圖像去噪模型中的差分格式研究-本科畢業(yè)論文

1、<p>　　圖像去噪模型中的差分格式研究</p><p><b>　　康清宇</b></p><p>　　河南理工大學數學與信息科學學院信息與計算科學專業(yè)2011級1班</p><p>　　摘要： 隨著電子產品的普及，數字圖像處理成為應用數學和計算機科學技術交叉領域的一門新學科，其中圖像去噪方向一直是這個新學科的研究熱點。傳統(tǒng)的圖像去

2、噪算法有很多，比如算數均值濾波、幾何均值濾波、諧波均值濾波、統(tǒng)計排序濾波，在這些算法中噪聲信息去除和細節(jié)信息保護是一對不可調和的矛盾。這些去噪算法在去除噪聲的同時，不僅會破壞圖像的邊緣、還會破壞紋理等細節(jié)特征。基于偏微分方程的圖像去噪算法，能夠對圖像進行選擇性平滑，較好的平衡兩者之間的矛盾，是一類很有發(fā)展前景的圖像去噪方法。 </p><p>　　本文首先討論了線性均勻擴散模型(熱傳導擴散方程模型),全變分去噪模

3、型(TV模型)、非線性各向異性擴散方程模型(P-M模型)。然后研究了各個模型顯式差分格式、交替方向隱格式。接著通過對同一圖像加噪、去噪實例，對比了顯式差分格式、顯隱差分格式的峰值信噪比、兩種格式的穩(wěn)定性、計算時間。最后得出結論：顯隱差分格式是無條件穩(wěn)定的。顯隱差分格式無論在計算速度上、還是計算效果上，都比顯式格式好。即對于同一模型，隱式差分格式比顯式差分格式效果好。 </p><p>　　關鍵詞：圖像去噪;偏微分

4、方程;差分格式;交替方向隱格式;峰值信噪比</p><p><b>　　§1 引言 </b></p><p>　　1.1 圖像處理簡介</p><p>　　1.1.1 圖像處理的應用</p><p>　　當代社會已經進入了信息高速發(fā)展的時代，信息的獲取、加工、傳輸遍布在現(xiàn)代社會的各個方面。據相關部門統(tǒng)計表明，

5、人類從外界獲得的信息有四分之三來自視覺系統(tǒng)，也就是從各種圖像中獲得的。圖像是自然界景物的客觀反映，因此人類為了更好地認識世界和改造世界，必須掌握圖像處理技術這個重要工具。圖像廣義上定義就是用各種觀測系統(tǒng)以不同手段和形式觀測客觀世界而獲得的，可直接或間接作用于人的肉眼并進而產生視覺的實體。圖像信息包含光通量分布和人類視覺的主觀感受。具體來說，人的視覺系統(tǒng)就是一個可以觀測的系統(tǒng)，通過它得到的圖像就是客觀景物在人眼中形成的景象。</p&

6、gt;<p>　　當代計算機網絡技術得到了空前的發(fā)展，人們所面對的圖像大多數是離散化的數字圖像，數字圖像就是以數字的形式存儲在計算機中。計算機對數字圖像的處理操作稱為數字圖象處理。伴隨著計算機速度、大規(guī)模存儲容量、網絡和通信速度的飛速提高和顯示系統(tǒng)的逐步成熟，數字圖象處理已經發(fā)展成為一門重要的學科。</p><p>　　圖像技術被應用到各個領域，不僅涉及到工業(yè)、生物、醫(yī)學農業(yè)，還涉及到航空、通信通訊

7、、智能機器人等眾多方面。數字圖像在傳輸和獲取等過程中，會因受到噪聲的干擾，降低圖像質量。數字圖像處理通常分為三部分：圖像理解、圖像分析和圖像處理。而其中的圖像去噪是圖像處理中的一項基本步驟，在圖像處理領域占據不可代替的位置。因此，為了抑制噪聲、改善圖像質量，對圖像進行去噪就成為了圖像處理的關鍵步驟之一。 </p><p>　　1.1.2 圖像噪聲簡介</p><p>　　圖像噪聲分布很廣泛

8、，比如說無線電中的靜電干擾、電視上的雪花；現(xiàn)實中的數字圖像在數字化和傳輸過程中時常受到成像設備與外部環(huán)境噪聲干擾等影響，都稱之為含噪圖像或噪聲圖像；數碼相機、平板電腦等數碼設備產品已經在人們的生活中普及。然而，由于拍攝條件、拍攝者的技術以及數碼產品攝取設備、輸出設備、傳輸設備的限制，人們所獲得的圖像并不能很好地貼合人眼直接觀察到的圖像，經常會引入不同程度的噪聲污染；圖像信號在處理過程中，經常會受到各種噪聲的影響，對圖像的質量有一定損害。

9、噪聲一般被定義為影響人的可視感覺，或阻礙系統(tǒng)傳感器對所接受的圖像原信息進行分析的各種因素，也可以理解成真實信號與理想信號之間的偏差。</p><p>　　以上這些現(xiàn)象都是信號受到了噪聲的污染。雖然噪聲的產生有時候有一定的規(guī)律，但是有時卻沒有準確的規(guī)律。由于圖像在形成、傳輸、接受和處理的過程中或多或少的存在著外部干擾和內部干擾，比如光電轉換過程中敏感元件靈敏度不均勻性、數字化過程的量化噪聲、傳輸過程中的誤差以及人為

