信息與計(jì)算科學(xué)畢業(yè)論文基于鄰域的粗糙模糊近似

1、<p><b>　　本科畢業(yè)論文</b></p><p><b>　?。?0 屆）</b></p><p>　　基于鄰域的粗糙模糊近似</p><p>　　所在學(xué)院 </p><p>　　專(zhuān)業(yè)班級(jí) 信息與計(jì)算科學(xué)

2、 </p><p>　　學(xué)生姓名 學(xué)號(hào) </p><p>　　指導(dǎo)教師 職稱(chēng) </p><p>　　完成日期 年 月 </p><p><b>　　摘要</b></p>

3、<p>　　基于鄰域的粗糙模糊近似在機(jī)器學(xué)習(xí)、知識(shí)發(fā)現(xiàn)、算法研究、工程應(yīng)用、決策支持系統(tǒng)以及模式識(shí)別等研究鄰域有重要的應(yīng)用. 本文我們主要研究基于鄰域算子系統(tǒng)的粗糙模糊近似. 首先, 回顧了經(jīng)典集合與經(jīng)典二元關(guān)系的基本概念和性質(zhì), 介紹了一般關(guān)系下的粗糙集合的定義和性質(zhì). 其次, 介紹了鄰域算子與二元關(guān)系之間的聯(lián)系, 討論了鄰域算子的性質(zhì). 最后, 定義了基于鄰域算子的粗糙模糊近似算子, 研究了基于鄰域算子的粗糙模糊近似算

4、子的性質(zhì). 并證明了可以用基于鄰域算子的粗糙模糊近似算子的性質(zhì)去刻畫(huà)鄰域算子的性質(zhì). </p><p>　　關(guān)鍵詞: 經(jīng)典集; 二元關(guān)系; 模糊集; 鄰域算子; 粗糙模糊近似</p><p><b>　　Abstract</b></p><p>　　Rough fuzzy approximation operators based on nei

5、ghborhood systems are important concepts in many research fields such as machine learning, knowledge discovery, engineering application, decision support systems, and pattern recognition etc. In this thesis, we mainly st

6、udy rough fuzzy approximation operators based on neighborhood systems. Basic concepts, properties of crisp sets and crisp binary relations are first reviewed. Definitions and properties of generalized rough sets are then

7、 introduced.</p><p>　　Keywords: Crisp sets; Binary relations; Fuzzy sets; Neighborhood operators; Rough fuzzy approximations </p><p><b>　　目錄</b></p><p><b>　　摘要I&l

8、t;/b></p><p>　　AbstractII</p><p><b>　　1 前言1</b></p><p>　　1.1 粗糙集理論的由來(lái)及發(fā)展1</p><p>　　1.2 粗糙集理論的基本概念及核心基礎(chǔ)2</p><p>　　1.3 論文的組織結(jié)構(gòu)2</p&

9、gt;<p>　　2 經(jīng)典的集合與二元關(guān)系3</p><p>　　2.1 經(jīng)典集合的定義與性質(zhì)3</p><p>　　2.2 經(jīng)典二元關(guān)系的定義與性質(zhì)4</p><p>　　3 一般關(guān)系下的粗糙集7</p><p>　　3.1 模糊集的定義和性質(zhì)7</p><p>　　3.2 一般關(guān)系下

10、的粗糙集9</p><p>　　4 粗糙模糊近似的構(gòu)造性定義與性質(zhì)12</p><p>　　4.1 粗糙模糊近似的定義12</p><p>　　4.2 粗糙模糊近似的性質(zhì)12</p><p>　　5 粗糙模糊近似的公理化刻畫(huà)16</p><p>　　6 基于鄰域系統(tǒng)的粗糙模糊近似20</p>

11、<p><b>　　7 小結(jié)25</b></p><p><b>　　參考文獻(xiàn)26</b></p><p>　　致謝錯(cuò)誤!未定義書(shū)簽。</p><p><b>　　1 前言</b></p><p>　　1.1 粗糙集理論的由來(lái)及發(fā)展</p>

12、<p>　　粗糙集理論是波蘭學(xué)者Pawlak于1982年提出的一種新的處理不確定性知識(shí)的數(shù)學(xué)工具. 粗糙集理論將知識(shí)理解為“區(qū)分事物的能力”, 形式化的知識(shí)是對(duì)論域的劃分, 因而通過(guò)論域上的等價(jià)關(guān)系表示. 概念從外延角度理解為論域的子集合, 帶有不確定性的概念借助近似操作通過(guò)不精確概念從外延的角度近似表達(dá), 并以此作為相關(guān)理論研究的基礎(chǔ). </p><p>　　Zadeh從隸屬函數(shù)出發(fā)定義模糊集, 從而

13、建立模糊集理論和方法, 隸屬函數(shù)往往依靠專(zhuān)家的經(jīng)驗(yàn)知識(shí), 以先驗(yàn)知識(shí)為基礎(chǔ). 事實(shí)上, 正因?yàn)榻⒃诳煽康囊阎R(shí)基礎(chǔ)上, 模糊集對(duì)不確定問(wèn)題的處理往往會(huì)得到很好的結(jié)果. 模糊集理論和方法、粗糙集理論和方法都非常有效, 其理論得到了不斷發(fā)展和完善, 其應(yīng)用得到了很好的實(shí)踐和推廣.</p><p>　　20世紀(jì)80年代末和90年代初粗糙集在知識(shí)發(fā)現(xiàn)等領(lǐng)域得到了成功的應(yīng)用而越來(lái)越受到國(guó)際上的廣泛關(guān)注. 1991年P(guān)a

