信息與計算科學畢業(yè)論文自適應數(shù)值積分算法及其程序設計

1、<p><b>　　本科畢業(yè)論文</b></p><p><b>　　（20 屆）</b></p><p>　　自適應數(shù)值積分算法及其程序設計</p><p>　　所在學院 </p><p>　　專業(yè)班級 信息與計算科學

2、 </p><p>　　學生姓名 學號 </p><p>　　指導教師 職稱 </p><p>　　完成日期 年 月 </p><p><b>　　摘要</b></p

3、><p>　　數(shù)值積分已有大量的研究, 并在各個領(lǐng)域都有廣泛的應用, 但是加快計算速度, 提高數(shù)值精度的算法仍是我們在不斷探究的. 自適應積分算法就是一種通過變步長來提高精度的算法. 該算法可以根據(jù)各子區(qū)間不同的情況分別給予處理, 以減少不必要的函數(shù)值計算. 本文介紹了三種自適應積分算法. 并給出數(shù)值例子, 以表明自適應算法的有效性.</p><p>　　關(guān)鍵詞: 數(shù)值積分; 自適應; 辛普森

4、公式; 梯形公式; 龍貝格積分</p><p><b>　　Abstract</b></p><p>　　Approximate Computing of definite integral are widely used in some field. How to improve convergent speed and numerical precision is

5、 the research key of numerical methods. Adaptive algorithm is a variable step size algorithm and it can reduce computation amounts. In this thesis, three adaptive algorithms are presented. Numerical example shows that th

6、e methods are very effective.</p><p>　　Keywords: Adaptive integral algorithm; Matlab program; Simpson rule; Trapezoidal rule; Romberg integration</p><p><b>　　目錄</b></p><p&

7、gt;<b>　　摘要Ⅰ</b></p><p>　　AbstractⅡ</p><p><b>　　1引言1</b></p><p>　　2數(shù)值積分的基本知識2</p><p>　　2.1一般的數(shù)值求積公式2</p><p>　　2.2復化的數(shù)值求積方法3<

8、;/p><p>　　2.3龍貝格積分法4</p><p>　　3自適應積分算法6</p><p>　　3.1自適應辛普森算法6</p><p>　　3.2自適應梯形公式8</p><p>　　3.3龍貝格外推法和自適應辛普森相結(jié)合的新型自適應算法 10</p><p>　　4數(shù)值例子及Ma

9、tlab程序?qū)崿F(xiàn)12</p><p><b>　　5小結(jié)15</b></p><p><b>　　參考文獻16</b></p><p><b>　　致謝17</b></p><p><b>　　1引言</b></p><p>

10、;　　數(shù)值積分是工程師和科學家使用的工具, 用來計算無法解析求解的定積分的近似解. 計算定積分時, 人們首先會想到牛頓-萊布尼茨公式, 問題似乎已經(jīng)解決. 可是當我們遇到這樣的情形如是由測量或數(shù)值計算給出數(shù)據(jù)表時或者用牛頓-萊布尼茨需要大量的函數(shù)值計算時, 如果用數(shù)值積分方法來解決要方便得多, 既節(jié)省工作量, 又滿足精度要求. 而數(shù)值積分方法的好壞取決于達到精度要求所需計算量的大小, 主要依賴于所需計算函數(shù)值的個數(shù)多少. 目前已有辛普森

11、求積公式, Newton-Cotes求積公式等以及復化的求積公式. 復化的求積方法比一般的求積方法精度更高.</p><p>　　但是復化求積公式通常適用于被積函數(shù)變化不太大的積分, 如果在求積區(qū)間中被積函數(shù)變化很大, 有的部分函數(shù)值變化劇烈, 另一部分變化平緩. 這時統(tǒng)一將區(qū)間等分用復合求積公式計算積分工作量大, 因為要達到誤差要求對變化劇烈部分必須將區(qū)間細分, 而平緩部分則可用大步長, 針對被積函數(shù)在區(qū)間上不