10、因素等，均會存在著一定程度的噪聲干擾。噪聲不但降低了圖像質量，使圖像變得模糊，甚至會淹沒圖像特征，這給后面的圖像區(qū)域分割、分析判斷等工作帶來了困難。因此，在圖像的預處理階段去除噪聲是圖像處理中的一個重要的內容。圖像的去噪技術有兩個目的：一是消除噪聲；二是增強或保護圖像邊緣信息。實際應用中，這兩個目的要得到很好的兼顧，這要保證經過去噪處理后的圖像能夠與原始無噪聲圖像很接近。</p><p>　　1.1.3 噪聲的來

11、源</p><p>　　根據噪聲的來源可將噪聲分為內部噪聲和外部噪聲。</p><p>　　1.外部噪聲。外部噪聲是指獲取數字圖像的系統(tǒng)之外的因素產生的噪聲。例如光照對數字圖像成像的影響，自然界存在的各種電磁波源的影響的等等。</p><p>　　2.內部噪聲。內部噪聲是指獲取數字圖像的系統(tǒng)之內的因素產生的噪聲。例如圖像在輸入、采集過程中獲取數字圖像設備本身所產生的

12、各種噪聲等。</p><p>　　1.1.4 噪聲分類</p><p>　　根據噪聲幅度的統(tǒng)計分布特征，可將噪聲分為如下幾類[1]：</p><p>　　1.高斯噪聲。高斯噪聲是指噪聲幅度滿足高斯分布密度函數的噪聲，實際情況中大多數噪聲可近似高斯噪聲，而且在數學方面對高斯噪聲也容易處理分析，因此它是許多數字圖像實驗的噪聲模型。設隨機變量滿足高斯分布，則其概率密度函數

13、為：</p><p><b>　　(1.1)</b></p><p>　　其中是圖像的灰度值，是的期望，表示的標準差。</p><p>　　2.椒鹽噪聲。椒鹽噪聲又稱脈沖噪聲，其主要形成于圖像呈像中的短暫停留。錯誤的開關操作會引起這種噪聲，其概率密度函數如下：</p><p><b>　　(1.2)</b

14、></p><p>　　在圖像中，如果，則灰度值為在圖像中顯示為一個亮點，灰度值為在圖像中將顯示為一個暗點。</p><p>　　3.瑞麗噪聲。瑞麗噪聲是指隨機變量滿足瑞麗分布，其概率密度函數為：</p><p><b>　　(1.3)</b></p><p><b>　　其均值和方差為：</b&g

15、t;</p><p><b>　　(1.4)</b></p><p>　　4.泊松噪聲。如果是一個離散變量，其取值為那么其分布可以用分布來描述：</p><p><b>　　(1.5)</b></p><p>　　的均值和方差為：。醫(yī)學CT圖像中的噪聲就可以用播送分布來描述。</p>

16、<p>　　(a)原圖 (b)高斯噪聲圖像</p><p>　　(c)椒鹽噪聲的對比 (d)泊松噪聲</p><p>　　圖1-1 lena原圖與各種噪聲加噪聲圖</p><p>　　1.2 圖像去噪模型介紹</p><p>　　1.2.1

17、 傳統(tǒng)的去噪模型</p><p>　　在一幅圖像中，圖像可表示為：</p><p>　　令表示原圖像，表示圖像所加的噪音。是我們看到的加噪圖像。圖像復原的目的就是得到對原始圖像近似的估計。</p><p>　　傳統(tǒng)的去噪模型有如下幾種[2]：</p><p><b>　　1.算術均值濾波</b></p>&

18、lt;p>　　這里我們用表示尺寸為的矩形子圖像，中心點為。計算過程是計算區(qū)域中的平均值，然后用這個平均值賦值給</p><p><b>　　(1.6)</b></p><p>　　算數均值濾波的缺點是在減少噪音的同時也模糊了圖像。</p><p><b>　　2.幾何均值濾波</b></p><p

19、>　　幾何均值濾波去噪的算法方程如下：</p><p><b>　　(1.7)</b></p><p>　　與算術均值濾波相比，這個方法丟失較少圖像細節(jié)，但是仍然會造成一定的圖像模糊。</p><p><b>　　3.諧波均值濾波</b></p><p><b>　　(1.8)<

20、;/b></p><p>　　諧波均值濾波的特點是：適用于處理高斯噪音，但是處理胡椒噪音效果不好。</p><p>　　4.中值濾波（統(tǒng)計排序濾波類）：</p><p>　　該方法就是用以像素為中心的鄰域中的像素灰度中值來表示</p><p><b>　　(1.9)</b></p><p>

21、　　5.最大值最小值濾波（統(tǒng)計排序濾波類）</p><p>　　統(tǒng)計學中，除了中值排序外，還有其他方法，比如取最大值來代替中值</p><p><b>　　(1.10)</b></p><p>　　同樣也可以采用最小值： </p><p>　　以上幾種傳統(tǒng)的空間域去噪方法：算術均值濾波，集合均值濾波

22、，諧波均值濾波，中值濾波，最大值最小值濾波。這些方法理論發(fā)展的較為成熟，數字分析簡單，對濾波與信號不相關的噪音效果較明顯，但本身存在著明顯的缺陷，需要知道噪音的先驗統(tǒng)計知識，不能保留圖像細節(jié)等。這些方法在除噪音的同時一般都會損失目標圖像中的高頻信息，引起邊緣和紋理的模糊。所以在去噪的過程中，存在抑制噪音和保留邊緣之間的矛盾，為了解決兩者之間的矛盾，近年來提出了一種新的有效地去除噪音，保留邊緣的方法——偏微分方程的方法，基于偏微分方程的圖

