信息與計算科學畢業(yè)論文對稱性在積分計算中的應用研究

1、<p><b>　　本科畢業(yè)論文</b></p><p><b>　?。?0 屆）</b></p><p>　　對稱性在積分計算中的應用研究</p><p>　　所在學院 </p><p>　　專業(yè)班級 信息與計算科學

2、 </p><p>　　學生姓名 學號 </p><p>　　指導教師 職稱 </p><p>　　完成日期 年 月 </p><p><b>　　摘要</b></p&

3、gt;<p>　　在數學分析中, 積分計算是重要的內容. 而利用對稱性求積分包括定積分、重積分、曲線積分、以及曲面積分則是簡便計算的一種常用方法. 然而在現(xiàn)有教材以及我們日常學習中往往只強調定積分可以利用對稱性計算, 而對于其它積分則是很少甚至沒有提到. 本文就對稱性在定積分、二重積分、三重積分、曲線積分、曲面積分計算中的應用進行深入的探討.</p><p>　　關鍵詞: 對稱性; 積分; 計算&l

4、t;/p><p><b>　　Abstract</b></p><p>　　Integrals calculating is a very important part among the mathematical analysis, and applying symmetry to calculating the quadrature including definit

5、e integral, multiple integral, curvilinear integral, curved surface integral is common way of simple calculating. However, in our existing textbook or daily study, we always only emphasize that symmetry can be applied to

6、 calculate the definite integral, regardless of the rest of other integrals. Therefore, this thesis has a basic exploration on the </p><p>　　Key words: Symmetry; Integral; Calculating</p><p>&l

7、t;b>　　目錄</b></p><p><b>　　摘要I</b></p><p>　　AbstractII</p><p><b>　　1 前言1</b></p><p>　　2 各種積分的基本理論4</p><p>　　2.1 定積分的定義4

8、</p><p>　　2.2 二重積分的定義4</p><p>　　2.3 三重積分的定義5</p><p>　　2.4 第一型曲線積分的定義5</p><p>　　2.5 第一型曲面積分6</p><p>　　3對稱性在求各種積分中的應用7</p><p>　　3.1 對稱性在定積分

9、中的應用7</p><p>　　3.2 利用對稱性解二重積分9</p><p>　　3.3 對稱性在三重積分計算中的應用13</p><p>　　3.4 第一型曲線積分中的對稱性問題16</p><p>　　3.5 第一型曲面積分中的對稱性問題18</p><p><b>　　4 小結19<

10、/b></p><p><b>　　參考文獻21</b></p><p>　　致謝錯誤!未定義書簽。</p><p><b>　　1 前言</b></p><p>　　在數學計算中, 積分計算是一個非常重要的部分. 早在古希臘時期數學家阿基米德在《拋物線圖形求積法》和《論螺線》中, 利用窮

11、竭法, 借助于幾何直觀, 得出了拋物線弓形的面積和阿基米德螺線周圍成的區(qū)域的面積, 他的思想方法是分割求和, 逐次逼近. 雖然當時還沒有極限的概念, 不承認無限, 但其求積方法已具有了定積分思想的萌芽. 17 世紀中葉, 法國數學家費爾瑪、帕斯卡均利用了“分割求和”及無窮小的性質的觀點求積, 更加接近現(xiàn)代的求定積分的方法. 可見, 利用“分割求和”及無窮小的方法, 已被當時的數學家普遍采用.</p><p>　　

12、17世紀下半葉牛頓和萊布尼茲創(chuàng)造了微積分的基本方法. 但是, 他們留下了大量的事情需要后人去解決, 首先是微積分的主要內容的擴展, 其次是微積分還缺少邏輯基礎. 創(chuàng)立于17 世紀的微積分, 主要運用于天文學、力學、幾何學中的計算. 而到19世紀下半葉微積分已經發(fā)展成為一門系統(tǒng)、嚴密、完整的學科. 積分概念也趨于邏輯化、嚴密化, 形成我們現(xiàn)在使用的概念. 定積分的概念中體現(xiàn)了分割、近似、求和的極限思想. 其中分割就是將任意地分成個小間,

