n階行列式地計算方法與技巧要點(diǎn)

1、<p>　　密級： </p><p>　　JINING UNIVERSITY</p><p>　　學(xué) 士 學(xué) 位 論 文</p><p>　　THESIS OF BACHELOR</p><p>　　題 目 n階行列式的計算方法與技巧 </p><

2、p>　　系 別： 數(shù)學(xué)系 </p><p>　　專業(yè)年級： </p><p>　　學(xué)生姓名： 學(xué)號： </p><p>　　指導(dǎo)教師：

3、 職稱： </p><p>　　起訖日期： </p><p><b>　　目 錄</b></p><p><b>　　摘 要1</b></p><p>&l

4、t;b>　　關(guān)鍵詞1</b></p><p>　　Abstract1</p><p>　　Keywords1</p><p><b>　　引言1</b></p><p>　　1 利用行列式定義直接計算2</p><p>　　1.1 利用定義計算的條件2</p

5、><p>　　1.2 對定義計算的舉例應(yīng)用2</p><p>　　2 化三角形法2</p><p>　　2.1 化三角形方法的運(yùn)用條件2</p><p>　　2.2 化三角形方法舉例應(yīng)用2</p><p>　　3 按行（列）展開法（降階法）3</p><p>　　3.1 降階法

6、法的運(yùn)用條件3</p><p>　　3.2 降階法方法舉例應(yīng)用4</p><p><b>　　4 歸一法4</b></p><p>　　4.1 歸一法的運(yùn)用條件4</p><p>　　4.2 歸一法舉例應(yīng)用4</p><p>　　5 加邊法（升階法）5</p>

7、<p>　　5.1 加邊法的運(yùn)用條件5</p><p>　　5.2 加邊法舉例應(yīng)用5</p><p><b>　　6 遞推法6</b></p><p>　　6.1 遞推法的運(yùn)用條件6</p><p>　　6.2 遞推法舉例應(yīng)用6</p><p>　　7 利用范德蒙行

8、列式6</p><p>　　7.1 范德蒙行列式6</p><p>　　7.2 范德蒙行列式方法舉例應(yīng)用7</p><p>　　8 數(shù)學(xué)歸納法7</p><p>　　8.1 數(shù)學(xué)歸納法的運(yùn)用條件7</p><p>　　8.2 數(shù)學(xué)歸納法舉例應(yīng)用7</p><p>　　9

9、利用拉普拉斯定理8</p><p>　　9.2 拉普拉斯定理8</p><p>　　9.2 拉普拉斯定理方法舉例應(yīng)用8</p><p>　　10 拆行（列）法9</p><p>　　10.1 拆行（列）法的運(yùn)用條件9</p><p>　　10.2 拆行（列）法舉例應(yīng)用9</p>&l

10、t;p>　　11 析因法10</p><p>　　11.1 析因法的運(yùn)用條件10</p><p>　　11.2 析因法舉例應(yīng)用及分析10</p><p>　　12 利用矩陣行列式公式11</p><p>　　12.1 引理一及其證明12</p><p>　　12.2 利用矩陣行列式公式方法舉

11、例應(yīng)用13</p><p>　　13 論文總結(jié)13</p><p><b>　　致謝14</b></p><p><b>　　參考文獻(xiàn)14</b></p><p>　　n階行列式的計算方法與技巧</p><p>　　數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)學(xué)生 lm </p&g

12、t;<p>　　指導(dǎo)教師 ff </p><p>　　摘 要：行列式是高等代數(shù)課程里基本而重要的內(nèi)容之一，是高等代數(shù)中的重點(diǎn)、難點(diǎn)，特別是n階行列式的計算。學(xué)習(xí)過程中普遍存在很多困難，難于掌握，但它在數(shù)學(xué)中有著廣泛的應(yīng)用，懂得如何計算行列式顯得尤為重要。本論文歸納研究n階行列式的各種計算方法，并指明這些方法的使用條件。同時舉例說明它們的應(yīng)用。文中介紹的都是我們常見且行之有效的方法，當(dāng)以后遇到具

13、體問題時，要針對其特征，選取適當(dāng)?shù)姆椒ㄇ蠼狻?lt;/p><p>　　關(guān)鍵詞：行列式 范德蒙行列式 遞推法 升降階法 拉普拉斯定理 矩陣 析因法</p><p>　　The calculating methods and skills of n order determinant </p><p>　　Student majoring in mathemat

