式矩陣</p><p>　　With more than division and its application research<

6、;/p><p><b>　　abstract</b></p><p>　　Purpose of this article is more than with division of simple introduction, and with the application of the division in the daily life, the whole piece

7、 of paper around with yu to discourse upon the division, first introduced more than with the source of the division and the topic significance, and then through more than more than with division and polynomial with integ

8、er division let everybody to take over the application of the division has a deeper understanding. Finally by an example to show i</p><p>　　The body of this paper is to introduce more than integer and polyno

9、mial division, from the two aspects can be realized with residual division is a common used in the life of thought. More than can say this polynomial with division is the development of more than integer with division, s

10、o it is necessary to carry out more than integer with division, polynomial with residual division will involve division algorithm is introduced, the basic concept of divisible and basic properties, the biggest com</p&

11、gt;<p>　　Keywords: more than one yuan polynomial division Division algorithm The greatest common factor is one yuan polynomial matrix</p><p><b>　　目錄</b></p><p><b>　　第一章

12、 前言5</b></p><p>　　1.1 研究背景5</p><p>　　1.2 課題意義7</p><p>　　第二章 整數(shù)的帶余除法8</p><p>　　2.1 整數(shù)帶余除法的解釋及證明8</p><p>　　2.2 整數(shù)帶余除法的一些性質(zhì)9</p><p>

13、　　2.3最大公約數(shù)與輾轉(zhuǎn)相除法9</p><p>　　2.4 整除的進(jìn)一步性質(zhì)與最小公倍數(shù)10</p><p>　　第三章多項(xiàng)式的帶余除法12</p><p>　　3.1多項(xiàng)式帶余除法的定理及其證明12</p><p>　　3.2 帶余除法的二種計(jì)算格式13</p><p>　　3.2.1 普通除法（長(zhǎng)除

14、法）13</p><p>　　3.2.2 豎式除法13</p><p>　　3.2.3 綜合除法14</p><p>　　第四章 帶余除法在解題中的應(yīng)用15</p><p>　　4.1 有關(guān)兩個(gè)多項(xiàng)式除法與整除關(guān)系問(wèn)題15</p><p>　　4.2 輾轉(zhuǎn)相除法是帶余除法的特殊應(yīng)用16</p>

15、<p>　　4.2.1 輾轉(zhuǎn)相除法計(jì)算兩個(gè)多項(xiàng)式的最大公因式及它們與最大公因式的組合關(guān)系16</p><p>　　4.2.2 求兩個(gè)多項(xiàng)式的公共根18</p><p>　　4.2.3 解有關(guān)多項(xiàng)式的重根，重因式問(wèn)題18</p><p>　　4.3 求函數(shù)值f(a)18</p><p>　　4.4 解有關(guān)有理數(shù)域上的因式分

16、解及有理根19</p><p>　　4.5 帶余除法在矩陣多項(xiàng)式中的應(yīng)用20</p><p>　　4,5.1 關(guān)于矩陣多形式可逆的判定20</p><p>　　4.5.2 有關(guān)矩陣最小多項(xiàng)式的問(wèn)題21</p><p><b>　　參考文獻(xiàn)23</b></p><p><b>　

17、　致 謝24</b></p><p><b>　　第一章 前言</b></p><p><b>　　1.1 研究背景 </b></p><p>　　帶余除法（也稱(chēng)為歐幾里德除法）是數(shù)學(xué)中的一種基本算術(shù)計(jì)算方式。給定一個(gè)被除數(shù)a和一個(gè)除數(shù)b，帶余除法給出一個(gè)整數(shù)q和一個(gè)介于一定范圍的余數(shù)r，使得該等式成立：

18、a = bq + r。一般限定余數(shù)的范圍在0與b之間，也有限定在-b/2與b/2之間。這樣的限定都是為了使得滿(mǎn)足等式的q有且僅有一個(gè)。這時(shí)候的q稱(chēng)為帶余除法的商。帶余除法一般表示為：a / b=q … r 。表達(dá)為：“a除以b等于q，余r”。最常見(jiàn)的帶余除法是整數(shù)與整數(shù)的帶余除法（被除數(shù)a和除數(shù)b都是整數(shù)），但實(shí)數(shù)與整數(shù)乃至實(shí)數(shù)與實(shí)數(shù)的帶余除法也有應(yīng)用。對(duì)一般的抽象代數(shù)系統(tǒng)，能夠進(jìn)行帶余除法的都是具有歐幾里德性質(zhì)的系統(tǒng)。如果余數(shù)為零，則