13、, 其中 表示第個小區(qū)間的長度, 在每個小區(qū)間上任取一點做并求和, 這體現(xiàn)了求和的思想, 當區(qū)間的最大長度趨于零時, 和式的極限若存在即為在上的定積分. 利用定積分可以解決很多實際問題, 例如求由曲線圍成的平面圖形的面積; 求由曲線繞坐標軸旋轉所得旋轉體的體積; 平行截面面積為已知的立體的體積; 求曲線的弧長以及物理中的功、水壓等等時, 的積分形式也可以推廣: </p><p>　?。?）可以把積分區(qū)間推廣到無限

14、區(qū)間上, 如 等, 或者把函數推廣到無界函數, 也就是廣義積分. </p><p>　?。?）可以把積分區(qū)間推廣到一個平面區(qū)域, 被積函數為二元函數, 那么積分就是二重積分; 同樣當被積函數成為三元函數、積分區(qū)域變成空間區(qū)域時就是三重積分.</p><p>　　（3）還可以將積分范圍推廣為一段曲線弧或一片曲面, 即曲線積分和曲面積分. </p><p>　　無論積分

15、推廣到何種形式, 它始終體現(xiàn)了這種分割的極限思想, 比如二重積分的概念: 設 在有界閉區(qū)域上有界,</p><p>　?。?）分割:將任意分成個小區(qū)域并表示面積;</p><p>　?。?）近似: 在每個上任取一點作乘積;</p><p>　?。?）求和取極限: 若各區(qū)域直徑的最大值趨于零時, 和式的極限存在, 即為在上的二重積分. 由此我們發(fā)現(xiàn)定積分與重積分在概念

16、的本質上是一致的, 同樣三重積分亦是如此.</p><p>　　此外, 不定積分與定積分之間關系為: 如果函數是連續(xù)函數在區(qū)間上的一個原函數, 則, 這是牛頓 — 萊布尼茲公式. 這個公式進一</p><p>　　步揭示了定積分與被積函數的原函數或不定積分之間的聯(lián)系. 它表明: 一個連續(xù)函數在區(qū)間上的定積分等于它的任一原函數在區(qū)間上的增量. 這就給求解定積分提供了一個簡便而有效的計算方法.

17、 </p><p>　　積分在數學分析中有很重要的地位, 積分的計算方法有許多種, 很多文獻都對它有探討,但是關于對稱性的研究卻少有涉及. 對稱性在積分運算中有著很重要的意義, 通?？梢院喕嬎? 本文研究了對稱性在積分運算中的應用. 積分在數學分析中是相當重要的一項內容, 而在計算積分的過程中, 我們經常會碰到積分區(qū)域或者被積函數具有某種對稱性的情況. 那么, 如果我們在解題中發(fā)掘或注意到問題的對稱性, 并巧妙

18、地把它們應用到積分的計算過程中去, 往往可以簡化計算過程, 收到意想不到的效果, 引起感情激蕩, 造成感情上的共鳴, 更好地感知, 理解數學之美. 特別是對于有些題目, 我們甚至可以不用計算就可以直接判斷出其結果. 在積分計算中利用對稱性來解題這種方法, 是一種探索性的發(fā)現(xiàn)方法, 它與其他方法的不同之處主要體現(xiàn)在其創(chuàng)造性功能. 下面我們舉出幾個對稱性在積分計算中的例子, 張振強他的一篇對稱性在二重積分中的應用論文中介紹如何利用對稱性來計

19、算二重積分, 并提出了通過適當改造被積函數和積分區(qū)城以利用對稱性來簡化計算的方法. 在一般情況下, 不僅要求積分區(qū)域具有對稱性, 而且被積分函數對于區(qū)域也要具有對稱性.</p><p>　　因此, 在積分計算中, 可以利用對稱性來幫助求解, 不過我們在應用對稱性求積分時還必須注意: 必須兼顧被積函數與積分區(qū)域兩個方面, 只有當兩個方面的對稱性相匹配時才能利用; 對于第二型曲線積分與曲面積分, 在利用對稱性時, 還