14、ics and applied mathematics Li Shuming</p><p>　　Tutor Tang Qingchen</p><p>　　Abstract: Determinant is an basic and important subject in advanced algebra,it is the important and difficult

15、part of algebra,especially n order determinant of computation. During the learning process,there are a lot of difficulties,which are difficult to master.But it is very useful in mathematic and it is very important to kno

16、w how to calculate determinant. In this paper, we first study and conclude the calculating methods of determinant to several kinds and clearly point out the use of condit</p><p>　　Keywords: Determinant; Vand

17、ermonde Determinant; recursion; up and down order; Matrix; Laplace theorem;Factorial</p><p>　　行列式在高等代數(shù)課程中的重要性以及在考研中的重要地位使我們有必要對行列式進(jìn)行較深入的認(rèn)識，本文對行列式的解題方法進(jìn)行總結(jié)歸納。 我們可以這樣來理解行列式，它是在實(shí)數(shù)（復(fù)數(shù)）的基礎(chǔ)上定義的一個獨(dú)立結(jié)構(gòu)。作為行列式本身而言

18、，我們可以發(fā)現(xiàn)它的兩個基本特征，當(dāng)行列式是一個三角形行列式（上三角或下三角形行列式，對角形行列式也是三角形行列式的特殊形式）時，計算將變得十分簡單，于是將一個行列式化為三角形行列式便是行列式計算的一個基本思想。這也是化三角形法的思想精髓。行列式的另一特征便是它的遞歸性，即一個行列式可以用比它低階的一系列行列式表示，于是對行列式降階從而揭示其內(nèi)部規(guī)律也是我們的一個基本想法，即遞推法。這兩種方法也經(jīng)常一起使用。而其它方法如：加邊法、降階法、

19、數(shù)學(xué)歸納法、拆行（列）法、析因法等可以看成是它們衍生出的具體方法。作為特殊的行列式當(dāng)然也有其它方法，如用范德蒙公式計算某些行列式。</p><p>　　n階行列式的計算方法很多，除非零元素較少時可利用定義計算（①按照某一列或某一行展開②完全展開式）外，更多的是利用行列式的性質(zhì)計算，特別要注意觀察所求題目的特點(diǎn)，靈活選用方法，值得注意的是，同一個行列式，有時會有不同的求解方法。下面介紹幾種常用的方法，并舉例說明。&

20、lt;/p><p>　　1 利用行列式定義直接計算</p><p>　?。?1 利用定義計算的條件</p><p>　　利用定義是最原始的方法，直接套用公式計算，但使用起來比較麻煩，不常用。當(dāng)行列式中零比較多時可利用定義進(jìn)行計算。</p><p>　?。?2 對定義計算的舉例應(yīng)用</p><p>　　例一 計算行列

21、式[1] [3] </p><p>　　解： 行列式中不為零的項(xiàng)用一般形式表示為</p><p>　　該項(xiàng)列標(biāo)排列的逆序數(shù)t（n－1 n－2…1n）等于，故</p><p><b>　　2 化三角形法</b></p><p>　　2.1 化三角形方法的運(yùn)用條件</p><p>　　化三角形法

22、是將原行列式化為上（下）三角形行列式或?qū)切涡辛惺接嬎愕囊环N方法。這是計算行列式的基本方法重要方法之一。因?yàn)槔眯辛惺降亩x容易求得上（下）三角形行列式或?qū)切涡辛惺降男再|(zhì)將行列式化為三角形行列式計算。</p><p>　　原則上，每個行列式都可利用行列式的性質(zhì)化為三角形行列式。但對于階數(shù)高的行列式，在一般情況下，計算往往較繁。因此，在許多情況下，總是先利用行列式的性質(zhì)將其作為某種保值變形，再將其化為三角形行列式

23、。[2] [4] </p><p>　　2.2 化三角形方法舉例應(yīng)用</p><p>　　例2 計算n階行列式[1] </p><p>　　[分析]顯然若直接化為三角形行列式，計算很繁，所以我們要充分利用行列式的性質(zhì)。注意到從第1列開始；每一列與它一列中有n-1個數(shù)是差1的，根據(jù)行列式的性質(zhì)，先從第n-1列開始乘以－1加到第n列，第n-2列乘以－1加到第n-1列