14、wlak教授的第一本關(guān)于粗糙集的專(zhuān)著《Rough Sets: Theoretical Aspects of Reasoning about Data》的出版, 推動(dòng)了國(guó)際上對(duì)粗糙集理論與應(yīng)用的深入研究. 2001年5月在重慶召開(kāi)了“第1屆中國(guó)Rough集與軟計(jì)算學(xué)術(shù)研討會(huì)”, 邀請(qǐng)了創(chuàng)始人Pawlak教授做大會(huì)報(bào)告. 劉清等探討了粗糙集在近似推理、模態(tài)邏輯和智能代理方面的理論研究情況, 張文修、吳偉志、梁吉業(yè)等人提出了基于隨機(jī)集的粗糙集

15、模型, 并研究了粗糙集理論同包含度理論之間的關(guān)系. 目前, 粗糙集理論與神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、演化計(jì)算、模糊系統(tǒng)及混沌系統(tǒng)一起被公認(rèn)為人工智能的五大新興技術(shù), 在智能信息處理的諸多領(lǐng)域, 如決策分析、機(jī)器學(xué)習(xí)、數(shù)據(jù)挖掘、模式識(shí)別等, 獲得了廣泛的應(yīng)用. 通過(guò)知識(shí)的簡(jiǎn)化與知識(shí)依賴(lài)性分析, 完全由已知數(shù)據(jù)導(dǎo)出決策規(guī)則. 但在實(shí)際的決策問(wèn)題中大量存在著屬性值為模糊的情況, 為此有學(xué)者提出將粗糙集與模糊集相結(jié)合的方法, 當(dāng)條件屬性值為確定值而決策屬性值為模

16、糊時(shí)提</p><p>　　粗糙集理論比較出色地處理了模糊和不完全知識(shí), 從而成為數(shù)據(jù)挖掘研究中的有利工具, 特別是將其與機(jī)器學(xué)習(xí)、模式識(shí)別、數(shù)據(jù)庫(kù)等理論相結(jié)合, 開(kāi)發(fā)了多個(gè)原型系統(tǒng), 其中有代表性的有Rosetta系統(tǒng)、KDDR系統(tǒng)、LERS系統(tǒng)等. Rosetta是波蘭華沙大學(xué)和挪威科技大學(xué)聯(lián)合開(kāi)發(fā)的基于粗糙集理論框架的知識(shí)發(fā)現(xiàn)和數(shù)據(jù)挖掘軟件系統(tǒng), 它包含了從數(shù)據(jù)的預(yù)處理、約簡(jiǎn)計(jì)算、規(guī)則生成到規(guī)則的評(píng)價(jià)和分析

17、的知識(shí)發(fā)現(xiàn)全過(guò)程. KDDR系統(tǒng)是由加拿大Regina大學(xué)開(kāi)發(fā)的基于可變精度粗糙集模型的知識(shí)發(fā)現(xiàn)系統(tǒng), 已成功用于醫(yī)療數(shù)學(xué)分析、金融決策等鄰域. LERS系統(tǒng)是美國(guó)Kansas大學(xué)開(kāi)發(fā)的基于粗糙集的實(shí)例學(xué)習(xí)系統(tǒng), 已被用于醫(yī)學(xué)研究、氣候預(yù)測(cè)、環(huán)境保護(hù)等. 正是這些系統(tǒng)的成功開(kāi)發(fā)與應(yīng)用使得粗糙集理論與應(yīng)用的研究在國(guó)際上日益受到廣泛的關(guān)注. </p><p>　　由于粗糙集理論分析處理不精確、不協(xié)調(diào)和不完備信息, 因

18、此作為一種具有極大潛力的有效的知識(shí)獲取工具受到了人工智能工作者的廣泛關(guān)注. 目前, 粗糙集理論已被成功應(yīng)用在機(jī)器學(xué)習(xí)和知識(shí)發(fā)現(xiàn)、數(shù)據(jù)挖掘、決策支持和分析、過(guò)程控制、模式識(shí)別等計(jì)算機(jī)領(lǐng)域, 該理論已成為計(jì)算機(jī)和信息科學(xué)的研究熱點(diǎn)之一.</p><p>　　1.2 粗糙集理論的基本概念及核心基礎(chǔ)</p><p>　　數(shù)據(jù)集有精確集和粗糙集之分, 粗糙集是指數(shù)據(jù)集中的數(shù)據(jù)符合同一特征描述而又分

19、別屬于不同概念. 基本粗糙集理論認(rèn)為“概念” 即是對(duì)象的集合, “知識(shí)”是將對(duì)象進(jìn)行分類(lèi)的能力, 每一被劃分的集合稱(chēng)為概念. </p><p>　　粗糙集理論的主要思想是不精確的概念(被近似集) 被可利用的知識(shí)庫(kù)中的已知知識(shí)(近似空間中的可定義集全體) 來(lái)近似描述. 粗糙集理論與應(yīng)用的核心基礎(chǔ)是從近似空間導(dǎo)出的一對(duì)近似算子, 即上近似算子和下近似算子, 這一對(duì)近似算子是粗糙集理論與應(yīng)用研究的基礎(chǔ). 公理化方法的基

20、本要素是滿足某些公理集的近似算子, 即粗糙集代數(shù)系統(tǒng)是事先給定的, 然后定義二元關(guān)系使得由二元關(guān)系通過(guò)構(gòu)造性方法定義的近似算子及其導(dǎo)出的粗糙集代數(shù)系統(tǒng)恰好就是事先給定的近似算子和粗糙集代數(shù)系統(tǒng). 這種粗糙集代數(shù)系統(tǒng)是由集合代數(shù)系統(tǒng)中的三個(gè)集合算子(交、并、補(bǔ)) 加上兩個(gè)粗糙算子(上、下近似算子) 而形成的, 這些算子非常相似于模態(tài)邏輯中的五個(gè)模態(tài)算子. </p><p>　　1.3 論文的組織結(jié)構(gòu)</p&

