畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）jordan標(biāo)準(zhǔn)形及其應(yīng)用

1、<p><b>　　巢湖學(xué)院</b></p><p>　　本科畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）</p><p>　　Jordan標(biāo)準(zhǔn)形及其應(yīng)用</p><p>　　The Standard Jordan and Its Application</p><p>　　院（系） 數(shù)學(xué)系 </

2、p><p>　　專 業(yè) 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué) </p><p>　　學(xué)生姓名 </p><p>　　學(xué) 號(hào) </p><p>　　指導(dǎo)教師 職稱

3、 </p><p>　　論文字?jǐn)?shù) 6987 </p><p>　　完成日期: 2013 年 月 日</p><p><b>　　摘 要</b></p><p>　　矩陣的若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形是線性代數(shù)的一個(gè)重要組成部分，因?yàn)椴皇敲恳粋€(gè)線性變換都有一組基使得

4、它在這組基下的矩陣成為對(duì)角形，這個(gè)時(shí)候?yàn)榱颂剿髟谶x擇適當(dāng)?shù)幕那闆r下，一般的線性變換能化簡(jiǎn)成什么形狀,我們引入了標(biāo)準(zhǔn)形。因?yàn)榫仃嚨臉?biāo)準(zhǔn)形具有結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、易于計(jì)算等優(yōu)點(diǎn)，在解決矩陣問(wèn)題中起著很重要的作用，尤其關(guān)于化矩陣為若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形的理論及方法，已經(jīng)列為線性微分方程組理論的必不可少的基礎(chǔ)知識(shí)，例如利用若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形證明方陣的特征根的性質(zhì)，在計(jì)算矩陣多項(xiàng)式中的應(yīng)用，在計(jì)算行列式中的應(yīng)用,在求解線性微分方程組的應(yīng)用，現(xiàn)在我們著重討論的是標(biāo)準(zhǔn)形的理

5、論和應(yīng)用。</p><p>　　關(guān)鍵詞：若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形；特征根；矩陣多項(xiàng)式；行列式</p><p><b>　　Abstract</b></p><p>　　Jordan canonical form of matrix is an important part of linear algebra. It’s due to that not al

6、l linear transformation has a set of base which could make it in this group under the matrix become diagonal shape. In order to explore the linear transformation generally can be simplified into which kind of shape in th

7、e case of selecting the appropriate base, we introduced Jordan standard form. Since the canonical form of a matrix has the advantages of simple structure, easy to calculate and others, </p><p>　　Keywords: Jo

8、rdan normal form, characteristic roots, matrix polynomial, determinant</p><p><b>　　目 錄</b></p><p><b>　　中文摘要I</b></p><p><b>　　英文摘要II</b></p

9、><p><b>　　引言1</b></p><p>　　1. Jordan矩陣相關(guān)的定義定理1</p><p>　　1.1 Jordan矩陣相關(guān)的定義1</p><p>　　1.2 Jordan標(biāo)準(zhǔn)形相關(guān)的定理3</p><p>　　2. 矩陣的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形及相似變換矩陣的解法7&l

10、t;/p><p>　　2.1 Jordan標(biāo)準(zhǔn)形的計(jì)算9</p><p>　　2.2相似變換矩陣的解法10</p><p>　　3. Jordan標(biāo)準(zhǔn)形的應(yīng)用12</p><p>　　3.1利用若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形證明方陣的特征根的性質(zhì)12</p><p>　　3.2 在計(jì)算矩陣多項(xiàng)式中的應(yīng)用14</p>

11、<p>　　3.3 在計(jì)算行列式中的應(yīng)用16</p><p>　　3.4 在求解線性微分方程組的應(yīng)用17</p><p><b>　　結(jié)束語(yǔ)19</b></p><p><b>　　參考文獻(xiàn)20</b></p><p><b>　　引 言</b></p

