畢業(yè)論文---數(shù)列極限的求法及其應(yīng)用

1、<p>　　畢 業(yè) 論 文（設(shè) 計）</p><p>　　2011 屆 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué) 專業(yè) 0 班級</p><p>　　題 目 數(shù)列極限的求法及其應(yīng)用 </p><p><b>　　內(nèi) 容 提 要</b></p><p>　　數(shù)列極限可用語言和語言進

2、行準確定義，本文主要講述數(shù)列極限的不同求法，例如：極限定義求法、極限運算法則法、夾逼準則求法、單調(diào)有界定理求法、函數(shù)極限法、定積分定義法、Stoltz公式法、幾何算術(shù)平均收斂公式法、級數(shù)法、收縮法等等.我們還會發(fā)現(xiàn)同一數(shù)列極限可用不同方法來求.</p><p>　　最后我們還簡要介紹了數(shù)列極限在現(xiàn)實生活中的應(yīng)用，如幾何中推算圓面積，求方程的數(shù)值解，研究市場經(jīng)營的穩(wěn)定性及購房按揭貸款分期償還問題.通過這些應(yīng)用使我們

3、對數(shù)列極限有一個更系統(tǒng)立體的了解.</p><p><b>　　關(guān)鍵詞</b></p><p>　　定義；夾逼準則；Stoltz公式；函數(shù)極限</p><p>　　On the Solutions and the Applications as to the Sequence Limit</p><p><b>

4、;　　Abstract</b></p><p>　　The limit of a sequence can be accurately defined by language and language. This paper mainly describes different solutions to finding sequence limit, for example, definition

5、 of sequence limit method, fundamental operations of sequence limit method, squeezing law method, the monotone convergence theorem method, function limits method, definite integrals definition method, Stoltz formula met

6、hod, geomeric and arithmetic convergence formula method, series method, contraction method, etc. We'll a</p><p>　　Finally, we also briefly introduce the applications of sequence limit in real life, such

7、as, infering the area of a circle in geometry, finding the numerial solution of equations, studying the stability of the market operation and the amortization problems of purchase mortgage loans.</p><p><

8、b>　　Key Words</b></p><p>　　definition; Squeezing law; Stoltz formula; Function limits</p><p><b>　　目 錄</b></p><p>　　第一章 數(shù)列極限的概念1</p><p>　　1.1 數(shù)

9、列極限的定義及分類1</p><p>　　1.2 數(shù)列極限求法的常用定理2</p><p>　　第二章 數(shù)列極限的求法4</p><p>　　2.1 極限定義求法4</p><p>　　2.2 極限運算法則法5</p><p>　　2.3 夾逼準則求法6</p><p>　　2.4

10、 單調(diào)有界定理求法8</p><p>　　2.5 函數(shù)極限法9</p><p>　　2.6 定積分定義法10</p><p>　　2.7 Stoltz公式法11</p><p>　　2.8 幾何算術(shù)平均收斂公式法12</p><p>　　2.9 級數(shù)法13</p><p>　　2.1

11、0 其它方法15</p><p>　　第三章 數(shù)列極限在現(xiàn)實生活中的應(yīng)用17</p><p>　　3.1 幾何應(yīng)用-計算面積17</p><p>　　3.2 求方程的數(shù)值解18</p><p>　　3.3 市場經(jīng)營中的穩(wěn)定性問題19</p><p>　　3.3.1 零增長模型19</p>&

12、lt;p>　　3.3.2 不變增長模型20</p><p>　　3.4 購房按揭貸款分期償還21</p><p>　　第四章 結(jié) 論23</p><p><b>　　致 謝24</b></p><p><b>　　參考文獻24</b></p><p>　　數(shù)

13、列極限的求法及其應(yīng)用</p><p>　　學(xué)號：071106132 作者：楊少鮮 指導(dǎo)老師：董建偉 職稱：講師</p><p>　　第一章 數(shù)列極限的概念</p><p>　　在研究數(shù)列極限解法之前，首先我們要清楚數(shù)列極限的定義.這是對數(shù)列極限做進一步深入研究的先決基礎(chǔ).</p><p>　　1.1 數(shù)列極限的定義及分類</p&

