畢業(yè)論文----同余與子結構

1、<p><b>　　目 錄</b></p><p>　　中文摘要………………………………………………………………………………………01</p><p>　　英文摘要………………………………………………………………………………………02</p><p>　　引 言…………………………………………………………………………………

2、……03</p><p>　　基本定義………………………………………………………………………………………04</p><p>　　群 ………………………………………………………………………………………05</p><p>　　環(huán) ………………………………………………………………………………………08</p><p>　　模 ………

3、………………………………………………………………………………11</p><p>　　半 群………………………………………………………………………………………15</p><p>　　參考文獻………………………………………………………………………………………19</p><p>　　致 謝………………………………………………………………………………………

4、20</p><p><b>　　中文摘要</b></p><p>　　本文討論了群上的同余與正規(guī)子群之間、環(huán)上的同余與理想之間、模上的同余與子模之間的一一對應關系. 但是對于半群, 所有理想都能對應到相應的同余, 相反卻不成立. 本文構造了一個交換幺半群, 得到了泛半群上同余與理想之間不一定存在一一對應的結論. </p><p>　　關鍵詞:

5、 半群, 群, 環(huán), 模, 同余, 子結構，雙射</p><p><b>　　ABSTRACT</b></p><p>　　In this paper, we study the relationships between congruences and normal subgroups on a group, congruences and ideals on a

6、ring, congruences and submodules on a module. For a semigroup, we could just prove that an idea is corresponding to a congruence, however on the contrary it’s not ture. In this paper, we construct a commtative monoid and

7、 prove that there is no bijective mapping between the set of all congruences and the set of all ideals of this monoid.</p><p>　　Keyword: semigroup, group, ring, module, congruence, substructure, bijection fu

8、nction</p><p><b>　　一、引言</b></p><p>　　同余作為代數(shù)系統(tǒng)上保持所有運算的等價關系, 在每一個代數(shù)系統(tǒng)的研究中都占據(jù)著重要的地位. 而本文研究的主要是群、環(huán)、模、半群等代數(shù)系統(tǒng)上的同余與子結構的關系. 涉及到的內容主要有以下幾點 :</p><p>　　1．關于群, 本文主要參考文獻[1]及文獻[

9、4], 詳細研究了群的正規(guī)子群, 同余關系及關于同余生成的商群等, 并仿照文獻[4]中已有結論得到本文定理3.4, 即可以根據(jù)給定的一個正規(guī)子群, 構造出一個相應的同余 ; 相反可以根據(jù)給定的一個同余, 構造出一個正規(guī)子群. 這樣便初步得到群上的同余與正規(guī)子群之間的對應關系, 而進一步地通過定理3.5補充證明群上的同余與正規(guī)子群之間存在一一對應的關系. </p><p>　　2．關于環(huán), 總體思路與群上

10、的類似. 環(huán)的特殊子結構是理想, 所以本章著重討論環(huán)上的同余與理想的關系. 仿照定理3.4, 給出并證明了定理4.5, 表明在環(huán)上可以根據(jù)給定的任意一個理想構造出相應的一個同余 ; 相反可以根據(jù)給定的一個同余, 構造出一個理想. 而通過定理4.6進一步補充證明了環(huán)上的同余與理想之間存在一一對應的關系.</p><p>　　3．關于模, 由于模本身與環(huán)非常類似, 所以仿照定理4.5, 我們給出定理5.6,

11、 憑此證明了在模上可以根據(jù)給定的任意一個子模而構造出一個相應的同余 ; 相反可以根據(jù)給定的一個同余, 構造出一個子模. 而通過定理5.7進一步補充證明了模上的同余與子模之間存在一一對應的關系. </p><p>　　4．關于半群, 通過定理6.4, 我們證明了半群上任意給定一個理想, 都可以構造出一個與之對應的同余 ; 而命題6.5則證明了交換幺半群上只要給出一個子半群, 便可以構造出一個同余

12、 ; 并在此基礎上, 本文構造出一個交換幺半群, 且根據(jù)該半群的一個子半群構造出的同余, 是無法找出任何理想與之對應. 并進一步探究發(fā)現(xiàn), 該半群所有同余與理想分別組成的集合具有不同的階. 通過此反例反駁了半群上同余與理想之間存在一一對應的關系. </p><p><b>　　二、基本定義</b></p><p>　　等價關系是集合上一類重要的二元關系. 定