24、，一直到第一列乘以－1加到第2列。然后把第1行乘以－1加到各行去，再將其化為三角形行列式，計算就簡單多了。</p><p>　　3 按行（列）展開法（降階法）</p><p>　　3.1 降階方法的運(yùn)用條件</p><p>　　設(shè)為階行列式，根據(jù)行列式的按行（列）展開定理有</p><p><b>　　或</b>&l

25、t;/p><p>　　其中為中的元素的代數(shù)余子式</p><p>　　按行（列）展開法可以將一個n階行列式化為n個n-1階行列式計算。若繼續(xù)使用按行（列）展開法，可以將n階行列式降階直至化為許多個2階行列式計算，這是計算行列式的又一基本方法。但一般情況下，按行（列）展開并不能減少計算量，僅當(dāng)行列式中某一行（列）含有較多零元素時，它才能發(fā)揮真正的作用。因此，應(yīng)用按行（列）展開法時，應(yīng)利用行列式的

26、性質(zhì)將某一行（列）化為有較多的零元素，再按該行（列）展開。[1] [5] </p><p>　　3.2 降階方法舉例應(yīng)用 </p><p>　　例3 計算n階行列式</p><p>　　解： 將行列式按第1行展開</p><p><b>　　4 歸一法</b></p><p>　　4.1

27、歸一法的運(yùn)用條件</p><p>　　根據(jù)行列式不同特點(diǎn)，解法也有多種，當(dāng)行列式的特點(diǎn)是每一行有一個元素a，其余元素是b時，可利用行列式性質(zhì)變換，用歸一法解題。</p><p>　　4.2 歸一法舉例應(yīng)用</p><p>　　例4 計算n階行列式[1] </p><p>　　解：這個行列式的特點(diǎn)是每行（列）元素的和均相等，根據(jù)行列式的性質(zhì)

28、，把第2，3，…，n列都加到第1列上，行列式不變，得</p><p><b>　　.</b></p><p>　　5 加邊法（升階法）</p><p>　　5.1 加邊法的運(yùn)用條件</p><p>　　加邊法（又稱升階法）是在原行列式中增加一行一列，且保持原行列式不變的方法。加邊法最在的特點(diǎn)就是要找出每行或每列相同的

29、因子，那么升階之后，就可利用行列式的性質(zhì)把絕大部分元素化為零，然后再化為三角形行列式，這樣就達(dá)到了簡化計算的效果。</p><p>　　加邊法的一般做法是：</p><p><b>　　特殊情況取或</b></p><p>　　5.2 加邊法舉例應(yīng)用</p><p>　　例5 計算n階行列式 [1] </p&g

30、t;<p><b>　　6 遞推法</b></p><p>　　6.1 遞推法的運(yùn)用條件</p><p>　　應(yīng)用行列式的性質(zhì)，把一個n階行列式表示為具有相同結(jié)構(gòu)的較低階行列式（比如，n-1階或n-1階與n-2階等）的線性關(guān)系式，這種關(guān)系式稱為遞推關(guān)系式。根據(jù)遞推關(guān)系式及某個低階初始行列式（比如二階或一階行列式）的值，便可遞推求得所給n階行列式的值，

31、這種計算行列式的方法稱為遞推法。用此方法一定要看行列式是否具有較低階的相同結(jié)構(gòu)如果沒有的話，即很難找出遞推關(guān)系式，從而不能使用此方法。[4] [5] </p><p>　　6.2 遞推法舉例應(yīng)用</p><p><b>　　例6 </b></p><p>　　證明：將行列式按第1列展開得</p><p>　　由此得遞

32、推公式：，利用此遞推公式可得</p><p>　　7 利用范德蒙行列式</p><p>　　7.1 范德蒙行列式</p><p>　　范德蒙行列式：[1] </p><p>　　記住公式直接套用，或經(jīng)過簡單變形再套用公式。</p><p>　　7.2 范德蒙行列式方法舉例應(yīng)用</p><p&g

33、t;<b>　　例7 計算行列式</b></p><p>　　解：把第1行的－1倍加到第2行，把新的第2行的－1倍加到第3行，以此類推直到把新的第n－1行的－1倍加到第n行，便得范德蒙行列式</p><p><b>　　8 數(shù)學(xué)歸納法</b></p><p>　　8.1 數(shù)學(xué)歸納法的運(yùn)用條件</p>&