12、><p>　　對(duì)于學(xué)過(guò)高代的我們都知道，在矩陣對(duì)角化中對(duì)于屬于不同特征值的特征向量不可能是線性相關(guān)的，即使把它們組合在一起也無(wú)濟(jì)于事。此外，如果它們的個(gè)數(shù)恰好和空間的維數(shù)相同，那么可以通過(guò)一組合適的基將此線性變換化為對(duì)角形；反之，不管通過(guò)哪組基，這個(gè)矩陣都不能變換為對(duì)角形。換而言之，若為維線性空間中的一個(gè)線性變換，那么的矩陣可以變換為對(duì)角形的充要條件是有且只有個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量。然而，對(duì)于每一個(gè)線性變換，符合我們上

13、面講的“合適的基”不可能都只有一組，但是考慮到矩陣對(duì)角化的簡(jiǎn)明方便，我們還是希望在選擇適當(dāng)?shù)幕那闆r下，一般的線性變換盡可能的對(duì)角化從而簡(jiǎn)化成某種形式，這個(gè)時(shí)候我們就要引入標(biāo)準(zhǔn)形。接下來(lái)我們將要討論說(shuō)明的就是標(biāo)準(zhǔn)形的定義、定理、求法以及標(biāo)準(zhǔn)形的一些簡(jiǎn)要應(yīng)用。</p><p>　　1. Jordan矩陣相關(guān)的定義定理</p><p>　　1.1 Jordan矩陣相關(guān)的定義</p>

14、<p>　　首先我們來(lái)介紹一下一個(gè)最基本的概念，“什么是矩陣”：</p><p>　　定義1 .1.1[1] 由個(gè)數(shù)排列而成的行列的形如 的稱為一個(gè)矩陣。</p><p>　　有了矩陣的定義做基礎(chǔ)，我們給出矩陣的定義。</p><p>　　定義1.1.2[1] 形式為的矩陣稱為</p><p>　　塊，矩陣中的指復(fù)數(shù).若一

15、個(gè)準(zhǔn)對(duì)角矩陣上的元素都是若爾當(dāng)塊，那么這個(gè)矩陣就稱為若爾當(dāng)形矩陣，它的一般形式為</p><p><b>　　，</b></p><p>　　其中,并且中有一些可以相等.例如，，這些矩陣都是塊,而像這樣的矩陣就是一個(gè)形矩陣。</p><p>　　顧名思義，一級(jí)矩陣實(shí)質(zhì)上指的就是一級(jí)塊，即Jordan矩陣中涵蓋了對(duì)角形矩陣。為什么會(huì)這樣呢？顯而易

16、見(jiàn)，矩陣是一個(gè)下三角形矩陣，所以很容易能夠得出其特征多項(xiàng)式的全部的根（重根按重?cái)?shù)算），即為其主對(duì)角線上的元素。接下來(lái)我們來(lái)看下一個(gè)很重要的概念：</p><p>　　定義1.1.3 [2] 在數(shù)域上線性空間中存在一個(gè)線性變換，如果中有一數(shù)，能夠存在一個(gè)非零向量，并且有</p><p><b>　　=.</b></p><p>　　那么此時(shí)稱為

17、的一個(gè)特征值，而稱為的屬于特征值的一個(gè)特征向量。并且只有特征值能夠決定它的特征向量，這是由于不管一個(gè)特征值有多少特征向量，一個(gè)特征向量只能從屬于一個(gè)特征值。</p><p>　　1.2 Jordan標(biāo)準(zhǔn)形相關(guān)的定理</p><p>　　定理1.2.1 [3] 如果兩個(gè)-矩陣有相同的不變因子（或行列式因子），那么這兩個(gè)矩陣等價(jià)，這也是其充要條件。</p><p>　　

18、定理1.2.2 [2] 若當(dāng)定理</p><p>　?。?）設(shè)，即有可逆陣T，使</p><p><b>　　=,其中=， </b></p><p>　　設(shè)，，若，…，為A的全部特征值，則的全部特征值為，…，，即 = 。</p><p>　　定理1.2.3 [4]矩陣與相似的充要條件是它們有相同的不變因子。</p