14、gt;<p>　　數(shù)列極限概念是由于求某些實際問題的精確解答而產(chǎn)生的.如，我國古代數(shù)學(xué)家劉徽（公元3世紀）利用圓內(nèi)接正多邊形來推算圓面積的方法—割圓術(shù).因一系列圓內(nèi)接正多邊形的面積在無限增大（）時，內(nèi)接正多邊形無限接近于圓，同時也無限接近于某一確定的數(shù)，此時這一數(shù)值可精確表達圓的面積.在解決類似的實際問題中逐步的引出了數(shù)列極限.</p><p>　　針對不同的數(shù)列極限我們對其定義將會有細微的不同，下

15、面主要介紹兩種定義：定義，定義.</p><p>　　定義1（語言）：設(shè)是個數(shù)列，是一個常數(shù)，若，正整數(shù)，使得當(dāng)時，都有，則稱是數(shù)列當(dāng)無限增大時的極限，或稱收斂于，記作，或.這時，也稱的極限存在.</p><p>　　定義2（語言）：若,正整數(shù)，使得當(dāng)時，都有,則稱是數(shù)列當(dāng)無限增大時的非正常極限，或稱發(fā)散于，記作或，這時，稱有非正常極限.

16、 對于的定義類似，就不作介紹了.為了后面數(shù)列極限的解法做鋪墊，我們先介紹一些常用定理. </p><p>　　1.2 數(shù)列極限求法的常用定理</p><p>　　定理1.2.1（數(shù)列極限的四則運算法則） 若和為收斂數(shù)列，則也都是收斂數(shù)列，且有</p><p>　　若再假設(shè)及，則也是收斂數(shù)列，且有

17、 .</p><p>　　定理1.2.2（單調(diào)有界定理） 在實數(shù)系中，有界的單調(diào)數(shù)列必有極限.</p><p>　　定理1.2.3（Stoltz公式） 設(shè)有數(shù)列，，其中嚴格增，且（注意：不必）.如果</p><p><b>　?。▽崝?shù)，），</b></p>&

18、lt;p>　　則 </p><p>　　定理1.2.3'（Stoltz公式） 設(shè)嚴格減，且，.若</p><p><b>　?。▽崝?shù)，），</b></p><p>　　則 </p><p><b>　　.</b></p>

19、<p>　　定理1.2.4（幾何算術(shù)平均收斂公式） 設(shè)，則</p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　若，則.</b></p><p>　　定理1.2.5（夾逼準則）設(shè)收斂數(shù)列都以為極限，數(shù)列滿足：存在正數(shù)，當(dāng)時，有</p><p><b>　　，<

20、;/b></p><p><b>　　則數(shù)列收斂，且.</b></p><p>　　定理1.2.6（歸結(jié)原則）設(shè)在內(nèi)有定義.存在的充要條件是：對任何含于且以為極限的數(shù)列，極限都存在且相等.</p><p>　　第二章 數(shù)列極限的求法</p><p>　　2.1 極限定義求法</p><p>

21、　　在用數(shù)列極限定義法求時，關(guān)鍵是找到正數(shù).我們前面一節(jié)的定理1.2.4（幾何算術(shù)平均收斂公式）的證明就可用數(shù)列極限來證明，我們來看幾個例子.</p><p>　　例2.1.1 求，其中.</p><p><b>　　解：.</b></p><p>　　事實上，當(dāng)時，結(jié)論顯然成立.現(xiàn)設(shè).記，則. 由 ,</p>

22、<p>　　得 . （5）</p><p>　　任給，由（5）式可見，當(dāng)時，就有.即.所以.</p><p>　　對于的情況，因，由上述結(jié)論知，故 </p><p><b>　　.</b></p><p><b>　　綜合

23、得時，.</b></p><p>　　例2.1.2 定理1.2.4（1）式證明.</p><p>　　證明：由，則，存在，使當(dāng)時，有</p><p><b>　　,</b></p><p><b>　　則</b></p><p><b>　　.<