23、像去噪方法使圖像處理領域邁向了一個新的臺階[3]。</p><p>　　1.2.2 現(xiàn)代圖像去噪方法</p><p>　　在圖像處理領域，采用偏微分方程方法是近些年發(fā)展起來的新興領域。現(xiàn)已積累了豐富的研究成果，并顯示出強大的生命力。一方面得益于偏微分方程作為基礎數學的一個重要分支，即已經形成的理論體系和微分方程數值方法；另一方面也得益于傳統(tǒng)的圖像處理技術所積累的經驗。</p>

24、<p>　　偏微分方程主要針對底層圖像處理，在圖像去噪方向取得了令人滿意的效果。偏微分方程具有各向異性的特點，應用在圖像去噪中，既可以去除噪音，又能保持邊緣?；趫D像去噪模型的發(fā)展中出現(xiàn)了許多的主流模型，本文結合研究內容列舉了其中的幾個典型模型。</p><p>　　1.3 圖像去噪模型的評價標準</p><p>　　去噪效果的評價標準，通常從兩個方面去評判：</p>

25、;<p>　　一、目測法，用人的眼睛觀察，這種方法雖然具有一定的主觀性，但是一種去噪模型是否具有實用性，首先要通過眼睛的考驗；二、根據一些客觀的評價標準，這里定義了一些評價優(yōu)劣的計算公式。</p><p>　　設是大小為的圖像，為處理后的圖像，下面定義了去噪模型的三個客觀評價依據：</p><p>　　1.信噪比。信噪比的單位是分貝，其定義為：</p><

26、p><b>　　(1.11)</b></p><p>　　去噪后，信噪比越大，則表明去噪效果越好[4]。</p><p>　　2.峰值信噪比。設圖像的分辨率為，則峰值信噪比為：</p><p><b>　　(1.12)</b></p><p>　　去噪后，峰值信噪比越大，則表明去噪效果越好。&

27、lt;/p><p>　　3.均方根誤差。均方根誤差是指去噪后的估計信號與原始信號之間的均方誤差。定義如下：</p><p><b>　　(1.13)</b></p><p>　　均方根誤差為開方，即</p><p><b>　　(1.14)</b></p><p>　　均方誤差越

28、小，則去噪圖像與原始圖像的近似度越高，即去噪的效果越好。</p><p>　　§2基于偏微分方程的圖像去噪模型</p><p>　　2.1 線性均勻擴散模型</p><p>　　2.1.1 模型的建立</p><p>　　線性均勻擴散模型，即常見的熱傳導擴散方程。使用偏微分方程處理圖像是根據運動的觀點進行研究的，這可以追溯到熱傳導方

29、程的初始值問題:[5]：</p><p><b>　　(2.1)</b></p><p>　　此方程的解可以表示為函數與的卷積，即</p><p><b>　　(2.2)</b></p><p><b>　　其中：</b></p><p>　　是高斯函數

30、，其中代表一個尺度參數。</p><p>　　為了求解這個微分方程，取空間步長和時間步長，其中都是自然數。用兩足平行直線和將矩陣域分割成矩陣網格，網格節(jié)點為。以表示網格內點集合，即位于開矩形的網點集合；表示所有位于閉矩形的網點集合；是網格界點集合,如下圖。</p><p>　　圖2-1 熱傳導方程網點集合</p><p>　　其次，用表示定義在網點上的函數，。<

31、;/p><p>　　2.1.2 向前差分格式</p><p>　　用適當的差商代替熱傳導方程中的偏微商，即可得到最簡單的差分格式：向前差分格式，即顯格式[6]。</p><p>　　(2.3) </p><p><b>　　，，</b></p><p>　　其中。以表示網比。為了便于計算

32、，將第層值在等式右邊，第層值在等式左邊，即可得到</p><p><b>　　(2.4)</b></p><p>　　取，利用初值和邊值，根據上式算出第一層，由上式取，又可利用和邊值，由上式算出。同樣的方法逐漸計算下去，即可逐層求出所有，并視為精確解的近似值。由于第層值通過第層值來計算，無需解線性代數方程組，如此的差分格式成為顯格式。將上式看成網點處的差分方程，它聯(lián)系

33、第層的點和第層的點，，，其分布如圖所示四個點：</p><p>　　2.1.3 向后差分格式</p><p>　　向前差分格式雖然計算簡單，但是效果并不是最好的。下面我們來研究向后差分格式，即隱格式[7]。</p><p><b>　　(2.5)</b></p><p><b>　　其中。將上式改寫為</

34、b></p><p><b>　　(2.6)</b></p><p>　　令則可利用和邊值確定，利用和邊值確定，以此類推。現(xiàn)在第層的值不能用第層值明顯標示，而是由線性代數方程組（2.1.6）確定，如此的差分格式成為隱格式。</p><p>　　2.1.4 交替方向隱格式</p><p>　　取空間步長，時間步長，作

35、兩組平行于坐標軸的網線：，，，將區(qū)域分割成個小矩形。第一個交替方向隱格式法是和提出的，他們把由第層到第層計算分成兩步：先由第層到第層，對用向后差分逼近，對用向前差分逼近，然后由第到第層，對用向前差分逼近，對用向后差分逼近，于是得到如下交替方向隱格式格式[8]：</p><p><b>　　， </b></p><p>　　， (2.