13、義如下: </p><p>　　定義2.1[1] 設為一個集合, 是的一個子集, 若滿足: </p><p>　　（1）自反性: 對任意, 有; </p><p>　?。?）對稱性: 對任意, 若, 則; </p><p>　　（3）傳遞性: 對任意, 若且, 則.</p><p>　　則稱是集合的一個等價關系[1]

14、.</p><p>　　若集合中的元素定義了運算（本文只討論二元運算）, 并且滿足某些運算規(guī)律, 就做成了一個代數(shù). 而同余就是代數(shù)上保持所有運算的等價關系. </p><p>　　本文討論具有有限多個二元運算的代數(shù)系統(tǒng), 設是一個代數(shù), 其中“”是上一個二元運算, , 是的一個非空子集合, 稱是上的一個同余，若</p><p>　?。?）是上的一個等價關系,<

15、;/p><p><b>　　（2）對任意的, </b></p><p><b>　　.</b></p><p>　　我們也把（2）稱為關于運算“”是相容的.</p><p>　　在各種代數(shù)系統(tǒng)中, 同余往往會跟某種特殊的代數(shù)子結構一一對應, 下面我們將分別討論群、環(huán)、模、半群等代數(shù)系統(tǒng)中同余及其子結構的

16、關系.</p><p>　　三、群上同余與子結構</p><p>　　在群上, 正規(guī)子群是群上一類特殊子群, 而同余卻是關于運算滿足左右相容的特殊等價關系. 那么群上所有同余與所有正規(guī)子群之間是否有特殊的關系, 這一章我們便來討論這一點.</p><p>　　定義3.1[1] 設為一個群, 是群的一個子群, 稱為的一個正規(guī)子群, 若, 有.</p>

17、<p>　　定義3.2[1] 設是群的一個同余, 對集族, 其中 , 定義一個運算“”: </p><p><b>　　, .</b></p><p>　　則關于運算“”構成一個群. </p><p>　　定義3.3[1] 設是群的一個同余, 則我們把稱之為的商群.</p><p>　　下面我們來討論一下群上

18、同余與正規(guī)子群之間的關系.</p><p>　　定理3.4[4] 設為一個群, 則有下面結論: </p><p>　?。?）若為群的一個正規(guī)子群, 那么有為群的一個同余;</p><p>　?。?）若是群的一個同余, 則（為單位元）為群的一個正規(guī)子群.</p><p>　　證明: （1）首先證明是一個等價關系: </p>&l

19、t;p>　　a．（自反性）由于為群的一個子群, 所以有, , 即</p><p><b>　　;</b></p><p>　　b. （對稱性）, 若, 則, 由于為群的一個子群, 所以, 所以</p><p><b>　　; </b></p><p>　　c.（傳遞性）, 若, , 即, 使得

20、, , 由于為群的一個子群, 所以, 所以</p><p><b>　　.</b></p><p>　　下面只需再證明是相容的即可: </p><p>　　, 若, , 即, 使得, . 由于為群的一個正規(guī)子群, 則有, 所以, 使得.則, 即</p><p><b>　　.</b></p&g

21、t;<p>　　所以是群的一個同余.</p><p>　?。?）由于為群的一個同余, 由定義3.3可知, 為的商群, 特別對于這個集合, 由于是群的單位元，所以我們有, 故關于的運算封閉. , 則由得, , 即, 所以. 因此是的一個子群. 再由, 有.</p><p>　　故知是群的一個正規(guī)子群.