24、/b></p><p><b>　　令，那么</b></p><p><b>　　.</b></p><p>　　由，知存在，使當(dāng)時，有.</p><p>　　再令,故當(dāng)時，由上述不等式知</p><p><b>　　.</b></p>

25、<p><b>　　所以 .</b></p><p>　　例 2.1.3 求.</p><p><b>　　解：.</b></p><p><b>　　事實上，.</b></p><p><b>　　即.</b></p>&

26、lt;p>　　對，存在，則當(dāng)時，便有</p><p><b>　　所以.</b></p><p>　　注：上述例題中的7可用替換，即.</p><p>　　2.2 極限運算法則法</p><p>　　我們知道如果每次求極限都用定義法的話，計算量會太大.若已知某些極限的大小，用定理1.2.1就可以簡化數(shù)列極限的求法.

27、</p><p>　　例2.2.1 求,其中.</p><p>　　解：分子分母同乘，所求極限式化為</p><p><b>　　.</b></p><p><b>　　由知，</b></p><p>　　當(dāng)時，所求極限等于；當(dāng)時，由于，故此時所求極限等于0.綜上所述，得到&

28、lt;/p><p>　　例2.2.2 求，其中.</p><p>　　解: 若，則顯然有；</p><p><b>　　若，則由得</b></p><p><b>　??；</b></p><p><b>　　若，則</b></p><p&

29、gt;<b>　　.</b></p><p>　　2.3 夾逼準則求法</p><p>　　定理1.2.5又稱迫斂性，它不僅給出了判定數(shù)列收斂的一種方法，而且也提供了一個求極限的工具.</p><p>　　例2.3.1 求極限.</p><p><b>　　解：因為</b></p>&

30、lt;p><b>　　，</b></p><p><b>　　所以</b></p><p><b>　　.</b></p><p><b>　　因 ，再由迫斂性知</b></p><p><b>　　.</b></p>

31、;<p>　　例2.3.2 求數(shù)列的極限.</p><p><b>　　解： 記，這里，則</b></p><p><b>　　,</b></p><p>　　由上式得 ，從而有</p><p>　　, （2）</p><p>　　數(shù)列是收斂

32、于1的，因?qū)θ谓o的，取，則當(dāng)時有.于是，不等式（2）的左右兩邊的極限皆為1,故由迫斂性得 </p><p><b>　　.</b></p><p>　　例2.3.3 設(shè)及，求.</p><p><b>　　解：.</b></p><p>　　事實上，先令，把寫作，其中.我們有</p&

33、gt;<p><b>　　.</b></p><p>　　由于，可見是無窮小.據(jù)等式 ，</p><p>　　注意到，由方才所述的結(jié)果是無窮小.最后的等式表明，可表為有限個（個）無窮小的乘積，所以也是無窮小，即</p><p><b>　　.</b></p><p>　　2.4 單調(diào)有

34、界定理求法</p><p>　　有的時候我們需要先判斷一個數(shù)列是否收斂，再求其極限，此時該方法將會對我們有很大幫助，我們來看幾個例子.</p><p>　　例2.4.1 求例2.1.3注解中的.</p><p><b>　　解：.</b></p><p><b>　　事實上，令.當(dāng)時，</b><

35、;/p><p><b>　　.</b></p><p>　　因此從某一項開始是遞減的數(shù)列，并且顯然有下界0.因此，由單調(diào)有界原理知極限存在，在等式的等號兩邊令，得到,所以為無窮小.從而</p><p><b>　　. </b></p><p>　　例2.4.2 求極限（個根號）.</p>

36、<p><b>　　解：設(shè)， </b></p><p><b>　　又由，設(shè)，則.</b></p><p><b>　　因，故單調(diào)遞增.</b></p><p>　　綜上知單增有上界，所以收斂.</p><p><b>　　令由，</b>

