粗糙模糊近似算子的經(jīng)典表示【畢業(yè)論文】

1、<p>　　本科畢業(yè)論文(設計)</p><p>　題 目：粗糙模糊近似算子的經(jīng)典表示</p><p>　學 院：</p><p>　學生姓名：</p><p>　專 業(yè)：數(shù)學與應用數(shù)學</p><p>　班 級：</p><p>　指導教師：</p>

2、;<p>　起止日期：</p><p><b>　　摘要</b></p><p>　　粗糙集理論是一種研究不完整、不確定知識處理的數(shù)學工具, 近幾年來在機器學習、知識發(fā)現(xiàn)、算法研究、工程應用、決策支持系統(tǒng)以及模式識別等應用中取得了較好的成果. 本文主要研究粗糙模糊近似算子的經(jīng)典表示, 給出了在一般的模糊環(huán)境下各種粗糙近似算子的定義, 得到了這些近似算子的

3、經(jīng)典表示. 首先, 回顧了模糊集的基本概念、性質和模糊集的表示定理. 其次, 給出經(jīng)典環(huán)境粗糙近似算子的定義及其性質. 并進一步引進模糊環(huán)境下粗糙近似算子的概念. 最后, 通過模糊集的表示定理給出模糊環(huán)境下粗糙近似算子的經(jīng)典表示, 最后給出模糊環(huán)境下粗糙近似算子的一些重要性質.</p><p>　　關鍵詞: 粗糙集; 模糊集; 模糊關系; 近似算子</p><p>　　On the Rep

4、resentation of Approximation Operators under the Fuzzy Environment </p><p><b>　　Abstract</b></p><p>　　Rough set theory is a mathematical tool to study incomplete and uncertain knowle

5、dge processing. In recent years, it has been successfully applied in many research fields such as machine learning, knowledge discovery, algorithm research, engineering application, decision support systems, and pattern

6、recognition etc. In this thesis, we mainly focus on the study of on the representation of approximation operators under fuzzy environment. First, we review the basic concepts of fuzzy sets, the proper</p><p>

7、;　　Keywords: Rough set; fuzzy sets; fuzzy relations; approximation operators</p><p><b>　　目錄</b></p><p><b>　　摘要I</b></p><p>　　AbstractII</p><p>

8、;<b>　　1 前言1</b></p><p>　　1.1 粗糙模糊近似算子的發(fā)展趨勢1</p><p>　　1.2 論文的組織結構2</p><p>　　2 模糊集的基本概念及性質3</p><p>　　2.1 知識與知識庫3</p><p>　　2.2 不確定范疇, 近似與

9、粗糙集3</p><p>　　2.3 模糊集的基本理論4</p><p>　　3 近似空間與近似算子7</p><p>　　4粗糙模糊近似算子的經(jīng)典表示9</p><p>　　4.1 模糊近似算子的經(jīng)典表示9</p><p>　　4.2 模糊近似算子的經(jīng)典表示11</p><p&g

10、t;　　4.3 模糊近似算子的經(jīng)典表示13</p><p>　　5 模糊近似算子的性質16</p><p><b>　　6小結23</b></p><p><b>　　參考文獻24</b></p><p><b>　　致謝25</b></p><

11、p><b>　　1 前言</b></p><p>　　1.1 粗糙模糊近似算子的發(fā)展趨勢</p><p>　　粗糙集理論是波蘭數(shù)學家Pawlak Z于1982年提出的一種數(shù)據(jù)分析理論. 在這之后, 許多數(shù)學家, 計算機研究人員和邏輯學家對粗糙集產(chǎn)生了很大的興趣, 并且在粗糙集的理論和應用方面做了大量的研究. 1991年, Pawlak Z的專著問世, 標志著粗

12、糙集理論及其應用的研究進入了活躍時期. 1992年, 在波蘭召開了關于粗糙集理論的第一屆國際學術會議. 粗超集理論在1995年被ACM Communication定為新的計算機的科學的研究內容. 國際信息科學雜志在1998年還為其專門出了一期專輯. 這些都促進了粗糙集的發(fā)展. 粗糙集理論是一種用來刻畫不確定性和不完整性的數(shù)學工具, 能有效地分析不精確, 不一致, 不完整等各種不完備的信息. 粗糙集理論將知識解釋成是應用等價關系對有限的非

