信息與計(jì)算科學(xué)畢業(yè)論文廣義積分的近似計(jì)算

1、<p><b>　　本科畢業(yè)論文</b></p><p><b>　?。?0 屆）</b></p><p><b>　　廣義積分的近似計(jì)算</b></p><p>　　所在學(xué)院 </p><p>　　專業(yè)班級(jí)

2、 信息與計(jì)算科學(xué) </p><p>　　學(xué)生姓名 學(xué)號(hào) </p><p>　　指導(dǎo)教師 職稱 </p><p>　　完成日期 年 月 </p><p><b>　　摘要<

3、;/b></p><p>　　隨著科學(xué)的日益發(fā)展, 在工程計(jì)算中會(huì)經(jīng)常遇到廣義積分的數(shù)值計(jì)算問(wèn)題. 對(duì)于這類數(shù)值計(jì)算問(wèn)題, 并沒(méi)有像定積分那樣有許多成熟的計(jì)算方法. </p><p>　　本文主要研究廣義積分近似值計(jì)算的幾種有效方法, 首先介紹了廣義積分的定義以及幾種常用的定積分?jǐn)?shù)值計(jì)算方法, 然后延伸拓展這些方法來(lái)解決廣義積分的數(shù)值近似計(jì)算問(wèn)題. 最后分別用泰勒展開(kāi)式法, 復(fù)化的中

4、點(diǎn)公式以及復(fù)化的Gauss求積公式對(duì)同一數(shù)值算例進(jìn)行近似計(jì)算, 證明各方法的有效性以及比較各個(gè)方法的精確度. </p><p>　　關(guān)鍵詞: 廣義積分; 數(shù)值計(jì)算; 復(fù)化求積公式. </p><p><b>　　Abstract</b></p><p>　　With the increasing development of science i

5、n engineering calculations frequently encountered in numerical integration of the generalized problem. To this type of numerical problem, it hasn’t many sophisticated calculation methods as the definite integral. </p&

6、gt;<p>　　In this thesis, several effective numerical methods for generalized integration are presented. Definition of generalized integral, and some common numerical method for definite integral are given, and the

7、n the methods are extended to solve generalized integral. Numerical examples show that the methods are very effective. </p><p>　　Keywords: Generalized integration; Numerical calculation; Complex technology&l

8、t;/p><p><b>　　目錄</b></p><p><b>　　摘要I</b></p><p>　　AbstractII</p><p><b>　　1 前言1</b></p><p>　　2 廣義積分近似計(jì)算方法2</p>&

9、lt;p>　　2.1 廣義積分的定義2</p><p>　　2.2 常用的數(shù)值求積公式3</p><p>　　2.3 復(fù)化的數(shù)值求積公式6</p><p>　　3 廣義積分的幾種數(shù)值計(jì)算方法8</p><p>　　3.1 Taylor多項(xiàng)式法8</p><p>　　3.2復(fù)化的中點(diǎn)公式9</p&

10、gt;<p>　　3.3 復(fù)化Gauss-Legendre求積法10</p><p>　　4 幾種數(shù)值方法的比較12</p><p><b>　　5 小結(jié)15</b></p><p><b>　　參考文獻(xiàn)16</b></p><p><b>　　致謝17</b

11、></p><p><b>　　1 前言</b></p><p>　　求定積分是數(shù)學(xué)科學(xué)的中心課題之一, 主要途徑有兩條: 微積分學(xué)基本定理和數(shù)值積分. 我們知道, 若函數(shù)在上連續(xù), 且存在原函數(shù), 則可用微積分基本定理(Newton–Leibniz 公式)來(lái)求解定積分的值. Newton-Leibniz 公式無(wú)論在理論上還是在解決實(shí)際問(wèn)題上都起了很大的作用,

12、但它并不能完全解決定積分的計(jì)算問(wèn)題, 因?yàn)榭茖W(xué)涉及的實(shí)際問(wèn)題極為廣泛, 而且極其復(fù)雜. 在實(shí)際計(jì)算中經(jīng)常會(huì)遇到以下三種情況: (1) 大量被積函數(shù)并不一定能找到用初等函數(shù)的有限形式表示的原函數(shù); (2) 被積函數(shù)的原函數(shù)能用初等函數(shù)表示, 但積分后其表達(dá)式卻極為復(fù)雜; (3)被積函數(shù)沒(méi)有具體的解析表達(dá)式, 其函數(shù)關(guān)系常用測(cè)量數(shù)據(jù)表示. 對(duì)于這些情況, 計(jì)算積分的準(zhǔn)確值都是十分困難的. 由此, 通過(guò)微積分基本定理計(jì)算積分有它的局限性, 我