22、 □</p><p>　　定理3.5 設為一個群, 表示上所有正規(guī)子群組成的集合, 表示上所有同余組成的集合, 則與之間存在一個雙射.</p><p>　　證明:首先我們定義:</p><p><b>　　(1) ;</b></p><p><b>　　(2) ;</b></p>

23、<p>　　顯然, 由定理3.4可知, 是良好定義的. 則要證與之間存在一個雙射, 只須證, .</p><p>　?。?）要證, 只須證, 即證, 即</p><p><b>　　.</b></p><p><b>　　而</b></p><p><b>　　.</

24、b></p><p><b>　　所以, 即.</b></p><p>　?。?）要證, 只須證, 即證, 即</p><p><b>　　.</b></p><p>　　a. , 由于, 所以有</p><p><b>　　, 即.</b><

25、;/p><p>　　b. 有, 即, 所以, 即</p><p><b>　　.</b></p><p>　　所以, 即. □</p><p>　　所以，由定理3.4及定理3.5可知：在群上, 所有同余與所有正規(guī)子群分別組成的集合之間存在

26、一一對應的關系. </p><p>　　四、環(huán)上的同余與子結構</p><p>　　在群上同余與正規(guī)子群分別組成的集合之間存在一一對應的關系. 在環(huán)上, 對應與群上正規(guī)子群類似性質的結構則是理想. 那么環(huán)上是否也有相應的結論呢？ 即在環(huán)上, 是否所有同余與其所有理想有一一對應的關系？ 這章我們便來討論這一點.</p><p>　　定義4.1[1] 設為一個環(huán), 稱

27、為的一個理想, 若</p><p>　?。?）是的一個子加群; </p><p><b>　?。?）, 且.</b></p><p>　　定義4.2[1] 設是環(huán)的一個同余, 對集族, 其中定義為, 在上定義一個運算“”, “”, </p><p><b>　　; </b></p>

28、<p><b>　　. </b></p><p><b>　　則有</b></p><p>　　定理4.3[1] 關于運算“”, “”構成一個環(huán). □</p><p>　　定義4.4[1] 設是環(huán)的一個同余, 則我們把稱之為的商環(huán).</p><

29、;p>　　下面我們來討論一下環(huán)上同余與理想之間的關系.</p><p>　　定理4.5 設為一個環(huán), 則有下面結論: </p><p>　　（1）若為環(huán)的一個理想, 那么有為環(huán)的一個同余; </p><p>　?。?）若是環(huán)的一個同余, 則（為加法零元）為環(huán)的一個理想.</p><p>　　證明: （1）首先證明是一個等價關系: &l

30、t;/p><p>　　a．（自反性）由于為環(huán)的一個子環(huán), 所以有, , 即</p><p><b>　　;</b></p><p>　　b. （對稱性）, 若, 則,由于為環(huán)的一個子環(huán), 所以, 所以</p><p><b>　　;</b></p><p>　　c. （傳遞性）,

31、 若, , 即, 使得, , 由于為環(huán)的一個子環(huán), 所以, 則</p><p><b>　　.</b></p><p>　　下面只需再證明是相容的即可: </p><p>　　, 若, , 即, 使得, . 由于為環(huán)的一個理想, 有, 所以, 使得.則, 即</p><p><b>　　.</b>&

32、lt;/p><p>　　而, 由于是理想，所以</p><p><b>　　, .</b></p><p><b>　　則, 即.</b></p><p>　　所以是環(huán)的一個同余.</p><p>　?。?） 由于為環(huán)的一個同余, 由定義4.4可知, 為的商環(huán), 特別對于這個集合

33、, 由于是環(huán)的加法零元，所以我們有:</p><p><b>　　及,</b></p><p>　　故關于的兩個運算封閉. , 則由得, , 即, 所以. 這樣便證明了是環(huán)的一個子加群. </p><p><b>　　再由, 有</b></p><p><b>　　.</b>&

34、lt;/p><p>　　故知是環(huán)的一個理想. □</p><p>　　定理4.6 設是一個環(huán), 表示上所有理想組成的集合, 表示上所有同余組成的集合, 則與之前存在一個雙射. </p><p>　　證明: 首先我們定義:</p><p><b&g

35、t;　　(1) ;</b></p><p><b>　　(2) ;</b></p><p>　　顯然, 由定理4.5可知, 是良好定義的. 則要證與之間存在一個雙射, 只須證, .</p><p>　?。?）要證, 只須證, 即證, 即</p><p><b>　　.</b></

36、p><p><b>　　而</b></p><p><b>　　.</b></p><p><b>　　所以, 即.</b></p><p>　?。?）要證, 只須證, 即證, 即</p><p><b>　　.</b></p&g

37、t;<p>　　a. , 由于, 所以有</p><p><b>　　, 即.</b></p><p>　　b. 有, 即, 所以, 即</p><p><b>　　.</b></p><p>　　所以, 即.