19、><p>　　引理 若維線性空間上線性變換滿足，是某一個(gè)正整數(shù)，我們就稱為上的冪零線性變換.那么此時(shí)對(duì)于,線性空間中肯定有如下形式的一組元素作為基 </p><p><b>　　，</b></p><p>　　于是在這組基下的矩陣為</p><p><b>　?。?）</b></p>

20、<p>　　證明 對(duì)維數(shù)作歸納法。當(dāng)=1，有基，并且可以得到=. 那么就可以得到=0.所以就是要求的基。</p><p>　　此時(shí)我們假設(shè)此引理在維數(shù)小于的時(shí)候仍然成立。接下來(lái)我們對(duì)滿足條件的維線性空間來(lái)考察的不變子空間.如果的維數(shù)仍然是，那么=，從而可以得到，進(jìn)一步得到=0，矛盾！</p><p>　　故的維數(shù)小于.此時(shí)將看成是上的線性變換，那么仍然有=0.通過(guò)上述歸納

21、假設(shè)可知，上有一組基</p><p><b>　　，</b></p><p>　　其中均為正整數(shù).由于都屬于，則有使得.那么可以排除下列向量集合</p><p><b>　　，</b></p><p>　　其中最后一行中的向量是的部分向量，所以是線性無(wú)關(guān)的，即可證得歸納法正確。</p>

22、<p>　　定理1.2.4 [5] 若復(fù)數(shù)域上的線性空間中有一線性變換，那么中必然存在一組基，并且在這組基下的矩陣是若爾當(dāng)形矩陣，并稱其為的若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形。</p><p>　　證明 設(shè)的特征多項(xiàng)式是，其中，，，是的全部不同的根。現(xiàn)在我們將分解為=，即的不變子空間的直和。</p><p>　　其中=V，如果能夠證明每個(gè)上存在一組基，并且能通過(guò)這組基轉(zhuǎn)化為若爾當(dāng)形矩陣，那么定理

23、即可得到證明。由引理的證明接下來(lái)</p><p>　　我們證明定理1.2.4。在上有，作=（）則可以得到。通過(guò)引理，我們知道在的基下轉(zhuǎn)化為形如(1)的若爾當(dāng)形。于=+，顯然（1）中矩陣與相加所得到的和就是在該組基下的矩陣，也就是</p><p>　　我們可以看出，它也是一個(gè)矩陣。如果把所有的基組合起來(lái)就可以得到的基,并且在這基下的矩陣依舊是若爾當(dāng)形矩陣。</p><p&

24、gt;　　此時(shí)上述結(jié)果如果用矩陣表示就為：</p><p>　　定理 1.2.5 [1] 每個(gè)級(jí)復(fù)矩陣都相似于一個(gè)若爾當(dāng)形矩陣，并且這個(gè)若爾當(dāng)形矩陣除去其中若爾當(dāng)塊的排列次序外是被矩陣確定的，而且是唯一確定的，此時(shí)稱其為的若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形.</p><p>　　證明 我們現(xiàn)在設(shè)級(jí)矩陣的初等因子</p><p><b>　　?（1）</b><

25、;/p><p>　　由一一對(duì)應(yīng)的思想，我們讓每個(gè)初等因子都對(duì)應(yīng)于一個(gè)形如</p><p><b>　　的若爾當(dāng)塊。</b></p><p>　　我們讓這些若爾當(dāng)塊構(gòu)成一個(gè)若爾當(dāng)形矩陣根據(jù)上面記算，的初等因子也是（1）.因?yàn)榕c有相同的初等因子，所以它們相似.</p><p>　　如果存在的另一相似矩陣，且其為一若爾當(dāng)形矩陣，那