13、們需要用數(shù)值積分的解法來(lái)建立積分的計(jì)算問(wèn)題. </p><p>　　隨著科學(xué)的日益發(fā)展, 利用定積分可以解決很多實(shí)際問(wèn)題. 但是在近代物理等領(lǐng)域中常常會(huì)遇到廣義積分(積分區(qū)間無(wú)限或被積函數(shù)在積分區(qū)間端點(diǎn)有奇點(diǎn)的積分)的數(shù)值計(jì)算問(wèn)題. 對(duì)于這類數(shù)值計(jì)算問(wèn)題并沒(méi)有像正常定積分那樣有許多成熟的計(jì)算方法. 許多數(shù)學(xué)工作者提出了廣義積分計(jì)算新方法, 通過(guò)數(shù)值算例表明這些方法是有效的, 可以看作是對(duì)傳統(tǒng)的廣義積分計(jì)算方法的一

14、種推廣, 將在工程與科學(xué)計(jì)算方面有著重要地應(yīng)用. </p><p>　　1988年, 蔣和理在《無(wú)窮區(qū)間廣義積分優(yōu)化復(fù)化Simpson與梯形數(shù)值算法》中給出了無(wú)窮廣義積分的優(yōu)化復(fù)化Simpson與梯形數(shù)值積分算法. 該法免去了大量函數(shù)值的重復(fù)計(jì)算, 加速了積分收斂, 外推法有效提高了精度要求. 2002年, 陶詔靈在《一類廣義積分的算法及實(shí)現(xiàn)》中給出了樣條方法來(lái)求解Laplace積分, 運(yùn)用重節(jié)點(diǎn)樣條進(jìn)行擬合,

15、再引入差商, 給出一系列積分近似值的解析公式. 2008年, 郭德龍等在《基于進(jìn)化策略的廣義積分計(jì)算方法研究》中根據(jù)被積函數(shù)的變量區(qū)間任意選取分割點(diǎn), 通過(guò)進(jìn)化策略算法優(yōu)化這些分割點(diǎn), 然后求和, 在給定的終止條件下, 可獲的精度較高的積分值. </p><p>　　本文主要是研究廣義積分近似值的幾種有效算法, 并舉出具體的實(shí)例進(jìn)行數(shù)值計(jì)算, 證明這些方法的有效性, 高效性以及積分對(duì)精度的高要求. 全文共分五章:

16、 第一章前言介紹廣義積分的研究背景及本文的主要工作. 第二章闡述了廣義積分的定義及常用的數(shù)值計(jì)算方法. 第三章闡述求解廣義積分近似值的有效方法. 第四章對(duì)同一數(shù)值算例進(jìn)行近似計(jì)算, 證明各方法的有效性以及比較各個(gè)方法的精確度. </p><p>　　2 廣義積分近似計(jì)算方法</p><p><b>　　2.1廣義積分定義</b></p><p>

17、;　　定義2.1若函數(shù)在上Riemann可積, 并且極限</p><p>　　存在且等于有限值. 則稱該極限為函數(shù)定義在上的無(wú)窮積分. 記作</p><p><b>　　. </b></p><p>　　這時(shí)也稱廣義積分收斂. 如果上述極限不存在 函數(shù)在無(wú)窮區(qū)間上的廣義積分就沒(méi)有意義 此時(shí)稱廣義積分發(fā)散 </p><p>

18、;　　類似地 設(shè)函數(shù)在區(qū)間上連續(xù) 如果極限</p><p>　　存在 則稱此極限為函數(shù)在無(wú)窮區(qū)間( b ]上的廣義積分 即</p><p>　　這時(shí)稱廣義積分收斂??如果上述極限不存在 則稱廣義積分發(fā)散 </p><p>　　設(shè)函數(shù)在區(qū)間上連續(xù) 如果廣義積分</p><p><b>　　和</b></p>