38、 □</p><p>　　所以，由定理4.5及定理4.6可知：環(huán)上所有同余與所有理想分別組成的集合之間存在雙射，即有一一對應的關系. </p><p>　　五、模上的同余與子結構</p><p>　　定義5.1[8] 設為有恒等元的環(huán), 是一個加法交換群, 定義一個從到的倍數(shù)乘法“﹒”: </p><p><b>　　.</

39、b></p><p><b>　　且“﹒”滿足: </b></p><p><b>　?。?） , </b></p><p><b>　?。?） , </b></p><p><b>　?。?） , </b></p><p>

40、<b>　?。?） , </b></p><p>　　其中, , 那么就稱做成環(huán)上的一個左模．類似的也可以定義右-模. 下面我們只討論左模上同余與子結構的對應關系, 且左模簡稱為模.</p><p>　　定義5.2[8] 設是一個-模, 是的非空子集, 如果關于的加法和倍數(shù)乘法本身也做成上的模, 則稱是的一個子模．</p><p>　　類似與

41、前面討論，我們有</p><p>　　設是一個模, 是的非空子集, 且是上的一個等價關系, 若, 有, , 則稱為的一個同余. </p><p>　　設為任意一個模, 是任意的一個子模. 于是, 作為交換群來看, 自然是的一個關于加法的正規(guī)子群. 令</p><p><b>　　.</b></p><p><b&g

42、t;　　在中定義加法: </b></p><p><b>　　.</b></p><p><b>　　及倍數(shù)乘法: </b></p><p><b>　　, ,</b></p><p>　　則關于規(guī)定的加法做成一個商群, 且</p><p>

43、<b>　　.</b></p><p>　　這樣, 容易得到下述的結論. 即</p><p>　　命題5.4[8] 設是模, 是的一個子模. 那么, 按如下的運算: </p><p><b>　　, , .</b></p><p>　　商集合做成一個模, 并稱之為關于子模的商模[8].</p

44、><p>　　下面我們來討論一下模上同余與子模之間的關系. </p><p>　　定理5.6 設是模, 則有下面結論: </p><p>　　（1）若是的一個子模, 那么有為的一個同余; </p><p>　?。?）若是的一個同余, 則（為上加法零元）為的一個子模.</p><p>　　證明: （1）首先證明是一個等價關

45、系: </p><p>　　a．（自反性）由于為的一個子模, 那么對于, 有, 即; </p><p>　　b. （對稱性）, 若, 則, 由于為的一個子模, 所以, 所以</p><p><b>　　;</b></p><p>　　c. （傳遞性）, 若, , 即, 使得, , 由于為的一個子模, 所以, 所以 .&l

46、t;/p><p>　　下面只須再證明是相容的即可: </p><p>　　, 若, , 即, 使得, . 由于加法交換群, 則的任意一個加法子群必定關于加法成正規(guī)子群. 而為的一個子模, 所以關于加法成正規(guī)子群, 有. 則, 使得. 則, 即</p><p><b>　　.</b></p><p>　　由于為的一個子模, 則

47、, 有</p><p><b>　　, </b></p><p><b>　　即</b></p><p><b>　　.</b></p><p><b>　　所以是的一個同余.</b></p><p>　?。?）由于為模的一個同余,

48、 特別考慮這個集合, 由于關于加法是一個群, 顯然可以看成是加法群上的一個同余, 由定理3.7第（2）結論可知, 關于的加法運算構成一個正規(guī)子群; </p><p>　　而對, , 有, 所以</p><p><b>　　.</b></p><p>　　即. 由定義5.2可得為的一個子模.