20、需考慮路線的方向和曲面的側, 應慎重; 合理利用輪換對稱性以求簡便計算. </p><p>　　2 各種積分的基本理論</p><p>　　2.1 定積分的定義</p><p>　　定義 設函數在上有界, 在中任意插入分點, </p><p>　　它們把分成個小區(qū)間, 第個小區(qū)間的長度為</p><p><b

21、>　　, ,</b></p><p>　　在各小區(qū)間上任取一點</p><p>　　作乘積 </p><p>　　并作和 ,</p><p>　　記 </p

22、><p>　　如果不論對怎樣的分法, 也不論在小區(qū)間上點怎么取法只要當時,和總趨于確定的極限, 稱這個極限為函數在區(qū)間上的定積分, 記為 </p><p><b>　　.</b></p><p>　　2.2 二重積分的定義</p><p>　　定義 設是定義在可求面積的有界閉區(qū)間區(qū)域上的函數. 是一個確定的數, 若對任給的

23、正數, 總存在某個正數, 使對于的任何分割, 當他的細度時, 屬于的所有積分和都有 </p><p>　　. （2.1）</p><p>　　則稱在上可積, 數稱函數在上的二重積分, 記做</p><p><b>　?。?.2）</b></p><p>　　其中稱為二

24、重積分的被積函數, 稱為積分變量, 稱為積分區(qū)域.</p><p>　　當時, 二重積分在幾何上就表示以為曲頂, 為底的曲頂柱體的體積. 當時, 二重積分的值就等于積分區(qū)域的面積.</p><p>　　由二重積分定義知道, 若在區(qū)域上可積, 則與定積分情況一樣, 對任何分割, 只要當時, (1)式都成立. 因此為了方便計算起見,常選取一些特殊的分割方法, 如選用平行于坐標軸的直線網來分割,

25、 則每一小網眼區(qū)域, 此時通常把記作 </p><p>　　. （2.3）</p><p>　　首先可以像定積分那樣類似地證明函數在有界可求面積區(qū)域上可積的必要條件是它在上有界.</p><p>　　2.3 三重積分的定義</p><p&

26、gt;　　定義 設為定義在三維空間可求體積的有界閉區(qū)域上的函數, 是一個確定的數. 若對任給的正數, 總存在某一正數, 使得對于的任何分割, 只要, 屬于分割的所有積分和都有</p><p>　　, （2.4）</p><p>　　則稱在上可積, 數稱函數在上的三重積分, 記作</p><p>　　或 ,

27、 </p><p>　　其中稱為被積函數, 稱為積分變量, 稱為積分區(qū)域.</p><p>　　2.4 第一型曲線積分的定義</p><p>　　定義2.4 設為平面上可求長度的曲線段,為定義在上的函數. 對曲線作分割, 它把分成個可求長度的小曲線段, 的弧長記為, 分割的細度為, 在上任取一點 若有極限</p><p><b&g

28、t;　　.</b></p><p>　　且的值與分割與點的取法無關, 則稱此極限為在上的第一型曲線積分, 記作 </p><p>　　. （2.5）</p><p>　　若為空間可求長曲線段,為定義在上的函數, 則可類似地定義在空間曲線上的第一型曲線積分, 并且記作</p><

29、;p>　　. （2.6）</p><p>　　2.5 第一型曲面積分</p><p>　　定義2.5 設是空間中可求面積的曲面, 為定義在上的函數. 對曲面作分割, 它把分成個小區(qū)面, 以記小曲面塊的面積, 分割的細度, 在上任取一點, 若極限</p><p>　　,

30、 （2.7）</p><p>　　存在,且與分割與的取法無關, 則稱此極限為在上的第一型曲面積分, 記作</p><p>　　. （2.8）</p><p>　　3對稱性在求各種積分中的應用</p><p>　　3.1 對稱性在定積分中的應用</p><