21、gt;<p>　　本文我們主要研究基于鄰域算子系統(tǒng)的粗糙模糊近似. 首先, 回顧了經(jīng)典集合與經(jīng)典二元關(guān)系的基本概念和性質(zhì), 介紹了一般關(guān)系下的粗糙集合的定義和性質(zhì). 其次, 介紹了鄰域算子與二元關(guān)系之間的聯(lián)系, 討論了鄰域算子的性質(zhì). 最后, 定義了基于鄰域算子的粗糙模糊近似算子, 研究了基于鄰域算子的粗糙模糊近似算子的性質(zhì). 并證明可以用基于鄰域算子的粗糙模糊近似算子的性質(zhì)去刻畫(huà)鄰域算子的性質(zhì).</p>&

22、lt;p>　　2 經(jīng)典集合與二元關(guān)系</p><p>　　2.1 經(jīng)典集合的定義與性質(zhì)</p><p>　　我們把被討論的全體對(duì)象或范圍叫做論域, 常用,,,,,,大寫(xiě)字母表示. 把論域中的每個(gè)對(duì)象稱(chēng)為元素, 用相應(yīng)的小寫(xiě)字母,,,,,,表示. </p><p>　　定義2.1 給定論域和某一性質(zhì), 中滿足性質(zhì)的所有元素所組成的全體叫做集合(也稱(chēng)經(jīng)典集合)

23、, 簡(jiǎn)稱(chēng)集. 集合中部分元素組成的集合稱(chēng)為的子集. 不含論域中任何元素的集合稱(chēng)為空集, 記為. </p><p>　　定義2.2 集合的所有子集作為元素組成的集合稱(chēng)為的冪集. 記做</p><p><b>　　.</b></p><p>　　定義2.3 經(jīng)典集合的表示法</p><p>　　(1)列舉法: ; <

24、;/p><p>　　(2)描述法: ; </p><p>　　(3)歸納法: 用遞歸定義描述集合（略）; </p><p>　　(4)特征函數(shù)法: 設(shè)為論域, , 定義函數(shù) </p><p><b>　　,</b></p><p>　　則稱(chēng)為集合的特征函數(shù). 用特征函數(shù)表示集合的方法稱(chēng)為集合的特征函數(shù)

25、表示法. </p><p>　　定義2.4 設(shè),為任意集合. </p><p>　　(1)稱(chēng)為與的并集, 定義為</p><p><b>　　, </b></p><p><b>　　稱(chēng)為并運(yùn)算. </b></p><p>　　(2)稱(chēng)為與的交集, 定義為</p>

26、;<p><b>　　, </b></p><p><b>　　稱(chēng)為交運(yùn)算. </b></p><p>　　(3)稱(chēng)為與的差集, 定義為</p><p><b>　　, </b></p><p><b>　　稱(chēng)為差運(yùn)算. </b></p

27、><p>　　(4) 稱(chēng)為的補(bǔ)集, 定義為</p><p><b>　　, </b></p><p>　　稱(chēng)為補(bǔ)運(yùn)算, 它是一元運(yùn)算, 是差運(yùn)算的特例. </p><p>　　2.2 經(jīng)典二元關(guān)系的定義與性質(zhì)</p><p>　　定義2.5 稱(chēng)為集合到上的元關(guān)系(n-ary relations),

28、 如果是的一個(gè)子集. 若時(shí), 則稱(chēng)為上的元關(guān)系. 當(dāng)時(shí), 稱(chēng)為從到的二元關(guān)系. 若時(shí), 則稱(chēng)為上的一個(gè)二元關(guān)系. </p><p>　　定義2.6 設(shè)是集合上的二元關(guān)系, 如果對(duì)于每個(gè), 都有, 那么稱(chēng)二元關(guān)系是自反的, 即</p><p><b>　　在上是自反的. </b></p><p>　　定理2.1 設(shè)是上的二元關(guān)系, 則在上是自

29、反的當(dāng)且僅當(dāng). </p><p>　　定義2.7 設(shè)是集合上的二元關(guān)系, 如果對(duì)于每個(gè), 都有, 那么稱(chēng)二元關(guān)系是反自反的, 即</p><p><b>　　在上是反自反的. </b></p><p>　　定理2.2 設(shè)是上的二元關(guān)系, 則在上是反自反的當(dāng)且僅當(dāng). </p><p>　　定義2.8 設(shè)是集合上的二元

30、關(guān)系, 如果對(duì)于每個(gè), 當(dāng), 就有, 那么稱(chēng)二元關(guān)系是對(duì)稱(chēng)的, 即</p><p><b>　　在上是對(duì)稱(chēng)的.</b></p><p>　　定義2.9 設(shè)是集合上的二元關(guān)系, 如果將中每序偶的第一元素和第二元素的順序互換, 所得到的集合稱(chēng)為的逆關(guān)系, 記為, 即</p><p><b>　　. </b></p>

31、;<p>　　定理2.3 設(shè)是上的二元關(guān)系, 則在上是對(duì)稱(chēng)的當(dāng)且僅當(dāng). </p><p>　　定義2.10 設(shè)是集合上的二元關(guān)系, 如果對(duì)于每個(gè),, 當(dāng)和時(shí), 必有, 那么稱(chēng)二元關(guān)系是反對(duì)稱(chēng)的, 即 </p><p><b>　　在上是反對(duì)稱(chēng)的. </b></p><p>　　定理2.4 設(shè)是上的二元關(guān)系, 則在上是反對(duì)稱(chēng)

32、的當(dāng)且僅當(dāng). </p><p>　　定義2.11 設(shè)是集合上的二元關(guān)系, 如果對(duì)于任意,,, 當(dāng), , 就有, 那么稱(chēng)二元關(guān)系是傳遞的, 即</p><p><b>　　在上是傳遞的</b></p><p><b>　　.</b></p><p>　　定義2.12 設(shè)是上的二元關(guān)系, 若是上的自