26、么由定理可知它們擁有相同的初等因子，所以我們可以知道與除了其中若爾當(dāng)塊排列的次序以外是相同的，由此就可以得唯一性.</p><p>　　在這應(yīng)當(dāng)說(shuō)明的是，因?yàn)榫仃嚭w了對(duì)角矩陣，換而言之對(duì)角矩陣是其特殊情形，具體地說(shuō)即由一級(jí)塊構(gòu)成的形矩陣，這樣我們順其自然的就可以得到以下定理:</p><p>　　定理 1.2.6 [1]復(fù)數(shù)矩陣與對(duì)角矩陣相似的充要條件是，的不變因子都沒(méi)有重根。</

27、p><p>　　2. 矩陣的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形及相似變換矩陣的解法</p><p>　　在上面的討論和引述中，我們雖然了解了一些關(guān)于矩陣的定義及其一些重要的定理,但是為了能讓若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形在矩陣方程論、矩陣函數(shù)論、以及常微分方程中有更多的應(yīng)用，我們有必要討論一下矩陣的標(biāo)準(zhǔn)形的解題過(guò)程和其相似矩陣的求解步驟。在標(biāo)準(zhǔn)形相關(guān)問(wèn)題的求解中，我們對(duì)初等因子的知識(shí)加以利用，為此我們給出 ：</p>

28、;<p>　　引理 [6] 用初等變換化特征矩陣為對(duì)角形式，然后將主對(duì)角線上的元素分解成互不相同的一次因式方冪的乘積，則所有這些一次因式的方冪（相同的按出現(xiàn)的次數(shù)計(jì)算）就是的全部的初等因子。</p><p>　　現(xiàn)在我們給出引理的證明過(guò)程：</p><p>　　證明 為了解題需要我們不妨假設(shè)已化為對(duì)角形</p><p><b>　　，&l

29、t;/b></p><p>　　這之中的的最高項(xiàng)的系數(shù)都是1.我們可以把分解成如下形式，即=，其中.我們要證的就是對(duì)于其中相同的一次因式的冪在的主對(duì)角線上面按照一定次序排列后，得到一個(gè)新的對(duì)角形矩陣，并且它與等價(jià).</p><p>　　那么這個(gè)時(shí)候就是的標(biāo)準(zhǔn)形并且一切不等于1的就是A的全部的初等因子.</p><p>　　此時(shí)由于證明的需要，首先討論.<

30、/p><p><b>　　令 ，于是可以得到</b></p><p>　　對(duì)于其中的每一個(gè)都與是互素的，而且對(duì)于每一對(duì)相鄰的指數(shù)，那么在中我們將的位置互換，并且其余的因式保持不動(dòng).因?yàn)楹偷葍r(jià).很顯然我們能夠得到與對(duì)角矩陣</p><p><b>　　等價(jià)。</b></p><p>　　接著對(duì)進(jìn)行和上面一

31、樣的討論.這樣一直進(jìn)行下去，直到對(duì)角矩陣上面主對(duì)角線上面的元素包含的冪是按照逐級(jí)上升的次冪排列時(shí)為止，然后對(duì)進(jìn)行同樣的處理，最后我們就可以得到與是等價(jià)的一個(gè)對(duì)角形矩陣，而且它的主對(duì)角線上面包含的任意相同的一次因式的冪都是升冪排列的。</p><p>　　2.1 Jordan標(biāo)準(zhǔn)形的計(jì)算方法步驟</p><p>　　為了敘述方便，我們先給出標(biāo)準(zhǔn)形的一般求解步驟：</p><

32、;p>　　用矩陣的初等變換把化為對(duì)角形式，得到的全部初等因子。由上面我們證明的引理若爾當(dāng)形矩陣的初等因子也就很容易算出。 那么我們就給出以下步驟</p><p>　　2 .對(duì)于每個(gè)初等因子作出一個(gè)n級(jí)的塊.. </p><p>　　3 .把所有的塊寫成對(duì)角矩陣，即為的標(biāo)準(zhǔn)形。[7][8]</p><p>　　下面我們給出實(shí)例具體講解一下：</p>