49、 □</p><p>　　定理5.7 設是一個模, 表示上所有子模組成的集合, 表示上所有同余組成的集合, 則與之間存在一個雙射. </p><p>　　證明: 首先我們定義：</p><p><b>　　(1) ;</b></p><p><b>　　(2) ;</b></p>

50、;<p>　　顯然, 由定理5.6可知, 是良好定義的. 則要證與之間存在一個雙射, 只須證, .</p><p>　?。?）要證, 只須證, 即證, 即</p><p><b>　　.</b></p><p><b>　　而</b></p><p><b>　　.<

51、/b></p><p><b>　　所以, 即.</b></p><p>　?。?）要證, 只須證, 即證, 即</p><p><b>　　.</b></p><p>　　a. , 由于, 所以有</p><p><b>　　, 即.</b>&l

52、t;/p><p>　　b. 有, 即, 所以, 即</p><p><b>　　.</b></p><p>　　故, 即. □</p><p>　　所以由定理5.6及定理5.7可知: 模上所有同余與所有子模分別組成的集合之間

53、存在一個雙射, 即有一一對應的關系. </p><p>　　六、半群上的同余及其子結構</p><p>　　群、環(huán)、模上的同余都會與某種特殊的子結構一一對應，那么在更泛的代數(shù)如半群中，這種類似的結論是否也成立呢？ 前面都是討論特殊的子結構, 所以這一章我們只討論半群上的同余及理想之間的關系.</p><p>　　定義6.1[4] 是一個非空集合, “﹒”是上的一個

54、二元運算, 若滿足</p><p><b>　　（1）;（封閉性）</b></p><p><b>　?。?）.（結合律）</b></p><p>　　則稱關于“﹒”構成一個半群, 記為.</p><p>　　定義6.2[4] 設為一半群, 為的一個非空子集, 若關于“﹒”封閉, 則稱為的一個子半

55、群.</p><p>　　定義6.3[4] 設為一半群, 稱上的一個非空集合為的一個左（右）理想, 若（）; 若既是左理想, 又是右理想, 則稱是的一個理想.</p><p>　　對于半群上同余及其子結構的關系, 我們有以下結論: </p><p>　　定理6.4 設為一個半群, 若是的一個理想, 則是的一個同余.</p><p>　　證

56、明: （1）首先證是一個等價關系: </p><p>　　a. 自反性: 由于, 滿足自反性; </p><p>　　b. 對稱性: 若, 那么若, 顯然; 若, 則, 所以; </p><p>　　c. 傳遞性: , 假設, 則, 所以由得, 由得, 所以（矛盾）, 所以</p><p><b>　　.</b><

57、/p><p>　　因此是的一個等價關系; </p><p>　?。?）下面證明的相容性: </p><p><b>　　設,</b></p><p>　　a. 若都不屬于, 即, 則, 顯然: </p><p><b>　　.</b></p><p>　　

58、b. 若至少有一個屬于, 不妨設, 由于是一個理想, 所以, 即</p><p><b>　　.</b></p><p>　　所以是半群的一個同余. □</p><p>　　由定理6.4可知, 在半群上, 一個理想對應著一個同余; 但是反過來, 結論卻不一定成

59、立, 即一個同余可能找不到一個理想與其對應.</p><p>　　我們先來看看下面一個命題:</p><p>　　命題6.5 設是一個交換幺半群, 為的一個子半群, 令</p><p><b>　　使得.</b></p><p>　　則為上的一個同余關系.</p><p>　　證明: （1）首先

60、證是一個等價關系: </p><p>　　a. 自反性: 由定義顯然滿足; </p><p>　　b. 對稱性: 由定義顯然滿足; </p><p>　　c. 傳遞性: 設, 使得 . 而由于是一個交換半群, 有, 且由為的一個子半群得, , 即.</p><p>　　因此使得是的一個等價關系; </p><p>　　

61、（2）下面證明的相容性: </p><p><b>　　設, 若則使得</b></p><p><b>　　.</b></p><p>　　由于是一個交換半群, 因此有</p><p><b>　　,</b></p><p>　　由于為的一個子半群, 所

62、以, 即.因此是半群的一個同余. □</p><p>　　由命題6.5可知, 給定半群的一個子半群, 我們就可以構造出一個同余. 那么我們來看看下面一個例子.</p><p>　　例6.6 令; 定義上一個乘法運算“﹒”, 其乘法表如下:</p&g

63、t;<p><b>　　則有:</b></p><p>　　（1）從乘法表顯然可得關于“﹒”封閉且交換; </p><p>　?。?）下面只須證: .</p><p>　　首先, 若中至少有一個是單位, 顯然滿足上述等式; 那么我們只須考慮全部元素都不是單位的情況, 則有以下兩種:</p><p>　　a.