31、;p>　　設積分區(qū)間關于原點對稱, 記為, 在上可積則當被積函數是奇函數時, 有; 而當是偶函數時, 有.</p><p>　　如果上述命題做進一步推廣, 將得到以下幾個更為一般的性的結果, 將這些結果用于某些定積分的計算十分方便.</p><p>　　定理 設函數在區(qū)間上可積, 則有</p><p>　　, （3.1

32、）</p><p>　　特別地, 當積分區(qū)間為時, 有</p><p>　　. （3.2）</p><p>　　證明 設, 則, 且當時, ;當時, 于是有</p><p><b>　　.</b></p><p>　　(3.2)式可由(3.1)式直接推

33、得. </p><p>　　定理 設函數在區(qū)間上可積, 且有, 即關于區(qū)間的中點為偶函數, 則有, （3.3）</p><p>　　證明 . （3.4）</p><p>　　對于右式中的第二項, 令, 則, 且當時,

34、; 當時, ,于是有</p><p><b>　　.</b></p><p>　　代入（3.4）式即得到（3.3）.</p><p>　　定理 設函數在區(qū)間上可積, 且有 即關于區(qū)間的中間點為奇函數, 則有 </p><p>　　, （3.5）</p>

35、<p>　　與定理2的證明同理, 可證得定理3.但考慮到對稱性,利用定理1來證明定理3將更為直觀,方便.</p><p>　　證明 由（2）式得</p><p><b>　　,</b></p><p>　　于是有. </p><p>　　推論 設函數在區(qū)間上連續(xù), 則有<

36、;/p><p><b>　　() ,</b></p><p><b>　　,</b></p><p><b>　　證明 .</b></p><p>　　容易驗證, 上式右邊積分中的被積函數關于區(qū)間中間點為奇函數, 由定理3知積分為0, 于是得證, 同理可得. &

37、lt;/p><p>　　例1 設函數在區(qū)間 上連續(xù), 且, 計算.</p><p><b>　　解法一 令 </b></p><p><b>　　則</b></p><p><b>　　.</b></p><p><b>　　因此由定理1可得

38、</b></p><p><b>　　. </b></p><p><b>　　所以</b></p><p><b>　　解法 二 令</b></p><p><b>　　容易驗證</b></p><p><b&

39、gt;　　,</b></p><p>　　即關于區(qū)間的中點為奇函數, 由定理3 .</p><p><b>　　從而 </b></p><p><b>　　.</b></p><p><b>　　例2 計算積分.</b></p><p&g

40、t;<b>　　解 令,</b></p><p><b>　　則</b></p><p><b>　　.</b></p><p><b>　　其中為偶函數, 則</b></p><p><b>　　.</b></p>

41、<p><b>　　令, 則</b></p><p><b>　　.</b></p><p>　　注 此題是利用對稱性計算定積分的典型例題. 由于被積函數的原函數不是初等函數,因此不可能用牛頓——萊布尼茲公式直接計算.</p><p>　　3.2 利用對稱性解二重積分</p><p>　

42、　利用對稱性計算二重積分, 可以使計算簡化. 在一般情況下, 不僅要求積分區(qū)域D具有對稱性, 而且被積函數對于區(qū)域D也要具有對稱性. 但在特殊情況下, 即使積分區(qū)域D不對稱, 或者關于對稱區(qū)域D的被積函數不具備對稱性, 也可以經過一些技巧性的處理, 使之化</p><p>　　為能用對稱性來簡化計算的積分. 下面對三種常見對稱形式的二重積分簡化進行一些介紹.</p><p>　　1 積分區(qū)

43、域D關于坐標軸對稱</p><p>　　定理 設二元函數在平面區(qū)域連續(xù), 且關于軸對稱, 則</p><p>　?。?）當 (即是關于的奇函數) 時, 有</p><p>　?。?）當 (即是關于的偶函數) 時, 有</p><p>　?。ㄆ渲惺锹湓谳S一側的那部分區(qū)域）.</p><p>　　例1 , 其中為由 及