33、<p>　　例2.1.1求矩陣的若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形。</p><p>　　解 ：根據(jù)以上我們給出的方法我們首先求的初等因子：即=</p><p>　　很明顯的初等因子是，，所以的標(biāo)準(zhǔn)形就是.</p><p>　　2.2 相似變換矩陣的求法</p><p>　　由定理可知對(duì)任意矩陣都能求出一個(gè)n級(jí)可逆矩陣可以滿足,其中為塊。</p

34、><p>　　變換矩陣的求解步驟為：</p><p>　　1.令=其中，則及分塊矩陣的乘法可以得到即，i=1,2,...,t.</p><p><b>　　2.求,記則，可得</b></p><p>　　其中是矩陣對(duì)應(yīng)于特征值的特征向量，并可根據(jù)依次求出且它們線性無(wú)關(guān)。[9][10]</p><p>

35、　　3.依次求出則變換矩陣</p><p>　　例2.2.1 現(xiàn)有矩陣，試求其標(biāo)準(zhǔn)形和變換。</p><p><b>　　解：=</b></p><p>　　的特征矩陣的初等因子是，所以的標(biāo)準(zhǔn)形是</p><p><b>　　,</b></p><p>　　于是有可逆矩陣使得

36、.令,則可以得到</p><p>　　（）=(,,)=(-,--).</p><p>　　比較上式兩邊，可以得到</p><p><b>　　,</b></p><p>　　那么可以得到是的對(duì)應(yīng)于特征值-1的兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量，從方程組=0可以得到兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量是，，</p><p>

37、　　選取=,而的選取應(yīng)該能夠保證非齊次線性方程有解，又由于的線性組合依舊是=0的解，因此我們選取其中的待定的常數(shù)，只要能滿足線性無(wú)關(guān)，且能夠使得有解即可。因?yàn)?（-2，）所以選使得方程組</p><p><b>　　有解。</b></p><p>　　那么就可以求出當(dāng)時(shí)，該方程組存在解；并且它的解為</p><p><b>　　=0.

38、 </b></p><p>　　其中為任意非零常數(shù)。取得=2，那么=-3，于是可以得到</p><p><b>　　.</b></p><p>　　顯然，它們是線性無(wú)關(guān)的。從而</p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　即有&

39、lt;/b></p><p><b>　　.</b></p><p>　　3.Jordan標(biāo)準(zhǔn)形的應(yīng)用</p><p>　　前面我們討論了標(biāo)準(zhǔn)形的定理定義和其相似變換問(wèn)題的一些解題方法，現(xiàn)在我們討論標(biāo)準(zhǔn)形在其他具體問(wèn)題中的應(yīng)用。</p><p>　　3.1[7]利用若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形證明方陣的特征根的性質(zhì)</p&g

40、t;<p>　　首先我們研究下若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形在證明方陣的特征根中的應(yīng)用，給出如下</p><p>　　定理 若m階方陣的特征根是則的特征根是</p><p>　　證明：設(shè)的若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形為,其中且=即與相似，但是即J的特征根的n次冪就是的特征根.因?yàn)橄嗨品疥噷?duì)應(yīng)著相同的特征根，所以的就是的就是的特征根的n次冪.</p><p><b>　　.&

41、lt;/b></p><p>　　例3.1.1 設(shè)秩=秩（）.證明：一旦有零特征值，那么它所對(duì)應(yīng)的初等因子的次數(shù)不超過(guò).</p><p>　　證明 設(shè)的若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形為</p><p>　　=， ①</p><p>　　其中為中所有特征值為零的若爾當(dāng)形矩陣.其他若當(dāng)塊（=1,2，…，)的特征值均非零，即||0（=1

42、,2，…，).</p><p>　　另設(shè)為中最大塊的級(jí)數(shù)，它對(duì)應(yīng)的初等因子為，下證.</p><p>　　用反證法.若>，則由①式有</p><p><b>　　=</b></p><p><b>　　此時(shí)可以得到</b></p><p><b>　　=

43、 ②</b></p><p><b>　　這時(shí)對(duì)于，所以 </b></p><p>　　秩（）>秩（）. ③</p><p><b>　　但都非奇異，所以</b></p><p>　　秩（）=秩（）.（=1,2，…，） ④</p>