12、同情形采用不同的步長, 使得在滿足精度前提下積分計算工作量盡可能小, 針對這類問題的算法技巧是在不同區(qū)間上預測被積函數(shù)變化的劇烈程度確定相應步長, 這種方法稱為自適應求積法. </p><p>　　自適應辛普森數(shù)值求積公式是由G. F. Kuncir于1962年在《數(shù)值積分方法》中提出的. 2000年, Walter Gander和Walter Gautschi發(fā)表了《自適應積分再談》. 文章介紹了一種基于Gau

13、ss-Lobatto求積和Kronrod對Gauss-Lobatto求積的擴展的新的求積方法. </p><p>　　2005年, 曾玉華和蔣光彪在《一種自適應的四階Newton-Cotes求積方法》中提出了四階Newton- Cotes自適應求積公式中. 2007年, 孫海濤和王元漢《基于節(jié)點計算的自適應數(shù)值積分及其程序?qū)崿F(xiàn)》, 針對完全無網(wǎng)格法的計算要求, 提出了一種能自動適應任意計算域上各種節(jié)點分布方式的數(shù)

14、值積分算法, 該算法能隨計算點的位置不同自動確定積分域及積分域內(nèi)的求積點計算出數(shù)值積分結(jié)果. 2011年, 楊錄峰與趙雙鎖等在《一種變步長和變階計算的自適應數(shù)值積分算法》中介紹了一種將自適應辛普森算法和龍貝格外推算法相結(jié)合的新型自適應算法.</p><p>　　本文共分五個部分, 第一部分是引言, 介紹了自適應積分算法目前的研究成果及本文的主要內(nèi)容; 第二部分介紹了數(shù)值積分的基本知識; 第三部分主要是研究自適應的

15、三種算法法, 自適應的辛普森法梯形法及由龍貝格積分和自適應辛普森相結(jié)合的新型算法; 第四部</p><p>　　分則是對自適應算法的matlab程序?qū)崿F(xiàn), 并給出相應的數(shù)值例子; 最后測試結(jié)果, 得出結(jié)論.2數(shù)值積分的基本知識</p><p>　　2.1數(shù)值積分的基本求積公式</p><p><b>　　計算數(shù)值積分</b></p>

16、<p><b>　　(2.1)</b></p><p>　　定義2.1 設給定一組節(jié)點</p><p>　　且知函數(shù)在這些節(jié)點上的值, 作插值函數(shù). 由于代數(shù)多項式的原函數(shù)是容易求出的, 我們?nèi)?lt;/p><p>　　作為積分的近似值, 這樣構(gòu)造出的求積公式</p><p><b>　　(2.2)&

17、lt;/b></p><p>　　稱為是插值型求積公式. 式中通過插值基函數(shù)積分得出, 即</p><p>　　在插值求積公式中, 用不同次數(shù)的插值多項式就可以得到不同階數(shù)的插值求積公式; 并且, 在積分區(qū)間上取不同的個節(jié)點, 所得到的插值求積公式也是不同的, 其近似的程度是不一樣的. 如果在積分區(qū)間上取個等距節(jié)點, 則得到的插值求積公式稱為階Newton-Cotes公式</p

18、><p>　　這里為Newton-Cotes系數(shù), </p><p>　　當時(有兩個等距求積節(jié)點), ，, 相應的求積公式就是梯形公式</p><p>　　當時(有三個等距求積節(jié)點), ，, 相應的求積公式就是辛普森公式</p><p>　　當時, 相應的求積公式為4階Newton-Cotes公式, , 求積公式為</p><

19、;p>　　2.2復化的數(shù)值積分公式</p><p>　　辛普森公式, 梯形公式和Newton-Cotes公式是基本的數(shù)值求積公式. 為了提高求積公式的精度, 通?？梢园逊e分區(qū)間分成若干子區(qū)間, 再在每個子區(qū)間上用低階求積公式, 這就是復化的求積方法, 它的實質(zhì)是利用分段低次插值多項式的積分, 去逼近的積分. 上述介紹的幾種公式都有復化的形式.</p><p>　　復化的梯形公式: 令