19、<p>　　都收斂 則稱上述兩個(gè)廣義積分的和為函數(shù)在無(wú)窮區(qū)間上的廣義積分 即</p><p>　　這時(shí)稱廣義積分收斂 如果上式右端有一個(gè)廣義積分發(fā)散 則稱廣義積分發(fā)散 </p><p>　　定義2.2設(shè)函數(shù)在區(qū)間上連續(xù), 而在點(diǎn)的右鄰域內(nèi)無(wú)界, 對(duì), 若</p><p>　　存在(有限值), 稱在上廣義可積. 記</p><p>　

20、　為在上的瑕積分, 是它的瑕點(diǎn). 如果上述極限不存在 就稱廣義積分發(fā)散 </p><p>　　類似地 設(shè)函數(shù)在區(qū)間上連續(xù) 在點(diǎn)的左鄰域內(nèi)無(wú)界 取 若極限</p><p>　　存在 則稱此極限為函數(shù)在上的廣義積分 即</p><p>　　這時(shí)也稱廣義積分收斂 如果上述極限不存在 就稱廣義積分發(fā)散 </p><p>　　設(shè)函數(shù)在上除點(diǎn)外連續(xù) 而在

21、點(diǎn)的鄰域內(nèi)無(wú)界 如果</p><p><b>　　與</b></p><p>　　兩個(gè)廣義積分都收斂 則</p><p>　　否則 就稱廣義積分發(fā)散 </p><p>　　本文主要是針對(duì)瑕點(diǎn)在端點(diǎn)的這類廣義積分進(jìn)行數(shù)值近似求解, 無(wú)窮廣義積分的近似值可以通過(guò)線性變換轉(zhuǎn)換為端點(diǎn)為瑕點(diǎn)的瑕積分來(lái)進(jìn)行類似的逼近. </p

22、><p>　　2.2 常用的數(shù)值求積公式</p><p>　　在積分區(qū)間上取有限個(gè)點(diǎn)作的次插值多項(xiàng)式</p><p>　　其中求積系數(shù), 這里是插值積函數(shù), 即</p><p><b>　　. </b></p><p>　　用來(lái)近似代替被積函數(shù), 即有插值求積公式: </p><p

23、>　　. （2.1）</p><p>　　將積分區(qū)間分成等份, 每一個(gè)子區(qū)間的長(zhǎng)度為, 從而得到個(gè)等距節(jié)點(diǎn), 令進(jìn)行變換, 有</p><p><b>　　, </b></p><p><b>　　其中</b></p><p><b>　　. </b><

24、/p><p>　　由此構(gòu)造出的插值求積公式</p><p>　　稱為牛頓-柯特斯公式, 式中稱為柯特斯系數(shù). 柯特斯系數(shù)只與和有關(guān), 與被積函數(shù)和積分區(qū)間都無(wú)關(guān). </p><p>　　下面給出一階至五階的柯特斯系數(shù)表. </p><p><b>　　柯特斯系數(shù)表</b></p><p>　　下面根據(jù)

25、柯特斯系數(shù)表給出幾個(gè)常用的牛頓-柯特斯求積公式. </p><p>　　當(dāng)時(shí), 每一個(gè)子區(qū)間的長(zhǎng)度為, 得到兩個(gè)等距節(jié)點(diǎn)分別是區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)與. 此時(shí), 牛頓-柯特斯公式就是梯形公式, 即</p><p><b>　　. </b></p><p>　　當(dāng)時(shí), 每一個(gè)子區(qū)間的長(zhǎng)度為, 得到3個(gè)等距節(jié)點(diǎn)分別是區(qū)間的左端點(diǎn)、中點(diǎn)與右端點(diǎn). 此時(shí), 牛

26、頓-柯特斯公式就是辛普森公式. 即</p><p><b>　　. </b></p><p>　　當(dāng)時(shí), 每一個(gè)子區(qū)間的長(zhǎng)度為, 此時(shí)得到5個(gè)等距節(jié)點(diǎn)分別是</p><p>　　, 四階牛頓-柯特斯公式: </p><p>　　前面介紹的牛頓-柯特斯公式, 為了簡(jiǎn)化計(jì)算,對(duì)插值公式中的節(jié)點(diǎn)限定為等分的節(jié)點(diǎn), 這種方法雖然