13、空論域進行劃分, 它的主要思想是在不丟失信息的前提下, 約簡信息屬性及屬性值, 得到相應的決策規(guī)則.</p><p>　　粗糙集的實用性很強, 粗糙集從產(chǎn)生到現(xiàn)在雖然只有短短的十幾年時間, 但是它在機器學習與知識發(fā)現(xiàn), 數(shù)據(jù)挖掘, 決策支持與分析等方面已經(jīng)取得了很多的成果. 粗糙集理論的研究逐漸趨于熱化. </p><p>　　在傳統(tǒng)的粗糙集模型中, 不管是知識庫中知識還是被近似的概念都是

14、清晰概念. 但是, 在現(xiàn)實的問題中, 大量被人們所接觸到的知識大多都是模糊知識, 模糊集中可以是知識庫中的知識, 也可能是被近似的集合等. 因此, 在模糊環(huán)境中如何應用粗糙集理論是一個非常自然的問題. 而且模糊粗糙集在應用上的效果和范圍上具有更加出色的表現(xiàn). 模糊粗糙集的發(fā)展的特點是把二值邏輯推廣至模糊邏輯方面. 模糊粗糙集理論的研究的重要方向就是模糊集的近似算子的定義和模型的推廣.</p><p>　　粗糙集理

15、論中的基本結構是由論域及其定義在論域上的二元關系所生成的近似空間, 由近似空間可以導出下近似算子和上近似算子. 利用粗糙集理論中上、下近似概念, 隱含在信息系統(tǒng)中的知識可以以決策規(guī)則的形式被挖掘出來. 所以, 把粗糙集理論應用到模糊環(huán)境中是一個自然而然的問題. 事實上, 很多學者都已對這個問題進行了研究, 得到了一些新的粗糙集模型. 當知識模塊在知識庫中是確定概念, 而被近似的概念是一個模糊概念時, 就可以得到粗糙模糊集; 當知識模塊在

16、知識庫中是模糊知識, 而被近似的概念是經(jīng)典集時, 那么就可得到模糊粗糙集. 并且按這種方式所得到的上近似和下近似都是模糊集, 所以自然而然地就產(chǎn)生如何用經(jīng)典近似算子來表示這些模糊近似算子的問題.</p><p>　　近年來, 模糊粗糙集所對應的模糊近似算子已經(jīng)較全面地被研究過. 吳偉志等研究了粗糙模糊集和模糊粗糙集的基本表示, 并發(fā)現(xiàn)了一組經(jīng)典集, 它們的作用相當于截集在模糊集分解定理中起的作用, 利用它們將粗糙

17、模糊集和模糊粗糙集表示出來, 并且利用表示公式, 成功地證明了各類模糊關系與相應近似算子的一一對應的充要條件. </p><p>　　1.2 論文的組織結構</p><p>　　本文主要研究了粗糙模糊近似算子的經(jīng)典表示. 本文第一部分回顧了粗糙模糊近似算子的由來和發(fā)展. 第二部分回顧了粗糙集理論的基本概念. 第三部分介紹了近似空間與近似算子的基本概念. 第四部分是本文的核心, 介紹了粗糙

18、模糊近似算子的經(jīng)典表示. 最后給出模糊環(huán)境下粗糙近似算子的一些重要性質.</p><p>　　2 模糊集的基本概念及性質</p><p>　　2.1 知識與知識庫</p><p>　　設是有限集合, 稱為論域. 對于任意一個子集, 稱之為中的一個范疇或概念. 假設空集也是一個概念. 我們稱中任意一個概念族為和有關的抽象知識, 簡稱知識. 文章研究的是在上可以組成劃

19、分的一些內容. 一個劃分</p><p><b>　　; , .</b></p><p>　　設為上面的等價關系, 則表示中所有的等價類組成的集合, 是含有元素的一個等價類. 一個知識庫等于一個系統(tǒng), 其中為非空有限集, 稱為論域, 是上的一族等價關系.</p><p>　　2.2 不確定范疇, 近似與粗糙集</p><p

