數(shù)學(xué)本科畢業(yè)論文-數(shù)列極限的求法

1、<p>　　(2016)屆本科生畢業(yè)論文</p><p>　　題 目 數(shù)列極限的求法 </p><p>　　專 業(yè) 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué) </p><p>　　院 系 數(shù)理學(xué)院 <

2、/p><p>　　學(xué) 號 1208020108 姓 名 * * * </p><p>　　指 導(dǎo) 教 師 * * * </p><p>　　答 辯 時 間

3、 二0一六年五月 </p><p>　　論文工作時間 2015年12月 至 2016年5月</p><p><b>　　數(shù)列極限的求法 </b></p><p>　　學(xué) 生：* * *</p><p>　　指導(dǎo)老師：* * * </p><p>　　摘

4、要：從古至今, 在世界數(shù)學(xué)史上, 極限都扮演著重要的角色 ,是數(shù)學(xué)研究的基礎(chǔ).本論文研究數(shù)列極限的求法，主要就高等數(shù)學(xué)的范圍內(nèi)進(jìn)行研究與分析.通過對國內(nèi)外研究結(jié)果的琢磨，旨在通過對數(shù)列極限求法方法的整理與歸類，加深對數(shù)列極限的理解與思考.通過查找文獻(xiàn)，閱讀資料，收集數(shù)據(jù)，調(diào)查分析，最后得出論文，分別從列舉數(shù)列極限的定義、性質(zhì)、定積分、極限存在條件、重要公式求極限方法、轉(zhuǎn)化為函數(shù)極限方法等入手求數(shù)列極限.最后整理出數(shù)列極限不僅在實(shí)際生活中

5、有著應(yīng)用與幫助，而且對于教學(xué)工作也有著許多積極的意義.</p><p>　　關(guān)鍵詞：數(shù)列；極限；數(shù)列極限的性質(zhì)</p><p>　　Methods for Sequence Limit</p><p>　　Undergraduate: Xue Li</p><p>　　Supervisor: Luo Shoushuang</p>

6、<p>　　Abstract: In the history of mathematics,limit, as the basis of mathematical research,has been playing an important rule since ancient time.This paper aims to research the methods for sequence limit,emphasizin

7、g the study and analysis of category of mathematics.I will compare the abroad and domestic research results to further understand mathematics by classifying methods for sequence limit.I will follow this way to find out m

8、ethods for sequence limit:the first step is to gather information,read m</p><p>　　Keywords: Sequence;Limit;Character of Sequence Limit;Mathematical Ways</p><p><b>　　目 錄</b></p>

9、<p><b>　　緒論4</b></p><p><b>　　1 數(shù)列極限4</b></p><p>　　1.1數(shù)列極限的定義4</p><p>　　1.2數(shù)列極限的性質(zhì)4</p><p>　　2數(shù)列極限的求法5</p><p>　　2.1利用定義求

10、極限5</p><p>　　2.2利用數(shù)列性質(zhì)求極限7</p><p>　　2.2.1用迫斂性求數(shù)列極限7</p><p>　　2.2.2利用極限的四則運(yùn)算求極限8</p><p>　　2.3利用數(shù)列極限存在的條件求極限9</p><p>　　2.3.1利用單調(diào)有界定理求極限9</p><

11、;p>　　2.3.2利用柯西準(zhǔn)則求數(shù)列極限11</p><p>　　2.4利用定積分求極限12</p><p>　　2.5利用級數(shù)求極限14</p><p>　　2.6利用重要的公式或轉(zhuǎn)化為函數(shù)極限15</p><p>　　2.6.1重要極限公式15</p><p>　　2.6.2轉(zhuǎn)化為函數(shù)極限15&

12、lt;/p><p>　　3 中學(xué)數(shù)列極限的教學(xué)建議17</p><p><b>　　結(jié)論18</b></p><p><b>　　參考文獻(xiàn)20</b></p><p><b>　　致 謝21</b></p><p><b>　　緒論<

13、;/b></p><p>　　“無論是從歷史的、發(fā)生的還是從系統(tǒng)的角度來看,數(shù)的序列都是數(shù)學(xué)的基石.可以說,沒有數(shù)的序列就沒有數(shù)學(xué)”(弗賴登塔爾,1993). 數(shù)列是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容.它是諸多數(shù)學(xué)思想的學(xué)習(xí)載體. 由于數(shù)列具有豐富的現(xiàn)實(shí)背景,在解決現(xiàn)實(shí)問題中有著廣泛的應(yīng)用.因此,數(shù)列一直是普通高等學(xué)校招生考試重點(diǎn)考查的內(nèi)容之一.</p><p>　　數(shù)列是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，并且具