33、反、對(duì)稱(chēng)、傳遞的二元關(guān)系, 則稱(chēng)是等價(jià)關(guān)系. </p><p>　　定義2.13 設(shè)是上的二元等價(jià)關(guān)系, 對(duì)于任何, 集合</p><p><b>　　,</b></p><p>　　稱(chēng)為元素形成的等價(jià)類(lèi).</p><p>　　定理2.5 設(shè)是上的二元等價(jià)關(guān)系, 對(duì)于, 有當(dāng)且僅當(dāng). </p><

34、;p>　　定義2.14 若是上的二元關(guān)系, 且對(duì)于任意, 存在, 使得, 則稱(chēng)是上的串行關(guān)系.</p><p>　　定義2.15 若是上的二元關(guān)系, 且對(duì)于任意,,, 有</p><p><b>　　, </b></p><p>　　則稱(chēng)是歐幾里得的; </p><p>　　定理2.6 是上的二元關(guān)系, 若是

35、自反且歐幾里得的, 則是對(duì)稱(chēng)的. </p><p>　　定理2.7 是上的二元關(guān)系, 若是自反且歐幾里得的, 則是傳遞的. </p><p>　　定理2.8 是上的二元關(guān)系, 若是傳遞且對(duì)稱(chēng)的, 則是歐幾里得的. </p><p>　　定理2.9 是上的二元關(guān)系, 若是歐幾里得且自反的當(dāng)且僅當(dāng)是等價(jià)的. </p><p>　　3 一般關(guān)

36、系下的粗糙集</p><p>　　3.1 模糊集的定義和性質(zhì)</p><p>　　定義3.1 設(shè)在論域上給定了一個(gè)映射</p><p><b>　　, </b></p><p><b>　　,</b></p><p><b>　　. </b><

37、/p><p>　　則稱(chēng)為上的模糊(Fuzzy)集, 稱(chēng)為的隸屬函數(shù)(或稱(chēng)為屬于的隸屬度). </p><p>　　正如集合完全由特征函數(shù)所刻畫(huà)一樣, 模糊集也完全由隸屬函數(shù)所刻畫(huà). 特別當(dāng)時(shí), 便蛻化為一個(gè)經(jīng)典集合的特征函數(shù), 于是便蛻化為一個(gè)經(jīng)典集合</p><p><b>　　. </b></p><p>　　因此, (

38、經(jīng)典)集合是模糊集的特殊情況. </p><p>　　記論域上的模糊子集的全體為. </p><p>　　定義3.2 設(shè), 規(guī)定模糊集之間的包含, 相等, 交, 并, 以及補(bǔ)集運(yùn)算如下</p><p><b>　　,, </b></p><p><b>　　且, </b></p>&

39、lt;p><b>　　,, </b></p><p><b>　　,, </b></p><p><b>　　,.</b></p><p><b>　　任給,, 由于</b></p><p><b>　　,,, </b><

40、/p><p>　　故對(duì)任意, 有, , . </p><p>　　規(guī)定: “”表示“取最大”或“取上確界sup”; “”表示“取最小”或“取下確界sub”. </p><p>　　一般的模糊集,的交、并、余運(yùn)算, 按論域的有限與無(wú)限, 分為以下兩種情況表示:</p><p>　　(1)設(shè)論域是一個(gè)有限集, 且模糊集</p><

41、p><b>　　, ,</b></p><p><b>　　則</b></p><p><b>　　, </b></p><p><b>　　, </b></p><p><b>　　.</b></p><p

42、>　　(2)設(shè)論域?yàn)闊o(wú)限集, 且模糊集</p><p><b>　　, ,</b></p><p><b>　　則</b></p><p><b>　　, </b></p><p><b>　　, </b></p><p>&

43、lt;b>　　. </b></p><p>　　定義3.3 設(shè), , 為指標(biāo)集. 對(duì)任意, 且</p><p><b>　　, </b></p><p><b>　　, </b></p><p>　　稱(chēng)為的并集, 為的交集. </p><p><b&

44、gt;　　顯然, ,. </b></p><p>　　定理3.1 具有如下性質(zhì)</p><p>　　(1)冪等律 , .</p><p>　　(2)交換律 , .</p><p>　　(3)結(jié)合律 , .</p><p>　　(4)吸收律 , .</p><p>　　(5)

45、分配律 , .</p><p>　　(6)零-壹律 , ; , .</p><p><b>　　(7)復(fù)原律 .</b></p><p>　　(8)對(duì)偶律 ,.</p><p>　　3.2 一般關(guān)系下的粗糙集</p><p>　　定義3.4 設(shè)論域是一個(gè)有限的非空集合. 論域的子集的全

46、體記為. 這里用標(biāo)記的補(bǔ)集. 設(shè)是一個(gè)任意的從到的經(jīng)典關(guān)系. 我們可以定義一個(gè)集值函數(shù):, </p><p><b>　　, . </b></p><p>　　稱(chēng)為在關(guān)系下的后繼鄰域. 顯然, 任何從到的集值函數(shù)定義了一個(gè)從到的二元關(guān)系. </p><p>　　定義3.5 如果是一個(gè)從到的經(jīng)典關(guān)系, 那么三元組是被稱(chēng)為廣義近似空間. 對(duì)于任意

47、的, 的關(guān)于的上近似和下近似, 記為和, 定義如下</p><p>　　, (3.1)</p><p>　　. (3.2)</p><p>　　近似序?qū)Ρ环Q(chēng)為廣義經(jīng)典粗糙集合, 而且和: 分別被稱(chēng)為廣義上下經(jīng)典近似算子. </p><p>　　從以上的定義出發(fā)