37、</p><p>　　對兩邊求極限得，故.</p><p><b>　　2.5 函數(shù)極限法</b></p><p>　　有些數(shù)列極限可先轉(zhuǎn)化為函數(shù)極限求可能很方便，再利用歸結(jié)原則即可求出數(shù)列極限.</p><p>　　例2.5.1 用函數(shù)極限法求例2.1.1,即求.</p><p><b&g

38、t;　　解：先求，因,</b></p><p><b>　　再由歸結(jié)原則知.</b></p><p>　　例2.5.2 用函數(shù)極限求例2.3.2,即求.</p><p><b>　　解：先求.因，</b></p><p><b>　　再由歸結(jié)原則知.</b><

39、/p><p>　　例2.5.3 用函數(shù)極限求例2.3.3,即設(shè)及，求.</p><p>　　解：先求.因（由洛比達法則），再由歸結(jié)原則知.</p><p>　　2.6 定積分定義法</p><p>　　通項中含有的數(shù)列極限，由于的特殊性，直接求非常困難，若轉(zhuǎn)化成定積分來求就相對容易多了.</p><p><b>

40、　　例2.6.1 求.</b></p><p><b>　　解：令，則.而,</b></p><p><b>　　也即，所以.</b></p><p>　　例2.6.2 求極限.</p><p><b>　　解：因為</b></p><p>

41、<b>　　，</b></p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　類似地</b></p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　由夾逼準則知</b></p><p&g

42、t;<b>　　.</b></p><p>　　注：在此式的求解中用到了放縮法和迫斂性.</p><p>　　2.7 Stoltz公式法</p><p>　　Stoltz公式，在求某些極限時非常方便，尤其是當(dāng)時特別有效.</p><p>　　例2.7.1 同例2.1.2，定理1.2.4（1）式證明.</p>

43、<p>　　證明：前面用定義法證明，現(xiàn)用Stoltz公式證明.</p><p>　　令，則由Stoltz公式得到</p><p><b>　　.</b></p><p><b>　　例2.7.2 求.</b></p><p>　　解： （Stoltz公式）</p>

44、<p><b>　?。?（二項式定理）</b></p><p><b>　?。?</b></p><p>　　2.8 幾何算術(shù)平均收斂公式法</p><p>　　上面我們用Stoltz公式已得出定理1.2.4,下面我們通過例子會發(fā)現(xiàn)很多類型的數(shù)列極限可以用此方法來簡化其求法.</p><p&g

45、t;　　例2.8.1 同例2.1.1一樣求，其中.</p><p>　　解：令,由定理1.2.4（2）知</p><p><b>　　.</b></p><p>　　例2.8.2 同例2.3.2一樣求.</p><p>　　解：令,由定理1.2.4（2）知</p><p><b>　　.

46、</b></p><p>　　例2.8.3 同例2.6.1相似求.</p><p><b>　　解：令,則</b></p><p><b>　　＝.</b></p><p><b>　　所以 </b></p><p><b>　

47、　，</b></p><p>　　也即，而由定理1.2.4（2）知</p><p><b>　　.</b></p><p><b>　　故 </b></p><p><b>　　.</b></p><p><b>　　例2.8.

48、3 求.</b></p><p>　　解：令，則由定理1.2.4（1）知</p><p><b>　　.</b></p><p><b>　　2.9 級數(shù)法</b></p><p>　　若一個級數(shù)收斂，其通項趨于0（）,我們可以應(yīng)用級數(shù)的一些性質(zhì)來求數(shù)列極限，我們來看兩個實例來領(lǐng)會其數(shù)學(xué)

49、思想.</p><p>　　例2.9.1 用級數(shù)法求例2.1.3注.</p><p>　　解：考慮級數(shù)，由正項級數(shù)的比式判別法，因</p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　故級數(shù)收斂，從而.</b></p><p>　　例2.9.2 用級數(shù)法求例2

50、.3.3,即設(shè)及，求.</p><p>　　解：考慮正項級數(shù)，由正項級數(shù)的比式判別法，因</p><p><b>　　，</b></p><p>　　故正項級數(shù)收斂，所以.</p><p>　　例2.9.3 求極限.</p><p>　　解： 因級數(shù)收斂，由級數(shù)收斂的柯西準則知，對，存在, 使得

51、當(dāng)時， </p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　此即，</b></p><p><b>　　所以 </b></p><p><b>　　.</b></p><p>　　例2.9.