44、<p>　　從而由②，③，④，有 : 秩>秩（）.</p><p>　　這與假設(shè)矛盾..即可得證.</p><p>　　例3.1.2 設(shè)都是級(jí)實(shí)對(duì)稱陣，是的一個(gè)特征根，則存在的一個(gè)特征根，和的一個(gè)特征根，使=.</p><p>　　證 =，=且===.那么存在正交陣，使</p><p><b>　　=，=<

45、;/b></p><p><b>　　=.</b></p><p><b>　　故的全部特征根為.</b></p><p>　　3.2 在計(jì)算矩陣多項(xiàng)式中的應(yīng)用</p><p>　　我們知道多項(xiàng)式的計(jì)算是高等代數(shù)中必不可少的內(nèi)容，現(xiàn)在我們研究下標(biāo)準(zhǔn)形在計(jì)算矩陣多項(xiàng)式的時(shí)候是怎么應(yīng)用的。<

46、;/p><p>　　例3.2.1 已知多項(xiàng)式與矩陣計(jì)算.其中</p><p><b>　　.</b></p><p>　　解 先求的初等因子.對(duì)進(jìn)行變換可以得到</p><p><b>　　=,</b></p><p>　　此時(shí)很容易知道，為的初等因子，那么其標(biāo)準(zhǔn)形為 <

47、;/p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　并且</b></p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　且變換矩陣P為</b></p><p><b>　　，</b>&

48、lt;/p><p><b>　　則可求得</b></p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　此時(shí)還有== = </b></p><p>　　其中是在1處的導(dǎo)數(shù)值.</p><p>　　例3.2.2 數(shù)域上的線性空間中存在一變換，且

49、為線性變換，它的特征多項(xiàng)式和最小多項(xiàng)式分別是，…，，并且=</p><p><b>　　=.</b></p><p>　?。?）求的所有不變因子；</p><p><b>　　寫出的若當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形。</b></p><p>　　解 （1）設(shè)線性變換在某一組基下的矩陣為，.計(jì)算可得</p>

50、<p><b>　　=，</b></p><p><b>　　===.</b></p><p>　　所以 = ， = = = = 1.</p><p>　　因此的所有不變因子為，.</p><p>　　因?yàn)榈某醯纫蜃訛椋?，，，。所以的若?dāng)標(biāo)準(zhǔn)為（不計(jì)若當(dāng)塊次序）.</p>

51、<p>　　以上我們可以知道標(biāo)準(zhǔn)形的引入對(duì)計(jì)算矩陣多項(xiàng)式起到了很大的簡(jiǎn)化作用。</p><p>　　3.3 在計(jì)算行列式中的應(yīng)用</p><p>　　在上面我們知道了標(biāo)準(zhǔn)形有著簡(jiǎn)化計(jì)算的作用，現(xiàn)在我們研究一下在求行列式的過(guò)程中，標(biāo)準(zhǔn)形是不是也能起到很好的作用呢？</p><p>　　例3.3.1 求行列式 . </p><

52、;p>　　解：,我們可以很容易得到的特征矩陣的為：</p><p><b>　　所以的標(biāo)準(zhǔn)形為</b></p><p><b>　　,</b></p><p><b>　　且求得</b></p><p><b>　　,</b></p>

53、<p><b>　　所以有 </b></p><p><b>　　而此時(shí)</b></p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　又有</b></p><p><b>　　，</b></p>

54、<p><b>　　所以</b></p><p>　　以上內(nèi)容充分反映了標(biāo)準(zhǔn)形在這個(gè)計(jì)算過(guò)程的應(yīng)用。</p><p>　　3.4 在求解線性微分方程組中的應(yīng)用</p><p>　　現(xiàn)在我們引入在解線性方程組中標(biāo)準(zhǔn)形的應(yīng)用,看看是不是依然能起到很好的作用?</p><p>　　例3.4.1[10] 求解以下線