27、簡(jiǎn)便但求積公式的精度受到限制. 高斯求積公式是具有最高代數(shù)精度的插值求積公式, 而且收斂性和穩(wěn)定性都有保證. </p><p>　　定義2.3定義在區(qū)間上的函數(shù)如果滿足以下條件: </p><p>　　1. 在區(qū)間上, ; </p><p><b>　　2. ; </b></p><p><b>　　3. 存在

28、積分</b></p><p>　　則稱函數(shù)為上的權(quán)函數(shù). </p><p>　　在這里先考慮權(quán)函數(shù)和積分區(qū)間上的Gauss-Legendre求積問(wèn)題. </p><p>　　定義2.4如果插值求積公式</p><p><b>　　, </b></p><p><b>　　其中

29、</b></p><p><b>　　. </b></p><p>　　具有次代數(shù)精度, 則稱其為點(diǎn)高斯求積公式, 稱其節(jié)點(diǎn)為高斯點(diǎn). </p><p>　　當(dāng)時(shí), 有兩點(diǎn)高斯公式: </p><p><b>　　, </b></p><p>　　其高斯點(diǎn)為, 它

30、具有3次代數(shù)精度. </p><p>　　當(dāng)時(shí), 有三點(diǎn)高斯公式: </p><p><b>　　, </b></p><p>　　其高斯點(diǎn)為, 它具有5次代數(shù)精度. </p><p>　　前面介紹了上的高斯求積公式, 怎么樣用此公式求呢? 作變換</p><p>　　將積分區(qū)間轉(zhuǎn)換為上的積分&l

31、t;/p><p><b>　　, </b></p><p>　　然后再用上的高斯求積公式計(jì)算. </p><p>　　2.3 復(fù)化的數(shù)值求積公式</p><p>　　梯形公式、辛普森公式、柯特斯公式在區(qū)間不太大時(shí), 用來(lái)計(jì)算定積分是簡(jiǎn)單實(shí)用的, 但由于時(shí)的牛頓-柯特斯求積公式開(kāi)始出現(xiàn)負(fù)值的柯特斯系數(shù). 根據(jù)誤差理論的分析研究

32、, 積分公式出現(xiàn)負(fù)系數(shù)時(shí), 可能導(dǎo)致舍入誤差增大, 因此不能用增加求積節(jié)點(diǎn)數(shù)的方法來(lái)提高計(jì)算精度, 實(shí)用的提高求積公式精度的方法是復(fù)化求積法. </p><p>　　將積分區(qū)間分成等份, 每一個(gè)子區(qū)間的長(zhǎng)度為, 得到個(gè)結(jié)點(diǎn)為. 從而得到個(gè)小區(qū)間. 在每個(gè)小區(qū)間上分別用梯形公式、辛普森公式、柯特斯公式先求出每個(gè)子區(qū)間上的積分近似值, 然后將其結(jié)果累加起來(lái)作為區(qū)間上積分的近似值, 即可得到相應(yīng)的復(fù)化求積公式. <

33、;/p><p><b>　　復(fù)化梯形公式</b></p><p><b>　　. </b></p><p><b>　　復(fù)化辛普森公式</b></p><p>　　其中為小區(qū)間的中點(diǎn). </p><p>　　復(fù)化牛頓-柯特斯公式</p><

34、;p><b>　　其中. </b></p><p>　　3 廣義積分的幾種數(shù)值方法</p><p>　　3.1 Taylor多項(xiàng)式法</p><p>　　因?yàn)樵谖⒎e分中已經(jīng)證明左端點(diǎn)具有奇點(diǎn)的廣義積分收斂的充要條件是. 在此情況下, 定義</p><p><b>　　. </b></p&

35、gt;<p>　　如果函數(shù)可以寫成形如</p><p><b>　　,</b></p><p>　　其中, 在上連續(xù), 則廣義積分也存在. 假定, 可以用復(fù)合辛普森法則求這個(gè)積分的近似值. </p><p>　　對(duì)于關(guān)于點(diǎn), 可以構(gòu)造4次Taylor多項(xiàng)式</p><p><b>　　則, 原積分

36、可寫成</b></p><p><b>　　, </b></p><p>　　因?yàn)槭且粋€(gè)多項(xiàng)式, 所以可以精確地確定下式的值</p><p><b>　?。?.1）</b></p><p>　　當(dāng)和在整個(gè)區(qū)間上擬合得很好時(shí), 這通常是近似值的主要部分. 為了逼近的積分, 需要將的值加到近

