數(shù)學建模課程設(shè)計--賓館預(yù)定策略問題

1、<p>　　數(shù)學建模課程設(shè)計報告</p><p>　　題 目: 賓館預(yù)定策略問題</p><p>　　院 系： 數(shù)學學院</p><p>　　專 業(yè)： 數(shù)學與應(yīng)用數(shù)學</p><p><b>　　班 級： </b></p><p><b>　　姓

2、 名： </b></p><p><b>　　學 號： </b></p><p><b>　　指導老師： </b></p><p><b>　　摘要</b></p><p>　　本題為賓館的預(yù)定策略問題，涉及價格制定和經(jīng)營策略問題。通過對題目中提

3、供的數(shù)據(jù)，以及對所要求解的問題的分析，本小組認為符合時序預(yù)測問題的基本條件。</p><p>　　對于第一問，要求估計第九周和第十周參考標準間房價，屬于短期預(yù)測。將對未來價格的預(yù)測問題分解為兩個問題：對一周內(nèi)各天價格所占一周內(nèi)總價的比例，和各周價格變化趨勢適。采用多段的、三次多項式趨勢外推法解決第一個問題，模型的誤差最大為0.39%，可見模型是十分精準的；同時采用三次多項式外推和一次移動平均法求解第二個問題，通過

4、對比，一次移動平均法比趨勢外推得到的數(shù)據(jù)，與已知數(shù)據(jù)更為符合。同時，其預(yù)測值比較符合經(jīng)濟規(guī)律，因而，其預(yù)測結(jié)果具有可靠性。</p><p>　　對于問題二，賓館采用升級客房檔次或賠款來解決超額接受客房預(yù)訂的糾紛。采用獨立重復(fù)試驗概型可以得到k個客人取消訂單的概率；在計算出賓館利潤的期望值，通過在賠償和客房數(shù)量上的限制條件，和保證賓館最大利潤的目的，可以確定出賓館超額提供預(yù)定的最大數(shù)。</p><

5、;p>　　對于問題三，要求為賓館制定一個長期的經(jīng)營策略，通過一二問的分析，可以得出合理的方案。</p><p><b>　　問題重述</b></p><p>　　某著名的旅游城市的A級賓館主要提供舉辦會議和游客使用的?？头客ㄟ^電話或互聯(lián)網(wǎng)預(yù)定，這種預(yù)定具有很大的不確定性，客戶很可能由于各種原因取消預(yù)定。賓館為了爭取更大的利潤，一方面要爭取客戶，另一方面要降低客戶

6、取消預(yù)定遭受的損失。為此，賓館采用一些措施。首先，要求客戶提供信用卡號，預(yù)付第一天房租作為定金。如果客戶在前一天中午以前取消預(yù)定，定金將如數(shù)退還，否則定金將被沒收。其次，賓館采用變動價格，根據(jù)市場需求情況調(diào)整價格，一般來說周末價格比較高。</p><p><b>　　研究的問題是：</b></p><p>　　(1) 試建立客房預(yù)定價格的數(shù)學模型，并對以下實例作分析

7、。表1給出了某賓館8周標準房價格(單位: 美元)，用你的模型說明價格變動的規(guī)律，并據(jù)此估計第9周和第10周的標準房參考價格。你還可以收集更多的數(shù)據(jù)來驗證你模型的價值（要求注明出處）。</p><p>　?。?）在旅游旺季，賓館往往可以預(yù)定出超過實際套數(shù)的客房數(shù), 以減低客戶取消預(yù)定時賓館的損失。當然這樣做可能會帶來新的風險, 因為萬一屆時有超出客房數(shù)的客戶出現(xiàn), 賓館要通過升級客房檔次或賠款來解決糾紛, 為此賓館

8、還會承擔信譽風險. 某賓館有總統(tǒng)套房20套，豪華套房100套，標準間500套。試為該賓館制定合理的預(yù)定策略, 并論證你的理由。</p><p>　?。?）請為該賓館制定一個長期的經(jīng)營策略；并給總經(jīng)理寫一篇短文有關(guān)管理經(jīng)營的建議書。</p><p>　　二、問題假設(shè)以及符號說明</p><p><b>　　A：假設(shè)</b></p>

9、<p>　　在求解第一問中，假設(shè)第一周至第十周處在一個穩(wěn)定的市場狀態(tài)（淡季或旺季）；</p><p>　　假設(shè)標準間的價格總體走勢僅由兩方面分量合成，即，每一周內(nèi)的7日價格變化走勢，周均價走勢；</p><p>　　2，假定所提供的數(shù)據(jù)與未來數(shù)據(jù)是連續(xù)的，不存在重大變故的干擾；</p><p>　　3，假設(shè)賓館的三類客房比例與市場需求比例相同，不存在巨大的