20、>　　令, 是上的一個等價關系. 當能表達成某些基本范疇的并時, 稱為是可定義的; 否則稱為為不可定義的.</p><p>　　可定義集是論域的子集, 它在知識庫中精確地定義, 而不可定義集不能在這個知識庫中定義. 可定義集也稱作精確集, 而不可定義集稱為非精確集或粗糙集.</p><p>　　定義2.1 給定知識庫, 對于每個子集和一個等價關系, 有兩個子集</p>

21、<p><b>　　,</b></p><p><b>　　.</b></p><p>　　分別稱他們?yōu)榈南陆萍蜕辖萍?</p><p><b>　　稱為的邊界域; </b></p><p><b>　　稱為的正域; </b></p

22、><p><b>　　稱為的負域. 顯然</b></p><p><b>　　.</b></p><p>　　2.3 模糊集的基本理論</p><p>　　設是論域, 是的子集, 可以用特征函數(shù)表示, 即映射, </p><p>　　的子集和子集的特征函數(shù)一一對應.</p

23、><p>　　對于論域上的一個模糊概念, 確定了上的一個模糊子集, 對于任意的, 和之間不是絕對屬于或絕對不屬于的關系. 為了表示屬于的程度, 我們用中的一個數(shù)值來表示, 所以論域上的一個模糊子集可以用到的一個映射來描述.</p><p>　　定義2.2 設是論域, 映射稱為X的一個模糊子集, 簡稱集, 映射稱為集的隸屬函數(shù), 稱為關于的隸屬度.</p><p>　　

24、論域上的所有集記為, 顯然. (其中, 是論域上的所有經(jīng)典集).</p><p>　　論域上的集有下列表示法:</p><p><b>　　(1) ;</b></p><p><b>　　(2) 若, 記;</b></p><p><b>　　(3) 若, 記;</b><

25、/p><p>　　(4) 若是不可數(shù)集, 記.</p><p>　　定義2.3 設, 則</p><p>　　(1) 若, 則稱包含于, 或包含, 記為, 或.</p><p>　　(2) 若, 則稱和相等, 記為. </p><p><b>　　顯然, 且.</b></p><

26、p><b>　　.</b></p><p>　　由此, 是具有最小元與最大元的偏序集.</p><p>　　定義2.4 設, 定義并、交、余運算如下:</p><p><b>　　(1) , .</b></p><p><b>　　(2) , .</b><

27、/p><p>　　(3) , .</p><p>　　分別稱, 為和的并集、交集; 稱為在中的補集.</p><p>　　設是指標集, , 定義無限并、無限交如下:</p><p>　　, . </p><p>　　, .</p><p>　　定理2.1

28、 設, 則并、交、余滿足下列性質:</p><p><b>　　(1) 冪等律;</b></p><p><b>　　(2) 交換律;</b></p><p><b>　　(3) 結合律; </b></p><p><b>　　;</b></p>

29、;<p><b>　　(4) 吸收律;</b></p><p><b>　　(5) 分配律;</b></p><p><b>　　;</b></p><p><b>　　(6) 同一律;</b></p><p><b>　　(7)

30、兩極律;</b></p><p><b>　　(8) 對合律;</b></p><p><b>　　(9) 對偶率.</b></p><p>　　集不滿足補余律, 即.</p><p>　　定義2.5 設, 記</p><p><b>　　,

31、 </b></p><p>　　稱為集合的截集. 稱</p><p>　　為集合的的強截集. 稱</p><p><b>　　為集合的支集.</b></p><p>　　顯然, , , 且時有</p><p>　　, , .</p><p>　　定理

32、2.2 截集的性質: </p><p><b>　　(1) ;</b></p><p><b>　　(2) ;</b></p><p><b>　　(3) ;</b></p><p><b>　　(4) . </b></p><p

33、>　　3 近似空間與近似算子</p><p>　　定義3.1 設是從到上的一個二元關系, 稱三元組為廣義近似空間. 對于, 則關于廣義近似空間上的上近似與下近似分別為與, 則它們分別定義為: </p><p><b>　　,</b></p><p><b>　　.</b></p><p>　

