實(shí)數(shù)完備理論簡(jiǎn)史【文獻(xiàn)綜述】

1、<p><b>　　畢業(yè)論文文獻(xiàn)綜述</b></p><p><b>　　數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)</b></p><p>　　實(shí)數(shù)完備理論簡(jiǎn)史 </p><p>　　一、前言部分（說(shuō)明寫(xiě)作的目的，介紹有關(guān)概念、綜述范圍，扼要說(shuō)明有關(guān)主題爭(zhēng)論焦點(diǎn)）</p><p>　　許文

2、超在《漫談數(shù)系的發(fā)展》一文中指出：無(wú)理數(shù)的發(fā)現(xiàn)向人們揭示了有理數(shù)系的缺陷, 即有理數(shù)雖然處處稠密, 但有理數(shù)與有理數(shù)之間還存在有“孔隙”, 后來(lái)人們又知這種“孔隙”簡(jiǎn)直是多得不可勝數(shù)。正因?yàn)槿绱? 有理數(shù)系對(duì)極限運(yùn)算不是封閉的。為了克服有理數(shù)系的這種缺陷,迅速發(fā)展極其有用的變量數(shù)學(xué),在有理數(shù)的基礎(chǔ)上,承認(rèn)上述所說(shuō)有理數(shù)與有理數(shù)之間的那種“孔隙”被一種叫做“無(wú)理數(shù)”的數(shù)占據(jù)著。因?yàn)橛欣頂?shù)由無(wú)限循環(huán)小數(shù)組成(按照某一規(guī)則有限小數(shù)均可寫(xiě)成無(wú)限

3、循環(huán)小數(shù)), 所以無(wú)理數(shù)由無(wú)限不循環(huán)小數(shù)組成。有理數(shù)與無(wú)理數(shù)一起構(gòu)成了實(shí)數(shù)系。雖然如我們所看到的:有理數(shù)集合Q對(duì)四則運(yùn)算(除數(shù)不為零)封閉,又在中處處稠密,有著無(wú)理數(shù)集所不可比擬的地位, 但也如前面我們已經(jīng)指出的,Q也有著很大的缺陷,在Q上無(wú)法研究數(shù)學(xué)分析。實(shí)數(shù)系的建立成功地克服了有理數(shù)系的缺陷。實(shí)數(shù)系的性質(zhì)非常優(yōu)良,一方面,實(shí)數(shù)系是連續(xù)的,也就是說(shuō)在實(shí)數(shù)與實(shí)數(shù)之間不再有“孔隙”存在, 換言之, 實(shí)數(shù)可以與數(shù)軸上的點(diǎn)成一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系。這

4、樣一來(lái), 我們可以通過(guò)建立坐標(biāo)系, 用代數(shù)的方法去研究幾何問(wèn)題；另一方面,有了實(shí)數(shù)的連續(xù)性之后, 實(shí)數(shù)系關(guān)于極限運(yùn)算</p><p>　　實(shí)數(shù)系基本定理是數(shù)學(xué)分析中重要組成部分，是分析引論中極限理論的基礎(chǔ)，也稱(chēng)為實(shí)數(shù)系的連續(xù)性定理或?qū)崝?shù)的完備性定理。實(shí)數(shù)域的完備性是人類(lèi)結(jié)果漫長(zhǎng)的歷史發(fā)展過(guò)程逐步總結(jié)認(rèn)識(shí)的，它是所有函數(shù)分析理論的本質(zhì)基礎(chǔ)，由此而建立了極限論、微積分等許多重要的數(shù)學(xué)成果。我們將從數(shù)系發(fā)展開(kāi)始深入研究