44、圍成的區(qū)域.</p><p><b>　　圖1</b></p><p>　　解 如圖1, 關于軸對稱, 并且, 即被積分函數是關于軸的偶函數, 由對稱性定理結論有</p><p><b>　　.</b></p><p>　　定理 設二元函數在平面區(qū)域連續(xù), 且關于軸和軸都對稱, 則</p&

45、gt;<p><b>　?。?）當或時</b></p><p><b>　　有.</b></p><p><b>　　(2)當時有</b></p><p>　?。ㄆ渲蠨1為D的在第一象限部分的區(qū)域）.

46、 </p><p>　　例2 計算 其中.</p><p><b>　　圖2</b></p><p>　　解 區(qū)域關于軸和軸對稱, 且被積函數關于和是偶函數, 即有</p><p><b>　　. 由定理2, 有</b></p><p>　　其中是的第一象限

47、部分, 由對稱性知</p><p><b>　　故 </b></p><p><b>　　.</b></p><p>　　2 積分區(qū)域關于原點對稱</p><p>　　定理 設平面區(qū)域 且關于原點對稱, 則當上的連續(xù)函數滿足</p><p><b>　　(1) 時

48、, 有.</b></p><p>　　( 2) 時, 有.</p><p>　　例3 計算 其中D是由, , 以及所圍成的區(qū)域.</p><p><b>　　圖3</b></p><p>　　解 如圖, 關于原點對稱, 但被積函數不滿</p><p><b>　　也不滿足

49、</b></p><p><b>　　,</b></p><p>　　所以不能直接用定理來計算, 但若記</p><p><b>　　,有,</b></p><p>　　對和分別應用定理3, 則</p><p><b>　　, 而</b>&l

50、t;/p><p>　　故 </p><p>　　3 積分區(qū)域D關于直線對稱</p><p>　　定理 設二元函數在平面區(qū)域連續(xù), 且, 關于直線對稱, 則</p><p><b>　　(1) </b></p><p><b>　　.</b&g

51、t;</p><p>　　(2) 當時有, .</p><p>　　(3) 當時, 有.</p><p><b>　　例4 求 .</b></p><p>　　解 積分區(qū)域關于直線對稱, 由定理4有</p><p><b>　　,</b></p><p

52、><b>　　故</b></p><p><b>　　=.</b></p><p>　　注 當積分區(qū)域關于對稱時, 被積分函數的兩個變量可以互換位置的特殊性質可以使二重積分計算簡化, 類似的, 若積分區(qū)域關于直線對稱, 且滿足</p><p><b>　　或滿足則有</b></p>

53、<p><b>　?。ㄆ渲袨榈囊话耄?</b></p><p>　　3.3 對稱性在三重積分計算中的應用</p><p><b>　　1 空間對稱區(qū)域</b></p><p>　　(1) 若對 , 則稱空間區(qū)域關于 面對稱; 利用相同的方法, 可以定義關于另外兩個坐標面的對稱性. </p>&

54、lt;p>　　(2) 若對, , 則稱空間區(qū)域關于軸對稱; 利用相同的方法,可以定義關于另外兩個坐標軸的對稱性.</p><p>　　(3) 若對, , 則稱空間區(qū)域關于坐標原點對稱.</p><p>　　(4) 若對, , 則稱空間區(qū)域關于具有輪換對稱性. </p><p>　　2 空間對稱區(qū)域上的奇偶函數</p><p>　　設是

55、定義在空間區(qū)域上的三元函數.</p><p>　　(1) 若滿足關系式, 則稱是關于的奇函數; 滿足關系式, 則稱是關于的偶函數. 利用相同的方法, 可以關于或的奇、偶函數的定義. </p><p>　　(2) 若滿足關系式 , 則稱是關于的奇函數; 滿足關系式, 則稱是關于的偶函數. 利用相同的方法可以定義關于或的奇、偶函數的對稱性.</p><p>　　(3)