36、7)</p><p>　　其中j,上標用表示取值。假定第層的已求得，則由上第一個式子求出，這只需按行解一些具三對角系數矩陣的方程組；再由上第二個式子求出，這只需按列解一些具三對角系數矩陣的方程組，所以計算是容易實現(xiàn)的。</p><p>　　對任何，故交替方向隱格式法絕對穩(wěn)定?？傊?，在計算量、階段誤差的階和穩(wěn)定性方面，交替方向隱格式法都是很好的。</p><p>　　

37、表2-1 熱傳導去噪方程顯格式與隱格式對比</p><p>　　(a)原圖 (b)加躁圖 (c)去結果噪圖</p><p>　　圖2-2 熱傳導方程去噪效果 </p><p>　　2.2 全變分去噪模型</p><p>　　2.2.1 模型的建立</p><

38、;p>　　全變分去噪模型是由等人提出的，是一種比較理想的模型。可用下式表示[9]：</p><p><b>　　(2.8)</b></p><p>　　設表示一幅灰度圖像，灰度值為。引入時間因子，其中為變化過程中的圖像。通常依賴于圖像及空間上的一階和二階導數。原始圖像為初始條件。偏微分方程的解即給出了時刻的圖像，通常在得到滿意的圖像時停止迭代，這就是偏微分方程表

39、達的圖像處理過程，求解這個方程一般應用偏微分方程的數值解法。 </p><p>　　2.2.2 顯式差分格式</p><p>　　在離散的設定上，設圖像區(qū)域是一個矩形，定義一個均勻的網格，假設方向是等步長的。我們利用空間步長為，時間步長為。圖像為像素，網格節(jié)點上的值就是圖形灰度值，網格節(jié)點一共有個網格，每一個網格點代表一個像素，網格坐標為，，，是的近似值，用顯格式進行離散，得到的差分方程如

40、下[10]：</p><p>　　時間偏微分：由微積分定義可得：</p><p><b>　　(2.9)</b></p><p>　　作為對的近似可以表示為</p><p><b>　　(2.10)</b></p><p>　　空間偏微分：用相同的理論我們可以得到在的近似&l

41、t;/p><p><b>　　(2.11)</b></p><p>　　為了得到這個相對精確的近似值，我們用</p><p><b>　　(2.12)</b></p><p>　　表示對的近似，而上面包含的和可以用近似的</p><p>　　和

42、 (2.13)</p><p><b>　　來表示，此時就有</b></p><p><b>　　(2.14)</b></p><p>　　同理，交換i，j的值，也可以相應得到對的近似</p><p><b>　　(2.15)</b></p><p>　

43、　因此根據以上三式的近似表達式來近似偏微分方程，在的表達式，再加上約束條件有</p><p><b>　　(2.16)</b></p><p><b>　　或者表示為</b></p><p><b>　　(2.17)</b></p><p>　　最后根據給出的這個問題的初值條件

44、可以做如下做近似</p><p>　　邊值條件：為了保證邊界的連續(xù)性，采用紐曼邊界條件，即</p><p>　　用一階的微分形式來逼近上式當中的偏導數，可以得到</p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　即，，，，</b></p><p>　　根據以

45、上的推導，可以得到算法流程圖：</p><p>　　2.2.3 交替方向隱格式</p><p>　　上節(jié)介紹的顯格式差分格式，是最簡單的差分格式。在對偏微分方程進行離散時使用這種格式比較簡單，但是效果并不是最好。所以選取其他更好的差分格式是很重要的，這將會影響圖像的去噪速度。如果使用無條件穩(wěn)定的交替方向隱格式[11] 對偏微分方程進行離散，來取代前面所用的顯格式，可以提高圖像的去噪速度

46、。</p><p>　　為了直接對隱格式進行求解，將使用交替方向隱格式，這樣做必須去解決一個較大的矩陣方程，如果使用高斯消去法，在求解這個二維的微分形式的矩陣方程時將會有較大的消耗。同時，如果使用一種迭代格式來求解，在一些情況下可以，但是在每一步的迭代過程中消耗過大，而交替方向隱格式是對隱格式的一種解釋，并且提供了一種更好的格式。交替方向隱格式包含隱格式的所有優(yōu)點，只需要求解一個三對角線矩陣即可計算最終的結果。&

47、lt;/p><p>　　由于上面的模型對圖像進行去噪處理，采用顯格式進行離散的。下面改用交替方向隱格式來離散，來對圖像進行去噪處理，最后對實驗結果進行分析。</p><p>　　首先從最簡單的模型來說，</p><p><b>　　(2.18)</b></p><p>　　對于二維的問題，離散過程中的交替就是先對其中一個方向

48、做隱格式，而另一個方向依然用顯格式，然后下一步交換對上一步中做隱格式的方向做顯格式，而另一個則為隱格式，進而得到我們所需要的求解格式，分兩步得到我們所要的結果。</p><p>　　第一步是離散化，同上面保持一致，我們假設圖像區(qū)域是一個矩形，并定義一個均勻的網格，空間步長為，時間步長為，圖像為像素，網格節(jié)點上的值就是圖像灰度值，網格坐標為。是的近似值。</p><p>　　對x方向做隱格式

49、，在這里我們選取時間步長為，得到如下形式的方程</p><p><b>　　(2.19)</b></p><p>　　對上式整理后，變成如下形式</p><p><b>　　(2.20)</b></p><p>　　對y方向做隱格式，這時我們做剩下的那半個時間步長，得到如下差分格式</p>

50、;<p><b>　　(2.21)</b></p><p>　　或者 (2.22)</p><p>　　邊界條件：為了保證邊界的連續(xù)性，同樣采用紐曼邊界條件</p><p><b>　　(2.23)</b></p><p>　　如果用一階的微分形式來

51、逼近式中的偏導數，可以得到</p><p>　　即 ， (2.24)</p><p>　　如果用二階來逼近紐曼邊界條件，首先要構造虛擬點。就拿來說，構造虛擬點，對便捷條件做如下逼近</p><p>　　，即 (2.25)</p><p>　　對交替方向隱格