14、有豐富的現(xiàn)實(shí)背景,在解決實(shí)際問題中有著廣泛的應(yīng)用.數(shù)列是初等數(shù)學(xué)與高等數(shù)學(xué)的重要銜接點(diǎn),由于它既具有函數(shù)特征,又能構(gòu)成獨(dú)特的遞推關(guān)系,使得它既與高中數(shù)學(xué)其他部分的知識有著密切的聯(lián)系,又有自己鮮明的特征.所以其有著內(nèi)容的豐富性、應(yīng)用的廣泛性和思想方法的多樣性.[1</p><p>　　本章共分四節(jié)，主要就數(shù)列極限、數(shù)列極限的求法、中學(xué)數(shù)列極限的教學(xué)建議、數(shù)列極限在現(xiàn)實(shí)生活中的應(yīng)用進(jìn)行了研究.第一部分為數(shù)列極限，第二

15、部分為數(shù)列極限的求法，第三部分為中學(xué)數(shù)列的教學(xué)建議，第四部分為數(shù)列極限在現(xiàn)實(shí)生活中的應(yīng)用.</p><p><b>　　1 數(shù)列極限</b></p><p>　　極限是高等數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，它描述了變量在運(yùn)動過程中變化趨勢，是從有限認(rèn)識到無限，從近似認(rèn)識到精確，從量變認(rèn)識到質(zhì)變的必備的推理工具.數(shù)列極限又是極限的基礎(chǔ).</p><p>　　1.1

16、數(shù)列極限的定義 </p><p>　　定義1 設(shè)為數(shù)列，為定數(shù).若對任給的正數(shù)，總存在正整數(shù)，使得時有，則稱數(shù)列收斂于，定數(shù)稱為數(shù)列的極限，并記作，或，讀作“當(dāng)趨于無窮大時，的極限等于或趨于”.</p><p>　　若數(shù)列沒有極限，則稱不收斂，或稱為發(fā)散數(shù)列.</p><p>　　定義2 任給，若在 之外數(shù)列中的項(xiàng)至多只有有限個，則稱數(shù)列收斂于極限.</

17、p><p>　　1.2數(shù)列極限的性質(zhì)</p><p>　　定理1.2.1（唯一性） 若數(shù)列收斂，則它只有一個極限.</p><p>　　定理1.2.2（有界性） 若數(shù)列收斂，則為有界數(shù)列，即存在正數(shù)，使得對一切正整數(shù)有.</p><p>　　定理1.2.3（保號性） 若（或），則對任何 (或)，存在正數(shù)，使得當(dāng)時有（或）.</p>

18、<p>　　定理1.2.4（保不等式性） 設(shè)與均為收斂數(shù)列.若存在正數(shù),使得當(dāng)時有，則.</p><p>　　定理1.2.5（迫斂性） 設(shè)收斂數(shù)列，都以為極限，數(shù)列滿足存在正數(shù)，當(dāng)時有，則數(shù)列收斂，且.</p><p>　　定理1.2.6（四則運(yùn)算法則） 若與為收斂數(shù)列，則,也都是收斂數(shù)列，且有</p><p><b>　　，.</b>

19、;</p><p>　　特別當(dāng)為常數(shù)時有，.</p><p>　　若在假設(shè)及，則也是收斂數(shù)列，且有.</p><p>　　1.3數(shù)列極限存在的條件</p><p>　　定義3（單調(diào)數(shù)列）若數(shù)列的各項(xiàng)滿足關(guān)系式，則稱為遞增（遞減）數(shù)列.遞增數(shù)列和遞減數(shù)列統(tǒng)稱為單調(diào)數(shù)列.</p><p>　　定理1.3.1（單調(diào)有界定理）

20、 在實(shí)數(shù)系中，有界的單調(diào)數(shù)列必有極限.</p><p>　　定理1.3.2（柯西收斂準(zhǔn)則） 數(shù)列收斂的重要條件是對任給的，存在正整數(shù)，使得當(dāng)時有.</p><p>　　定理1.3.3 數(shù)列收斂的重要條件是的任何非平凡子列都收斂.[2]</p><p><b>　　2數(shù)列極限的求法</b></p><p>　　不同類型的極

21、限問題，用不同的方法解決.在學(xué)習(xí)數(shù)列極限時，只有不斷總結(jié)，不斷完善知識理論和結(jié)構(gòu)，才能在解題中對癥下藥，有所發(fā)現(xiàn)，有所創(chuàng)新.</p><p>　　2.1利用定義求極限</p><p>　　對一些較為簡單的極限問題，可以通過觀察得出數(shù)列的極限，再用定義證明.其步驟如下 </p><p>　　第一步 觀察當(dāng)無限趨于無窮大時，的變化趨勢是接近于常數(shù)；</p>