19、稱(chēng)b整除a。一般約定除數(shù)b不能為0.</p><p>　　帶余除法的計(jì)算有長(zhǎng)久的歷史，有各種計(jì)算工具和計(jì)算方法。最常用的是長(zhǎng)除法（豎式除法）。帶余除法在數(shù)論中有不少用途，比如說(shuō)輾轉(zhuǎn)相除法的基本步驟就是帶余除法。 </p><p>　　在數(shù)學(xué)中，輾轉(zhuǎn)相除法，又稱(chēng)歐幾里得算法，是求最大公約數(shù)的算法。輾轉(zhuǎn)相除法首次出現(xiàn)于歐幾里得的《幾何原本》（第VII卷，命題i和ii）中，而在中國(guó)則可以追溯至東

20、漢出現(xiàn)的《九章算術(shù)》。</p><p>　　兩個(gè)整數(shù)的最大公約數(shù)是能夠同時(shí)整除它們的最大的正整數(shù)。輾轉(zhuǎn)相除法基于如下原理：兩個(gè)整數(shù)的最大公約數(shù)等于其中較小的數(shù)和兩數(shù)的差的最大公約數(shù)。例如，252和105的最大公約數(shù)是21（252=21×12；105=21×5）；因?yàn)?52?105=21× (12?5) =147，所以147和105的最大公約數(shù)也是21。在這個(gè)過(guò)程中，較大的數(shù)縮小了，所

21、以繼續(xù)進(jìn)行同樣的計(jì)算可以不斷縮小這兩個(gè)數(shù)直至其中一個(gè)變成零。這時(shí)，所剩下的還沒(méi)有變成零的數(shù)就是兩數(shù)的最大公約數(shù)。由輾轉(zhuǎn)相除法也可以推出，兩數(shù)的最大公約數(shù)可以用兩數(shù)的整數(shù)倍相加來(lái)表示，如21=5×105+ (?2)×252。這個(gè)重要的結(jié)論叫做裴蜀定理。</p><p>　　輾轉(zhuǎn)相除法最早出現(xiàn)在歐幾里得的《幾何原本》中（大約公元前300年），所以它是現(xiàn)行的算法中歷史最悠久的。這個(gè)算法原先只用來(lái)處理

22、自然數(shù)和幾何長(zhǎng)度（相當(dāng)于正實(shí)數(shù)），但在19世紀(jì)，輾轉(zhuǎn)相除法被推廣至其他類(lèi)型的數(shù)學(xué)對(duì)象，如高斯整數(shù)和一元多項(xiàng)式。由此，引申出歐幾里得整環(huán)等等的一些現(xiàn)代抽象代數(shù)概念。后來(lái)，輾轉(zhuǎn)相除法又?jǐn)U展至其他數(shù)學(xué)領(lǐng)域，如紐結(jié)理論和多元多項(xiàng)式。</p><p>　　輾轉(zhuǎn)相除法有很多應(yīng)用，它甚至可以用來(lái)生成全世界不同文化中的傳統(tǒng)音樂(lè)節(jié)奏。在現(xiàn)代密碼學(xué)方面，它是RSA算法（一種在電子商務(wù)中廣泛使用的公鑰加密算法）的重要部分。它還被用來(lái)解

23、丟番圖方程，比如尋找滿(mǎn)足中國(guó)剩余定理的數(shù)，或者求有限域中元素的逆。輾轉(zhuǎn)相除法還可以用來(lái)構(gòu)造連分?jǐn)?shù)，在施圖姆定理和一些整數(shù)分解算法中也有應(yīng)用。輾轉(zhuǎn)相除法是現(xiàn)代數(shù)論中的基本工具。 </p><p>　　輾轉(zhuǎn)相除法處理大數(shù)時(shí)非常高效，如果用除法而不是減法實(shí)現(xiàn)，它需要的步驟不會(huì)超過(guò)較小數(shù)的位數(shù)（十進(jìn)制下）的五倍。拉梅于1844年證明了這點(diǎn)，同時(shí)這也標(biāo)志著計(jì)算復(fù)雜性理論的開(kāi)端。 </p><p>　