52、式，第一步是x方向做隱格式</p><p><b>　　(2.26)</b></p><p>　　通過上式求解，由于左端含有當取值為時可在以上兩種邊界條件中選其一來確定邊界值，不妨取第二種，即有</p><p>　　和 (2.27)</p><p>　　進而求解，同樣對于第二步y(tǒng)方向做隱

53、格式</p><p><b>　　(2.28)</b></p><p>　　通過上式求解，由于左端含有j-1，j+1，當j取值為0，M時取和</p><p>　　得出上述的差分格式后要對其進行求解，如同第一步對x方向做隱格式，第二步也用這種方法。對于第一步的差分格式</p><p><b>　　(2.29)&l

54、t;/b></p><p>　　首先取定為的一個值，當取遍后，選定相應的邊界條件，可以得到：</p><p><b>　　(2.30)</b></p><p>　　其中系數矩陣是三對角矩陣</p><p>　　是由時刻的未知解組成的列向量，是差分格式的右端決定的列向量，可以由時刻的解得出。</p>&

55、lt;p><b>　　(2.31)</b></p><p>　　求解上述的方程的步驟是寫出它的擴張矩陣。使用高斯消去法。用追趕法求解。算法設計如下所示：</p><p>　　穩(wěn)定性分析：對于交替方向隱格式，增長因子</p><p><b>　　(2.32)</b></p><p><b&

56、gt;　　則雙步的增長因子為</b></p><p><b>　　(2.33)</b></p><p>　　由于且，所以，因此易證。所以交替方向隱格式的雙步過程是無條件穩(wěn)定的，也就是基于方程的交替方向隱格式是無條件穩(wěn)定的。</p><p>　　(a)原圖 (b)加躁圖

57、 (c)去噪結果圖</p><p>　　圖2-3 線性均勻擴散模型去噪效果 </p><p>　　2.2.4 顯格式與交替方向隱格式的比較：</p><p>　　不論是根據肉眼觀看圖片，還是從峰值信噪比、均方誤差來看，使用交替方向隱格式差分來離散方程后對圖像進行處理，去噪效果要比用一般的顯式差分格式離散后去噪效果要好，速度也相應提高。</p><

58、p>　　表2-2 全變分去噪模型顯格式與隱格式對比</p><p>　　2.3 非線性各向異性擴散方程模型</p><p>　　2.3.1 模型的建立</p><p>　　年，和考慮到熱擴散方程中的平滑濾波不能保護邊緣特征的缺點，他們加入了一個控制擴散速度的函數，這個函數隨著圖像的位置而變化，構成的異向擴散方程改變了這一缺陷，為模型應用于圖像處理的研究開辟了新

59、的途徑。其平滑過程以偏微分方程形式給出，非線性各向異性擴散方程模型，即擴散方程為[12]：</p><p><b>　　（2.34）</b></p><p>　　其中為我們處理的圖像，為圖像的梯度，g（x）是非遞增的單調函數，稱為擴散函數，它的值表示了擴散強度，并且符合，，通常給出的的形式有兩種，分別是：</p><p>　　和

60、 （2.35）</p><p>　　式中是梯度門限。模型根據圖像梯度模實現(xiàn)有選擇的擴散平滑，當邊緣部分具有較大的梯度值時，取的值較小，在這里模型進行的平滑處理也就較弱，以便保護圖像的邊緣信息。基于對圖像效果的追求上，對偏微分方程離散式恰當的更好的差分格式的選擇是非常重要的。一般來說顯格式是最簡單明了的差分格式，也被較多的使用。而在偏微分方程中交替方向隱格式相對于顯格式條件收斂，是一種相對更加

61、好的差分格式。</p><p>　　下面就非線性各向異性擴散方程模型，討論顯格式與采用交替方向隱格式來替換，進行分析對比。</p><p>　　2.3.2 顯格式數值解</p><p>　　對于式2.34的模型，首先是離散化引入網格坐標，，。是的近似值，有[13]：</p><p><b>　　時間偏微分：</b><

62、;/p><p><b>　?。?.36）</b></p><p>　　空間偏微分：同是的近似值類似，設是的近似值。對</p><p>　　的離散化是： （2.37）</p><p><b>　　對的離散化采用</b></p><p><b>　　

63、（2.38）</b></p><p>　　其中的 c （2.39）</p><p>　　同樣的對于 （2.40）</p><p><b>　　最終得到：</b></p><p><b>　?。?.41）</b></p>

64、;<p>　　對第二項 （2.42）</p><p>　　采用類似的離散形式，只需要交換i和j的位置，即：</p><p><b>　　（2.43）</b></p><p>　　最終得到方程對應的差分方程：</p><p><b>　?。?.44）<

65、;/b></p><p>　　再加上相應的邊界條件，</p><p><b>　　， （2.45）</b></p><p>　　算法流程圖設計如下：</p><p>　　2.3.3 模型的解法</p><p>　　為了進一步改善算法，加快算法處理圖像效果，對于式2.3.1，我們也可以使用交

66、替方向隱格式來對模型差分[14]。</p><p><b>　　（2.46）</b></p><p><b>　　首先進行離散化，</b></p><p>　　是一個數，對，把從求偏導中提出來，同樣的對第二項也一樣。同上面保持一致，選定時間步長與空間步長。同的近似值類似，設的近似值。</p><p>

67、;　　對方向做隱格式：選取時間步長為,得到如下形式的方程</p><p><b>　?。?.47）</b></p><p>　　對上式整理后，變成如下形式</p><p><b>　?。?.48）</b></p><p>　　對方向做隱格式，這時我們做剩下的那半個時間步長，得到如下方程</p&