48、, 以下的定理可以很容易地被導(dǎo)出. </p><p>　　定理3.2 對(duì)于任意的從到的關(guān)系, 它的上近似算子和下近似算子滿足以下的性質(zhì): </p><p><b>　　對(duì)于所有的,, 有</b></p><p>　　(L1), (U1); </p><p>　　(L2),

49、 (U2); </p><p>　　(L3), (U3); </p><p>　　(L4), (U4); </p><p>　　(L5), (U5). </p><p>　　相對(duì)應(yīng)于某些特定的特殊類(lèi)型關(guān)系, 也就是說(shuō), 在論域上的串行的, 自反的, 對(duì)稱(chēng)的, 傳遞的和歐幾里德的二

50、元關(guān)系, 近似有更多的性質(zhì). </p><p>　　定理3.3 設(shè)是上的一個(gè)經(jīng)典二元關(guān)系, 而且和是由式子(3.1)和(3.2)定義的廣義上下經(jīng)典近似算子. 那么</p><p>　　(1)是串行的(L0), </p><p><b>　　（U0）, </b></p><p><b>　　(LU0), . &

51、lt;/b></p><p>　　(2)是自反的(L6), , </p><p><b>　　(U6), , </b></p><p>　　(3)是對(duì)稱(chēng)的(L7), , </p><p><b>　　(U7), , </b></p><p>　　(4)是傳遞的(L8),

52、 , </p><p><b>　　(U8), , </b></p><p>　　(5)是歐幾里德的(L9), , </p><p><b>　　(U9), , </b></p><p>　　如果是上的等價(jià)關(guān)系, 那么稱(chēng)為Pawlak近似空間, 而且可以導(dǎo)出更多的上下近似算子的性質(zhì). </p&

53、gt;<p>　　4 粗糙模糊近似的構(gòu)造性定義與性質(zhì)</p><p>　　在這一章節(jié), 我們回顧粗糙模糊近似算子的構(gòu)造性定義而且給出了粗糙模糊近似算子的基本性質(zhì). </p><p>　　4.1 粗糙模糊近似的定義</p><p>　　粗糙模糊集合是通過(guò)一個(gè)模糊集合關(guān)于經(jīng)典近似空間的近似而獲得的. </p><p>　　定義4.

54、1 設(shè)和是兩個(gè)有限的非空論域而且是一個(gè)從到的經(jīng)典二元關(guān)系. 對(duì)于任意的集合, 模糊集合關(guān)于經(jīng)典近似空間的上下近似和, 分別定義為</p><p>　　, (4.1)</p><p>　　, . (4.2)</p><p>　　序?qū)Ρ环Q(chēng)為廣義粗糙模糊集合, 而且和: 分別被稱(chēng)為廣義上粗

55、糙模糊近似算子和廣義下粗糙模糊近似算子. </p><p>　　如果, 那么我們可以得出當(dāng)且僅當(dāng); 當(dāng)且僅當(dāng). 當(dāng)模糊粗糙集合退化成一個(gè)經(jīng)典集合時(shí)定義4.1可以退化到定義3.5. </p><p>　　4.2 粗糙模糊近似的性質(zhì)</p><p>　　由定義4.1, 我們可以得到粗糙模糊近似算子的性質(zhì). </p><p>　　定理4.1 由

56、式子(4.1)和(4.2)定義的上粗糙模糊近似算子和下粗糙模糊近似算子, 滿足以下性質(zhì)</p><p><b>　　, , </b></p><p>　　(FL1), (FU1), </p><p>　　(FL2), (FU2), </p><p>　　(FL3),

57、(FU3), </p><p>　　(FL4), (FU4), </p><p>　　(FL5), (FU5), </p><p>　　這里是常數(shù)模糊集: 對(duì)于所有的, 有. </p><p>　　性質(zhì)(FL1)和(FU1)顯示了粗糙模糊近似和具有對(duì)偶性質(zhì). 具有相同數(shù)字編號(hào)的性質(zhì)可以認(rèn)為是對(duì)偶的.</p>

58、<p>　　顯然, 性質(zhì)(FL2)和(FU2)蘊(yùn)含了以下的性質(zhì)</p><p><b>　　(FL2)’, </b></p><p><b>　　(FU2)’.</b></p><p>　　的文獻(xiàn)中, 一個(gè)串行的粗糙模糊集合模型將從一個(gè)串行的二元關(guān)系中獲得. 串行關(guān)系的性質(zhì)可以由它導(dǎo)出的粗糙模糊近似算子的性質(zhì)所刻

59、畫(huà). </p><p>　　定理4.2 如果是一個(gè)任意的從到的經(jīng)典關(guān)系, 而且和是由式子(4.1)和(4.2)定義的粗糙模糊近似算子, 那么</p><p>　　是串行的(FL0), </p><p><b>　　(FU0), </b></p><p>　　(FL0)’, , </p><p>

60、　　(FU0)’, , </p><p>　　(FLU0), . </p><p>　　證明 首先由對(duì)偶性可知(FL0)’(FU0)’(FL0). 其次, (FL0)’(FL0)為顯然. 若(FL0)成立,則在性質(zhì)(FL2)中取即得性質(zhì)(FL0)’.</p><p>　　另一方面, 將經(jīng)典集看成一個(gè)特殊的模糊集, </p><p><

61、b>　　是串行的, ,</b></p><p><b>　　從而定理得證. </b></p><p>　　通過(guò)性質(zhì)(FLU0), 串行的粗糙集合模型的粗糙模糊近似算子對(duì)是一個(gè)區(qū)間結(jié)構(gòu). 以下定理刻畫(huà)了其它特殊經(jīng)典關(guān)系與粗糙模糊近似算子之間的聯(lián)系. </p><p>　　定理4.3 假定是上的二元經(jīng)典關(guān)系, 而且和是由式子(4

62、.1)和(4.2)定義的粗糙模糊近似算子, 那么</p><p>　　(1)是自反的(FL6), , </p><p><b>　　(FU6), , </b></p><p>　　(2)是對(duì)稱(chēng)的(FL7), , </p><p><b>　　(FU7), , </b></p><

63、p>　　(FL7)’, , </p><p><b>　　(FU7)’, ,</b></p><p>　　(3)是傳遞的(FL8), ,</p><p><b>　　(FU8), ,</b></p><p>　　(4)是歐幾里德的(FL9), ,</p><p><

64、;b>　　(FU9), . </b></p><p>　　證明 (1) 由粗糙模糊近似算子的對(duì)偶性知(FL6)與(FU6)是等價(jià)的.</p><p>　　“充分性” 取, 即可得(FL6)是自反的; (FU6)是自反的. </p><p>　　“必要性” 由，. 即, 得到. </p><p>　　由，, 即, 得到.