5、實(shí)數(shù)完備性的七個(gè)命題的邏輯關(guān)系。</p><p>　　定義 設(shè)，是正整數(shù)，并且不管多大，都存在使得。設(shè)是整數(shù)。稱(chēng)記號(hào) </p><p>　　為實(shí)數(shù)，稱(chēng)為它的整數(shù)部分。全體實(shí)數(shù)所成的集合記作足 。</p><p>　　描述實(shí)數(shù)連續(xù)性基本定理:</p><p>　　定理1( 確界定理) 任何非空數(shù)集, 若它有上( 下) 界, 則必有上( 下)

6、 確界。</p><p>　　定理2( 單調(diào)有界原理) 單調(diào)有界數(shù)列必有極限。</p><p>　　定理3( 柯西收斂原理) 收斂?, , 當(dāng)時(shí), 有。</p><p>　　定理4( 魏爾斯特拉斯定理) 任一有界數(shù)列必有收斂子列。</p><p>　　定理5( 聚點(diǎn)定理) 任何有界的無(wú)限點(diǎn)集至少有一個(gè)聚點(diǎn)。</p><p

7、>　　定理6( 閉區(qū)間套定理) 若閉區(qū)間套 滿(mǎn)足下列性質(zhì)</p><p><b>　?、?</b></p><p><b>　?、?lt;/b></p><p><b>　　則存在惟一 且。</b></p><p>　　定理7( 有限覆蓋定理) 若開(kāi)區(qū)間集 覆蓋一個(gè)閉區(qū)間,則必

8、可從 中選出有限個(gè)開(kāi)區(qū)間覆蓋 [1]。</p><p>　　這七個(gè)定理是數(shù)學(xué)分析的最基本的定理, 由這些定理可以得出數(shù)學(xué)分析中許多重要的結(jié)論, 因此這七個(gè)定理是數(shù)學(xué)分析的理論基礎(chǔ)。然而我們可以證明在實(shí)數(shù)系中, 這七個(gè)命題是相互等價(jià)的。</p><p>　　連續(xù)性是實(shí)數(shù)集的許多重要特性之一。從有理數(shù)集擴(kuò)充到實(shí)數(shù)集的方法很多, 故對(duì)實(shí)數(shù)連續(xù)性的敘述也多種多樣,但彼此等價(jià),因此可用等價(jià)命題互相代

9、替。本文結(jié)合實(shí)數(shù)完備性的背景、實(shí)數(shù)完備性七個(gè)等價(jià)命題的證明方法及其應(yīng)用,對(duì)實(shí)數(shù)完備性的證明進(jìn)行梳理、歸納，并舉例進(jìn)行說(shuō)明。</p><p>　　二、主題部分（闡明有關(guān)主題的歷史背景、現(xiàn)狀和發(fā)展方向，以及對(duì)這些問(wèn)題的評(píng)述）</p><p><b>　?。ㄒ唬v史背景</b></p><p>　　17世紀(jì)，微積分被牛頓和萊布尼茨各自獨(dú)立發(fā)明，推動(dòng)了

10、科學(xué)技術(shù)的前進(jìn)。然而，它在開(kāi)創(chuàng)之初自身就存在著邏輯矛盾。直至19世紀(jì)，才由法國(guó)著名數(shù)學(xué)家柯西在分析基礎(chǔ)嚴(yán)密化的工作上邁出了第一大步。他給出了分析學(xué)一系列基本概念的嚴(yán)格定義。1823年，柯西給出了“柯西收斂定理”。而早在1817年，波爾察諾就確切地陳述了有界實(shí)數(shù)集的最小上界(即上確界)的定義。利用他的思想，魏爾斯特拉斯在19世紀(jì)60年代證明了“致密性定理”。海涅于1872年提出，波萊爾于1895年完善并證明了“有限覆蓋定理”。1872年，