34、　其中. 顯然的, 和是到的集合算子, 分別稱它們?yōu)榇植谏辖扑阕雍拖陆扑阕? </p><p>　　定理3.1 設是一個經(jīng)典近似空間, 即是從到的一個二元經(jīng)典關系. 則它的上下近似具有如下性質: ,</p><p>　　(L1) ; (U1) ;</p><p>　　(L2) ;

35、 (U2) ;</p><p>　　(L3) ; (U3) ;</p><p>　　(L4) ; (U4) ;</p><p>　　(L5) ; (U5) .</p><p>　　引理3.1 如果是從到上的一個二元模糊關系, 則

36、是一個區(qū)間模糊關系當且僅當對于任意, 是一個串行經(jīng)典關系.</p><p>　　定義3.2 設是上的任意二元模糊關系. 稱是一個自反模糊關系, 如果有; 稱是一個等價模糊關系, 如果是對稱、傳遞和自反的模糊關系;稱是一個對稱模糊關系, 如果有; 稱是一個傳遞模糊關系, 如果, 有.</p><p>　　引理3.2 設為上面的任意二元模糊關系, 則為一個自反模糊關系, 當且僅當, 是一個

37、自反經(jīng)典關系; 為等價模糊關系,當且僅當, 為等價經(jīng)典關系; 為對稱模糊關系, 當且僅當, 為對稱經(jīng)典關系; 為傳遞模糊關系, 當且僅當, 為傳遞經(jīng)典關系.</p><p>　　定義3.3 設是從到上面的任意二元模糊關系, 對于, 對于模糊近似空間的上近似與下近似為的模糊子集, 分別定義其隸屬函數(shù)為:</p><p><b>　　(3.1)</b></p>

38、;<p>　　與都是與的集合算子, 分別稱為模糊下近似算子和模糊上近似算子, 當時, 則稱關于是有意義的, 否則稱為粗糙集. </p><p>　　特別地, 若為一個經(jīng)典二元關系, 且為一個模糊集, 那么容易證明</p><p><b>　　(3.2)</b></p><p>　　此時與都是到的集合算子, 分別稱之為模糊下近似算子

39、和模糊上近似算子, 當時, 稱關于是有意義的, 否則稱為粗糙集, 這里表示的近似空間是一個經(jīng)典近似空間.</p><p>　　若為模糊關系, 而當為經(jīng)典集時, 則有</p><p><b>　　(3.3)</b></p><p>　　此時與都是到的集合算子, 分別稱之為模糊上近似算子與模糊下近似算子, 當時, 稱關于是可定義的, 否則稱是粗糙集

40、, 這里表示被近似集為經(jīng)典集.</p><p>　　4粗糙模糊近似算子的經(jīng)典表示</p><p>　　定義4.1 集值映射稱之為集合套, 若,</p><p><b>　　.</b></p><p>　　若定義在上的全體值集合套記為, 那么顯然的, 則有以下定理.</p><p>　　引理4.1

41、 若, 定義函數(shù)如下:</p><p><b>　　,</b></p><p>　　其中是集合的特征函數(shù), 那么是一個同態(tài)滿射,并且具有以下性質:</p><p><b>　　(1) ,</b></p><p><b>　　(2) ,</b></p><p

42、><b>　　(3) ,</b></p><p><b>　　(4) .</b></p><p>　　4.1 模糊近似算子的經(jīng)典表示</p><p>　　設為一個經(jīng)典近似空間, 對于任意, 與, , 那么近似空間的上、下近似分別具有如下性質:</p><p><b>　　,<

43、/b></p><p><b>　　,</b></p><p><b>　　,</b></p><p><b>　　.</b></p><p>　　引理4.2 設是一個經(jīng)典近似空間, , 則集合族, , , 都是上的值集合套.</p><p>　

44、　定理4.1 設為一個經(jīng)典近似空間, , 則</p><p><b>　　(1) ,</b></p><p><b>　　(2) ,</b></p><p><b>　　(3) ,</b></p><p><b>　　(4) .</b></p>