22、<p>　　第二步 ，求出使成立的所要滿足的條件——尋找；</p><p>　　第三步 取出，由定義得.</p><p>　　例1 求（其中）.</p><p>　　解 觀察當(dāng)無限趨于無窮大時，的變化趨勢是接近于常數(shù)1.令，則.由伯努利不等式可推得</p><p><b>　?。?）</b></p&

23、gt;<p>　　或.對，由式可見，取，當(dāng)時，就有，即.由數(shù)列極限的定義，有.[3]</p><p><b>　　例2 用方法求.</b></p><p>　　解 觀察當(dāng)無限趨于無窮大時，的變化趨勢是接近于常數(shù)1.令則，因?yàn)?lt;/p><p><b>　　，</b></p><p>

24、　　所以，所以，取，則當(dāng)時，有，所以.</p><p>　　例3 證明數(shù)列發(fā)散.</p><p>　　證明 當(dāng)為奇數(shù)時，.當(dāng)為偶數(shù)時，.由定理1.3.3知數(shù)列發(fā)散.</p><p>　　小結(jié) 長期以來的教學(xué)實(shí)踐表明，對于初學(xué)者，極限的 定義很抽象一般來說，用定義求數(shù)列極限局限性很大，它并不是求極限的好辦法，更多地被應(yīng)用于極限值的相關(guān)證明.[2]</p>

25、<p>　　2.2利用數(shù)列性質(zhì)求極限</p><p>　　2.2.1用迫斂性求數(shù)列極限</p><p>　　迫斂性是極限的基本性質(zhì)，給出了數(shù)列存在的一個條件，同時提供了一個計算極限的方法.利用迫斂性求極限的關(guān)鍵或難點(diǎn)在于尋找不等式兩端具有同一極限的式子.利用迫斂性定理求數(shù)列極限的關(guān)鍵在于尋找到合適的上下界數(shù)列，使得原數(shù)列被控制在這兩個新數(shù)列之間的同時，兩個新數(shù)列趨于同一個值.

26、因此，由迫斂性定理即可求得原始數(shù)列的極限.</p><p>　　例4 若為個正數(shù)，求的極限（其中）.</p><p><b>　　解 設(shè)，，則有</b></p><p><b>　　,</b></p><p><b>　　即</b></p><p>&l

27、t;b>　　.</b></p><p><b>　　又因?yàn)椋?，因?lt;/b></p><p><b>　　.[2]</b></p><p>　　例5 求數(shù)列的極限.</p><p><b>　　解 由放縮法可知</b></p><p&g

28、t;<b>　　.</b></p><p><b>　　因?yàn)?lt;/b></p><p><b>　　，.</b></p><p><b>　　由迫斂性知</b></p><p><b>　　.[2]</b></p><

29、;p>　　小結(jié) 利用迫斂性求極限的關(guān)鍵是，將所求極限的數(shù)列適當(dāng)?shù)胤糯蠛涂s小，使得放大

30、

31、 </p><p>　　值得注意的是，這兩個上下界數(shù)列的產(chǎn)生需要依據(jù)原始數(shù)列的特征進(jìn)行放縮得到，一般會有一個方向比較容易得到，而另一個方向需要一定的代數(shù)變形.不過，歸根究底，使用分析的基本語言而不是尋找上下限數(shù)列會是個更好的替代辦法.</p><p>　　2

32、.2.2利用極限的四則運(yùn)算求極限</p><p>　　極限的四則運(yùn)算法則是兩個數(shù)列的極限都存在，并且分母的極限還不等于的情況下，當(dāng)這兩個條件都滿足時，那么兩個數(shù)列在和、差、積、商的極限和這兩個數(shù)列的極限的和、差、積、商都相等；對于一個常數(shù)與一個數(shù)列的乘積的極限的情況，其結(jié)果等于這個常數(shù)與這個數(shù)列的極限的乘積；一個數(shù)列乘方的極限和這個數(shù)列極限的乘方也是相等的.</p><p><b&g

33、t;　　例6 求.</b></p><p><b>　　解 令</b></p><p>　　，（2）</p><p><b>　　則</b></p><p><b>　　，（3）</b></p><p><b>　　由

34、式，得</b></p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　故得 </b></p><p><b>　　，</b></p><p>　　由極限的四則運(yùn)算法則，得</p><p><b>　　.[2]<

35、;/b></p><p><b>　　例7 求的極限.</b></p><p>　　解 因?yàn)椋蓸O限的四則運(yùn)算法則，得</p><p><b>　　，</b></p><p>　　因當(dāng)時，有.由迫斂性得到.所以，.</p><p>　　小結(jié) 在運(yùn)用極限的四則運(yùn)算求數(shù)列極