24、　輾轉(zhuǎn)相除法是目前仍然在使用的歷史最悠久的算法之一。它首次出現(xiàn)于《幾何原本》（卷7命題1–2、卷10命題2–3）（大約公元前300年）。在卷7中用于整數(shù)，在卷10中用于線(xiàn)段的長(zhǎng)度（以現(xiàn)代的觀點(diǎn)看，線(xiàn)段的長(zhǎng)度可視為正實(shí)數(shù)，也就是說(shuō)輾轉(zhuǎn)相除法實(shí)際可用于實(shí)數(shù)上，但是當(dāng)時(shí)未有實(shí)數(shù)的概念）。卷10中出現(xiàn)的算法是幾何的，兩段線(xiàn)段a和b的最大公約數(shù)是a和b的公度中的最大值。</p><p>　　這個(gè)算法可能并非歐幾里得發(fā)明，因

25、為他也有將先前其他數(shù)學(xué)家的一些成果編進(jìn)他的《幾何原本》。數(shù)學(xué)家、歷史學(xué)家范德瓦爾登（英語(yǔ)：Bartel Leendert van der Waerden）認(rèn)為卷7的內(nèi)容可能來(lái)自畢達(dá)哥拉斯學(xué)院出身的數(shù)學(xué)家寫(xiě)的關(guān)于數(shù)論的教科書(shū)。輾轉(zhuǎn)相除法在當(dāng)時(shí)很可能已為尤得塞斯（大約公元前375年）所知 ，甚至可能更早之前就已經(jīng)存在，因?yàn)闅W幾里得和亞里士多德的著作中都出現(xiàn)了?νθυφα?ρεσι?一詞（意為

26、“輾轉(zhuǎn)相減”）。</p><p>　　幾個(gè)世紀(jì)之后，輾轉(zhuǎn)相除法又分別被中國(guó)人和印度人獨(dú)立發(fā)現(xiàn)，主要用來(lái)解天文學(xué)中用到的丟番圖方程以及制定準(zhǔn)確的歷法。5世紀(jì)末，印度數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家阿里亞哈塔曾稱(chēng)輾轉(zhuǎn)相除法為“粉碎機(jī)”，這可能是因?yàn)樗诮鈦G番圖方程時(shí)很有效。在中國(guó)，《九章算術(shù)》中提到了一種類(lèi)似輾轉(zhuǎn)相減法的“更相減損術(shù)”。《孫子算經(jīng)》中則出現(xiàn)了中國(guó)剩余定理的一個(gè)特例，但是直到1247年秦九韶才于其《數(shù)學(xué)九章》中解答了該

27、定理的一般情況，當(dāng)中用到了他發(fā)明的大衍求一術(shù)。此法的其中一部分實(shí)際上便是輾轉(zhuǎn)相除的原理，秦九韶在書(shū)中對(duì)此有明確表述。在歐洲，輾轉(zhuǎn)相除法首次出現(xiàn)于克勞德·巴希特（英語(yǔ)：Claude Gaspard Bachet de Méziriac）的著作《愉悅討喜的問(wèn)題》（Problèmes plaisants et délectables）

28、的第二版在歐洲，輾轉(zhuǎn)相除法被用于丟番圖方程和構(gòu)建連分?jǐn)?shù)。后來(lái)，英國(guó)數(shù)學(xué)家桑德森（英語(yǔ)：Nicholas Saunderson）在其著作中收編了擴(kuò)展歐幾里得算法，作為一個(gè)有效計(jì)算連分?jǐn)?shù)的方法。他將此法的來(lái)源歸名于羅杰·科茨（英語(yǔ)：Roger Cotes）。 </p><p>　　19世紀(jì)，輾轉(zhuǎn)相除法促成了新數(shù)系的建立，如高斯整數(shù)和艾森斯坦整數(shù)。1815年，高斯用輾轉(zhuǎn)相除法證明高斯整數(shù)的

29、分解是惟一的，盡管他的研究到了1832年才首度發(fā)表。高斯在他的《算數(shù)研究》（出版于1801年）中實(shí)際上也有援引這個(gè)算法，但僅是以連分?jǐn)?shù)方法的形式敘述。約翰·狄利克雷是第一個(gè)將輾轉(zhuǎn)相除法作為數(shù)論的基礎(chǔ)的數(shù)學(xué)家。[來(lái)源請(qǐng)求]狄利克雷提出，數(shù)論中的很多結(jié)論，如分解的惟一性，在任何使輾轉(zhuǎn)相除法適用的數(shù)系中均有效。狄利克雷的數(shù)論講義后來(lái)經(jīng)理查德·戴德金編輯和推廣，戴德金也有以輾轉(zhuǎn)相除法來(lái)研究代數(shù)整數(shù)。比如，他是第一個(gè)用高斯整數(shù)