20、其中 這里存在一個, 在個子區(qū)間上復合的梯形公式可以表示為</p><p>　　復化的辛普森公式: 令其中這里存在一個, 在個子區(qū)間上復合的辛普森公式可以表示為</p><p>　　復化的柯特斯公式: 令 其中 取的復合柯特斯公式為</p><p><b>　　2.3龍貝格積分法</b></p><p>　　本文中還將用

21、到龍貝格算法. 龍貝格算法是龍貝格積分以逐次對分區(qū)間和復化求積為出發(fā)點, 逐次修正近似值的方法構(gòu)造出一種新的求積算法. 它的優(yōu)點在于提高收斂速度.</p><p>　　龍貝格積分的方法如下:</p><p>　　第一步, 對積分在區(qū)間上應用梯形公式求得</p><p>　　第二步, 將區(qū)間對分, 應用復化梯形公式求得, 并按公式</p><p&g

22、t;　　求得辛普森公式的值. 令, 轉(zhuǎn)第四步;</p><p>　　第三步, 對區(qū)間作等分, 記相應的復化梯形公式求得值為</p><p><b>　　,</b></p><p>　　然后按下式構(gòu)造新序列(見表)</p><p>　　第四步, 若(是事先給定精度), 則計算停止, 輸出, 否則用代替,轉(zhuǎn)入第三步.<

23、/p><p><b>　　3自適應積分算法</b></p><p>　　3.1自適應辛普森積分算法</p><p>　　自適應辛普森積分法是以辛普森公式為基本求積公式來實現(xiàn)自適應積分的一種算法.其主要思想是如果在一給定子區(qū)間上的辛普森法則不能滿足精度要求, 則該區(qū)間將被等分為兩部分, 在每個長度減半的區(qū)間上應用辛普森法則, 重復這個過程得到積分的一

24、個近似值. </p><p><b>　　計算積分</b></p><p>　　的近似值. 給定精度. 先取步長, 應用辛普森公式</p><p><b>　　(3.1)</b></p><p><b>　　其中</b></p><p>　　若把區(qū)間對分

25、, 步長 在每個小區(qū)間上應用辛普森公式, 則得</p><p><b>　　(3.2)</b></p><p><b>　　其中</b></p><p>　　與(3.1)式比較, 若從而可得</p><p>　　與(3.2)式比較, 則得到</p><p><b>

26、　　這里 . 如果有</b></p><p><b>　　(3.3)</b></p><p><b>　　我們可以得到</b></p><p>　　此時取即作為的近似值, 可達到給定的誤差精度. 若不等式(3.3)不成立, 則應分別對子區(qū)間及再用辛普森公式, 此時步長, 得到及. 只要分別考察及是否成立. 對滿

27、足精度要求的區(qū)間不再細分, 對不滿足要求的還要繼續(xù)上述過程, 直到滿足要求為止.</p><p><b>　　它的算法如下:</b></p><p>　　輸入項 節(jié)點; 誤差容限; 最大循環(huán)層次限制.</p><p>　　輸出項 近似值或者超過的警告.</p><p>　　STEP 1 令;</p>

28、<p>　　( 用辛普森法在整個區(qū)間求近似值. )</p><p>　　STEP 2 當時重復第3-5步.</p><p><b>　　STEP 3 令</b></p><p>　　(用辛普森法在半分后區(qū)間求近似值.)</p><p>　　( 在這一步保存數(shù)據(jù). )</p><p>

29、　　STEP 4 令</p><p>　　STEP 5 If </p><p><b>　　then 令 </b></p><p><b>　　eif</b></p><p><b>　　then</b></p><p>　　OUTPUT(‘LE