37、似中. 為了確定它的值, 定義</p><p>　　因?yàn)榍遗c相等, 所以有. 可用復(fù)合辛普森法則求在上的積分近似值. 將此近似值與(3.1)式的值相加就可得到在上的廣義積分近似值, 且所得的近似值在復(fù)合辛普森法則近似的精確度內(nèi). </p><p>　　下面考慮右端點(diǎn)具有奇點(diǎn)的廣義積分, 作代換, 把廣義積分變成,</p><p>　　此積分在左端點(diǎn)具有奇點(diǎn)的廣義積分

38、可看作具有端點(diǎn)奇點(diǎn)的廣義積分的和, 因?yàn)?lt;/p><p><b>　　. </b></p><p>　　下面考慮無(wú)窮廣義積分, 它的基本形式為: 對(duì)有. 通過(guò)積分代換, , </p><p>　　無(wú)窮廣義積分轉(zhuǎn)換為具有左端點(diǎn)奇點(diǎn)0的積分: </p><p><b>　　. </b></p>

39、;<p>　　類似的, 變量代換將廣義積分轉(zhuǎn)換為具有左端點(diǎn)奇點(diǎn)0的積分: </p><p><b>　　.</b></p><p>　　此時(shí), 就可以按前面介紹的計(jì)算瑕積分的方法來(lái)求積分近似值. </p><p>　　下面我們介紹的方法也主要是針對(duì)瑕積分的數(shù)值近似計(jì)算方法, 無(wú)窮積分的計(jì)算可以類似的通過(guò)轉(zhuǎn)換瑕積分進(jìn)行計(jì)算. <

40、;/p><p>　　3.2 復(fù)化的中點(diǎn)公式</p><p>　　像梯形公式和辛普森公式這些方法在計(jì)算積分時(shí)需要積分區(qū)間端點(diǎn)的輸入值, 稱為閉的牛頓-柯特斯方法. 考慮到在積分區(qū)間端點(diǎn)有可去奇點(diǎn)的某些被積函數(shù)用不能用這些方法計(jì)算, 下面介紹開(kāi)的牛頓-柯特斯方法來(lái)處理這些數(shù)值計(jì)算問(wèn)題, 這種方法不需要端點(diǎn)的值. </p><p>　　將積分區(qū)間分成等份, 令, , 只把作為

41、求積節(jié)點(diǎn), 這時(shí)有開(kāi)的牛頓-柯特斯求積公式</p><p><b>　　. </b></p><p>　　當(dāng)時(shí), 中點(diǎn)公式: </p><p><b>　　.</b></p><p>　　類似的, 可以運(yùn)用復(fù)化求積的思想將中點(diǎn)公式推廣到復(fù)化中點(diǎn)求積公式. </p><p>　

42、　將積分區(qū)間分成等份, 得到個(gè)結(jié)點(diǎn)為, 在每個(gè)小區(qū)間上用中點(diǎn)公式先求出每個(gè)子區(qū)間上的積分近似值, 然后將其結(jié)果累加起來(lái)作為區(qū)間上積分的近似值, 即</p><p><b>　　. </b></p><p>　　其中小區(qū)間的中點(diǎn)為, 步長(zhǎng), 則復(fù)化的中點(diǎn)公式為</p><p><b>　　. </b></p>

43、<p>　　3.2 復(fù)化Gauss-Legendre求積法</p><p>　　盡管高斯求積公式是數(shù)值穩(wěn)定的, 但是我們一般不采用高階的高斯公式來(lái)獲取較高的精度. 因?yàn)樵谳^高階的求積公式中, 其余項(xiàng)表達(dá)式中的高階導(dǎo)數(shù)難以估計(jì), 甚至是無(wú)界的. 與復(fù)化的牛頓-柯特斯公式相仿, 我們采用復(fù)化的思想, 將積分區(qū)間分成若干個(gè)子區(qū)間, 在每一個(gè)子區(qū)間上用低階的Gauss求積公式先求出積分近似值, 然后將其結(jié)果累加

44、起來(lái)作為區(qū)間上積分的近似值, 并以此改進(jìn)數(shù)值求積的精度. </p><p>　　這里仍是考慮權(quán)函數(shù)和積分區(qū)間上的Gauss-Legendre求積問(wèn)題. </p><p>　　設(shè)是區(qū)間的一個(gè)劃分, 即有, 在每個(gè)小區(qū)間(其中是小區(qū)間的中點(diǎn))上用Gauss-Legendre公式, 即得到: </p><p>　　復(fù)化兩點(diǎn)Gauss-Legendre公式</p>