30、的分解惟一性證明費(fèi)馬平方和定理的數(shù)學(xué)家。戴德金還率先定義了歐幾里得整環(huán)的概念。19世紀(jì)末，戴德金所定義的理想概念使得數(shù)論的重心不必建基于輾轉(zhuǎn)相除法，從而促進(jìn)了理論的發(fā)展。 </p><p>　　輾轉(zhuǎn)相除法的其他應(yīng)用發(fā)展于19世紀(jì)。1829年，施圖姆將輾轉(zhuǎn)相除法用于施圖姆序列（用于確定多項(xiàng)式的不同實(shí)根的個(gè)數(shù)的方法）。</p><p>　　輾轉(zhuǎn)相除法是歷史上第一個(gè)整數(shù)關(guān)系算法（英語(yǔ)：integ

31、er relation algorithm），即尋找兩個(gè)可通約實(shí)數(shù)的整數(shù)關(guān)系的算法。近年來(lái)，出現(xiàn)了一些新穎的整數(shù)關(guān)系算法，如埃拉曼·弗格森（英語(yǔ)：Helaman Ferguson）和福爾卡德于1979年發(fā)表的弗格森-福爾卡德算法（Ferguson–Forcade algorithm） 、以及與它相關(guān)的LLL算法（英語(yǔ)：Lenstra–Lenstra–Lovász

32、60;lattice basis reduction algorithm）、HJLS算法以及PSLQ算法。</p><p>　　1969年，科爾（Cole）和戴維（Davie）基于輾轉(zhuǎn)相除法創(chuàng)造了一種二人游戲，叫做“歐幾里得游戲”。這個(gè)游戲有最優(yōu)策略。游戲開(kāi)始于兩列分別為a和b個(gè)棋子組成的序列，玩家輪流從較長(zhǎng)一列中取走較短一列棋子數(shù)量的m倍的棋子。如果兩列棋子p和q分別由x和y個(gè)棋子

33、組成，其中x大于y，那么玩家可以將序列p的棋子數(shù)量減少為自然數(shù)x ? my。最后率先將一列棋子清空的玩家勝出。 </p><p><b>　　1.2 課題意義</b></p><p>　　帶余除法，數(shù)學(xué)術(shù)語(yǔ)，廣泛應(yīng)用于數(shù)學(xué)之中。輾轉(zhuǎn)相除法的基本步驟就是帶余除法，輾轉(zhuǎn)相除法又稱(chēng)歐幾里得算法。帶余除法是小學(xué)到大學(xué)一直沿用的轉(zhuǎn)化方法，也是研究整數(shù)與多項(xiàng)式

34、的一個(gè)基本方法，在有關(guān)整數(shù)和多項(xiàng)式的其他問(wèn)題中還有更廣泛的應(yīng)用，雖然它的內(nèi)容簡(jiǎn)單，但它里面蘊(yùn)含的意義卻很深刻，只有對(duì)它的意思徹底了解，才能引申出在不同場(chǎng)合下的用法，在高中的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，許多知識(shí)點(diǎn)都會(huì)用到帶余除法，掌握了帶余除法，就多了種解決問(wèn)題的方法，也是多了條通往成功的途徑。</p><p>　　第二章 整數(shù)的帶余除法</p><p>　　整除是初等數(shù)論這一科目的基礎(chǔ)概念，而帶余數(shù)除法

35、是所有除法的一般形式，所以深度了解這種理論的該念、性質(zhì)和應(yīng)用是十分必要的。接下來(lái)我會(huì)通過(guò)整數(shù)的帶余除法來(lái)淺談帶余除法在數(shù)論這一科目的重要性，使我們能掌握帶余除法的精華，有助于以后的解題。</p><p>　　2.1 整數(shù)帶余除法的解釋及證明</p><p>　　對(duì)任意整數(shù)a，b且b≠0，存在唯一的數(shù)對(duì)q，r，使a=bq+r，其中0≤r|b|。這個(gè)事實(shí)稱(chēng)為帶余除法定理，是整除理論的基礎(chǔ)。若c