10、入住率差異；</p><p>　　4，假設(shè)客人取消預(yù)定都是在前一天中午以前；</p><p>　　5，假設(shè)賓館除開客房開支以外，總的運營成本，等于至少六成的客房有人入住時所得的利潤；</p><p>　　6，假設(shè)賓館對為得到房間的以預(yù)定客人的賠償為：同類房間利潤的一倍。</p><p>　　7，假設(shè)客人訂房沒有批量預(yù)定的情況。</p&g

11、t;<p><b>　　B:符號說明</b></p><p>　　主要符號代表含義</p><p>　　Yi 一周內(nèi)星期i的房價所占周總價比例的標準間價格的走比例</p><p>　　Yk標準間價格的周均價內(nèi)走勢</p><p>　　yk,i第k

12、周，星期i的標準間均價</p><p>　　k第k周</p><p>　　I星期i</p><p>　　m1,m2,m3 接受預(yù)定的標準客房、豪華套間、總統(tǒng)套房的數(shù)量</p><p>　　A 客人入住每間客房的利潤</p&g

13、t;<p>　　D 每位已經(jīng)預(yù)定而又沒有得到客房的賠償</p><p>　　C1,C2,C3除客房以外的其他總成本，分攤到三類房間的分別總和</p><p>　　P一個已定客房的旅客在在前一天中午以前取消預(yù)定的概率</p><p>　　gkk 人未按時入住的概率</p

14、><p>　　LR(k)設(shè)賓館相應(yīng)與每種gk的利潤</p><p>　　Y(LR)那么賓館的利潤期望為</p><p><b>　　三、問題分析</b></p><p>　　顯然，從本題提供的數(shù)據(jù)和所要求解的問題來看，它是屬于時間序列的預(yù)測問題，故考慮用多項式趨勢外推和移動平均法等方法求解。&l

15、t;/p><p>　　第一問：題目中給出了八周的標準間房價數(shù)據(jù)，要求預(yù)測第九、第十周的標準間房價，屬于短期預(yù)測問題。顯然，從所給數(shù)據(jù)來看，要建立單一時間變量的函數(shù)來確定房價是很難的，不過更具日常經(jīng)驗和經(jīng)濟學規(guī)律分析，可將影響標準間的房價變動的因素歸納到兩方面：即，一周內(nèi)房價的分布，和以周均價為代表的長期上漲規(guī)律。</p><p>　　第二問:顯然，預(yù)定了客房的客人取消預(yù)定的概率是相互獨立的，則

16、，m個預(yù)定中，有k個客人取消訂單的事件符合獨立重復(fù)試驗概型；同時，由于k的不同導致賓館利潤的不同，</p><p>　　故先計算出賓館利潤對于某一個k值的函數(shù)，在通過概率加權(quán)的辦法算出賓館利潤的期望，通過取定合適的m值，使得利潤期望最大，從而得出合適的賓館客房超額預(yù)定策略。</p><p>　　第三問：通過一二問的求解，提供建議</p><p><b>　

17、　四、模型建立</b></p><p><b>　　4.1對于第一問：</b></p><p>　　顯然，在未來某一周內(nèi)，由于工作日和雙休日的固定，以及其所導致的對賓館客房的需求的固定，可以推定：該周內(nèi)任意一天的標間價格所占的七天總價的比例yi與yi的關(guān)系是不變的;同時，根據(jù)經(jīng)濟規(guī)律可知，標準間的周均價yk隨時間的推移是按某種規(guī)律上漲的，因此，可以建立周數(shù)

18、k與yk的關(guān)系。</p><p>　　那么，未來第k周，星期i的標準間的價格yk,i上述兩種決定價格變動規(guī)律的因素共同決定的。由此可得yk,i的表達式：</p><p>　　4.2對于第二問，根據(jù)訂房客人取消預(yù)定的變化，賓館的利潤也是變化的。為了確定一個最優(yōu)的預(yù)定策略，將所有可能的情況根據(jù)其概率進行加權(quán)運算，最終得到具有代表性的總體利潤的期望，從而確定一個合理的預(yù)定策略。k