45、;<p><b>　　, </b></p><p>　　具有四階收斂性, 它的余項(xiàng)為</p><p><b>　　. </b></p><p>　　復(fù)化三點(diǎn)Gauss-Legendre公式</p><p><b>　　, </b></p><p

46、>　　具有六階收斂性, 余項(xiàng)為</p><p><b>　　. </b></p><p>　　高斯公式, 特別是對(duì)于帶權(quán)的高斯公式常用于計(jì)算反常積分(積分區(qū)間無(wú)限或被積函數(shù)在積分區(qū)間端點(diǎn)有奇點(diǎn)的積分). 高斯公式的缺點(diǎn)是, 由于節(jié)點(diǎn)不等距使復(fù)化求積或用更高次高斯公式計(jì)算時(shí)不能利用前面節(jié)點(diǎn)的函數(shù)值, 計(jì)算過(guò)程比較麻煩. </p><p>　

47、　4 幾種數(shù)值方法的比較</p><p><b>　　例 計(jì)算積分</b></p><p>　　的近似值. 該積分的精確解為2.925303490936058; </p><p>　　方法1 泰勒展開(kāi)式法 </p><p>　　因?yàn)閷?duì)在時(shí)有4階Taylor展開(kāi)式</p><p><b>

48、　　, </b></p><p><b>　　. </b></p><p>　　表4.1 復(fù)化梯形法的相應(yīng)結(jié)果</p><p>　　表4.1－4.2 給出了復(fù)化梯形法、復(fù)化辛普森法計(jì)算積分近似值的結(jié)果. </p><p>　　表4.2 復(fù)化辛普森法的相應(yīng)結(jié)果</p><p>　　方法2

49、 復(fù)化中點(diǎn)公式</p><p>　　表4.3 復(fù)化中點(diǎn)公式的相應(yīng)結(jié)果</p><p>　　方法3 復(fù)化的Gauss-Legendre求積法</p><p>　　表4.4 復(fù)化兩點(diǎn)Gauss-Legendre求積相應(yīng)結(jié)果</p><p>　　其中, 作變換, 則, 則</p><p><b>　　, </

50、b></p><p>　　表4.5 復(fù)化三點(diǎn)Gauss-Legendre求積相應(yīng)結(jié)果</p><p><b>　　數(shù)值結(jié)果表明 </b></p><p>　　1. 通過(guò)matlab程序進(jìn)行數(shù)值計(jì)算, 得到的結(jié)果的絕對(duì)誤差比值都大于1, 證明這些方法都是有效的. </p><p>　　2. 數(shù)值結(jié)果顯示后面的復(fù)化方法

51、得出的絕對(duì)誤差比都接近1.4, 而正常的積分值的絕對(duì)誤差比是4, 這是因?yàn)閺V義積分的瑕點(diǎn)達(dá)不到定積分的精確度. </p><p>　　3. 比較這三種方法的計(jì)算結(jié)果, 泰勒展開(kāi)式法的絕對(duì)誤差比值最大, 表明其收斂速度最快,精確度更高. </p><p><b>　　5 小結(jié)</b></p><p>　　對(duì)于工程計(jì)算中, 尤其是在近代物理等領(lǐng)域中

52、會(huì)經(jīng)常遇到的廣義積分這類數(shù)值計(jì)算問(wèn)題沒(méi)有像正常定積分那樣, 有許多成熟的計(jì)算方法, 特別是被積函數(shù)有瑕點(diǎn), 積分區(qū)間無(wú)窮的這一類廣義可積積分計(jì)算問(wèn)題. 許多數(shù)學(xué)工作者提出了廣義積分計(jì)算新方法, 并通過(guò)數(shù)值算例, 表明了這些方法是可行和有效的, 可以看作是對(duì)傳統(tǒng)的廣義積分計(jì)算方法的一種推廣, 將在工程與科學(xué)計(jì)算方面有著重要地應(yīng)用. </p><p>　　文主要研究廣義積分近似值計(jì)算的幾種有效方法, 首先介紹了廣義積