11、戴德金、康托(Cantor)、梅雷(Meray)和海涅幾乎同時(shí)發(fā)表了他們的實(shí)數(shù)構(gòu)造法。在這以前，魏爾斯特拉斯在柏林大學(xué)的演講中已經(jīng)給出了一種構(gòu)造法。戴德金和康托的構(gòu)造法是現(xiàn)在通常采用的方法。1892年，巴赫曼提出了建立實(shí)數(shù)理論的一個(gè)重要原理—— 區(qū)間套定理?？梢哉f(shuō)，實(shí)數(shù)系的構(gòu)造是19世紀(jì)后30年間分析學(xué)算術(shù)化的重要一步[2]。</p><p>　?。ǘ┈F(xiàn)狀和發(fā)展方向</p><p>　　

12、實(shí)數(shù)完備性作為數(shù)學(xué)分析中的一個(gè)重要組成部分，目前已經(jīng)有了豐富的研究成果，其中包括對(duì)實(shí)數(shù)完備性各個(gè)等價(jià)命題的證明及互推的研究。成果主要有：蓋盈用完全覆蓋法證明區(qū)間套定理、確界定理等其他實(shí)數(shù)完備性基本定理,并探究它的優(yōu)越性究竟體現(xiàn)在何處，對(duì)此進(jìn)行了一次嘗試性剖析[3]；鄒斌以戴德金分劃說(shuō)為基礎(chǔ)來(lái)研究實(shí)數(shù)的連續(xù)性,對(duì)于實(shí)數(shù)連續(xù)性的九個(gè)等價(jià)性命題: 確界定理、戴德金定理、單調(diào)有界定理、區(qū)間套定理、有限覆蓋定理、聚點(diǎn)定理、致密性定理、柯西收斂準(zhǔn)則

13、以及Botsko定理,采用循環(huán)論證,從命題1出發(fā),依次證明下一命題,最后由命題9證明命題1,從而組成一個(gè)環(huán)路,證明了它們的等價(jià)性[4]；楊芳將實(shí)數(shù)連續(xù)性定理進(jìn)行一對(duì)一的互推,給出了用定理1( 確界定理)分別推出后六個(gè)定理, 從而證得6（單調(diào)有界原理、柯西收斂原理、威爾斯特拉斯定理、聚點(diǎn)定理、閉區(qū)間套定理、有限覆蓋定理）個(gè)命題[1]；劉永建、唐國(guó)吉給出了實(shí)數(shù)完備性定理七個(gè)命題等價(jià)性的一個(gè)較簡(jiǎn)潔的循環(huán)證明,也提出了教學(xué)中的一些注記,論述了實(shí)

14、數(shù)完備性定理在數(shù)學(xué)分析中的重要地位, 對(duì)數(shù)學(xué)分析中實(shí)數(shù)完備性定理的教學(xué)有一定的參考價(jià)值[5]；孫忠民把古樸的阿基米德性質(zhì)</p><p><b>　　（三）研究?jī)?nèi)容</b></p><p>　　實(shí)數(shù)完備性定理的循環(huán)推證:</p><p>　　定理1（確界定理)：有上(下)界的非空數(shù)集必有屬于的最小上界(最大下界)。即有有限的上(下)確界。<

15、;/p><p>　　定理2(單調(diào)有界定理)：?jiǎn)握{(diào)增(減)有上(下)界的數(shù)列必收斂。</p><p>　　定理3(閉區(qū)間套定理)：設(shè)遞降閉區(qū)間序列其長(zhǎng)度，則存在唯一的 。</p><p>　　定理4(有限覆蓋定理)：的任何開(kāi)覆蓋△必有有限子覆蓋。</p><p>　　定理5(聚點(diǎn)定理)：有界無(wú)限數(shù)集必有聚點(diǎn)。</p><p>

16、;　　定理6(致密性定理)：有界數(shù)列必有收斂子列。</p><p>　　定理7(數(shù)列的Cauchy收斂準(zhǔn)則)：數(shù)列收斂的充要條件是，總有。</p><p>　　確界定理，單調(diào)有界定理，閉區(qū)間套定理，有限覆蓋定理，聚點(diǎn)定理，致密性定理，數(shù)列的Cauchy收斂準(zhǔn)則（僅指充分性)等七個(gè)命題都是從不同的角度來(lái)刻劃實(shí)數(shù)完備性。</p><p>　　定理l定理2：設(shè)數(shù)列單調(diào)增有