36、限時應(yīng)注意 </p><p>　　第一，對于分式來說，當(dāng)其分母不等于時，才能直接運(yùn)用四則運(yùn)算法則進(jìn)行求解.</p><p>　　第二，對于無窮多個無窮小量來說，其和未必是無窮小量.</p><p>　　2.3利用數(shù)列極限存在的條件求極限</p><p>　　在研究比較復(fù)雜的數(shù)列極限問題時，通常先考察該數(shù)列是否有極限（極限的存在性問題）；若有

37、極限，再考慮如何計算此極限（極限值的計算問題）.這是極限理論的兩個基本問題.在實(shí)際應(yīng)用中，解決了數(shù)列極限的存在性問題之后，即使極限值的計算較為困難，但由于當(dāng)充分大時，能充分接近其極限，故可用作為的近似值.</p><p>　　為了確定某個數(shù)列是否存在極限，當(dāng)然不可能將每個實(shí)數(shù)依照定義一一驗(yàn)證，根本的辦法是直接從數(shù)列本身的特征來做出判斷.首先討論數(shù)列單調(diào)性，其定義與單調(diào)函數(shù)相仿.若數(shù)列的各項(xiàng)滿足關(guān)系式.則稱為遞減（

38、遞增）數(shù)列.遞增數(shù)列和遞減數(shù)列統(tǒng)稱為單調(diào)數(shù)列.[2]</p><p>　　2.3.1利用單調(diào)有界定理求極限</p><p>　　例8 證明若，且，則.</p><p>　　證明 ，對任何，存在正數(shù),當(dāng)時，有，</p><p>　　即時，.又因?yàn)閷λ谐闪?，則時，單調(diào)有界.根據(jù)單調(diào)有界定理，的極限存在,所以得極限存在.可得出數(shù)列收斂.</

39、p><p>　　設(shè)，由極限的保號性知.</p><p>　　若，則，矛盾.因此，即.</p><p>　　例9 證明數(shù)列收斂，并求其極限.</p><p>　　證 記，易見數(shù)列是遞增的.現(xiàn)用數(shù)學(xué)歸納法來證明有上界</p><p>　　顯然.假設(shè)，則有，從而對一切有，即有上界.</p><p>　　

40、由單調(diào)有界定理，數(shù)列有極限，記為.由于，對上式兩邊取極限得，即有，解得或.由數(shù)列極限的保不等式性，是不可能的，故有.[2]</p><p><b>　　例10 證明存在.</b></p><p>　　證 先建立一個不等式.設(shè)，對任一正整數(shù)有，整理后得不等式</p><p>　　. (1)</p>

41、;<p>　　以，代入（1）式.由于，故有.這就證明了為遞增數(shù)列.</p><p>　　再以，代入（1）式，得</p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　故有</b></p><p><b>　　.</b></p><

42、p>　　上式對一切正整數(shù)都成立，即對一切偶數(shù)有.聯(lián)系到該數(shù)列的單調(diào)性，可知對一切正整數(shù)都有，即數(shù)列有上界.于是由單調(diào)有界定理推知數(shù)列是收斂的.</p><p>　　小結(jié) 單調(diào)有界定理是極限理論中的一個重要定理，它在數(shù)學(xué)分析中常用于數(shù)列的收斂性，而且數(shù)列的單調(diào)有界定理與實(shí)數(shù)完備性也密切相關(guān).[2]</p><p>　　2.3.2利用柯西準(zhǔn)則求數(shù)列極限</p><p&

43、gt;　　例11 利用柯西收斂準(zhǔn)則，證明數(shù)列收斂.其中.</p><p><b>　　解 因?yàn)椋O(shè)，則有</b></p><p><b>　　.</b></p><p>　　對任給的，取，則對一切，有.因此數(shù)列滿足柯西條件，由柯西收斂準(zhǔn)則知，數(shù)列收斂.[2]</p><p>　　例12 按柯西收斂準(zhǔn)

44、則敘述數(shù)列發(fā)散的充要條件，并用它證明下列數(shù)列是發(fā)散的，</p><p>　　(1)； （2）. </p><p>　　證明 數(shù)列發(fā)散的充要條件是 存在正數(shù)，對任給的正整數(shù)，存在時，有.</p><p>　　(1) 取對任意,都可找到，使得，（的周期性），于是，由數(shù)列發(fā)散的充要條件得數(shù)列發(fā)散.</p><p>

45、<b>　　(2)因?yàn)?lt;/b></p><p><b>　　，</b></p><p>　　所以,取，都有，但是，所以的發(fā)散. </p><p>　　小結(jié) 柯西準(zhǔn)則從理論上完全解決了數(shù)列極限存在性問題.它把定義中與的關(guān)系換成了與的關(guān)系，其好處在于無需借助數(shù)列以外的數(shù)，只需要根據(jù)數(shù)列本身的特征就可以鑒別其（收）斂（發(fā)）散