64、 , 顯然成立; </p><p>　　b. 中有兩個相等, 若且, 則 . 而若, 則. 所以只須驗證以下兩條:</p><p><b>　?、? </b></p><p><b>　?、?</b></p><p>　　因此關于“﹒”構成一個有幺的交換半群.</p><p>

65、;　　注意到的子集關于“﹒”封閉, 根據(jù)定義6.2, 為的一個子半群. 由命題6.5可得: </p><p><b>　　使得;</b></p><p><b>　　為的一個同余.</b></p><p><b>　　那么我們不難推得:</b></p><p><b>

66、;　　.</b></p><p>　　顯然, 無論是還是, 都不是的理想. </p><p>　　由例6.6可知, 不與群、環(huán)、模等代數(shù)系統(tǒng)相同, 幺半群上的同余所確定商集中, 單位元所在的集合不一定是理想. 而要反駁半群上所有同余與所有理想分別組成的集合之間, 不存在一一對應的關系, 我們仍須對例6.6再進行深入分析. </p><p>　　下面我們令

67、 、分別表示例6.6的所有理想組成的集合和所有同余組成的集合. 我們看看 、中的元素分別有哪些:</p><p>　　（1）于;而所有等價關系無非是的子集且滿足定義1.1, 因此只有以下五個:</p><p><b>　　;</b></p><p><b>　　;</b></p><p><b

68、>　　;</b></p><p><b>　　;</b></p><p><b>　　;</b></p><p>　　在上面的等價關系中, 顯然, 除了不滿足運算的相容性之外, 其它等價關系均滿足, 所以例6.6上的所有同余只有四個: 、、、. 即</p><p>　?。?）由于例

69、6.6只有3個元素, 則其子集共有個, 分別是:</p><p><b>　　,</b></p><p>　　其中是子半群的只有:</p><p>　　而在上面的子半群中, 是理想的卻只有以下三個;</p><p><b>　　即</b></p><p><b>　

70、　.</b></p><p>　　由于, 所以與之間不可能存在雙射. 因此, 通過例6.6我們可以知道半群上同余與理想之間不一定存在一一對應的關系. </p><p><b>　　參考文獻</b></p><p>　　[1]. 劉紹學. 專著. 近世代數(shù)基礎[M]. 高等教育出版社. 2010.</p><p&g

71、t;　　[2]. 黃清蘭. 期刊. 淺談代數(shù)中的同余關系[J]. 萍鄉(xiāng)高等?？茖W校學報. 2003. 第4期.</p><p>　　[3]. 謝敏瑜. 右對稱代數(shù)上的同余[D]. 華南師范大學. 數(shù)學科學學院. 2006.</p><p>　　[4]. John M.Howie. 專著. Fundamentals of Semigroup theory[M]. </p>&

72、lt;p>　　[5]. Mati Kilp, Ulrich Knauer, Alexander V.Mikhalev. 專著. Monoids, Acts and Categories[M].</p><p>　　[6]. 伍秀華, 李慶國. 期刊. 群上同余[J]. 湖南大學數(shù)學與計量經(jīng)濟學院. 數(shù)學理論與應用. 第24卷第2期. 2004.</p><p>　　[7]. 吳雙全,

73、 劉霞. 期刊. 代數(shù)中的同余關系以及同構在代數(shù)中的應用[J]. 呼倫貝爾學院學報. 第18卷第1期. 2010.</p><p>　　[8]. 賀昌亭, 張同君. 專著. 模論講義[M]. 東北師范大學出版社. 1987.</p><p><b>　　致 謝</b></p><p>　　本文是在我的導師XX老師的悉心指導和關懷下完成的.

74、XX老師實事求是、嚴謹?shù)闹螌W態(tài)度、淵博的學識以及對科研孜孜不倦的追求態(tài)度，給我留下了極其深刻的印象，令我終生受益. 值此論文完成之際，謹向XX老師表示最誠摯的感謝！</p><p>　　另外我仍需感謝還有XX師兄，沒有師兄的幫助，我將少了很多啟發(fā). 借此機會也向所有關心我、支持我的師兄師姐及親朋好友，獻上最真誠的謝意！</p><p>　　最后，還要再感謝數(shù)學科學學院四年來教導過我、幫助過