17、上界，由定理l知，它有有限的上確界</p><p>　　下面利用上確界及數(shù)列收斂的定義證明。</p><p>　　定理2定理3：由已知得到兩個(gè)單調(diào)有界數(shù)列，</p><p>　　，由定理2知，數(shù)列與都收斂，且收斂與同一個(gè)數(shù)，下面證明就是所要求的公共點(diǎn)。</p><p>　　定理3定理4：(反證)設(shè)區(qū)間不能被△中有限個(gè)開(kāi)集所覆蓋(以下想辦法找出

18、矛盾)，第一步，從開(kāi)始用二分法構(gòu)造一個(gè)閉區(qū)問(wèn)套，由定理3知確定唯一公共點(diǎn)，第二步．由于，因此，使，再結(jié)合 知，取充分大的，有，一方面沒(méi)有有限覆蓋，另一方面只需一個(gè)就覆蓋了就覆蓋了，矛盾。</p><p>　　定理4定理5：(反證)設(shè)為有界集，即，設(shè)無(wú)聚點(diǎn)，則，不為的聚點(diǎn)，故必有開(kāi)區(qū)間(當(dāng)然是開(kāi)集)使且中最多只含有的一個(gè)點(diǎn)，這樣開(kāi)區(qū)間族覆蓋了，由定理4知，，使 ，當(dāng)然也覆蓋，再由 的構(gòu)造知至多只含有的有限個(gè)點(diǎn)，因此

19、為有限集，這與是無(wú)限集矛盾。</p><p>　　定理5定理6：設(shè)數(shù)列有界，即，。若為有限集，則數(shù)列必有無(wú)限項(xiàng)相同，這些相同項(xiàng)依下標(biāo)從小到大排列得到的一個(gè)收斂子列；若為無(wú)限集．由定理5，這個(gè)無(wú)限集必有一個(gè)聚點(diǎn)，通過(guò)聚點(diǎn)的定義可構(gòu)造的一個(gè)子列，它收斂于。</p><p>　　定理6定理7：設(shè)為Cauchy列，第一步，先證有界，這樣由定理6知有一個(gè)收斂子列，設(shè)，第二步，用數(shù)列收斂的定義證明。&

20、lt;/p><p>　　定理7定理1：設(shè)非空數(shù)集有上界。若，則顯然；若，則在中任取一個(gè)數(shù)，這時(shí)有中之?dāng)?shù)，以下用二分法可得到閉區(qū)間列滿(mǎn)足：(1) 都為的上界，（2) 都有中之?dāng)?shù)，由(3) ， (4)</p><p>　　?？勺C均為Cauchy列，由定理7的充分性知均收斂，由(3)知它們收斂于同一個(gè)數(shù)，設(shè)為 ，再利用上確界定義證明即為的上確界[5]。</p><p>　　實(shí)

21、數(shù)集是連續(xù)的, 這是實(shí)數(shù)集有別于有理數(shù)的重要特征。實(shí)數(shù)的連續(xù)性是極限理論的基礎(chǔ)，而描述實(shí)數(shù)性的方式很多, 實(shí)數(shù)連續(xù)性定理為其中的幾種表達(dá)形式, 同時(shí)又是構(gòu)筑極限理論的重要基礎(chǔ)。關(guān)于實(shí)數(shù)連續(xù)性幾個(gè)定理的證明實(shí)數(shù)完備性的七個(gè)命題的證明有各個(gè)命題的循環(huán)證明，完全覆蓋法證明其他命題，用戴德金分劃定理證明實(shí)數(shù)完備性的幾個(gè)定理等，分別加以證明。</p><p>　　三、總結(jié)部分（將全文主題進(jìn)行扼要總結(jié)，提出自己的見(jiàn)解并對(duì)進(jìn)一