68、gt;<p><b>　?。?.49）</b></p><p><b>　　或者</b></p><p><b>　　（2.50）</b></p><p>　　接著對的隱格式求解。得到上述的差分格式后要進行求解，基本理論同上只是系數的變化。以第一步對方向做隱格式為例，第二步同第一步方法相

69、同。對于第一步的差分格式</p><p><b>　　（2.51）</b></p><p>　　取定為中的一個值，當取遍后，選定相應的邊界條件，我們得到</p><p><b>　?。?.52）</b></p><p>　　其中系數矩陣是三對角矩陣變化為</p><p>　　

70、仍是由時刻的未知解組成的列向量，是差分格式的右端決定的列向量，可以由時刻的得出。</p><p><b>　?。?.53）</b></p><p>　　由上述的算法得出最終的r向量就是我們所求的，。用相同的方法對第二步隱格式求解可得，</p><p>　　求解上述的方程的步驟是寫出它的擴張矩陣，使用高斯消去法。算法設計流程圖如下所示：</

71、p><p>　　穩(wěn)定性分析：對于交替方向隱格式，增長因子、雙步的增長因子為[15]：</p><p><b>　?。?.54）</b></p><p>　　由于且，所以，因此易證。所以交替方向隱格式的雙步過程是無條件穩(wěn)定的，也就是基于P-M方程的交替方向隱格式是無條件穩(wěn)定的。</p><p>　　(a)原圖

72、 (b)加躁圖 (c)去噪結果圖</p><p>　　圖2-4 非線性各向異性擴散模型去噪效果</p><p>　　2.3.4 P-M 型的顯格式與交替方向隱格式對比 </p><p>　　分別用顯格式和交替方向隱格式數值求解這一模型，通過對同一圖像去噪表明，由于交替方向隱格式的無條件穩(wěn)定性，相對于顯格式，極大的節(jié)省了

73、總的計算時間。通過采用交替方向隱格式來代替顯格式來對偏微分方程數值求解是一種更好的方法，我們進行迭代后效果也很好。達到了去除噪音，并保持更好的圖像信息，得到了較令人滿意的結果[16]。</p><p>　　表2-3 非線性各向異性擴散方程顯格式與隱格式對比</p><p><b>　　§3總結與展望</b></p><p>　　三種模

74、型、共六種差分格式，對比其峰值信噪比、均方根誤差、計算時間。</p><p>　　表3-1 各個模型峰值信噪比、均方根誤差和運行時間對比</p><p>　　根據表中的計算結果可以看出，顯隱差分格式無論在計算速度上、還是計算效果上，都比顯式格式好。即對于同一模型，隱式差分格式比顯式差分格式效果好。但是由于本文僅僅探討了一個圖像實例，對于這個圖像P-M模型效果比TV模型效果好，但是并不能說明

75、對于任何圖像，P-M的效果都比TV模型的好，這是本文的不足之處，以后還需要進一步研究。</p><p>　　下面針對P-M模型，TV模型這兩個相對比較好的模型的優(yōu)點、缺點進行對比。</p><p>　　表3-2 TV、P-M模型優(yōu)缺點對比</p><p>　　這三種模型還無法實現(xiàn)高質量的對圖像進行去噪，更好的模型還需要更進一步的研究。另外，本文在處理圖像過程中與在

76、現(xiàn)實中對處理速度的追求、更有效的實現(xiàn)、保持圖像紋理細節(jié)等方面仍有一定的距離，這也將是需要探索的新模型要繼續(xù)考慮研究的問題。</p><p>　　致謝：本論文是在李老師的悉心指導下經過幾個月完成的，李老師對學術的嚴謹和精益求精的工作作風給我留下了非常深刻的印象。從選題后的題目分析到開題報告，從寫作提綱，再到畢業(yè)論文的編寫、修改，每一步都有李老師的細心指導和認真解析，在此我表示衷心的感謝。</p>&l

77、t;p>　　四年大學生活快要結束了，回顧四年的歷程，老師們給了我們很多無私的指導和幫助。他們嚴謹的治學，優(yōu)良的作風和敬業(yè)的態(tài)度，為我們樹立了為人師表的典范。在此，我對所有數信學院的老師表示感謝，祝您們身體健康，工作順利！</p><p><b>　　參考文獻</b></p><p>　　[1]Rafael C.Gonalez,Richard E.Woods著，阮

78、秋琦，阮宇智等譯.數字圖像處理第二版（Digital Image Processing Second Edition）[M].北京：電子工業(yè)出版社，2007.8.</p><p>　　[2]李蘭蘭，吳樂南.一種各向異性擴散圖像去噪的方法[J].Journal of Circuits And Systems,2003,8(6):143-145</p><p>　　[3]崔峰峰，黃淑祥。基于P

79、DE的圖像去噪[D].濟南：山東大學，2008.</p><p>　　[4]馮象初，王衛(wèi)衛(wèi).圖像處理的變分和偏微分方程方法[M].北京：科學出版社，2009</p><p>　　[5]Perona.P and Malik J.Scale-space and edge detection using anisotropic diffusion[J].IEEE Transactions on

80、Pattern Analysis and Machine Intelligence,1990,12(7):629-639</p><p>　　[6]各向異性擴散平滑濾波的改進算法[J].中國圖像圖形學報，2006，11(2)：210-216</p><p>　　[7]王大凱，侯榆青，彭進業(yè).圖像處理的偏微分方程方法[M],北京：科學出版社，2008，125-126</p>&

81、lt;p>　　[8]史淵，潘振寬.非線性擴散和變分模型在圖像去噪中的應用[D],青島：青島大學，2008.</p><p>　　[9]朱立新，夏德深.基于偏微分方程的圖像去噪和增強研究[D]，南京：南京理工大學，2007.</p><p>　　[10]潘振寬，魏偉波，張海濤.基于梯度和拉普拉斯算子的圖像擴散變分模型[J].山東大學學報理學版，2008,5(2):3-8.</p&