46、性.[2]</p><p>　　2.4利用定積分求極限</p><p><b>　　定積分的定義</b></p><p>　　定義4 設(shè)是定義在上的一個函數(shù)，是一個確定的實(shí)數(shù).若對任給的正數(shù)，總存在某一正數(shù)，使得對的任一分割,以及在其上任意選取的點(diǎn)集，只要，就有，則稱函數(shù)在區(qū)間上可積或黎曼可積；數(shù)稱為在上的定積分或黎曼積分，記作.其中，稱為被積

47、函數(shù)，稱為積分變量，稱為積分區(qū)間，分別稱為這個定積分的下限和上限.</p><p>　　其中，設(shè)閉區(qū)間上有個分點(diǎn)，依次為，它們把分成個小區(qū)間，.這些分點(diǎn)或這些閉子區(qū)間構(gòu)成對的一個分割，記作或.小區(qū)間的長度為，并記，稱為分割的模.[2]</p><p><b>　　利用定積分求步驟</b></p><p>　　通過恒等變形，將化為特殊形式的積分和

48、 .</p><p>　　尋找被積函數(shù)確定積分下限及上限，令，被積函數(shù)為.</p><p>　　積分下限（為的第一個取值）；積分上限 （為的最后一個取值）.</p><p>　　根據(jù)定積分的定義，將改寫成定積分.</p><p>　　計算定積分，得到所求極限為，其中.[4]</p><p><b>　　例13

49、 求.</b></p><p><b>　　解 </b></p><p><b>　　.</b></p><p><b>　　例14 求的極限.</b></p><p>　　解 因?yàn)?，且右邊是連續(xù)函數(shù)在上的積分和.所以有.</p><p>&

50、lt;b>　　另一方面有且</b></p><p><b>　　，</b></p><p>　　故由夾逼定理可知，原極限.[5]</p><p>　　例15 求拋物線與兩直線和所圍圖形的面積.</p><p>　　解 現(xiàn)將區(qū)間等分為個小區(qū)間，，以這些小區(qū)間為底邊，分別以為高，作個小矩形.這個小矩形的面積

51、加在一起作為圖形面積的近似值，即</p><p><b>　　.</b></p><p>　　這樣，定義了一個數(shù)列，對每個而言，都小于欲求的“面積”，但是這兩者之間的差距不會大于長為，寬為的矩形面積，即.所以，將區(qū)間無限地細(xì)分，即當(dāng)時，.最后，將計算圖形的面積歸結(jié)為求數(shù)列極限的問題，即</p><p><b>　　.[6]</b

52、></p><p>　　小結(jié) 一般來說，若是項(xiàng)和式，當(dāng) 時，可考慮用定積分的概念來求極限.利用定積分求關(guān)鍵為尋找被積函數(shù)；確定積分的下限及上限.</p><p>　　2.5利用級數(shù)求極限</p><p>　　級數(shù)收斂的必要條件是若級數(shù)收斂，則.即若級數(shù)收斂，則當(dāng)無限增大時，它的一般項(xiàng)必趨近于零.所以，若把所求之?dāng)?shù)列視為一個級數(shù)的通項(xiàng)，如果能判別此級數(shù)收斂，則

53、此數(shù)列之極限必為零.</p><p><b>　　例16 求.</b></p><p>　　解 考察正項(xiàng)級數(shù)的收斂情況.因?yàn)?lt;/p><p><b>　　.</b></p><p>　　由正項(xiàng)級數(shù)的比值審斂法，知級數(shù)收斂，故由級數(shù)收斂的必要條件，得</p><p><b

54、>　　.</b></p><p>　　小結(jié) 此題如果不借助級數(shù)收斂的必要條件求解，則難以求出答案.[7]</p><p><b>　　例17 求.</b></p><p>　　解 作級數(shù)，根據(jù)級數(shù)收斂的比試判別法可得</p><p><b>　　，</b></p>&

55、lt;p>　　所以級數(shù)收斂，從而有.[8]</p><p>　　2.6利用重要的公式或轉(zhuǎn)化為函數(shù)極限</p><p>　　2.6.1重要極限公式</p><p>　　重要極限公式. </p><p>　　例18 求. </p><p><b>　　解 .</b>

56、</p><p>　　小結(jié) 利用公式求函數(shù)的極限時需注意的是數(shù)列極限的特點(diǎn)是“1”型.</p><p><b>　　例19 求的極限.</b></p><p><b>　　解 ，，，</b></p><p>　　由極限的四則運(yùn)算法則得，.</p><p>　　例20設(shè)本金為，