56、若滿足關系式, 則稱是關于的奇函數; 滿足關系式, 則稱是關于的偶函數. </p><p>　　(4) 滿足關系式, 則稱具有輪換對稱性.</p><p>　　3 奇偶函數在空間對稱區(qū)域上的積分</p><p>　　(1) 若空間區(qū)域關于面對稱, 則當在是的奇函數時, </p><p><b>　　,&

57、lt;/b></p><p><b>　　當在是的偶函數時,</b></p><p><b>　　,</b></p><p>　　其中是在面上側的部分.</p><p>　　(2) 若空間區(qū)域關于軸對稱, 則當在是的奇函數時,</p><p><b>　　,&

58、lt;/b></p><p><b>　　當在是的偶函數時,</b></p><p><b>　　,</b></p><p>　　其中是位于軸平面一側的部分. </p><p>　　(3) 若空間區(qū)域關于坐標原點對稱, 則當在是, , 的奇函數時,</p><p>&l

59、t;b>　　,</b></p><p><b>　　當在是的偶函數時,</b></p><p><b>　　.</b></p><p>　　其中是位于原點平面一側的部分. </p><p>　　(4) 若空間區(qū)域具有輪換對稱性, </p><p><b

60、>　　.</b></p><p>　　例1 計算三重積分, 其中是由平面與三個坐標面所圍成的四面體.</p><p>　　解 積分區(qū)域關于面對稱, 被積函數是奇函數, 所以</p><p><b>　　.</b></p><p>　　例2 計算, 其中是由平面, , 以及拋物面所圍成的區(qū)域.<

61、;/p><p>　　解 積分區(qū)域關于平面對稱, 而被積函數是關于的奇函數即</p><p>　　, 故所求積分為0.</p><p>　　例3 計算, 其中為三個坐標平面及平面所圍成的閉區(qū)間.</p><p>　　解 由于被積函數和積分區(qū)域都滿足對的輪換性, 因此</p><p><b>　　.</b

62、></p><p>　　得 .</p><p>　　3.4 第一型曲線積分中的對稱性問題</p><p>　　定理 設函數在二維光滑（或分段光滑）曲線上可積, 且曲線關于或軸對稱則</p><p>　　(1) 當是（或）的偶函數時, (其中是位于對稱軸一側的部分);</p&

63、gt;<p>　　(2) 當是（或）的奇函數時, .</p><p>　　證 設關于軸對稱的光滑曲線（其中,分別是曲線位于軸上,下兩側的部分.）則</p><p><b>　　.</b></p><p>　　用曲線上關于軸對稱的點系分割,在上的小弧段中任取一點, 在上關于對稱于軸的小弧段中任取一點, 構造和式:</p>

64、;<p>　　令: 諸小弧段中最長者為, 由于在可積且, 于是</p><p>　　(1) 當是的偶函數, 時</p><p>　　(2)當為的奇函數, 時</p><p><b>　　=.</b></p><p>　　定理 設函數在三維光滑或（分段光滑）曲線上可積, 且曲線對稱于（或或）坐標面, 則&l

65、t;/p><p>　　(1) 當為關于（或或）的偶函數時,</p><p>　?。ㄆ渲惺俏挥趯ΨQ坐標面一側的部分）;</p><p>　　(2) 當為關于（或或）的奇函數時, 有.</p><p>　　推論 設函數在二維光滑曲線上可積, 對稱于和軸,則</p><p>　?。?）當是關于的偶函數時, 有（其中是位于第象

66、限中的部分）;</p><p>　?。?）當是關于中至少某一變量的奇函數時, .</p><p><b>　　例1 計算.</b></p><p>　　解 積分曲線即對稱于軸又對稱于軸, 且被積函數是的奇函數, 則</p><p><b>　　==0.</b></p><p

67、>　　例2 已知曲線 , 其周長為. 求積分. </p><p>　　解 由曲線 中位置對稱,</p><p><b>　　得</b></p><p><b>　　.</b></p><p><b>　　所以 </b></p><p><