82、gt;<p>　　[11]陳守水，楊新.基于偏微分方程的圖像降噪及質量評價研究[D].上海：上海交通大學，2008.</p><p>　　[12]阮秋琦.數字圖像處理學[M].北京：電子工業(yè)出版社，2001</p><p>　　[13]張澶，陳剛.基于偏微分方程的圖像處理[M].北京：高等教育出版社，2005</p><p>　　[14]張新/圖像偏微

83、分方程的原理與應用[M].上海：上海交通大學出版社，2003</p><p>　　[15]陳守水，楊新?；谄⒎址匠痰膱D像降噪及質量評價研究[D].上海：上海交通大學，2008.</p><p>　　[16]Rudin L,Osher S,Fatemi E.Nonlinear total variation based noise removal algorithmst[J].Physi

84、ca D,1992,60(1-4):259-268.</p><p>　　The Study of Difference Schemess in Image Denoising</p><p>　　Kang QingYu</p><p>　　School of Mathematics and Information Science, Henan Polytechni

85、c University</p><p>　　Abstract: As the develoP-Ment of the digital products, digital image processing has become the interdiscipline of math and computer science, in which the digital denoosing is the resear

86、ch hotspot of this new science. In the traditional image denoosing arithmetic ,such as the average filtering median filter Lowpass filtering , Wiener filtering. denoosing and Detail information are ambivalent .When d

87、enoosing ,these arithmetics will destroy the edge of images and detail feature.Based on the im</p><p>　　The heat equations,TV model ,P-M model are discussed in this paper. Both display format and and i

88、mplied format are discussed in every model.Though the examples of Image nois and image denoising, the stability and PSNR of every models are contrasted .Then the conclusion was draw : implied format is stability everyti

89、me.No matter about the speed or the result ,the implied format is better than the display format.Thus, display format is better than implied format.</p><p>　　Keywords:image denoosing； partial differential e

90、quation；difference schemes； alternating direction implicit schemes； PSNR； </p><p><b>　　附錄</b></p><p><b>　　附錄1.高斯噪聲：</b></p><p><b>　　高斯噪聲的添加:</b>&

91、lt;/p><p>　　I=imread('lena.jpg');%讀取圖像</p><p>　　J=imnoise(I,'gaussian',0,0.02);%加入均值為0，方差為0.02的高斯噪聲</p><p>　　subplot(1,2,1);imshow(I);</p><p>　　title('

92、原始圖像');</p><p>　　subplot(1,2,2); imshow(J);</p><p>　　title('加入高斯噪聲之后的圖像');</p><p><b>　　附錄2.</b></p><p><b>　　添加椒鹽噪聲：</b></p>&

93、lt;p>　　I=imread('lena.jpg');</p><p>　　J1=imnoise(I,'salt & pepper',0.02);</p><p>　　subplot(1,2,1);imshow(I);</p><p>　　title('原始圖像');</p><p&

94、gt;　　subplot(1,2,2);imshow(J1);</p><p>　　title('加椒鹽噪聲后的圖像');</p><p><b>　　boso泊松：</b></p><p><b>　　泊松代碼：</b></p><p>　　im=imread('lena.

95、bmp');</p><p>　　%im=im2double(im);</p><p>　　outpoisson=imnoise(im,'poisson');</p><p><b>　　hsize=10;</b></p><p><b>　　sigma=5;</b><

96、/p><p>　　h=fspecial('gaussian',hsize,sigma);</p><p><b>　　mesh(h);</b></p><p>　　imagesc(h);</p><p>　　fgauss=imfilter(outpoisson,h);</p><p>

97、　　subplot(221);</p><p>　　imshow(im);</p><p>　　title('原圖');</p><p>　　subplot(222);</p><p>　　imshow(outpoisson);</p><p>　　title('泊松噪聲圖');<

98、/p><p><b>　　附錄3.</b></p><p><b>　　去噪模型評價：</b></p><p>　　%A是原來的圖像，B是經過處理后的圖像</p><p>　　A=imread('lena.png');</p><p>　　I=imread(

99、9;lena.png');</p><p>　　B=imnoise(I,'gaussian',0,0.005);%加入均值為0，方差為0.005的高斯噪聲</p><p>　　Imsz=size(A);</p><p>　　ngrid=Imsz(1)*Imsz(2);%求原圖像的大小</p><p>　　A=doubl

100、e(reshape(A,1,ngrid));</p><p>　　B=double(reshape(B,1,ngrid));</p><p>　　g_mean = mean(A);%求出圖像的平均值</p><p>　　g_max = max(A);%求出圖像的最大值</p><p>　　sqr_err = (A-B)*(A-B)'

101、;</p><p>　　MSE=sqr_err/ngrid</p><p>　　NMSE = sqr_err./A*A'</p><p>　　SNR = 10.0*log10((A-g_mean)*(A-g_mean)'/sqr_err)</p><p>　　PSNR = 10.0*log10(g_max*g_max*ngri

102、d/sqr_err)</p><p><b>　　附錄4.</b></p><p><b>　　TV去噪程序：</b></p><p>　　clear all;</p><p>　　close all;</p><p><b>　　clc;</b><

103、;/p><p>　　Img=imread('lenna.bmp');</p><p>　　Img=double(Img);</p><p>　　figure(1); imshow(uint8(Img));</p><p>　　[nrow, ncol] = size(Img);</p><p>　　%%- 給