52、4 求極限.</p><p>　　解：令，所以.考慮級數(shù) ，</p><p>　　因為，所以此級數(shù)收斂.</p><p>　　令 ，則.再令， .</p><p><b>　　所以 </b></p><p><b>　　.</b></p><p>&l

53、t;b>　　而 ,</b></p><p><b>　　所以 </b></p><p><b>　　.</b></p><p><b>　　2.10 其它方法</b></p><p>　　除去上述求數(shù)列極限的方法外，針對不同的題型可能還有不同的方法，我們可以

54、再看幾個例子.</p><p>　　例2.10.1 求.</p><p>　　解：對于這個數(shù)列極限可用三角函數(shù)的周期性.</p><p><b>　?。?lt;/b></p><p><b>　　＝.</b></p><p>　　例2.10.2 設(shè),</p><

55、p>　　證明：收斂，并求其極限.</p><p>　　解：對于這個極限可以先用中值定理來說明其收斂.</p><p>　　首先用數(shù)學(xué)歸納法可以證明</p><p><b>　　.</b></p><p><b>　　事實上,.假設(shè)，</b></p><p><b&

56、gt;　　則.</b></p><p><b>　　令，則.</b></p><p>　?。?， （1）</p><p>　　其中介于和之間.由于,再由（1）式知為壓縮數(shù)列，故收斂.設(shè),則.</p><p><b>　　由于</b></p><p&

57、gt;<b>　　，</b></p><p><b>　　所以 </b></p><p><b>　　.</b></p><p><b>　　解得（舍去），.</b></p><p><b>　　綜上知.</b></p>

58、<p>　　注：對于這個題可也以采用單調(diào)有界原理證明其極限的存在性.</p><p>　　第三章 數(shù)列極限在現(xiàn)實生活中的應(yīng)用</p><p>　　3.1 幾何應(yīng)用-計算面積</p><p>　　在論文開始時，我們已經(jīng)簡要介紹了利用極限求圓的面積，現(xiàn)在我們再來介紹如何求拋物線與兩直線和所圍的面積.</p><p>　　先將區(qū)間等分

59、為個小區(qū)間，以這些小區(qū)間為底邊，分別以為高，作個小矩形.</p><p>　　這個小矩形的面積之和是</p><p><b>　?。?lt;/b></p><p><b>　　＝.</b></p><p>　　這樣我們就定義一個數(shù)列，對每個而言，它都小于欲求的“面積”，但是這兩者之間的差別不會大于長為1,

60、寬為的矩形面積，即，所以，當(dāng)越來越大時，將越來越接近于欲求的“面積”，因此，我們可以定義此面積為</p><p><b>　　.</b></p><p>　　這種定義面積并求面積的方法簡單又樸素，它同時孕育出了數(shù)學(xué)分析的一個重要組成部分：積分學(xué).</p><p>　　3.2 求方程的數(shù)值解</p><p>　　我們都知道

61、，是無理數(shù).目前的問題是如何用有理數(shù)來逼近，以達到事先指定的精確度？是二次方程的正根，所以我們的問題可以說成是求方程的“數(shù)值解”.</p><p>　　把問題提得更一般一些.設(shè)是任意給定的，我們來求的近似值.給定的一個近似值，在兩個正數(shù)中，一定有一個大于另一個小于，除非正好就是.有理由指望這兩個數(shù)的算術(shù)平均值可能更加靠近，這便得到了更好的近似.事實上</p><p><b>　　

62、.</b></p><p>　　這表明：不論初值如何，得出的第一次近似值是過剩近似值.不妨設(shè)初值本身就是過剩近似值，因此.由此得出</p><p><b>　　.</b></p><p>　　這個不等式告訴我們：第一次近似值到的距離至多是初值到的距離的一半.</p><p>　　重復(fù)施行上述的步驟，便產(chǎn)生數(shù)列