53、分的定義以及幾種常用的定積分?jǐn)?shù)值計(jì)算方法, 然后延伸拓展這些方法, 探討了泰勒展開(kāi)式法, 復(fù)化的中點(diǎn)公式以及復(fù)化的Gauss-Legendre求積法求解廣義積分近似值的方法, 最后分別用這些方法對(duì)同一數(shù)值算例進(jìn)行近似計(jì)算, 證明方法的有效性以及比較各個(gè)方法的精確度. </p><p><b>　　參考文獻(xiàn)</b></p><p>　　蔣和理. 無(wú)窮區(qū)間廣義積分優(yōu)化復(fù)化

54、Simpson與梯形數(shù)值算法 [J]. 合肥工業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào), 1988, 11(1): 99-108. </p><p>　　陶詔靈. 一類廣義積分的算法及實(shí)現(xiàn) [J]. 南京氣象學(xué)院學(xué)報(bào), 2002, 25(1): 100-104. </p><p>　　張榮. 用攝動(dòng)方法求一類廣義振蕩積分的值 [J]. 大學(xué)數(shù)學(xué), 2003, 19(06): 114-116. </p>&

55、lt;p>　　莫平華. 一階貝塞爾函數(shù)廣義積分的數(shù)值計(jì)算 [J]. 數(shù)學(xué)理論與應(yīng)用, 2007, 27(1): 65-67. </p><p>　　郭德龍, 周永權(quán). 基于進(jìn)化策略的廣義積分計(jì)算方法研究 [J]. 計(jì)算機(jī)工程與設(shè)計(jì), 2008, 29(19): 5026-5028. </p><p>　　馬東升 雷勇軍. 數(shù)值計(jì)算方法(第二版) [M]. 北京: 機(jī)械工業(yè)出版社, 2

56、006.9. </p><p>　　張軍. 數(shù)值計(jì)算 [M]. 北京: 清華大學(xué)出版社, 2008.7. </p><p>　　張池平, 施云慧. 計(jì)算方法 [M]. 北京: 科學(xué)出版社, 2002. </p><p>　　顏慶津. 數(shù)值分析 [M]. 北京: 北京航空航天大學(xué)出版社, 2006.7. </p><p>　　T. Sauer.

57、 Numerical Analysis [M]. 北京: 人民郵電出版社, 2010. </p><p>　　R. Burden, J. Douglas Faires. Numerical Analysis [M]. Beijing: Higher Education Press, 2001. </p><p><b>　　附件: </b></p>&l

58、t;p>　?。ビ脧?fù)化梯形公式，復(fù)化辛普森公式求的值. </p><p>　　%編寫主程序調(diào)用這三個(gè)函數(shù), 主程序名為wu_fun1.m, 程序如下: </p><p>　　function y=wu_fun1(x)</p><p>　　p=1+x+x*x/2+x^3/6+x^4/24;</p><p>　　y=(exp(x)-p)/sq

59、rt(x);</p><p><b>　　%復(fù)化梯形公式：</b></p><p><b>　　a=0;</b></p><p><b>　　b=1;</b></p><p>　　exact= 2.925305050802705;</p><p><

60、;b>　　N=5;</b></p><p>　　appro=zeros(1,7);</p><p><b>　　for j=1:7</b></p><p>　　h=(b-a)/N; </p><p><b>　　x2=a+h;</b></p><p>　　s

61、=h*wu_fun1(x2)/2;</p><p><b>　　s</b></p><p>　　for i=2:N </p><p><b>　　x1=a+i*h;</b></p><p><b>　　x2=x1-h;</b></p><p>

62、　　s=s+h*(wu_fun1(x1)+wu_fun1(x2))/2;</p><p><b>　　end</b></p><p>　　s=s+2.923544973544970</p><p>　　appro(j)=abs(s+2.923544973544970-exact);</p><p><b>　　

63、N=2*N;</b></p><p><b>　　end</b></p><p><b>　　appro</b></p><p>　　ratio=appro(1:6)./appro(2:7);</p><p><b>　　ratio</b></p>&

64、lt;p><b>　　%復(fù)化辛普森公式</b></p><p><b>　　a=0;</b></p><p><b>　　b=1;</b></p><p>　　exact=2.925303490936058;</p><p><b>　　N=5;</b&g