45、;<p><b>　　證明 (1) ,</b></p><p><b>　　.</b></p><p><b>　　因此</b></p><p><b>　　.</b></p><p><b>　　從而</b><

46、/p><p><b>　　.</b></p><p><b>　　所以(1)得證.</b></p><p><b>　　(2) ,</b></p><p><b>　　.</b></p><p><b>　　因此</b&

47、gt;</p><p><b>　　.</b></p><p><b>　　與之相同的有</b></p><p><b>　　.</b></p><p><b>　　所以(2)得證.</b></p><p>　　由引理4.1和結論(

48、1)和(2)證得(3)和(4).</p><p>　　4.2 模糊近似算子的經(jīng)典表示</p><p>　　設是任意的模糊近似空間, 即是從到上的任意的二元模糊關系, 則與是從到上的任意的二元經(jīng)典關系, 于是與為經(jīng)典近似空間. , 對應近似空間與的上近似和下近似分別定義為:</p><p><b>　　,</b></p><

49、p><b>　　,</b></p><p><b>　　,</b></p><p><b>　　.</b></p><p><b>　　其中, .</b></p><p>　　引理4.3 設是到上任意的二元模糊關系, 與,</p>&l

50、t;p><b>　　(1) ,</b></p><p><b>　　(2) ,</b></p><p><b>　　(3) ,</b></p><p><b>　　(4) .</b></p><p>　　定理4.2 設為任意的模糊近似空間, , 則

51、</p><p><b>　　(1) ,</b></p><p><b>　　(2) ,</b></p><p><b>　　(3) ,</b></p><p><b>　　(4) .</b></p><p>　　證明 (1) 和

52、, 可以容易地得到對, 要么為1, 要么為0, 因此</p><p><b>　　.</b></p><p><b>　　故</b></p><p><b>　　.</b></p><p><b>　　同理可證</b></p><p&g

53、t;<b>　　.</b></p><p><b>　　(2) 由于</b></p><p><b>　　.</b></p><p><b>　　故</b></p><p><b>　　.</b></p><p&g

54、t;<b>　　同理可證</b></p><p><b>　　.</b></p><p>　　(3)和(4)由結論(1)、(2)引理4.1和引理4.4即得.</p><p>　　4.3 模糊近似算子的經(jīng)典表示</p><p>　　設為任意的模糊近似空間, 即是從到上任意的二元模糊關系, 則對, 由

55、可以得到兩個二元經(jīng)典關系與, 進一步可以得到兩個經(jīng)典一般近似空間與, 此外和, 由可以導出經(jīng)典集與, 從而與分別對應近似空間與都具有上近似和下近似, 即:</p><p><b>　　,</b></p><p><b>　　,</b></p><p><b>　　,</b></p>&l

56、t;p><b>　　,</b></p><p><b>　　,</b></p><p><b>　　,</b></p><p><b>　　,</b></p><p><b>　　.</b></p><p&g

57、t;　　引理4.4 如果是從到上的二元模糊關系, , 則</p><p><b>　　(1) ,</b></p><p><b>　　(2) ,</b></p><p><b>　　(3) ,</b></p><p><b>　　(4) .</b><

58、;/p><p>　　引理4.5 如果是從到上的二元模糊關系, 對于任意, 那么下面的八個集合類都組成了上面的集合套: , , , , , , , .</p><p>　　定理4.3 設是任意的模糊近似空間, , 則</p><p><b>　　(1) </b></p><p><b>　　;</b>

59、</p><p><b>　　(2) </b></p><p><b>　　;</b></p><p><b>　　(3) ;</b></p><p><b>　　(4) ;</b></p><p><b>　　(5) ;

60、</b></p><p><b>　　(6) .</b></p><p>　　證明 和, 可以得到對要么為, 要么為, 因此</p><p><b>　　.</b></p><p><b>　　故</b></p><p><b>

61、　　.</b></p><p><b>　　與之相同地可以證得</b></p><p><b>　　.</b></p><p><b>　　又由于對于任意有</b></p><p><b>　　.</b></p><p>