36、|a，c|b，則稱(chēng)c是a，b的公因數(shù)。若d是a，b的公因數(shù)，d≥0，且d可被a，b的任意公因數(shù)整除，則稱(chēng)d是a，b的最大公因數(shù)。若a，b的最大公因數(shù)等于1，則稱(chēng)a，b互素。累次利用帶余除法可以求出a，b的最大公因數(shù)，這種方法常稱(chēng)為輾轉(zhuǎn)相除法。又稱(chēng)歐幾里得算法。 </p><p>　　【存在性】設(shè)集合S={…，a-3b，a-2b，a-b，0，a+b，a+2b，a+3b，…}={a+bk: k是整數(shù)}記T為

37、S和自然數(shù)集的交集，T非空，由自然數(shù)集的良序性，知T中有一最小元素t。設(shè)t=a-bq，q為整數(shù)。則a-bq≥0。現(xiàn)假設(shè)a-bq≥|b|，但這樣便有a-b(q±1)≥0成立（b為正數(shù)時(shí)取加號(hào)，負(fù)數(shù)時(shí)取減號(hào)），且a-b(q±1)≤a-bq。這違反了t是最小元素這一事實(shí)，於是a-bq<|b|。令r=a-qb，即證存在性。</p><p>　　【唯一性】設(shè)q1、r1是滿(mǎn)足a=bq+r，0≤r&l

38、t;|b|的另一對(duì)整數(shù)，因?yàn)閎q1+r1=bq+r，于是b(q-q1)=r1-r故|b||q-q1|=|r1-r|由于r及r1都是小于b的非負(fù)整數(shù)，所以上式右邊是小于|b|的。如果q≠q1，則上式左邊≥|b|，這是不可能的。所以q=q1， r=r1，即證唯一性。 </p><p>　　2.2 整數(shù)帶余除法的一些性質(zhì)</p><p>　　(ⅰ) ba b a；</p>

39、;<p>　　(ⅱ) c b，ba ca；</p><p>　　(ⅲ) bai，i = 1, 2, …, n ba1q1 a2q2 … anqn，此處qi（i = 1, 2, , n）是任意的整數(shù)；</p><p>　　(ⅳ) ba bcac，此處c是任意的非零整數(shù)；</p><p>　　(ⅴ) ba，a 0 |b||a|；ba且|a

40、|<|b| a = 0。</p><p>　　2.3最大公約數(shù)與輾轉(zhuǎn)相除法</p><p><b>　　一、有關(guān)概念</b></p><p>　　1、公因數(shù)及個(gè)數(shù)，總和；</p><p><b>　　2、最大公約數(shù)；</b></p><p><b>　　3、互

41、質(zhì)數(shù)；</b></p><p><b>　　4、兩兩互質(zhì)；</b></p><p><b>　　二、輾轉(zhuǎn)相除法</b></p><p>　　定理1：設(shè)a，b，c是不全為0的整數(shù)，且a=bq+c，q為整數(shù)</p><p>　　則（1）a，b與b，c有相同的公因數(shù)； </p>

42、<p>　?。?）(a，b)=(b，c)</p><p>　　定理2：設(shè)為正整數(shù)，則</p><p>　　推論：的公因數(shù)與的因數(shù)相同。</p><p>　　三、最大公因數(shù)的性質(zhì)</p><p><b>　　1、為正整數(shù)</b></p><p><b>　　2、為的公因數(shù)<

43、/b></p><p><b>　　3、</b></p><p><b>　　4、設(shè)， ，</b></p><p><b>　　則</b></p><p>　　2.4 整除的進(jìn)一步性質(zhì)與最小公倍數(shù)</p><p>　　一、整除的進(jìn)一步性質(zhì)</

44、p><p>　　定理1：設(shè)為任意的正整數(shù)，則</p><p><b>　　其中，</b></p><p>　　推論：設(shè)為任意兩個(gè)不全為0的整數(shù)，則存在兩個(gè)整數(shù)使得</p><p><b>　　成立，反之不成立。</b></p><p><b>　　例如 有<

45、;/b></p><p>　　定理2： 存在整數(shù)使得</p><p>　　推論1：設(shè)為整數(shù)，且，則</p><p>　?。?）與有相同的公因數(shù)；</p><p><b>　?。?）</b></p><p><b>　　推論2：若，且則</b></p>&l

46、t;p>　　推論3：若是兩組任意的整數(shù)，且，</p><p><b>　　則（）=1</b></p><p><b>　　二、最小公倍數(shù)</b></p><p><b>　　1、定義： </b></p><p><b>　　2、說(shuō)明： ；</b>&