65、 </p><p>　　從而由是自反關(guān)系可以推出(FL6)和(FU6). </p><p>　　(2) 由粗糙模糊近似算子的對(duì)偶性知(FL7)與(FU7), (FL7)’與(FU7)’分別是等價(jià)的. </p><p>　　“充分性” 取, 即可得(FL7)是對(duì)稱(chēng)的; (FU7)是對(duì)稱(chēng)的</p><p>　　“必要性” 若是對(duì)稱(chēng)關(guān)系, 用反

66、證法來(lái)證是對(duì)稱(chēng)關(guān)系(FL7). </p><p>　　若(FL7)不成立, 則存在和, 使</p><p>　　于是存在, 使對(duì)于任意有. 由于是對(duì)稱(chēng)的, 因此由, 可得, 這樣就有, 矛盾, 從而由的對(duì)稱(chēng)性可推得(FL7)成立. </p><p>　　是對(duì)稱(chēng)的(FL7)’(FU7)’.</p><p>　　(3)由粗糙模糊近似算子的對(duì)偶性知

67、(FL8)與(FU8)是等價(jià)的. </p><p>　　“充分性” 取, 即可得(FL8)是傳遞的; (FU8)是傳遞的. </p><p>　　“必要性” 充分性的證明與(1)的證明過(guò)程類(lèi)似. </p><p>　　(4) 由粗糙模糊近似算子的對(duì)偶性知(FL9)與(FU9)是等價(jià)的. </p><p>　　“充分性” 取, 即可得(F

68、L9)是歐幾里德的; (FU9)是歐幾里德的. </p><p>　　“必要性” 只須用反證法證明是歐幾里得關(guān)系(FU9). </p><p>　　若(FU9)不成立, 則存在和使, 即</p><p>　　從而存在 存在使對(duì)于任意有. 但由于是歐幾里得關(guān)系, 從而由與可得, 這樣便推出的矛盾結(jié)論. 故(4)得證. </p><p>　　5

69、 粗糙模糊近似的公理化刻畫(huà)</p><p>　　在公理化的過(guò)程中, 粗糙集被抽象的近似所刻畫(huà)描述. 對(duì)于粗糙模糊集的情況下, 原始的概念是一個(gè)系統(tǒng), 這里和是的一元運(yùn)算. 在這一章節(jié)中, 我們證明了粗糙模糊近似算子可以由公理刻畫(huà). </p><p>　　定義5.1 設(shè),:的兩個(gè)算子. ,稱(chēng)為對(duì)偶算子, 如果對(duì)于所有的滿足以下性質(zhì)</p><p><b>

70、　　(fl1), </b></p><p><b>　　(fu1). </b></p><p>　　定理5.1 設(shè),:是對(duì)偶算子. 那么存在一個(gè)從到的經(jīng)典二元關(guān)系使得對(duì)于所有的有</p><p><b>　　, . </b></p><p>　　當(dāng)且僅當(dāng)滿足公理(flc),(fl2),

71、(fl3), 或者等價(jià)地滿足公理(fuc),(fu2),(fu3), </p><p><b>　　(flc), , </b></p><p>　　(fl2), , , </p><p>　　(fl3), ,, </p><p><b>　　(fuc), , </b></p><

72、p>　　(fu2), , , </p><p>　　(fu3), ,, </p><p>　　這里是指單點(diǎn)集的特征函數(shù). </p><p>　　證明 必要性的證明</p><p>　　必要性可由粗糙模糊近似算子的構(gòu)造性定義4.1和定理4.1即得. </p><p><b>　　充分性的證明</b

73、></p><p>　　若滿足公理(fuc),(fu2),(fu3). 由公理(fuc)并利用, 我們定義從到上的二元經(jīng)典關(guān)系如下:</p><p><b>　　, .</b></p><p><b>　　顯然, </b></p><p><b>　　, .</b><

74、;/p><p><b>　　對(duì)于任意, 注意到</b></p><p><b>　　.</b></p><p>　　這樣對(duì)于任意, 由的定義, 公理(fuc)和(fu3)得</p><p><b>　　.</b></p><p><b>　　從而由

75、的任意性得.</b></p><p><b>　　由對(duì)偶性可得. </b></p><p><b>　　證畢.</b></p><p>　　根據(jù)定理5.1, 公理(flc),(fl1),(fl2),(fl3), 或者等價(jià)地, 公理(fuc),(fu1),(fu2),(fu3).被看作粗糙模糊近似算子的基本公理.