34、lt;p>　　一般是利用不完全歸納法尋找出行列式的猜想值，再用數(shù)學(xué)歸納法給出猜想的證明。因此，數(shù)學(xué)歸納法一般是用來證明行列式等式。因?yàn)榻o定一個行列式，要猜想其值是比較難的，所以是先給定其值，然后再去證明。</p><p>　　8.2 數(shù)學(xué)歸納法舉例應(yīng)用</p><p><b>　　例8 </b></p><p><b>　

35、　證：當(dāng)時，有：</b></p><p><b>　　結(jié)論顯然成立。</b></p><p>　　現(xiàn)假定結(jié)論對小于等于時成立。</p><p><b>　　即有：</b></p><p>　　將按第1列展開，得：</p><p>　　故當(dāng)對時，等式也成立。<

36、/p><p><b>　　得證。</b></p><p>　　9 利用拉普拉斯定理</p><p>　　9.1 拉普拉斯定理</p><p>　　拉普拉斯定理的四種特殊情形：[2][6]</p><p>　　1） 2）</p><p>　　3）

37、 4）</p><p>　　9.2 拉普拉斯定理方法舉例應(yīng)用</p><p>　　例9 計算n階行列式：[2] </p><p>　　10 拆行（列）法</p><p>　　10.1 拆行（列）法的運(yùn)用條件</p><p>　　由行列式拆項(xiàng)性質(zhì)知，將已知行列式拆成若干個行列式之積，計算其值，再得原行

38、列式值，此法稱為拆行（列）法。</p><p>　　由行列式的性質(zhì)知道，若行列式的某行（列）的元素都是兩個數(shù)之和，則該行列式可拆成兩個行列式的和，這兩個行列式的某行（列）分別以這兩數(shù)之一為該行（列）的元素，而其他各行（列）的元素與原行列式的對應(yīng)行（列）相同，利用行列式的這一性質(zhì)，有時較容易求得行列式的值。[7] </p><p>　　10.2 拆行（列）法舉例應(yīng)用</p>

39、<p>　　例10 計算行列式 </p><p><b>　　解： </b></p><p><b>　　……</b></p><p><b>　　11 析因法</b></p><p>　　11.1 析因法的運(yùn)用條件</p><p>　

40、　如果行列式D中有一些元素是變數(shù)x（或某個參變數(shù)）的多項(xiàng)式，那么可以將行列式D當(dāng)作一個多項(xiàng)式f(x)，然后對行列式施行某些變換，求出f(x)的互素的一次因式，使得f(x)與這些因式的乘積g(x)只相差一個常數(shù)因子C，根據(jù)多項(xiàng)式相等的定義，比較f(x)與g(x)的某一項(xiàng)的系數(shù)，求出C值，便可求得D=Cg(x) 。</p><p>　　那在什么情況下才能用呢？要看行列式中的兩行（其中含變數(shù)x），若x等于某一數(shù)a1時，

41、使得兩行相同，根據(jù)行列式的性質(zhì)，可使得D=0。那么x a1便是一個一次因式，再找其他的互異數(shù)使得D=0，即得到與D階數(shù)相同的互素一次因式，那么便可用此法。[2]</p><p>　　11.2 析因法舉例應(yīng)用及分析</p><p><b>　　例11[4]</b></p><p>　　[分析] 根據(jù)該行列式的特點(diǎn)，當(dāng)時，有。但大家認(rèn)真看一下，

42、該行列式Dn+1是一個n+1次多項(xiàng)式，而這時我們只找出了n個一次因式,那么能否用析因法呢？我們再仔細(xì)看一下，每行的元素的和數(shù)都是一樣的，為：，那么我們從第2列開始到第n+1列都加到第1列，現(xiàn)提出公因式，這樣行列式的次數(shù)就降了一次。從而再考慮析因法。</p><p><b>　　顯然當(dāng)：時，。</b></p><p><b>　　又為n次多項(xiàng)式。</b&

43、gt;</p><p>　　又中的最高次項(xiàng)為，系數(shù)為1，C=1</p><p><b>　　因此得：</b></p><p>　　該題顯然用析因法是最簡便，但大家不要一味地只找使它等于0的數(shù)，而該最多只能有n個數(shù)使它等于0，而行列式又是n+1階是一個n+1次多項(xiàng)式，從而我們想到的就是得用行列式的性質(zhì)把行列式的次數(shù)降低一次，使得原n+1次多項(xiàng)式變