55、性微分方程組</p><p>　　解：在此我們可以令（t）=,</p><p>　　則微分方程組的矩陣形式就為，另外我們可以求得的若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形為：</p><p><b>　　，</b></p><p>　　也可以求得它的變換矩陣為</p><p><b>　　，</b>&l

56、t;/p><p><b>　　則此時(shí)</b></p><p><b>　　AT=J.</b></p><p>　　我們作線性變換=,其中的=,</p><p><b>　　則有</b></p><p><b>　　===，</b><

57、;/p><p><b>　　即可以得到</b></p><p><b>　　==，</b></p><p>　　或者(t)=(t)，（t）=0，（t）=—（t）</p><p>　　那么它的一般解就是(t)=+t，(t)=，（t）=</p><p>　　我們?cè)儆?就可以求得原微分

58、方程的一般解為</p><p>　　其中的，，是任意的常數(shù),</p><p>　　通過(guò)以上內(nèi)容，顯而易見(jiàn)，在具體問(wèn)題的求解過(guò)程中標(biāo)準(zhǔn)形依然發(fā)揮著簡(jiǎn)化計(jì)算的作用；我們可以得出一個(gè)結(jié)論：它在線性微分方程中的應(yīng)用仍然有著不錯(cuò)的表現(xiàn)。</p><p><b>　　結(jié)束語(yǔ)</b></p><p>　　Jordan標(biāo)準(zhǔn)形是矩陣當(dāng)中一

59、種特殊的由矩陣的相似變換得來(lái)的，在解決數(shù)學(xué)中尤其是線性代數(shù)中的問(wèn)題有著不可或缺的作用，本文闡述了Jordan矩陣的定義和一些定理并給除了Jordan矩陣在線性代數(shù)中的一些應(yīng)用來(lái)說(shuō)明了Jordan矩陣的理論及其應(yīng)用通過(guò)這樣小結(jié)更能激發(fā)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，此外更需要在意的是引導(dǎo)學(xué)者能夠在Jordan矩陣甚至是在數(shù)學(xué)學(xué)科中有所領(lǐng)悟和建樹(shù),并推進(jìn)Jordan矩陣的研究和發(fā)展，我相信，每人的一小步就是世界的一大步，這樣就能為我國(guó)的科研作出更多更好的貢

60、獻(xiàn)。</p><p><b>　　參考文獻(xiàn) </b></p><p>　　[1]揚(yáng)子胥,高等代數(shù)習(xí)題解[M],濟(jì)南.山東科學(xué)技術(shù)出版社,1982：865-890.</p><p>　　[2]王萼芳,石生明；高等代數(shù)[M]，北京.高等教育出版社，2000第三版 ：300-400.</p><p>　　[3]黎伯堂，劉桂真；

61、高等代數(shù)接替技巧與方法[M]，山東.山東科學(xué)技術(shù)出版社，2002.</p><p>　　[4]李桂榮，孫杰；jordan標(biāo)準(zhǔn)形矩陣的性質(zhì)及應(yīng)用，德州學(xué)院學(xué)報(bào)，2003.8.19(4)：20-25</p><p>　　[5]史榮昌，矩陣分析[M]，北京.北京理工大學(xué)出版社，1996.</p><p>　　[6] 欒林,復(fù)系數(shù)三階矩陣若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形求法[J],遼寧師范大學(xué)

62、學(xué)報(bào).自然科學(xué)版,2002.1：102-103.</p><p>　　[7] 張海山,楊清霞；矩陣標(biāo)準(zhǔn)形應(yīng)用[J]，甘肅教育學(xué)院學(xué)報(bào) ，2001.7 .15(3).</p><p>　　[8]程云鵬，矩陣論（第二版）[M]，西北大學(xué)出版社，2000:168-190.</p><p>　　[9]原玉杰，復(fù)數(shù)域n階矩陣若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形應(yīng)用[J]，中國(guó)包頭.職大學(xué)報(bào)，2008