68、b>　　=.</b></p><p>　　3.5 第一型曲面積分中的對稱性問題</p><p>　　定理 設函數在光滑（或分片光滑）曲面上可積, 且對稱于（或或）坐標面, 則</p><p>　　(1) 當是關于（或或）的偶函數時, （其中是位于對稱坐標面一側的部分）;</p><p>　　(2) 當是關于（或或）的奇函

69、數時, .</p><p>　　推論 設函數在光滑（或分片光滑）曲面上可積, 且關于坐標面均對稱, 則 </p><p>　　(1) 當是關于的偶函數時, （其中是在第卦限的部分）;</p><p>　　(2) 當是關于中至少某一變量的奇函數時, </p><p>　　例1 計算其中平面之間的圓柱面.</p><p&g

70、t;　　解 積分曲面對稱于坐標面, 且被積函數是關于的奇函數, 因此=0.</p><p>　　例2 計算 其中.</p><p><b>　　解 令 則.</b></p><p><b>　　,</b></p><p>　　因為對稱于三個坐標面, 且被積函數是關于的偶函數.所以由對稱性可知&

71、lt;/p><p><b>　　.</b></p><p><b>　　4 小結</b></p><p>　　積分在數學分析中是相當重要的一項內容, 而在計算積分的過程中, 我們經常會碰到積分區(qū)域或者被積函數具有某種對稱性的題型. 那么, 如果我們在解題中發(fā)掘或注意到問題的對稱性, 并巧妙地把它們應用到積分的計算過程中去, 往

72、往可以簡化計算過程, 收到意想不到的效果, 引起感情激蕩, 造成感情上的共鳴, 更好地感知, 理解數學美. 特別是對于有些題目, 我們甚至可以不用計算就可以直接判斷出其結果. 在積分計算中利用對稱性來解題這種方法, 是一種探索性的發(fā)現(xiàn)方法, 它與其他方法的不同之處主要體現(xiàn)在其創(chuàng)造性功能, 因此, 掌握和充分利用對稱性求積分這一方法, 對于活躍和開拓我們學生的創(chuàng)造性思維, 提高判斷解題能力, 探討解題方法是十分有益的. 在積分計算中,

73、可以利用對稱性來幫助求解, 不過, 我們在應用對稱性求積分時還必須注意: 必須兼顧被積函數與積分區(qū)域兩個方面, 只有當兩個方面的對稱性相匹配時才能利用; 對于第二型曲線積分與曲面積分, 在利用對稱性時, 還需考慮路線的方向和曲面的側, 應慎重; 合理利用輪換對稱性以求簡便計算. 對稱性在積分計算中有廣泛而重要的應用, 本文中所舉例題只是利用</p><p><b>　　參考文獻</b><

74、;/p><p>　　[1] 同濟大學數學教研室主編. 高等數學 [M]. 北京: 高等教育出版社, 1996. </p><p>　　[2] 華東師范大學數學系.數學分析上 [M]. 北京: 高等教育出版社, 2007.</p><p>　　[3] 華東師范大學數學系.數學分析下 [M]. 北京: 高等教育出版社, 2007.</p><p>　

75、　[4] 王仲春等編著. 數學思維與數學方法論 [M]. 北京: 高等教育出版社, 1991. </p><p>　　[5] 龔冬保. 數學考研典型題 [M]. 西安: 交通大學出版社, 2000.</p><p>　　[6] 陳增政, 徐進明. 利用對稱性簡化被積函數是線性函數解的計算 [J]. 工科數學, 1994,4(10): 181~183. </p><p&g

76、t;　　[7] 王壽生等編. 130 所高校研究生高等數學入學試題選解及分析 [M]. 沈陽: 遼寧科技出版社, 1988.</p><p>　　[8] 陳仲、洪祖德編. 高等數學·研究生入學試題與典型例題選解 [M]. 南京: 南京大學出版社, 1986.</p><p>　　[9] D. Bennis, N. Mahdou . Strongly gornstein p roj