57、年利率為，如果每年結(jié)算一次，則年末的本利和為；如果每年結(jié)算次，每期利率為，則年末的本利和為；如果每年結(jié)算無窮多次，即連續(xù)復(fù)利，這時，則年末的本利和為</p><p><b>　　[6]</b></p><p>　　2.6.2轉(zhuǎn)化為函數(shù)極限</p><p>　　歸結(jié)原則（海涅定理）</p><p>　　設(shè)在內(nèi)有定義.存在的

58、必要條件是：對任何含于且以為極限的數(shù)列，極限都存在且相等.</p><p>　　海涅定理表明了函數(shù)極限與數(shù)列極限的關(guān)系.如果極限存在，為函數(shù)的定義域內(nèi)任意收斂于的數(shù)列，且滿足 ，那么相應(yīng)的函數(shù)值數(shù)列必收斂，且[9].</p><p><b>　　洛必達(dá)法則</b></p><p>　　若；在內(nèi)可導(dǎo)，且；.則.</p><p&

59、gt;　　對于，在滿足相應(yīng)的條件下，結(jié)論仍成立.</p><p>　　說明 對于這種情況,以上法則仍成立.[10]</p><p><b>　　例21 求.</b></p><p>　　解 令，因?yàn)?，所以則有.</p><p><b>　　.</b></p><p><

60、;b>　　因此，.[11]</b></p><p><b>　　例22 求.</b></p><p>　　解 令，因?yàn)?，所以，則有.</p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　因此，.[12]</b></p><p

61、>　　小結(jié) 洛必達(dá)法則是求幾種未定式極限的一種重要方法，在使用時需注意</p><p>　?。?）次法則僅適用于和型未定式，其他未定式、、、、都應(yīng)該先變形轉(zhuǎn)化為或型，再利用洛必達(dá)法則求解.</p><p>　?。?）只要滿足條件可以多次使用洛比達(dá)法則，但每次使用前都必須作檢驗(yàn)，否則，就不能繼續(xù)使用.</p><p>　?。?）此法則的原理是分子和分母分別同時求

62、導(dǎo)，不是對整個分式求導(dǎo).</p><p>　?。?）若遇到 不存在，不能由此斷言 也不存在，只能說洛比達(dá)法則失效，此時須用另外方法.[13]</p><p>　　3 中學(xué)數(shù)列極限的教學(xué)建議</p><p>　　數(shù)列是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，由于它既具有函數(shù)特征,又能構(gòu)成獨(dú)特的遞推關(guān)系，使得它既與高中數(shù)學(xué)其他部分的知識有著密切的聯(lián)系,又有自己鮮明的特征,函數(shù)思想貫穿于高

63、中數(shù)學(xué)的始終.數(shù)列是一種離散函數(shù),它是一種重要的數(shù)學(xué)模型.教學(xué)中,將等差數(shù)列、等比數(shù)列與一次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)聯(lián)系起來,有助于學(xué)生加深對一次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)的認(rèn)識,從而有助于學(xué)生從連續(xù)和離散兩個角度認(rèn)識函數(shù),提高學(xué)生對函數(shù)思想的理解水平.</p><p>　　在高中數(shù)學(xué)教科書中,并沒有以函數(shù)的形式呈現(xiàn)數(shù)列的概念,對等差數(shù)列、等比數(shù)列的概念只要求從映射的角度與一次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)相比較,作為了解;對于通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式

64、、單調(diào)性、周期性等一般性質(zhì)則沒有作安排.因此,教師在教學(xué)過程中,只能分散地不成系統(tǒng)地進(jìn)行相應(yīng)內(nèi)容的補(bǔ)充.不過,這樣的知識空白也給教師留下了自由發(fā)揮的空間.面對這樣一個現(xiàn)狀,教師如何選擇教學(xué)內(nèi)容,如何控制知識的廣度、深度與難度并沒有現(xiàn)成的標(biāo)準(zhǔn)與參照.通過對現(xiàn)高中學(xué)生的調(diào)查，并進(jìn)行系列研究表明：</p><p>　?。╨）學(xué)生更易接受數(shù)列常規(guī)的表示方法;不同性質(zhì)學(xué)校的學(xué)生在對概念及表示形式的理解上存在較大差異,高中生

65、在數(shù)列的定義、數(shù)列與集合的關(guān)系、數(shù)列的表格表示法、映射表示法等各項(xiàng)指標(biāo)上的理解均好于師范生;總體上看,男女生對數(shù)列概念的理解并無顯著性差異.</p><p>　　(2)學(xué)生對有規(guī)律的數(shù)列通項(xiàng)公式的存在性表示較大程度的認(rèn)同；對有限數(shù)列中非等差、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、有限數(shù)列通項(xiàng)公式的不確定性、不確定的無限數(shù)列等的理解都存在不同程度的困難.從整體上看,在數(shù)列通項(xiàng)公式的理解上,師范生遜于高中生,男女生并無顯著性差異.&l