30、VEL EXCEED’);</p><p><b>　　STOP.</b></p><p><b>　　else</b></p><p>　　令 (對左半子區(qū)間的數(shù)據(jù))</p><p>　　令(對右半子區(qū)間的數(shù)據(jù))</p><p>　　STEP 6 OUTPUT(); (

31、在容限內(nèi)逼近.)</p><p><b>　　STOP.</b></p><p>　　3.2自適應梯形求積算法</p><p>　　自適應梯形求積算法就是在每個小區(qū)間采用梯形公式和復化的梯形公式為基本的求積公式來實現(xiàn)自適應求積的算法.</p><p>　　計算積分, 步長, 允許誤差為. 根據(jù)梯形公式</p>

32、<p><b>　　在區(qū)間上有</b></p><p><b>　　(3.4)</b></p><p>　　其中. 將區(qū)間對分應用梯形公式, 可得到</p><p><b>　　(3.5)</b></p><p>　　這里步長變?yōu)? . 根據(jù)(3.5)可得<

33、/p><p><b>　　可得</b></p><p><b>　　.</b></p><p>　　若滿足該不等式, 則為積分的近似值. 若不滿足, 則需繼續(xù)細分區(qū)間.</p><p><b>　　算法如下</b></p><p>　　在誤差容限內(nèi)求積分,

34、, .</p><p>　　輸入項 節(jié)點; 誤差容限.</p><p><b>　　輸出項 近似值.</b></p><p>　　STEP 1 令;</p><p>　　( 用梯形法在整個區(qū)間求近似值. )</p><p>　　STEP 2 當時重復第3-5步.</p>&l

35、t;p><b>　　STEP 3 令</b></p><p>　　(用梯形法在半分后區(qū)間求近似值.)</p><p>　　( 在這一步保存數(shù)據(jù). )</p><p>　　STEP 4 令</p><p>　　STEP 5 If </p><p><b>　　then 令

36、</b></p><p><b>　　eif</b></p><p><b>　　then</b></p><p>　　OUTPUT (‘LEVEL EXCEED’);</p><p><b>　　STOP.</b></p><p><

37、b>　　else</b></p><p>　　令 (對左半子區(qū)間的數(shù)據(jù))</p><p>　　令(對右半子區(qū)間的數(shù)據(jù))</p><p>　　STEP 6 OUTPUT(); (在容限內(nèi)逼近.)</p><p><b>　　STOP.</b></p><p>　　3.3龍貝格外

38、推法和自適應辛普森算法相結(jié)合的新型自適應S-R算法</p><p>　　計算數(shù)值積分, 自適應算法的優(yōu)勢在于它能根據(jù)在積分區(qū)間內(nèi)不同的變化性態(tài)自動選擇步長, 但這種算法在整個區(qū)間上始終采用同一個求積公式, 因此收斂階是固定的, 而龍貝格外推法雖然可以加快收斂速度, 但它是等步長的. 本文將要介紹一種新型的自適應算法, 該算法是由自適應辛普森算法和龍貝格外推法相結(jié)合而構(gòu)造的.</p><p>

39、;　　首先, 在低精度的控制下, 用自適應辛普森算法實現(xiàn)對積分區(qū)間的剖分, 使得在剖分后所得到的每個小區(qū)間內(nèi)每一點上的變化性態(tài)相近; 然后在控制精度的要求下, 利用龍貝格外推算法求每個小區(qū)間上的積分值; 最后把每一個小區(qū)間上所得到的數(shù)值結(jié)果求和, 便得到的高精度近似積分結(jié)果. </p><p><b>　　計算數(shù)值積分</b></p><p><b>　　.