47、lt;/p><p><b>　?。?lt;/b></p><p>　　關(guān)系：公倍數(shù)與最小公倍數(shù)的關(guān)系；</p><p>　　最小公倍數(shù)與最大公因數(shù)的關(guān)系；</p><p>　　例如 1 當(dāng)時(shí)，則</p><p>　　2 若都是正整數(shù)，且，則</p><p><b>　　3

48、 ，</b></p><p><b>　　4 若，則</b></p><p>　　3、多個(gè)整數(shù)的最小公倍數(shù)的求法如何？</p><p><b>　　， ，</b></p><p><b>　　則</b></p><p><b>　　

49、多項(xiàng)式的帶余除法</b></p><p>　　帶余除法是高等代數(shù)最基本的概念之一，通過(guò)查找相關(guān)資料了解到整數(shù)和一元多項(xiàng)式的帶余除法有著相同的思想。即在進(jìn)行整數(shù)和多項(xiàng)式的除法運(yùn)算是少不了要使用輾轉(zhuǎn)相除法，而輾轉(zhuǎn)相除法的基本步驟就是帶余除法。本章將討論多項(xiàng)式帶余除法定理的證明和應(yīng)用,因?yàn)槎囗?xiàng)式的帶余除法是整數(shù)帶余除法的推廣，所以多項(xiàng)式的帶余除法中將涉及輾轉(zhuǎn)相除法的介紹，整除的基本概念與基本性質(zhì)、最大公因式

50、、公共根、重根以及一元多項(xiàng)式矩陣的相關(guān)性質(zhì)。</p><p>　　3.1多項(xiàng)式帶余除法的定理及其證明</p><p>　　（見(jiàn)文[1]）定理：則存在唯一的，使</p><p>　　其中或。我們稱(chēng)和分別為用去除所得的商和余式。</p><p>　　證明：存在性 設(shè)</p><p>　　如果，則取即可。下面假定。對(duì)的次

51、數(shù)做數(shù)學(xué)歸納法：如果=0或，則令即滿(mǎn)足要求。設(shè)，命題正確，則當(dāng)時(shí)，有</p><p><b>　　（這里），令</b></p><p>　　若，則取。否則，因，按歸納假設(shè)，存在，使得</p><p><b>　　這里或。現(xiàn)令</b></p><p><b>　　則顯然有</b>

52、</p><p>　　唯一性 設(shè)也滿(mǎn)足命題要求，那么</p><p>　　比較兩邊的次數(shù)，即可知</p><p>　　3.2 帶余除法的二種計(jì)算格式</p><p>　?。ㄒ?jiàn)文[2]）用多項(xiàng)式除多項(xiàng)式所得的商和余式可以通過(guò)如下兩種格式進(jìn)行</p><p>　　3.2.1 普通除法（長(zhǎng)除法）</p>&l

53、t;p>　　3.2.2 豎式除法</p><p>　　或 </p><p>　　3.2.3 綜合除法</p><p>　　第四章 帶余除法在解題中的應(yīng)用</p><p>　　4.1 有關(guān)兩個(gè)多項(xiàng)式除法與整除關(guān)系問(wèn)題</p><p>　　例1、用除，求商與余式</p>&l

54、t;p><b>　　解：</b></p><p><b>　　所以＝ ＝</b></p><p>　?。ㄒ?jiàn)文[3]）例2、如果,求a,b.</p><p>　　解：令 = =，</p><p><b>　?。?</b></p>&

55、lt;p><b>　　因?yàn)?，則＝0</b></p><p><b>　　即 解得</b></p><p>　　4.2 輾轉(zhuǎn)相除法是帶余除法的特殊應(yīng)用 </p><p>　　（見(jiàn)文[1]）給定，做帶余除法：</p><p>　　不難得。現(xiàn)在做輾轉(zhuǎn)相除法如下：</p>&l

56、t;p>　　因，故必有而，即，于是=</p><p>　　=（使為首一多項(xiàng)式）。這就把求出來(lái)了</p><p>　　4.2.1 輾轉(zhuǎn)相除法計(jì)算兩個(gè)多項(xiàng)式的最大公因式及它們與最大公因式的組合關(guān)系</p><p><b>　　例3、已知　，</b></p><p>　　求　與　的最大公因式</p><

57、;p><b>　　解：因?yàn)?lt;/b></p><p><b>　　所以</b></p><p><b>　　例4、：</b></p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　解：因?yàn)?lt;/b></p>