63、，其中</p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　由</b></p><p><b>　　，</b></p><p>　　可見.對于充分大的，數(shù)與的距離要多小有多小.</p><p>　　讓我們看看實際應(yīng)用起來有多方便，設(shè)想我們

64、需求的近似值.取初值（這是相當(dāng)粗糙的近似值），反復(fù)迭代的結(jié)果是</p><p>　　這已是相當(dāng)精確的近似值.</p><p>　　3.3 市場經(jīng)營中的穩(wěn)定性問題</p><p>　　投資者的交易行為是影響市場穩(wěn)定性的重要因素，以股票為例，為盡量避免出現(xiàn)羊群行為，減少非理性投資，我們需要對股票的內(nèi)在價值（即未來收入現(xiàn)金流的現(xiàn)值）有較清晰的認識，從而決定是該購買還是該售

65、出，作出理性選擇.現(xiàn)在我們來針對不同的模型確定股票相應(yīng)的內(nèi)在價值.</p><p>　　3.3.1 零增長模型</p><p>　　假定股利增長率為0,因其內(nèi)在價值如下</p><p>　　. （1）</p><p>　?。?內(nèi)在價值，股息(紅利)，貼現(xiàn)率），</p><p><b>　　現(xiàn)由假

66、定知 ，</b></p><p>　　所以此時股票內(nèi)在價值為</p><p>　?。? （2）</p><p>　　知道股票的內(nèi)在價值后，可求出其凈現(xiàn)值，即內(nèi)在價值減去市場價格，也即： </p><p><b>　　.</b></p><p>　　當(dāng)，該股票

67、被低估，可買入；當(dāng)，被高估，不益購買.</p><p>　　例：某公司在未來無限期支付每股股利為8元，現(xiàn)價65元，必要收益率10%，評價該股票.</p><p>　　解：利用（2）式結(jié)論可求得該股票的內(nèi)在價值為：</p><p><b>　　.</b></p><p>　　故該股票被低估，可以購買.</p>

68、<p>　　3.3.2 不變增長模型</p><p>　　假定股利永遠按不變增長率增長，即 </p><p><b>　　，</b></p><p>　　代入（1）式得此時內(nèi)在價值為</p><p><b>　　.（3）</b></p><p>　　例：去年某公

69、司支付每股股利1.80元.預(yù)計未來公司股票的股利按每年5%增長，假設(shè)必要收益率為11%，當(dāng)每股股票價格為40元，評價該股票.</p><p>　　解：利用（3）式的結(jié)論，由于，可知</p><p>　　股票內(nèi)在價值 ，故</p><p><b>　　，</b></p><p>　　該股票被高估，建議出售.</p&

70、gt;<p>　　3.4 購房按揭貸款分期償還</p><p>　　消費貸款的還款（即按揭）大多為年金方式，故存在一些年金計算問題.下面主要對購房分期付款的基本計算問題做一些簡單分析.</p><p>　　設(shè)表示總的房款金額，表示首次付款比例，表示年利率，表示分期付款（貸款）的總年數(shù)，表示每月底的還款金額，則有如下的價值方程</p><p><b

71、>　　，</b></p><p>　　進一步有 . （4）</p><p>　　其中 .</p><p>　　上述是針對有限期限付清的情況，如果考慮永久期末年金：在每個付款期末付款上貨幣單位，直至永遠.若將該年金的現(xiàn)值記為，則有計算公式 </p><p><b&g

72、t;　　.</b></p><p><b>　　代入（4）式即可.</b></p><p>　　通過上述公式即可求出按不同還款方式每月底應(yīng)還金額.</p><p><b>　　第四章 結(jié) 論</b></p><p>　　通過上述章節(jié)我們探討了數(shù)列極限的求法并簡要介紹了它在現(xiàn)實生活中的應(yīng)用