40、</b></p><p>　　令, . 數(shù)值積分.</p><p><b>　　(3.6)</b></p><p><b>　　(3.7)</b></p><p>　　這里, 和分別是3點和5點的辛普森公式. 辛普森試驗就是指對作出判斷.</p><p>　　在子

41、區(qū)間上用和近似計算. 根據(jù)復合辛普森公式的誤差有</p><p><b>　　兩式相減, 可得</b></p><p><b>　　故</b></p><p><b>　　(3.8)</b></p><p>　　若不等式(3.8)滿足, 則稱在區(qū)間上辛普森試驗成功, 為一個龍貝

42、格區(qū)間; 若不滿足, 則試驗失敗, 繼續(xù)對進行剖分, 重復上述計算.</p><p>　　完成辛普森試驗, 即對區(qū)間的剖分后, 我們得到個龍貝格區(qū)間, , . 為小區(qū)間上的積分. 用龍貝格算法近似計算得到積分值, . 滿足;</p><p><b>　　.</b></p><p><b>　　算法步驟如下:</b><

43、/p><p>　　(1) 令, 稱是的0級子區(qū)間. 如果在上辛普森試驗成功, 則就是龍貝格區(qū)間, 否則轉(zhuǎn)(2);</p><p>　　(2) 將分成2個區(qū)間和, , 則和依次是0級子區(qū)間的左右2個一級子區(qū)間. 一般而言, 設是的級子區(qū)間(它是的級子區(qū)間(記為)的左級子區(qū)間, 此),并設上的辛普森試驗是失敗的. 現(xiàn)按”先左后右”的原則, 在上的左、右2個級子區(qū)間和上做辛普森試驗, 共有3種可能:

44、</p><p>　　(i) 如果分別在和上的辛普森試驗均成功, 則依次得到2個龍貝格區(qū)間和; 下一步轉(zhuǎn)向級子區(qū)間上的右級子區(qū)間上的辛普森試驗, 此處.</p><p>　　(ii) 如果上的辛普森試驗成功, 但在上的試驗失敗, 則是龍貝格區(qū)間, 不是; 下一步需做上的2個子區(qū)間和的辛普森試驗, 這里.</p><p>　　(iii) 如果上的辛普森試驗失敗, 則下

45、一步要考察上的2個級子區(qū)間和的辛普森試驗, 這里.</p><p>　　現(xiàn)設上的辛普森試驗已全部完成, 這表明已用自適應辛普森算法對區(qū)間完成了剖分. 可以看出, 不管在上的變化性態(tài)如何, 這種剖分總可完成.</p><p>　　(3) 從左至右, 對每個龍貝格子區(qū)間均按要求的精度使用龍貝格算法, 然后完成所有子區(qū)間上的龍貝格結(jié)果求和, 即得到的近似積分.</p><p&

46、gt;　　4數(shù)值例子及Matlab程序?qū)崿F(xiàn)</p><p>　　例1用自適應積分求定積分的數(shù)值逼近, 起始容差為.</p><p><b>　　數(shù)值結(jié)果如下.</b></p><p>　　表格 1 復化梯形公式與自適應的梯形公式</p><p>　　表格 2 復化的辛普森公式與自適應辛普森公式</p>&l

47、t;p>　　表格 3 自適應梯形與自適應辛普森公式</p><p>　　例2 用自適應積分求定積分的數(shù)值逼近, 定積分的精確值為-1.426024756346266. 起始容差為. 數(shù)值結(jié)果如下.</p><p>　　表格 4 復化梯形公式與自適應的梯形公式</p><p>　　表格 5 復化的辛普森公式與自適應辛普森公式</p><p&

48、gt;　　表格 6 自適應梯形與自適應辛普森公式</p><p>　　數(shù)值結(jié)果表明：1) 當近似值精度要求相同時, 復化算法的計算量是自適應算法的2倍; 2) 當精度要求相同時，自適應辛普森公式比自適應梯形公式效果更好.</p><p><b>　　5小結(jié)</b></p><p>　　數(shù)值積分是工程師和科學家使用的工具, 用來計算無法解析求解