66、t;/p><p>　　(3)整體上看,對等比數(shù)列求和公式推導(dǎo)過程所隱含的整體消項(xiàng)法的思想理解程度不高.在解決問題的能力上,高中生要好于師范生,男女生并無顯著性差異.</p><p>　　(4)多數(shù)學(xué)生并沒有利用函數(shù)性質(zhì)解決數(shù)列單調(diào)性問題的意識.總體上看,在對基本定義的理解與運(yùn)用上,高中生好于師范生,但師范生解題的思路較為寬廣,靈活性更強(qiáng);男生好于女生,但在函數(shù)性質(zhì)的運(yùn)用上,男女生并無顯著性差異

67、.[14]</p><p>　?。?）中學(xué)生如何理解數(shù)列的通項(xiàng)公式?</p><p>　　數(shù)列的通項(xiàng)公式是數(shù)列表示的最常見的方式之一,通項(xiàng)公式也是數(shù)列與函數(shù)聯(lián)系的紐帶和橋梁.在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中,數(shù)列的通項(xiàng)公式常常以函數(shù)解析式的形式出現(xiàn),并在這種表達(dá)方式下進(jìn)行數(shù)列性質(zhì)的研究.而這個狀況,常常會使學(xué)生忽視數(shù)學(xué)通項(xiàng)公式的存在性、唯一性,也常常會使學(xué)生忽視連續(xù)函數(shù)與離散函數(shù)性質(zhì)之間的區(qū)別.因此,研究

68、學(xué)生對不同類別數(shù)列通項(xiàng)公式的存在性、唯一性的理解是教師在教學(xué)工作中應(yīng)該著重考慮的.</p><p>　?。?）中學(xué)生如何理解數(shù)列前n項(xiàng)和?</p><p>　　數(shù)列前n項(xiàng)和是數(shù)學(xué)教學(xué)的重點(diǎn)與難點(diǎn).對于單一型數(shù)列(等差數(shù)列、等比數(shù)列)而言,其通項(xiàng)公式的運(yùn)用較為簡單.本文擬研究等差數(shù)列與等比數(shù)列復(fù)合的綜合型數(shù)列,從而獲得學(xué)生對數(shù)列前n項(xiàng)和公式的理解程度.</p><p>

69、;　?。?）中學(xué)生如何理解數(shù)列的單調(diào)性?</p><p>　　數(shù)列作為特殊的函數(shù),具有函數(shù)的一般性質(zhì).但由于數(shù)列是離散函數(shù),又具有與一般連續(xù)函數(shù)性質(zhì)不同的特性.因此,以單調(diào)性為例,研究學(xué)生對數(shù)列單調(diào)性的理解,區(qū)分利用定義與圖像、導(dǎo)數(shù)不同方法解決單調(diào)性問題的有效性,追蹤學(xué)生發(fā)生錯誤的原因,從而發(fā)現(xiàn)學(xué)生在知識遷移過程中存在的誤區(qū),增強(qiáng)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的思辨能力,改進(jìn)教育教學(xué).[15]</p><p&g

70、t;<b>　　結(jié)論</b></p><p>　　極限是高等數(shù)學(xué)中的重要組成部分，它是探究高等數(shù)學(xué)中其他問題的重要工具.研究極限問題的核心是極限的求法.因此，掌握極限的求法顯得尤其的重要.</p><p>　　在數(shù)列教學(xué)中,整體與局部思想、類比思想貫穿其中.等差數(shù)列與等比數(shù)列性質(zhì)的類比,數(shù)列通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式、單調(diào)性與函數(shù)相應(yīng)性質(zhì)的類比,兩個不同數(shù)列的四則運(yùn)算與函

71、數(shù)的四則運(yùn)算數(shù)列的類比，數(shù)列的復(fù)合與函數(shù)的復(fù)合的類比,數(shù)列內(nèi)部各項(xiàng)之間的局部關(guān)系與數(shù)列整體關(guān)系都是教學(xué)的重點(diǎn)與難點(diǎn).</p><p>　　以上總結(jié)的幾種數(shù)列極限的求法.但是在做題時，應(yīng)該注意多種方法的綜合應(yīng)用.對于不同的題目可以有多種方法的求解，在解題時應(yīng)注意題目的特點(diǎn)，根據(jù)其特點(diǎn)，選擇適當(dāng)?shù)姆椒?通過前面的例子我們知道求數(shù)列極限的方法靈活多樣，給一些數(shù)學(xué)問題的討論和計算帶來極大的方便.對它的研究也使數(shù)學(xué)分析在經(jīng)