73、.我們知道極限是數(shù)學(xué)分析的基石，是微積分學(xué)的基礎(chǔ)，可見數(shù)列極限是一種重要的極限類型.掌握數(shù)列極限的概念、性質(zhì)和計算是學(xué)好函數(shù)極限和微積分的前提和基礎(chǔ)，靈活巧妙的應(yīng)用它，也可以使一些較為困難的實際問題迎刃而解.通過前面的例子我們知道求數(shù)列極限的方法靈活多樣，給一些數(shù)學(xué)問題的討論和計算帶來極大的方便.對它的研究也使數(shù)學(xué)分析在經(jīng)濟領(lǐng)域和數(shù)學(xué)領(lǐng)域中發(fā)揮更大的作用.這在數(shù)學(xué)分析關(guān)于函數(shù)極限和微積分學(xué)的研究及其應(yīng)用中都有非常重要的理論意義和應(yīng)用價值

74、.所以，國內(nèi)外學(xué)者對數(shù)列極限的求法及其在實際應(yīng)用的研究一直未中斷，同時仍存在很多內(nèi)容等待我們新時期的學(xué)術(shù)愛好者去探討,去解決，去突破.</p><p><b>　　※ ※ ※ ※ ※</b></p><p><b>　　致 謝</b></p><p>　　經(jīng)過幾個月的忙碌和工作，畢業(yè)論文的寫作已經(jīng)接近尾聲，作為一個本科生

75、，由于經(jīng)驗的匱乏，在寫作過程中難免有許多考慮不周全的地方，如果沒有導(dǎo)師的耐心指導(dǎo)，以及同學(xué)們的不斷支持，想要完成這個論文是很難的.</p><p>　　這里我尤其要感謝老師，因為在論文寫作過程中，多虧了老師的親切關(guān)懷和耐心的指導(dǎo).從論文題目的選擇到畢業(yè)論文的最終完成，老師都始終給予我細心的指導(dǎo)和不懈的支持.我除了敬佩老師的專業(yè)水平外，他的治學(xué)態(tài)度和科研精神更是我永遠學(xué)習(xí)的榜樣.老師在修改我的論文期間，就連每處細小

76、的錯字、符號、字體格式等都能一一指出.我們都知道要學(xué)好數(shù)學(xué)關(guān)鍵是要有這種“追求準確”的精神，老師就是這種精神的成功踐行者.老師的這種做學(xué)問的態(tài)度必將積極影響我今后的學(xué)習(xí)和工作.在此謹向老師致以誠摯的謝意和崇高的敬意，也祝老師身體健康，工作順利，天天開心. </p><p>　　在論文即將完成之際，我的心情很激動.從開始選題到論文的順利完成，師長、同學(xué)、朋友給了我太多太多的幫助，在這里請接受我誠摯的謝意！</

77、p><p>　　我還要感謝含辛茹苦養(yǎng)育我長大的父母，謝謝您們!</p><p>　　最后我還要感謝數(shù)理系和我的母?！獂x學(xué)院四年來對我的培養(yǎng).</p><p><b>　　參考文獻</b></p><p>　　1. 《數(shù)學(xué)分析題解精粹（第二版）》/錢吉林等主編—崇文書局，2009.</p><p>　

78、　2. 《數(shù)學(xué)分析教程（上冊）》/常庚哲，史濟懷編—高等教育出版社，2003.</p><p>　　3. 《數(shù)學(xué)分析（上冊 第三版）》/華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系編—高等教育出版社，2007.</p><p>　　4. 《數(shù)學(xué)分析第一冊》/徐森林，薛春華編—清華大學(xué)出版社，2005.</p><p>　　5. 《求數(shù)列極限的方法探討》/鄭允利—高等函數(shù)學(xué)報（自然科學(xué)版），

79、2010年06期.</p><p>　　6. 《兩類數(shù)列極限的求法》/陳凌—科技創(chuàng)新導(dǎo)報，2010年第28期.</p><p>　　7. 《談?wù)剺O限的求法》/林瀚斌—大眾商務(wù)，2009年第12期.</p><p>　　8. 《高等數(shù)學(xué)中數(shù)列極限的幾種求法》/周林—湖北廣播電視大學(xué)學(xué)報，2008年第11期.</p><p>　　9. 《求數(shù)列極