49、的定積分的近似解. 在計算機, 工程, 物理等等方面有著廣泛的應用. 因此, 研究如何加快數(shù)值算法的速度, 提高數(shù)值積分的精度, 減少函數(shù)值的計算量就十分必要了. 自適應算法就是針對被積函數(shù)在區(qū)間上不同情形采用不同的步長, 使得在滿足精度前提下積分計算工作量盡可能小. </p><p>　　本文主要是研究數(shù)值積分中的自適應算法, 通過對自適應辛普森法, 自適應梯形法及新型的龍貝格-辛普森自適應算法的研究, 并設計

50、Matlab程序, 通過數(shù)值結(jié)果比較：當近似值精度要求相同時, 復化算法的計算量是自適應算法的2倍; 當精度要求相同時，自適應辛普森公式遠比自適應梯形公式計算量小.</p><p><b>　　.</b></p><p><b>　　參考文獻</b></p><p>　　張池平, 施云慧等. 計算方法 [M]. 北京: 科

51、學出版社, 2002.</p><p>　　李慶揚, 王能超, 易大義. 數(shù)值分析 [M]. 北京: 清華大學出版社, 2001.</p><p>　　曾繁慧等. 數(shù)值積分 [M]. 徐州: 中國礦業(yè)大學出版社, 2009.</p><p>　　曾玉華, 蔣光彪. 一種自適應的四階Newton-Cotes求積方法 [J]. 數(shù)學理論與應用, 2005, 25(4):

52、 68-69.</p><p>　　孫海濤, 王元漢. 基于節(jié)點計算的自適應數(shù)值積分及其程序?qū)崿F(xiàn) [J]. 巖土力學, 2007, 28(5): 995-1000.</p><p>　　楊錄峰, 馬寧, 趙雙鎖. 一種變步長和變階計算的自適應數(shù)值積分算法 [J]. 云南民族大學學報(自然科學版), 2011, 20(1): 32-37.</p><p>　　J. M

53、athews, K. Fink. Numerical Methods Using MATLAB [M]. 北京：電子工業(yè)出版社, 2010.</p><p>　　D. Kincaid, W. Cheney. Numerical Analysis [M]. 北京: 機械工業(yè)出版社, 2005.</p><p>　　R. Burden, J. Douglas Faires. Numerical

54、 Analysis [M]. Beijing: Higher Education Press, 2001.</p><p>　　W. Gander, W. Gautschi. Adaptive Quadrature—Revisited [J]. BIT, 2000, 40(1): 084-101.</p><p><b>　　附件1</b></p>&l

55、t;p><b>　　被積函數(shù)</b></p><p>　　function y=adaptive_fun(x)</p><p>　　y=100*sin(10/x)/(x*x);%%13*(x-x.^2).*exp(-3*x/2);</p><p>　　例2的自適應辛普森算法的程序</p><p><b>

56、　　aa=1;</b></p><p><b>　　bb=3;</b></p><p><b>　　tol=1e-5;</b></p><p><b>　　N=100;</b></p><p><b>　　app=0;</b></p>

57、;<p><b>　　i=1;</b></p><p>　　tol(1)=15*tol;</p><p><b>　　a(i)=aa;</b></p><p>　　h(i)=(bb-aa)/2;</p><p>　　fa(i)=adaptive_fun(aa);</p>

58、<p>　　fc(i)=adaptive_fun(aa+h(i));</p><p>　　fb(i)=adaptive_fun(bb);</p><p>　　s(i)=h(i)*(fa(i)+4*fc(i)+fb(i))/3;</p><p><b>　　l(i)=1;</b></p><p><b>

59、;　　mm=3;</b></p><p><b>　　while i>0</b></p><p>　　fd=adaptive_fun(a(i)+h(i)/2);</p><p>　　fe=adaptive_fun(a(i)+3*h(i)/2); mm=mm+2;</p><p>　　s1=h(i)*(f

60、a(i)+4*fd+fc(i))/6;</p><p>　　s2=h(i)*(fc(i)+4*fe+fb(i))/6;</p><p><b>　　v1=a(i);</b></p><p><b>　　v2=fa(i);</b></p><p><b>　　v3=fc(i);</b&