58、<p><b>　　所以</b></p><p><b>　　再由 </b></p><p><b>　　解得</b></p><p><b>　　于是</b></p><p>　　4.2.2 求兩個(gè)多項(xiàng)式的公共根</p>

59、<p>　　定理:用輾轉(zhuǎn)相除法計(jì)算兩個(gè)多項(xiàng)式的最大公因式，在求其公因式的根</p><p>　　例5、求下列多項(xiàng)式的公共根</p><p><b>　　，</b></p><p>　　解：由輾轉(zhuǎn)相除法，可求得</p><p>　　所以它們的公共根為[3]</p><p>　　4.2.3

60、解有關(guān)多項(xiàng)式的重根，重因式問(wèn)題</p><p>　　定理：輾轉(zhuǎn)相除法求得與的最大公因式，觀察最大公因式，即可得出答案</p><p>　　例6、判斷多項(xiàng)式有無(wú)重因式[3]</p><p><b>　　解：</b></p><p><b>　　用輾轉(zhuǎn)相除法求得：</b></p><

61、p><b>　　所以由的三重因式</b></p><p>　　4.3 求函數(shù)值f(a)</p><p>　　定理：用帶帶余除法求得，為常數(shù)，則f(a)= .</p><p><b>　　若，則</b></p><p><b>　　例7、若，求</b></p>

62、<p><b>　　解：用帶余除法</b></p><p><b>　　所以=327</b></p><p>　　例8、已知是方程的一個(gè)根，解此方程。</p><p>　　解：由于實(shí)系數(shù)方程的復(fù)根市成對(duì)出現(xiàn)，是方程的根，從而也是他的一個(gè)根，故多項(xiàng)式可被整除，用去除得商，它的根為，故原方程的四個(gè)根為</p&

63、gt;<p>　　4.4 解有關(guān)有理數(shù)域上的因式分解及有理根</p><p>　　設(shè)是一個(gè)整系數(shù)多形式，而是它的一個(gè)有理根，其中互素，則必有。特別地，如果的首項(xiàng)系數(shù)，則的有理根都是整數(shù)根，而且是的因子。</p><p>　　例9、求多項(xiàng)式的有理根</p><p>　　解：由于是首項(xiàng)系數(shù)為1的整系數(shù)多項(xiàng)式，如果有有理根，必為整數(shù)根，且為常數(shù)項(xiàng)-14的因數(shù)

64、為：</p><p><b>　　由帶余除法可得：</b></p><p>　　所以在有理數(shù)域上只有2是它的根。</p><p>　　例10：多項(xiàng)式在有理數(shù)域上是否可約？</p><p>　　解：常數(shù)項(xiàng)1的因式為：</p><p><b>　　由帶余除法可得：</b><

65、/p><p>　　所以其在有理數(shù)域上不可約</p><p>　　4.5 帶余除法在矩陣多項(xiàng)式中的應(yīng)用</p><p>　　4,5.1 關(guān)于矩陣多形式可逆的判定</p><p>　　在關(guān)于矩陣多項(xiàng)式可逆判別中，這里提出了用多項(xiàng)式的帶余除法來(lái)解決：“已知，證明可逆且求其逆”這一類(lèi)問(wèn)題得方法.</p><p>　　定理：用除，若

66、，其中是次數(shù)低于的一個(gè)非零多項(xiàng)式，則用除，如此下去，求出與的最大公因式；若，則有多項(xiàng)式使，由于，從而有，故可逆，且</p><p>　　例11、設(shè)n階矩陣A滿(mǎn)足，證明：可逆，并求其逆。</p><p><b>　　證明：設(shè)</b></p><p><b>　　則由帶余除法：</b></p><p>

67、<b>　　得：</b></p><p>　　由定義，可逆且 </p><p>　　例12、設(shè)，已知，證明可逆且求的逆。</p><p>　　證明：由帶余除法有： （1）</p><p><b>　　(2)</b></p><p>　　由（1）

68、式，代入（2）式，整理得：</p><p><b>　　又，</b></p><p><b>　　可逆，且</b></p><p>　　4.5.2 有關(guān)矩陣最小多項(xiàng)式的問(wèn)題</p><p>　　（見(jiàn)文[3]）例13、設(shè)是方陣A的最小多項(xiàng)式。若是A的零化多項(xiàng)式（即），則整除</p>&l