65、t;</p><p>　　appro=zeros(1,7);</p><p><b>　　for j=1:7</b></p><p>　　h=(b-a)/N; </p><p><b>　　x2=a+h;</b></p><p><b>　　x1=a+h/2;<

66、;/b></p><p>　　s=h*(wu_fun1(x2)+4*wu_fun1(x1))/6; </p><p>　　for i=2:N </p><p><b>　　x1=a+i*h;</b></p><p><b>　　x2=x1-h;</b></p>&

67、lt;p>　　x=(x1+x2)/2;</p><p>　　s=s+h*(wu_fun1(x1)+4*wu_fun1(x)+wu_fun1(x2))/6;</p><p><b>　　end</b></p><p>　　s=s+2.923544973544970</p><p>　　appro(j)=abs(s+2

68、.923544973544970-exact);</p><p><b>　　N=2*N;</b></p><p><b>　　end</b></p><p><b>　　appro</b></p><p>　　ratio=appro(1:6)./appro(2:7);<

69、/p><p><b>　　ratio</b></p><p>　　%編寫主程序調(diào)用這三個(gè)函數(shù), 主程序名為wu_fun. m, 源程序如下: </p><p>　　%wu_fun. m</p><p>　　Function y=wu_fun(x)</p><p>　　y=exp(x)/sqrt(x);

70、</p><p><b>　　％復(fù)化中點(diǎn)公式</b></p><p><b>　　a=0;</b></p><p><b>　　b=1;</b></p><p>　　exact=2.925303490936058;</p><p><b>　　

71、N=5;</b></p><p>　　appro=zeros(1,7);</p><p><b>　　for j=1:7</b></p><p>　　h=(b-a)/N;</p><p><b>　　s=0;</b></p><p><b>　　for

72、i=1:N</b></p><p>　　x=a+(2*i-1)*h/2;</p><p>　　s=s+h*wu_fun(x);</p><p><b>　　end</b></p><p><b>　　s</b></p><p>　　appro(j)=abs(s-e

73、xact);</p><p><b>　　N=2*N;</b></p><p><b>　　end</b></p><p><b>　　appro</b></p><p>　　ratio=appro(1:6)./appro(2:7);</p><p>&

74、lt;b>　　ratio</b></p><p>　　%復(fù)化的兩點(diǎn)高斯公式</p><p><b>　　a=0;</b></p><p><b>　　b=1;</b></p><p>　　exact=2.925303490936058; </p><p>&

75、lt;b>　　N=5;</b></p><p>　　appro=zeros(1,7);</p><p><b>　　for j=1:7</b></p><p>　　h=(b-a)/N;</p><p><b>　　s=0;</b></p><p>　　for

76、 i=1:N </p><p>　　x=a+(2*i-1)*h/2;</p><p>　　x1=x+h/2/sqrt(3);</p><p>　　x2=x-h/2/sqrt(3);</p><p>　　s=s+h*(wu_fun(x1)+wu_fun(x2))/2;</p><p><b>　　

77、end</b></p><p><b>　　s</b></p><p>　　appro(j)=abs(s-exact);</p><p><b>　　N=2*N;</b></p><p><b>　　end</b></p><p><b

78、>　　appro</b></p><p>　　ratio=appro(1:6)./appro(2:7);</p><p><b>　　ratio</b></p><p>　?。?fù)化的三點(diǎn)高斯公式</p><p><b>　　a=0;</b></p><p>

79、<b>　　b=1;</b></p><p>　　exact=2.925303490936058;</p><p><b>　　N=5;</b></p><p>　　appro=zeros(1,7);</p><p><b>　　for j=1:7</b></p>

80、<p>　　h=(b-a)/N;</p><p><b>　　s=0;</b></p><p>　　for i=1:N </p><p>　　x=a+(2*i-1)*h/2;</p><p>　　x1=x+h*sqrt(3/5)/2;</p><p>　　x2=x-h*s

81、qrt(3/5)/2;</p><p>　　s=s+h*(wu_fun(x1)*0.555555556+wu_fun(x2)*0.555555556+wu_fun(x)*0.888888889)/2;</p><p><b>　　end</b></p><p><b>　　s</b></p><p>

82、;　　appro(j)=abs(s-exact);</p><p><b>　　N=2*N;</b></p><p><b>　　end</b></p><p><b>　　appro</b></p><p>　　ratio=appro(1:6)./appro(2:7);<