19、 人未按時入住的概率為gk，賓館相應(yīng)與每種gk的利潤為，那么賓館利潤的期望為：</p><p><b>　　五、求解方法</b></p><p><b>　　5.1第一問的求解</b></p><p>　　5.1.1首先對標準間在每個周內(nèi)的價格走勢作分析，建立其周內(nèi)變化模型。</p><p>　　對

20、一周內(nèi)各天的均價走勢的研究，得到一周內(nèi)的價格變動，可以反應(yīng)標準間價格變動因素中的一個周期性因素。</p><p>　　通過對數(shù)據(jù)的分析得到前八周內(nèi)，星期一至周日分別的標準間價格均值：</p><p><b>　　其折線圖如下：</b></p><p>　　于是得到一周內(nèi)各天的均價比例如下：</p><p>　　由于題目中

21、已明確說明：，賓館采用變動價格，根據(jù)市場需求情況調(diào)整價格，一般來說周末價格比較高。同時結(jié)合上圖，對建立的各周內(nèi)模型采用分段的多項式趨勢外推法建立函數(shù)。分別用線性趨勢外推，以及三次多項式外推，建立的分段函數(shù)如下：</p><p>　　通過matlab求解方程組（代碼見附錄代碼一），得到趨勢外推法的解如下</p><p><b>　　其模擬的效果如下：</b></p

22、><p>　　從驗證值與實際數(shù)據(jù)的誤差來看，誤差最大的為0.39%，在允許范圍內(nèi)，模擬效果比較理想。</p><p>　　5.1.2.再對標準間前八周的周均價走勢作分析，建立周間均價變化模型，并預(yù)測九十周均價。</p><p>　　、多項式外推法求解（代碼見附錄代碼二）</p><p>　　對周間標準間的價格變化的研究，得到其周均價的價格走勢，可

23、以較為直觀的反應(yīng)在較長時間段內(nèi)整體的價格趨勢，以便于作短期預(yù)測。</p><p>　　通過對題目所提供的數(shù)據(jù)，分析得到前八周各自的均價，</p><p>　　根據(jù)對周均價走勢的分析，和題目其他已知條件，首先通過趨勢外推法建立模型如下</p><p><b>　　三次多項式外推</b></p><p>　　其擬合前后對比如

24、下：</p><p>　　擬合曲線見下圖。可見，其誤差以十分明顯。其中，前6周誤差都超過10%，最大的第三周甚至達到69.73%。而且根據(jù)它預(yù)測的第九、十周均價分別為42.2653，24.4082元。根據(jù)日常經(jīng)驗可知，均價隨時間的推移是逐步上漲的，這與之不符。故，此時采用三次趨勢外推是不合理的；若采用更高次的多項式外推法，可使前八周內(nèi)誤差減小，但其預(yù)測將變得更加不合常規(guī)。</p><p>

25、　　于是，此處不能采用多項式趨勢外推。接下了，本文將采用一次移動平均的方法對第九第十周預(yù)測。</p><p>　　采用一次移動平均法求解（代碼見附錄代碼三）</p><p>　　為了使數(shù)據(jù)最終結(jié)果與原始數(shù)據(jù)比較符合，并減小統(tǒng)計數(shù)據(jù)中由于偶然因素較大的數(shù)據(jù)的影響，取移動平均的觀測點數(shù)為8。其最終擬合結(jié)果如下（為了便于繪圖，在原始數(shù)據(jù)中令第九十周均價為0，不過這不影響算法的準確度）</p

26、><p>　　設(shè)未來第k周的周均價值為,則</p><p>　　其對九、十周的預(yù)測結(jié)果為77.3929元，與 81.6205元，比較符合均價整體走勢。</p><p>　　5.1.3.綜上，可得未來第k周，星期i的標準間價格的預(yù)測值yk,i得表達式：</p><p>　　根據(jù)以上公式計算出來的第九第十周標準間價格如下表：</p>

27、<p><b>　　5.2求解第二問</b></p><p>　　5.2.1僅考慮賠償現(xiàn)金的情況下：</p><p>　　賓館標準客房、豪華套間、總統(tǒng)套房的實有數(shù)量分別為n1,n2,n3;</p><p>　　設(shè)賓館接受預(yù)定的標準客房、豪華套間、總統(tǒng)套房的數(shù)量分別為m1,m2,m3;</p><p>　　客人入

28、住的客房的利潤為A元每間；</p><p>　　已經(jīng)預(yù)定而又沒有得到客房的賠償為D元每間；</p><p>　　賓館除客房以外的其他成本分攤給三類房間，分別總共為C1,C2,C3元；</p><p>　　設(shè)一個已定客房的旅客在在前一天中午以前取消預(yù)定的概率為p；</p><p>　　其中k 人未按時入住的概率為gk，則有：；</p>