62、;<b>　　故</b></p><p><b>　　.</b></p><p><b>　　與之相同地可以證得</b></p><p><b>　　.</b></p><p>　　5 模糊近似算子的性質</p><p>　　定理5

63、.1 若是任意的從到的一個二元模糊關系, 則模糊近似算子具有以下性質: , ,</p><p>　　; ;</p><p>　　; ;</p><p><b>　　; ;</b></p><p><b>　　; ;</b></p>

64、<p><b>　　; .</b></p><p>　　證明 利用定理4.1和引理4.2得</p><p><b>　　.</b></p><p>　　即性質成立. 性質可以有性質直接導出.</p><p><b>　　由于有</b></p>

65、<p><b>　　.</b></p><p>　　因此性質成立. 與之相似地能夠得證性質. </p><p>　　由定理4.2可知, 我們有</p><p><b>　　,</b></p><p>　　故性質成立. 結合性質和對偶性質與就能證得性質成立.</p><p

66、><b>　　由于</b></p><p><b>　　, ,</b></p><p><b>　　, .</b></p><p>　　所以根據(jù)近似算子的表達定理與對偶性質與即得性質與.</p><p>　　性質與能夠直接根據(jù)性質與推得.</p>

67、;<p>　　與性質與對應的是下列性質與, 它們可由性質與直接推得,</p><p>　　; </p><p><b>　　.</b></p><p>　　引理5.1 設是從到上的一個模糊關系, 則</p><p>　　(1) , ;</p><p>　

68、　(2) , ;</p><p>　　(3) , ;</p><p>　　(4) , .</p><p>　　其中和分別是單點集的特征函數(shù)和集合的特征函數(shù).</p><p>　　定理5.2 設是從到上的任意一個二元模糊關系, 則為區(qū)間模糊關系, 當且僅當以下性質有一個成立即可:</p><p>&l

69、t;b>　　(1) ;</b></p><p><b>　　(2) ;</b></p><p><b>　　(3) , .</b></p><p>　　證明 首先根據(jù)對偶性質與能夠證得(1)等價于(2).</p><p><b>　　然后再證,</b>&l

70、t;/p><p><b>　　為區(qū)間模糊關系.</b></p><p>　　事實上, 由引理5.2中(3)可得, , , 從而</p><p><b>　　為區(qū)間模糊關系使</b></p><p><b>　　.</b></p><p><b>　

71、　最后再證</b></p><p>　　為區(qū)間模糊關系, .</p><p>　　假設為區(qū)間模糊關系, 根據(jù)近似算子的表達定理只要證明,</p><p>　　. (5.1)</p><p>　　設, 根據(jù)下近似的性質可得, 進而, 即</p><p>

72、;　　. (5.2)</p><p>　　因為為區(qū)間模糊關系, 從而存在使, 此時, 即. 另一方面, 由(5.2)式知, , 于是, 這樣就得到了, 根據(jù)上近似的性質可得, 即得(5.1)式, 因此(3)得證.</p><p>　　反之, 假設(3)成立, 則取. 由引理5.1中的(3)和性質得</p><p>&l

73、t;b>　　,</b></p><p><b>　　即為區(qū)間模糊關系.</b></p><p>　　定理5.3 設是上的任意的模糊關系, 則為自反模糊關系, 當且僅當以下性質有一個成立即可:</p><p><b>　　, ;</b></p><p><b>　　,

74、 .</b></p><p>　　證明 首先根據(jù)對偶性質與易證性質與為等價關系. 那么只要證明的自反性與性質是等價關系.</p><p>　　若為自反模糊關系, 則與任何定值, 記, 顯然. 由于自反, 所以根據(jù)引理3.1知, 為自反的二元經(jīng)典關系, 這樣, 從而, 即. 又由定理4.2知, 于是, 即, 即證性質成立.</p><p>　　反之, 若

75、成立, 則, 令, 由引理5.1與假設我們可以得到, 因此, 即證為自反的.</p><p>　　定理5.4 設是上任意的模糊關系, 則為對稱模糊關系, 當且僅當以下性質有一個成立:</p><p><b>　　, ;</b></p><p><b>　　, .</b></p><p>