44、為一個一次多項(xiàng)式和一個n次多項(xiàng)式的乘積。進(jìn)而便可求得其值。</p><p>　　凡事要懂得變通，一道題不可能用一種方法就可以馬上解得。在析因法中，對于一個n次多項(xiàng)式，當(dāng)你最多只能找出r個使其行列式為零時，就要把它化為一個nr次多項(xiàng)式與一個r次多項(xiàng)式的乘積。但一般找出的使其行列式為零的個數(shù)與行列式的次數(shù)差太多時，不用本法。</p><p>　　12 利用矩陣行列式公式</p>

45、<p>　　12.1 引理一及其證明</p><p>　　引理：設(shè)A為型矩陣，B為型矩陣，，分別表示n階，m階單位矩陣，則有 [6]</p><p>　　先引入一個證明題：[2]</p><p>　　設(shè)A，B分別是和矩陣，，證明： </p><p>　　證明：兩邊取行列式得：</p><p>　　又同樣兩

46、邊取行列式有：</p><p><b>　　得證。</b></p><p>　　那么對于分別是和矩陣，能否得到：</p><p><b>　　答案是肯定的。</b></p><p>　　證： </p><p><b>　　有： </b

47、></p><p><b>　　又 </b></p><p>　　即得：對分別為和矩陣，時，有：</p><p><b>　　則當(dāng)時，有： </b></p><p><b>　　引理得證。</b></p><p>　　12.2 利用矩陣行列式公

48、式舉例應(yīng)用</p><p><b>　　例12</b></p><p><b>　　解：令矩陣</b></p><p><b>　　則可得：</b></p><p><b>　　其中</b></p><p>　　那么根據(jù)上面所提到的

49、引理可得：</p><p><b>　　又</b></p><p><b>　　可得： </b></p><p>　　本題主要是記住公式，然后套用。</p><p><b>　　13 論文總結(jié)</b></p><p>　　上面介紹了計算n階行列式的常見

50、方法與技巧，其中一些是常見的些是最基本的方法，還有一些是特殊但很實(shí)用的方法。我認(rèn)為只要理解和掌握以上12種方法，不管哪種行列式計算，都可以迎刃而解。而且一個題目有時候要由多種解法并用，或一個題可由多種方法獨(dú)自解出，計算行列式時，我們應(yīng)當(dāng)針對具體問題，把握行列式的特點(diǎn)，靈活選用方法。學(xué)習(xí)中多練習(xí)，多總結(jié)，才能更好地掌握行列式的計算。</p><p><b>　　致謝</b></p>

51、<p>　　時值畢業(yè)論文完成之際，我首先要感謝我的指導(dǎo)老師ff老師，在畢業(yè)論文準(zhǔn)備期間，ff老師不斷地以他自身對待科學(xué)的熱忱，治學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膽B(tài)度，以及對待學(xué)生的責(zé)任上深深感染著我，在這樣的言傳身教下，我深深了解了作為一名大學(xué)生應(yīng)有的責(zé)任和做法。在論文寫作過程中ff老師為我提供了大量的資料，并提出許多有益的意見，ff老師扎實(shí)的理論功底，豐富的科研經(jīng)驗(yàn)極大程度上幫助了我畢業(yè)論文的順利進(jìn)行。ff老師的博學(xué)、敬業(yè)、嚴(yán)謹(jǐn)時時刻刻鞭策著我

52、、鼓勵著我、指引著我，對我今后的學(xué)習(xí)和工作受益匪淺，在此，我再一次對ff老師的培養(yǎng)和關(guān)懷表示誠摯的謝意！</p><p>　　感謝父母多年來對我的支持和鼓勵！</p><p>　　在此，我還要感謝pp.zh和所有給予我?guī)椭母魑慌笥眩?lt;/p><p><b>　　參考文獻(xiàn)：</b></p><p>　　[1] 北京大學(xué)數(shù)

53、學(xué)系.高等代數(shù)(第三版)[M]. 北京:高等教育出版社,2003.</p><p>　　[2] 李師正等. 《高等代數(shù)復(fù)習(xí)解題方法與技巧》[M]. 高等教育出版社,2005.</p><p>　　[3] 張賢科、許甫華.《高等代數(shù)學(xué)》[M]. 清華大學(xué)出版社,2000.</p><p>　　[4] 劉學(xué)鵬等.《高等代數(shù)復(fù)習(xí)與研究》[M]. 南海出版公司,1995.&