69、t;p><b>　　證：用去除，可設(shè)</b></p><p>　　其中，以A代上式，得</p><p><b>　　于是，即整除</b></p><p>　　例14、設(shè)是對(duì)角塊矩陣，是子方陣，證明A的最小多項(xiàng)式等于這些的最小多項(xiàng)式的最小公倍式。</p><p><b>　　證：令，顯

70、然</b></p><p><b>　　從例13知</b></p><p><b>　　反過(guò)來(lái)，因</b></p><p>　　即對(duì)每個(gè)，，再?gòu)睦?3知，從而，這就表明</p><p><b>　　參考文獻(xiàn)</b></p><p>　　[1]

71、 王萼芳 石生明.高等代數(shù)[M].北京市：高等教育出版社，2003.7：8-9，13-15</p><p>　　[2] 徐仲 陸全 張凱院 呂全義 陳芳 袁志杰.高等代數(shù)導(dǎo)教導(dǎo)學(xué)導(dǎo)考[M].西安:西北工業(yè)大學(xué)出版社,2004.3:3-82</p><p>　　[3] 劉丁西.高等代數(shù)習(xí)題精解[M].合肥:中國(guó)科技技術(shù)大學(xué)出版社,2004.9:7-24</p>&l

72、t;p>　　[4] 王成 饒從軍.矩陣初等變換的應(yīng)用研究[J].高等數(shù)學(xué)研究，2007.1(4):3-10</p><p>　　[5] 宋玉霞 王文省.用矩陣的初等變換求商和余式[J].大學(xué)數(shù)學(xué)，2005,21(1): 1-2</p><p>　　[6] 黃朝軍.矩陣初等變換的一個(gè)應(yīng)用[J].黔東南民族師范高等專(zhuān)科學(xué)校學(xué)報(bào)，2004,22(6):4-6</p><

73、p>　　[7] 北京大學(xué)數(shù)學(xué)系幾何代數(shù)教研室.高等代數(shù)[M].北京：人民教育出版社.1978.2-4</p><p>　　[8] 鄭新東.高等代數(shù)學(xué)習(xí)指南[M].廣州：華南理工大學(xué)出版社.1-6</p><p>　　[9] 張禾瑞，郝鈵新.高等代數(shù)（第四版）[M].北京：高等教育出版社，1999.3-2.</p><p>　　[10] 北京大學(xué)數(shù)學(xué)系幾何與代數(shù)

74、教研室代數(shù)小組.高等代數(shù)（第二版）[M].北京：高等教育出版社，1988.7-4</p><p>　　[11] 程云鵬，張凱院，徐仲.矩陣論（第二版）[M].西安：西北工業(yè)大學(xué)出版社，2003.4-2</p><p><b>　　致 謝</b></p><p>　　本論文是在余海峰導(dǎo)師的悉心指導(dǎo)之下完成的。四年來(lái)，導(dǎo)師淵博的專(zhuān)業(yè)知識(shí)，嚴(yán)謹(jǐn)?shù)闹?/p>

75、學(xué)態(tài)度，精益求精的工作作風(fēng)，誨人不倦的高尚師德，樸實(shí)無(wú)華、平易近人的人格魅力對(duì)我影響深遠(yuǎn)。導(dǎo)師不僅授我以文，而且教我做人，雖歷時(shí)四載，卻賦予我終生受益無(wú)窮之道。本論文從選題到完成，幾易其稿，每一步都是在導(dǎo)師的指導(dǎo)下完成的，傾注了導(dǎo)師大量的心血，在此我向我的導(dǎo)師余海峰表示深切的謝意與祝福！     </p><p>　　本論文的完成也離不開(kāi)其他各位老師、同學(xué)和朋友的

76、關(guān)心與幫助。在此也要感謝謝敏芳等各位老師在論文開(kāi)題、初稿、定稿期間所提出的寶貴意見(jiàn)?；叵胝麄€(gè)論文的寫(xiě)作過(guò)程，雖有不易，卻讓我除卻浮躁，經(jīng)歷了思考和啟示，也更加深切地體會(huì)了數(shù)學(xué)的精髓和意義，因此倍感珍惜。書(shū)到用時(shí)方恨少，在這篇論文的寫(xiě)作過(guò)程中，我深感自己的水平還非常的欠缺。生命不息，學(xué)習(xí)不止，人生就是一個(gè)不斷學(xué)習(xí)和完善的過(guò)程。</p><p><b>　　孟飛飛</b></p>