29、;<p>　　當m很大時，為了便于計算gk，根據(jù)泊松分布和二項分布的聯(lián)系知道，此時可以用前者計算后者的近似值：即有，;</p><p>　　設(shè)賓館相應(yīng)與每種gk的利潤為LR，那么</p><p>　　那么賓館的利潤期望為</p><p>　　根據(jù)假設(shè)，除去客房開支以外，賓館總的運營成本，等于至少六成的客房有人入住時所得的利潤；即C=0.6nA。<

30、/p><p>　　顯然，賓館的n,D,A,p短期內(nèi)都是已知常數(shù)。過可以通過數(shù)值模擬的方法取定m，使得Y(LR)最大。對Y(LR)進行等價變形得：</p><p><b>　　對標準間而言</b></p><p><b>　　對豪華間而言</b></p><p><b>　　對總統(tǒng)包間而言<

31、;/b></p><p>　　顯然，隨著p的增大，即1-p的減小，利潤是逐漸增大的。</p><p>　　根據(jù)m和p取不同的值，利潤的期望變化如下：</p><p>　　A．根據(jù)下圖，標準間的最大利潤在1-p=0.95時，在m1=530時取得。</p><p>　　B．根據(jù)模擬計算圖，豪華間在所有情況下，都在m2=100左右取得最大利潤

32、。</p><p>　　C，根據(jù)模擬計算圖，總統(tǒng)包間在所有情況下，都在m3=20左右取得最大利潤</p><p>　　假設(shè)取1-P=0.95。此時，賓館為了取得最大期望利潤率，根據(jù)前述計算結(jié)果可知，標準客房的預(yù)訂水平因該取530、豪華套房的預(yù)訂水平取100、總統(tǒng)套房的預(yù)訂水平取20時，賓館利潤最大。</p><p>　　而其中，豪華套房、總統(tǒng)套房的最大利潤分別在10

33、1和21處取得，m的數(shù)量太少，不適合超額預(yù)訂，況且賠率較大，賓館從經(jīng)濟的角度考慮，豪華套房、總統(tǒng)套房不應(yīng)該接受超額預(yù)訂。根據(jù)求出的數(shù)據(jù)可知，對于標準客房來說，當標準客房的超額預(yù)訂水平為530 時，最大可能超額入住5人，且概率為0.0796，即說明，最大可能賠償5個人。</p><p>　　5.2.2在同時考慮升級客房檔次或賠款的情況下</p><p>　　對于標準房間，由于沒有更低級的房間

34、升級到標準房間，故在不同的概率值Ｐ下，期望利潤率隨訂房水平ｍ的變化情況相似。</p><p>　　由5.1的求解可知，在1-P=0.95 的情況下，賓館為達到，最大期望收益率，標準客房的超額預(yù)訂水平為530，豪華套房和總統(tǒng)套房不需要超額預(yù)訂。在標準客房的530 超額預(yù)訂水平下，最大可能是需要賠償5 個人。我們不妨假設(shè)賓館此時的處理方式是給其中2 人退預(yù)定金，并賠償標準間利潤的一倍；給另外3 人升級為豪華套房。于是

35、，對于豪華套房來說，由于客滿，已經(jīng)預(yù)定豪華套房的客人不能入住的概率將增加。由于豪華套房本身不超額預(yù)訂，那么，賓館最明智的處理方式是預(yù)留3 個房間，提供給不能住標準客房的客人，以減少損失。</p><p>　　結(jié)論是：當賓館的處理方式是賠償客人費用或升級客人鎖定房間的等級時，賓館的預(yù)訂策略是標準客房預(yù)訂水平定為530，豪華客房預(yù)訂水平定為97，總統(tǒng)套房的預(yù)訂水平定為20。</p><p>　

36、　5.3為該賓館制定一個長期的經(jīng)營策略；并給總經(jīng)理寫一篇短文有關(guān)管理經(jīng)營的建議書。</p><p>　　根據(jù)第一二問的求解，可以知道，賓館的有關(guān)經(jīng)營定價策略；不過對于長期的預(yù)測與規(guī)劃，本模型同樣適用，只是涉及的具體參數(shù)，計算數(shù)據(jù)等要隨時間的推移和市場的變化而更新，從而可以制定科學合理的經(jīng)營策略。同時，也要適度靈活處置市場即時變更，以適應(yīng)波動的市場。</p><p>　　六、計算機結(jié)果及分析