104、平滑圖像加噪</p><p>　　I0=Img+20*randn([nrow, ncol]); % 加入標準差為 20 的高斯白噪聲</p><p>　　figure(2); imshow(uint8(I0));</p><p>　　lamda=0.; </p><p>　　timestep=0.04; % 設置步長<

105、;/p><p>　　I_temp=I0; % 初始化</p><p>　　iter=1000; </p><p><b>　　%%- 迭代開始</b></p><p>　　for n=1:iter</p><p>　　I_temp=I_temp+timestep*I_t;</p&g

106、t;<p><b>　　end</b></p><p>　　figure(3);imshow(uint8(I_temp));</p><p><b>　　%評價標準</b></p><p><b>　　A=Img;</b></p><p><b>　　B

107、=I_temp;</b></p><p>　　Imsz=size(A);</p><p>　　ngrid=Imsz(1)*Imsz(2);%求原圖像的大小</p><p>　　A=double(reshape(A,1,ngrid));</p><p>　　B=double(reshape(B,1,ngrid));</p>

108、;<p>　　g_mean = mean(A);%求出圖像的平均值</p><p>　　g_max = max(A);%求出圖像的最大值</p><p>　　sqr_err = (A-B)*(A-B)' ;</p><p>　　MSE=sqr_err/ngrid</p><p>　　NMSE = sqr_err./A*A

109、'</p><p>　　SNR = 10.0*log10((A-g_mean)*(A-g_mean)'/sqr_err)</p><p>　　PSNR = 10.0*log10(g_max*g_max*ngrid/sqr_err)</p><p><b>　　附錄5.</b></p><p>　　P-M圖

110、像去噪程序：</p><p><b>　　close all</b></p><p><b>　　clear</b></p><p><b>　　clc</b></p><p>　　%原始圖像的讀取與顯示</p><p>　　im=imread('

111、;lenna.bmp');</p><p>　　imshow(im);</p><p>　　title('原始圖像');</p><p>　　% %高斯低通濾波得到模糊圖像</p><p>　　% h=fspecial('gaussian',[3,3],1);%高斯低通濾波器（采用3*3的模板，標準差為

112、1（默認的為3*3模板，標準差為0.5））</p><p>　　% imA=imfilter(im,h);</p><p><b>　　% figure;</b></p><p>　　% imshow(uint8(imA));</p><p>　　% title('模糊圖像');</p>&

113、lt;p><b>　　%添加高斯白噪聲</b></p><p>　　imB=imnoise(im,'gaussian',0,0.003);</p><p>　　%imB=imA+randn(size(imA))*5;</p><p><b>　　figure;</b></p><p

114、>　　imshow(imB);</p><p>　　title('含噪圖像');</p><p>　　P-M_image=P-M(imB,100,0.02,2);</p><p><b>　　figure;</b></p><p>　　imshow(uint8(P-M_image));</p&

115、gt;<p>　　title('100次迭代后的效果圖');</p><p><b>　　%評價標準</b></p><p><b>　　A=im;</b></p><p>　　B=P-M_image;</p><p>　　Imsz=size(A);</p>

116、<p>　　ngrid=Imsz(1)*Imsz(2);%求原圖像的大小</p><p>　　A=double(reshape(A,1,ngrid));</p><p>　　B=double(reshape(B,1,ngrid));</p><p>　　g_mean = mean(A);%求出圖像的平均值</p><p>　　g

117、_max = max(A);%求出圖像的最大值</p><p>　　sqr_err = (A-B)*(A-B)' ;</p><p>　　MSE=sqr_err/ngrid</p><p>　　NMSE = sqr_err./A*A'</p><p>　　SNR = 10.0*log10((A-g_mean)*(A-g_mea

118、n)'/sqr_err)</p><p>　　PSNR = 10.0*log10(g_max*g_max*ngrid/sqr_err)</p><p>　　function P-M_image = P-M( im,n,deltat,option )</p><p>　　%Perona-Malik模型的計算</p><p><b&

119、gt;　　%參數列表：</b></p><p>　　% im: 輸入圖像</p><p>　　% n: 迭代次數</p><p>　　% deltat：步長參數</p><p>　　% option：option=1 采用第一擴散函數</p><p>　　% option

120、=2 采用第二擴散函數</p><p>　　im=double(im);</p><p>　　P-M_image=im;</p><p>　　[M,N]=size(P-M_image);</p><p>　　%參數sigma的計算</p><p><b>　　temp3=0;</b></p&

121、gt;<p><b>　　for i=1:M</b></p><p><b>　　for j=1:N</b></p><p>　　temp3=temp3+P-M_image(i,j);</p><p><b>　　end</b></p><p>　　end

122、 </p><p>　　temp2=double(temp3)/(M*N);</p><p>　　sigma=0.4*temp2;</p><p><b>　　for m=1:n</b></p><p>　　%梯度閾值K的估計，采用2-范數估計方法</p><p>　　%圖像2-范數的計算&

123、lt;/p><p><b>　　temp=0;</b></p><p><b>　　for i=1:M</b></p><p><b>　　for j=1:N</b></p><p>　　temp=P-M_image(i,j).^2+temp;</p><p&g

124、t;<b>　　end</b></p><p><b>　　end</b></p><p>　　temp1=temp.^(1/2);</p><p>　　K=sigma*temp1/(M*N); </p><p>　　P-M_image1=zeros(M+2,N+2);</p><

125、;p>　　P-M_image1(2:M+1,2:N+1)=P-M_image;</p><p>　　%計算各個方向的梯度算子的差分格式 </p><p>　　deltaS=P-M_image1(3:M+2,2:N+1)-P-M_image;</p><p>　　deltaE=P-M_image1(2:M+1,3:N+2)-P-M_image;</p>