76、 這些公理導(dǎo)出了以下的粗糙模糊集合代數(shù)的定義. </p><p>　　定義5.2 設(shè),:的兩個(gè)算子. 如果滿足公理(flc),(fl2),(fl3),或者等價(jià)地滿足公理(fuc),(fu2), (fu3), 那么系統(tǒng)被稱(chēng)為一個(gè)粗糙模糊集合代數(shù), 這種情況下, 如果存在一個(gè)上的串行的（自反的, 對(duì)稱(chēng)的, 傳遞的, 歐幾里德的, 等價(jià)的）關(guān)系使得對(duì)于有和, 那么被稱(chēng)作為串行的（自反的, 對(duì)稱(chēng)的, 傳遞的, 歐幾里德的

77、, Pawlak）粗糙模糊集合代數(shù). </p><p>　　串行的粗糙模糊集合代數(shù)的公理化刻畫(huà)可以用以下的定理描述. </p><p>　　定理5.2 設(shè)是粗糙模糊集合代數(shù), 換言之, 滿足公理(flc),(fl1),(fl2),(fl3), 而且滿足公理(fuc),(fu1),(fu2),(fu3), 那么它是一個(gè)串行的粗糙模糊集合代數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)下列等價(jià)公理之一成立</p>

78、<p><b>　　(fl0), , </b></p><p><b>　　(fu0), , </b></p><p><b>　　(fl0)’, </b></p><p><b>　　(fu0)’, </b></p><p>　　(flu0)

79、’, .</p><p>　　證明 由定理5.1和定理4.2得(fl0)和(fu0). 再由定理4.2可得(fl0)’,(fu0)’和(flu0)’. </p><p>　　定理5.2中(flu0)’陳述了是的模糊子集. ,:稱(chēng)為上下粗糙模糊算子, 而且系統(tǒng)是一個(gè)區(qū)間結(jié)構(gòu). 其他類(lèi)型的粗糙模糊集合代數(shù)的公理化刻畫(huà)可以用以下的定理5.3, 定理5.4, 定理5.5和定理5.6來(lái)描述. &l

80、t;/p><p>　　定理5.3 假設(shè)是一個(gè)自反的粗糙模糊集合代數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)下列等價(jià)公理之一成立</p><p><b>　　(fl6), , </b></p><p><b>　　(fu6), . </b></p><p>　　證明 由定理5.1和定理4.3的(1)可得. </p>&

81、lt;p>　　定理5.4 假設(shè)是一個(gè)對(duì)稱(chēng)的粗糙模糊集合代數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)下列等價(jià)公理之一成立</p><p><b>　　(fl7), , </b></p><p><b>　　(fu7), , </b></p><p>　　(fl7)’, , </p><p>　　(fu7)’, . </

82、p><p>　　證明 由定理5.1和定理4.3的(2)可得.</p><p>　　定理5.5 假設(shè)是一個(gè)傳遞的粗糙模糊集合代數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)下列等價(jià)公理之一成立</p><p><b>　　(fl8), , </b></p><p><b>　　(fu8), . </b></p><p

83、>　　證明 由定理5.1和定理4.3的(3)可得.</p><p>　　定理5.6 假設(shè)是一個(gè)歐幾里德的粗糙模糊集合代數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)下列等價(jià)公理之一成立</p><p><b>　　(fl9), , </b></p><p><b>　　(fu9), . </b></p><p>　　證明

84、由定理5.1和定理4.3的(4)可得. </p><p>　　定理5.7 假設(shè)是一個(gè)粗糙模糊集合代數(shù), 那么當(dāng)它是一個(gè)Pawlak的粗糙模糊集合代數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)滿足定理(fl6),(fl7)和(fl8)或者等價(jià)地滿足定理(fu6),(fu7)和(fu8). </p><p>　　6 基于鄰域系統(tǒng)的粗糙模糊近似</p><p>　　關(guān)于粗糙近似運(yùn)算與鄰域系統(tǒng)兩者之間的關(guān)

85、系的研究已經(jīng)進(jìn)行了很多年. 在文獻(xiàn)中, 探索解釋1步鄰域運(yùn)算和粗糙模糊近似的關(guān)系. 和在文獻(xiàn)闡述了在</p><p>　　-步鄰域系統(tǒng)下的廣義粗糙近似運(yùn)算. 在這一節(jié)中, 我們研究粗糙模糊近似與-步鄰域系統(tǒng)之間的關(guān)系. </p><p>　　定義6.1 對(duì)于上的一個(gè)二元關(guān)系和正整數(shù), 定義的-步關(guān)系如下:</p><p><b>　　, </b&g

86、t;</p><p>　　存在, , …, , 1, </p><p>　　使得, , …,, . </p><p><b>　　容易得到</b></p><p>　　存在, , …, , </p><p>　　使得, , …,. </p><p>　　顯然, , 當(dāng)所有的

87、時(shí), （事實(shí)上, 就是上的傳遞閉包）. 當(dāng)然, 是傳遞的. </p><p>　　定義6.2 設(shè)是上的一個(gè)二元關(guān)系, 對(duì)于兩個(gè)元素,和, 如果, 那么我們可以稱(chēng)是-相關(guān)于, 是的-前驅(qū), 是的-后繼. 的所有-后繼的集合標(biāo)記為, 也就是說(shuō); 也被稱(chēng)為的-步鄰域. </p><p>　　我們可以得出是一個(gè)的鄰域系統(tǒng), 而且是一個(gè)-步鄰域系統(tǒng). </p><p>　　

88、-步鄰域系統(tǒng)是關(guān)于單調(diào)遞增的. 對(duì)于兩個(gè)關(guān)系和, 有對(duì)于所有的,</p><p><b>　　. </b></p><p>　　特別地, 對(duì)于所有的和所有的</p><p><b>　　. </b></p><p><b>　　易見(jiàn),</b></p><p&

89、gt;<b>　　. </b></p><p><b>　　顯然, </b></p><p><b>　　, ,, </b></p><p><b>　　這里. </b></p><p>　　易證, 對(duì)于所有的,,</p><p>

90、<b>　　.</b></p><p>　　而且如果是歐幾里德的, 由文獻(xiàn)知, 對(duì)于所有的,</p><p><b>　　.</b></p><p>　　特殊類(lèi)型的二元關(guān)系與由其誘導(dǎo)出來(lái)的-步關(guān)系之間的聯(lián)系可以總結(jié)為如下. </p><p>　　定理6.1 假設(shè)是上的任意一個(gè)二元關(guān)系, 那么<