61、gt;</p><p><b>　　v4=fb(i);</b></p><p><b>　　v5=h(i);</b></p><p>　　v6=tol(i);</p><p><b>　　v7=s(i);</b></p><p><b>　　v

62、8=l(i);</b></p><p><b>　　i=i-1;</b></p><p>　　if abs(s1+s2-v7)<v6</p><p>　　app=app+s1+s2;</p><p><b>　　else</b></p><p><b&

63、gt;　　if v8>=N</b></p><p><b>　　stop;</b></p><p><b>　　else</b></p><p><b>　　i=i+1;</b></p><p>　　a(i)=v1+v5;</p><p&g

64、t;<b>　　fa(i)=v3;</b></p><p><b>　　fc(i)=fe;</b></p><p><b>　　fb(i)=v4;</b></p><p>　　h(i)=v5/2;</p><p>　　tol(i)=v6/2;</p><p&

65、gt;<b>　　s(i)=s2;</b></p><p>　　l(i)=v8+1;</p><p><b>　　i=i+1;</b></p><p><b>　　a(i)=v1;</b></p><p><b>　　fa(i)=v2;</b></p

66、><p><b>　　fc(i)=fd;</b></p><p><b>　　fb(i)=v3;</b></p><p>　　h(i)=h(i-1);</p><p>　　tol(i)=tol(i-1);</p><p><b>　　s(i)=s1;</b>

67、</p><p>　　l(i)=l(i-1);</p><p><b>　　end</b></p><p><b>　　end</b></p><p><b>　　end</b></p><p>　　例2的自適應梯形算法的程序</p>&l

68、t;p><b>　　aa=1;</b></p><p><b>　　bb=3;</b></p><p><b>　　tol=1e-5;</b></p><p><b>　　N=20000;</b></p><p><b>　　app=0;&

69、lt;/b></p><p><b>　　i=1;</b></p><p>　　tol(1)=2*tol;</p><p><b>　　a(i)=aa;</b></p><p>　　h(i)=(bb-aa)/2;</p><p>　　fa(i)=adaptive_fun

70、(aa);</p><p>　　fb(i)=adaptive_fun(bb);</p><p>　　s(i)=h(i)*(fa(i)+fb(i));</p><p><b>　　l(i)=1;</b></p><p><b>　　mm=2;</b></p><p><b

71、>　　while i>0</b></p><p>　　fd=adaptive_fun(a(i)+h(i));</p><p><b>　　mm=mm+1;</b></p><p>　　s1=h(i)*(fa(i)+fd)/2;</p><p>　　s2=h(i)*(fd+fb(i))/2;<

72、/p><p><b>　　v1=a(i);</b></p><p>　　v2=fa(i); </p><p><b>　　v4=fb(i);</b></p><p><b>　　v5=h(i);</b></p><p>　　v6=tol(i);</p&

73、gt;<p><b>　　v7=s(i);</b></p><p><b>　　v8=l(i);</b></p><p><b>　　i=i-1;</b></p><p>　　if abs(s1+s2-v7)<v6</p><p>　　app=app+s1+

74、s2;</p><p><b>　　else</b></p><p><b>　　if v8>=N</b></p><p><b>　　break;</b></p><p><b>　　else</b></p><p><

75、;b>　　i=i+1;</b></p><p>　　a(i)=v1+v5;</p><p>　　fa(i)=fd; </p><p><b>　　fb(i)=v4;</b></p><p>　　h(i)=v5/2;</p><p>　　tol(i)=v6/2;</p>

76、<p><b>　　s(i)=s2;</b></p><p>　　l(i)=v8+1;</p><p><b>　　i=i+1;</b></p><p><b>　　a(i)=v1;</b></p><p>　　fa(i)=v2; </p><

77、p><b>　　fb(i)=fd;</b></p><p>　　h(i)=h(i-1);</p><p>　　tol(i)=tol(i-1);</p><p><b>　　s(i)=s1;</b></p><p>　　l(i)=l(i-1);</p><p><b