37、</p><p>　　6.1.第一問結(jié)果為</p><p>　　第九第十周標準間價格如下表：</p><p>　　6.2第二問的結(jié)果為</p><p>　　A．僅考慮賠償現(xiàn)金的情況下</p><p>　　賓館的超額預(yù)訂策略是標準客房預(yù)訂水平定位530，同時，其賠償額度為每間賠償以相當于一間同等級別的客房利潤的現(xiàn)金，豪華

38、套房和總統(tǒng)套房不提供超額預(yù)訂。</p><p>　　B．在同時考慮升級客房檔次或賠款的情況下</p><p>　　賓館的預(yù)訂策略是標準客房預(yù)訂水平定為530，豪華客房預(yù)訂水平定為97，總統(tǒng)套房的預(yù)訂水平定為20。</p><p>　　6.3本模型的優(yōu)缺點</p><p>　　優(yōu)點：模型的精確度較高，比如第一問的誤差不超過1%，結(jié)果可靠；<

39、;/p><p>　　采用多種方法對比計算，結(jié)果優(yōu)化程度較好。</p><p>　　結(jié)合各種市場數(shù)據(jù)和經(jīng)濟規(guī)律，結(jié)果的可靠度較高。</p><p>　　缺點：模型的建立中考慮的因素不夠全面，比如第二問的求解當中，還可以將超額預(yù)訂對賓館的信譽度，一致于入住率的影響加入考慮。</p><p><b>　　七、參考文獻</b><

40、;/p><p>　　[1]： 蒲俊，數(shù)學建模講義；</p><p>　　[2]： 曾建軍，李世行，matlab語言與數(shù)學建模，安徽理工大學；</p><p>　　[3]： 李順初，概率統(tǒng)計教程；科學出版社；</p><p>　　[4]： 孫岳，楊永均，湯玚，中國礦業(yè)大學暑期數(shù)學建模集訓；</p><p><b

41、>　　八、附錄</b></p><p>　?、?、某賓館8周標準房價格(單位: 美元)</p><p><b>　　Ⅱ、代碼</b></p><p>　　代碼一：x=[ 3 4 5 6 7]</p><p>　　y1=[0.0862944160.2196585140.2311952010.17628

42、05720.10013844]</p><p>　　y=[ 0 0 0 0 0]</p><p>　　wc=zeros(1,7)</p><p><b>　　figure</b></p><p><b>　　hold on</b></p><p>　　plot(x,y1,&

43、#39;r-')</p><p>　　b=polyfit(x,y1,3)</p><p>　　plot(x,polyval(b,x),'g--')</p><p>　　legend('原始數(shù)據(jù)','二次多項式外推擬合')</p><p><b>　　for i=3:7</

44、b></p><p>　　y(i-2)=polyval(b,i) ;</p><p>　　wc(i)=abs((polyval(b,i)-y1(i-2))/y1(i-2));</p><p><b>　　end</b></p><p><b>　　wc</b></p><p

45、><b>　　y</b></p><p>　　代碼二x=[1 2 3 4 5 6 7 8 ]</p><p>　　y1=[43.57142857495316990.4285714370.4285714376.1428571467.57142857]</p><p><b>　　figure</b></p>

46、<p><b>　　hold on</b></p><p>　　plot(x,y1,'r-')</p><p>　　b=polyfit(x,y1,3)</p><p>　　plot(x,polyval(b,x),'g--')</p><p>　　legend('原始數(shù)

47、據(jù)','三次多項式外推擬合')</p><p>　　e=polyval(b,8)</p><p>　　n=polyval(b,9)</p><p>　　t=polyval(b,10)</p><p>　　代碼三：y=[43.57142857 4 53 169 90.42857143 70.42857143 76.142

48、85714 67.57142857 0 0]</p><p>　　x=[1 2 3 4 5 6 7 8 9 10]</p><p>　　y1=[43.57142857 49 53 169 90.42857143 70.42857143 76.14285714 67.57142857 0 0]</p><p>　　b=zeros(1,2)</p><

49、;p><b>　　for i=1:2</b></p><p><b>　　c=0</b></p><p><b>　　for j=0:7</b></p><p>　　c=y(i+j)+c; </p><p><b>　　end</b><

50、/p><p>　　b(i)=c/8; </p><p>　　y(8+i)=b(i);</p><p><b>　　end</b></p><p><b>　　d=b</b></p><p><b>　　figure</b></p>&l