72、濟(jì)領(lǐng)域和數(shù)學(xué)領(lǐng)域中發(fā)揮更大的作用.這在數(shù)學(xué)分析關(guān)于函數(shù)極限和微積分學(xué)的研究及其應(yīng)用中都有非常重要的理論意義和應(yīng)用價值.所以，國內(nèi)外學(xué)者對數(shù)列極限的求法及其在實(shí)際應(yīng)用的研究一直未中斷，同時仍存在很多內(nèi)容等待我們?nèi)ヌ接?，去解決，去突破.</p><p><b>　　參考文獻(xiàn)</b></p><p>　　[1] 萬為國.一類單調(diào)數(shù)列極限的求法.商丘職業(yè)技術(shù)學(xué)院學(xué)報[N].

73、2013（1-2）.1-2.</p><p>　　[2] 華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析.第三版.北京 高等教育出版社[M].2001.23-41. </p><p>　　[3] 王金香.劉啟才.關(guān)于極限求法之探究.宜春學(xué)院學(xué)報[J].2011,33 13-16.</p><p>　　[4] 葛喜芳.數(shù)列極限的幾種計算方法.北京工業(yè)職業(yè)技術(shù)學(xué)院學(xué)報[J].201

74、3,12:63-65.</p><p>　　[5] 李嘯芳.劉家保.左學(xué)武.一類數(shù)列極限的幾種常用方法.佛山科學(xué)技術(shù)學(xué)院學(xué)報[N].2015,14-18.</p><p>　　[6] 李海英.趙建英.數(shù)列極限在實(shí)際中的應(yīng)用.研究與開發(fā)[J],2013,09:24-25.</p><p>　　[7] 陳凌.兩類數(shù)列極限的求法.科技創(chuàng)新導(dǎo)報[J].2010,28:

75、255-256.</p><p>　　[8] 鄭允利.求數(shù)列極限的方法探討.高等函授學(xué)報（自然科學(xué)版）[J].2010,23:68-69.</p><p>　　[9] 曾祥遠(yuǎn).程功任.李科贊.關(guān)于函數(shù)和數(shù)列極限的相關(guān)理論及計算方法的探討.教育</p><p>　　現(xiàn)代化[J].2015,10:253-256. </p><p>　　[1

76、0] 王琦亮.賈建文.確定遞推式數(shù)列收斂的幾種方法.高等數(shù)學(xué)研究[J].2014,17 70-71.</p><p>　　[11] 周彬.數(shù)列極限的幾種求法.新課程學(xué)習(xí)[J].2009,4:114-115.</p><p>　　[12] 郝祥暉.李坤花.極限的多種求法.宿州教育學(xué)院學(xué)報[J].2007,10 185-186.</p><p>　　[13] 王竹英.極

77、限的求法.高校理科研究[J].2008，36:250-251.</p><p>　　[14] 王俊輝.高中生對數(shù)列的理解[D].上海,華東師范大學(xué)，2009.3-7.</p><p>　　[15] 趙文燕.數(shù)列極限的幾種求法.學(xué)科研究[J].2012,3:126-127.</p><p><b>　　致 謝</b></p>&l

78、t;p>　　本論文在***導(dǎo)師的悉心指導(dǎo)下完成的. 導(dǎo)師淵博的專業(yè)知識、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)闹螌W(xué)態(tài)度，精益求精的工作作風(fēng)，誨人不倦的高尚師德，嚴(yán)于律己、寬以待人的崇高風(fēng)范，樸實(shí)無法、平易近人的人格魅力對本人影響深遠(yuǎn).不僅使本人樹立了遠(yuǎn)大的學(xué)習(xí)目標(biāo)、掌握了基本的研究方法，還使本人明白了許多為人處事的道理.本次論文從選題到完成，每一步都是在導(dǎo)師的悉心指導(dǎo)下完成的，傾注了導(dǎo)師大量的心血.在此，謹(jǐn)向?qū)煴硎境绺叩木匆夂椭孕牡母兄x！在寫論文的過程中，遇到

79、了很多的問題，在老師的耐心指導(dǎo)下，問題都得以解決.所以在此，再次對老師道一聲 老師，謝謝您！</p><p>　　不積跬步何以至千里，本論文能夠順利的完成，也歸功于各位任課老師的認(rèn)真負(fù)責(zé)，使我能夠很好的掌握和運(yùn)用專業(yè)知識，并在設(shè)計中得以體現(xiàn).正是有了他們的悉心幫助和支持，才使我的畢業(yè)論文工作順利完成，在此向綿陽師范學(xué)院，數(shù)學(xué)與計算機(jī)科學(xué)學(xué)院的全體老師表示由衷的謝意. 感謝他們四年來的辛勤栽培.</p>