91、;/p><p>　　(1)是串行的對(duì)于所有的，是串行的; </p><p>　　(2)是自反的對(duì)于所有的，是自反的; </p><p>　　(3)是對(duì)稱(chēng)的對(duì)于所有的，是對(duì)稱(chēng)的; </p><p>　　(4)是傳遞的對(duì)于所有的，是傳遞的, 而且; </p><p>　　(5)是歐幾里德的對(duì)于所有的，是歐幾里德的. </

92、p><p>　　定義6.3 設(shè)論域上的一個(gè)任意關(guān)系, 對(duì)于任何和, 我們可以定義一對(duì)在-步鄰域系統(tǒng)上的的上下近似如下: </p><p><b>　　,</b></p><p><b>　　.</b></p><p>　　特別地, 和稱(chēng)為-步上下近似算子. </p><p>　

93、　通過(guò)文獻(xiàn), 易見(jiàn)一個(gè)二元關(guān)系的性質(zhì)能被多步近似算子的性質(zhì)等價(jià)地刻畫(huà). </p><p>　　定理6.2 設(shè)是上的任意一個(gè)二元關(guān)系, 那么</p><p>　　(1)是串行的 (KNL0) , , </p><p>　　(KNU0), , </p><p>　　(KNLU0), , , </p><p>　　(2)是

94、自反的 (KNL6) , , , </p><p>　　(KNU6), , , </p><p>　　(3)是對(duì)稱(chēng)的 (KNL7) , , , </p><p>　　(KNU7), , , </p><p>　?。?）是傳遞的 (KNL8) , , , </p><p>　　(KNU8), , , </p&g

95、t;<p>　　(5)是歐幾里德的(KNL9), , , </p><p>　　(KNU9), , . </p><p>　　定義6.4 設(shè)論域上的一個(gè)任意經(jīng)典二元關(guān)系, 對(duì)于任何和, 我們可以定義一對(duì)在—步鄰域系統(tǒng)上的的上下粗糙模糊近似如下: </p><p><b>　　, , </b></p><p&g

96、t;<b>　　, . </b></p><p>　　特別地, 和是被稱(chēng)為—步上下粗糙模糊近似算子. </p><p><b>　　如果, 易見(jiàn) </b></p><p><b>　　(1), ,</b></p><p><b>　　(2), .</b>&

97、lt;/p><p>　　結(jié)合定理4.3, 定理6.1, 定理6.2, 我們可以得到以下定理6.3. </p><p>　　定理6.3 假設(shè)是上的任意一個(gè)經(jīng)典二元關(guān)系, 那么</p><p>　　(1)是串行的(KFL0), ,</p><p><b>　　(KFU0),,</b></p><p>　　

98、(KFLU0), ,</p><p>　　(KFL0)’, , ,</p><p>　　(KFU0)’, , ,</p><p>　　(2)是自反的(KFL6), , ,</p><p>　　(KFU6), , ,</p><p>　　(3)是對(duì)稱(chēng)的(KFL7) , , ,</p><p>　　

99、(KFU7), , ,</p><p>　　(4)是傳遞的(KFL8), , ,</p><p>　　(KFU8), , ,</p><p>　　(5)是歐幾里德的(KFL9),, ,</p><p>　　(KFU9),, .</p><p>　　證明 (1)由于是串行的當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)于任意, 也是串行的, 再由定理4.

100、2得(1)成立.</p><p>　　(2)由定理4.1和定理4.3可得.</p><p><b>　　(3)必要性的證明</b></p><p>　　由于是對(duì)稱(chēng)的當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)于任意, 也是對(duì)稱(chēng)的, 從而由定理5.1我們有</p><p><b>　　, , . </b></p><

101、;p><b>　　注意到, 從而</b></p><p><b>　　, . </b></p><p>　　這樣我們得到了(KFL7). 再由粗糙模糊近似算子的對(duì)偶性得(KFU7). </p><p><b>　　充分性的證明</b></p><p>　　令，則由定理5.

102、1知是對(duì)稱(chēng)的. </p><p>　　(4)由定理4.1和定理5.2可得.</p><p><b>　　(5)必要性的證明</b></p><p>　　由于是歐幾里德的當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)于任意, 也是歐幾里德的，從而由定理5.3我們有</p><p><b>　　, , . </b></p>

103、<p><b>　　注意到，從而</b></p><p><b>　　, . </b></p><p>　　這樣我們得到了(KFL9). 再由粗糙模糊近似算子的對(duì)偶性得(KFU9). </p><p><b>　　充分性的證明</b></p><p>　　令，則由定理

104、5.3知是歐幾里德的. </p><p><b>　　7 小結(jié)</b></p><p>　　本文我們主要研究基于鄰域算子系統(tǒng)的粗糙模糊近似. 首先, 回顧了經(jīng)典集合與經(jīng)典二元關(guān)系的基本概念和性質(zhì), 介紹了一般關(guān)系下的粗糙集合的定義和性質(zhì). 其次, 介紹了鄰域算子與二元關(guān)系之間的聯(lián)系, 討論了鄰域算子的性質(zhì). 最后, 定義了基于鄰域算子的粗糙模糊近似算子, 研究了基于鄰

105、域算子的粗糙模糊近似算子的性質(zhì). 并證明了可以用基于鄰域算子的粗糙模糊近似算子的性質(zhì)去刻畫(huà)鄰域算子的性質(zhì).</p><p><b>　　參考文獻(xiàn)</b></p><p>　　Pawlak. Z. Rough Sets: Theoretical Aspects of Reasoning about Data [M]. Boston: Kluwer Academic Pu

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