22、步的發(fā)展方向做出預(yù)測(cè)）</p><p>　　實(shí)數(shù)完備性定理的七個(gè)定理是從不同角度來(lái)刻劃實(shí)數(shù)的連續(xù)性, 其中有些視角在研究某些抽象空間的性質(zhì)時(shí)是很有啟迪意義的, 如有限覆蓋定理實(shí)際上表明了在實(shí)數(shù)空間中,有界閉區(qū)間是緊致的；聚點(diǎn)定理實(shí)際上表明了在實(shí)數(shù)空間中, 有界無(wú)限數(shù)集是一個(gè)列集；柯西收斂準(zhǔn)則(充分性) 實(shí)際上表明了實(shí)數(shù)空間(按通常的距離)是一個(gè)完備距離空間。緊致性，列緊性, 完備性都是刻畫(huà)抽象空間的基本概念。確切

23、地說(shuō), 完備性定理應(yīng)是指柯西收斂準(zhǔn)則(充分性),只是因?yàn)樵趯?shí)數(shù)域內(nèi)其余六個(gè)命題都與柯西收斂準(zhǔn)則(充分性) 等價(jià), 我們才把上述七個(gè)命題統(tǒng)稱(chēng)為實(shí)數(shù)完備性定理。</p><p>　　實(shí)數(shù)集的完備性是實(shí)數(shù)集的一個(gè)基本特征，它是微積分學(xué)堅(jiān)實(shí)的理論基礎(chǔ)。人們可以從不同的角度來(lái)描述和刻畫(huà)實(shí)數(shù)集的完備性，所以實(shí)數(shù)完備性有多個(gè)基本定理。實(shí)數(shù)的完備性在數(shù)學(xué)學(xué)科本身中有著廣泛的應(yīng)用,特別是在求極限中起著至關(guān)重要的作用,因此研究實(shí)數(shù)完

24、備性是數(shù)學(xué)分析的重要環(huán)節(jié)，對(duì)未來(lái)數(shù)學(xué)研究的發(fā)展具有深遠(yuǎn)的意義。本文介紹了研究實(shí)數(shù)完備性的歷史背景、現(xiàn)狀，歸納梳理實(shí)數(shù)完備性的定義、性質(zhì)、各命題的證明方法，結(jié)合例子說(shuō)明實(shí)數(shù)完備性的應(yīng)用。隨著科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，實(shí)數(shù)完備性作為數(shù)學(xué)分析中的一項(xiàng)重要內(nèi)容，會(huì)在更多的領(lǐng)域擁有廣泛的應(yīng)用，對(duì)其的研究也將更加的深入、透徹。</p><p>　　四、參考文獻(xiàn)（根據(jù)文中參閱和引用的先后次序按序編排）</p><p&

25、gt;　　[1] 楊芳.實(shí)數(shù)連續(xù)性定理的互推[J].內(nèi)蒙古科技與經(jīng)濟(jì),2009,(3):256-258.</p><p>　　[2] Edwards C H Jr.The historical development ofthe calculus[M].New Y0rk:Springer,2007.</p><p>　　[3] 蓋盈.關(guān)于實(shí)數(shù)完備性基本定理的統(tǒng)一處理方法[J].天津師大學(xué)報(bào)

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27、師專(zhuān)學(xué)報(bào),1993,(1):5-6.</p><p>　　[7] 劉利剛.實(shí)數(shù)系基本定理等價(jià)性的完全互證[J].數(shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識(shí),2008,38(24):246-252.</p><p>　　[8] 莊陵、唐賢倫、王東、張金榮.實(shí)數(shù)系完備性基本定理的循環(huán)證明[J].重慶工商大學(xué)學(xué)報(bào),2006,23(3):219-223.</p><p>　　[9] 關(guān)金玉, 徐永春

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