76、　　定理5.5 設是上任意的模糊關系, 則為傳遞模糊關系, 當且僅當以下性質有一個成立即可:</p><p><b>　　, ;</b></p><p><b>　　, .</b></p><p>　　證明 首先, 可以根據(jù)對偶性質與直接驗證性質等價于. 所以只要證得的傳遞性與性質是等價關系即可.</p>

77、;<p>　　若為傳遞模糊關系, 由定理4.2可得</p><p><b>　　,</b></p><p><b>　　從而,</b></p><p>　　. (5.3)</p><p>　　綜合(5.3)式、定理4.2和性質得</

78、p><p><b>　　,</b></p><p><b>　　因此性質成立.</b></p><p>　　反之, 假設性質成立. 對任意, 任取使?jié)M足, 且. 那么一方面, </p><p>　　. (5.4)</p><p><

79、;b>　　另一方面,</b></p><p><b>　　(5.5)</b></p><p><b>　　,</b></p><p>　　由(5.4)式與(5.5)式得, 即證為傳遞的.</p><p>　　定理5.6 設是上任意的模糊關系, 則為等價模糊關系, 當且僅當模糊下近

80、似算子符合性質或等價地模糊上近似算子符合性質.</p><p>　　定理5.7 若是上的一個傳遞與自反模糊關系, 則具有以下性質:</p><p><b>　　, ;</b></p><p><b>　　, .</b></p><p>　　證明 首先, 根據(jù)對偶性質與直接驗證性質等價于, 所

81、以只要證得性質成立. 事實上, 由于自反, 由定理5.3得, 再根據(jù)定理5.1的性質可得, 進而結合定理5.5便得性質.</p><p>　　例5.1 令, 設上任意的模糊關系所對應模糊集值函數(shù)定義為:</p><p><b>　　,</b></p><p><b>　　,</b></p><p>

82、;<b>　　.</b></p><p>　　顯然的, 為對稱模糊關系. 令, 那么能夠證明</p><p><b>　　,</b></p><p><b>　　.</b></p><p>　　所以不成立, 根據(jù)模糊近似算的對偶性得亦不成立.</p><p&

83、gt;　　定理5.8 若是上任意的自反模糊關系, 則具有以下性質:</p><p><b>　　, ;</b></p><p><b>　　, ;</b></p><p><b>　　, .</b></p><p>　　證明 (1) 由題可知</p>

84、<p><b>　　.</b></p><p>　　又由于為自反的, 因此, 也為自反的, 于是, 有, 即. 因此, 有</p><p><b>　　.</b></p><p>　　性質由性質與近似算子的對偶性可證得.</p><p>　　(2) 假設. 顯然的, . 又由于是自反的,

85、 所以根據(jù)性質和定理4.2得</p><p><b>　　,</b></p><p><b>　　于是</b></p><p><b>　　.</b></p><p><b>　　即證性質成立.</b></p><p>　　(3)

86、性質可由性質與近似算子的對偶性得證.6小結</p><p>　　粗糙集理論是一種研究不完整、不確定知識處理的數(shù)學工具, 近幾年來在機器學習、知識發(fā)現(xiàn)、算法研究、工程應用、決策支持系統(tǒng)以及模式識別等應用中取得了較好的成果. 本文主要研究了模糊環(huán)境下粗糙近似算子的經(jīng)典表示. 首先, 回顧了粗糙集理論的基本概念, 包括知識和知識庫, 不確定范疇, 近似與粗糙集, 知識約簡, 知識表達系統(tǒng), 模糊集合的分解定理和集合套等

87、等. 其次, 給出經(jīng)典環(huán)境粗糙近似算子的定義及其性質, 并進一步研究了近似空間與近似算子. 并進一步引進模糊環(huán)境下粗糙近似算子的概念. 最后, 通過模糊集的表示定理給出模糊環(huán)境下粗糙近似算子的經(jīng)典表示, 最后給出模糊環(huán)境下粗糙近似算子的一些重要性質. </p><p><b>　　參考文獻</b></p><p>　　Pawlak Z. Rough sets [J].

88、 International Journal of Computer and Information Sciences, 1982, 11(5): 341~356.</p><p>　　Pawlak Z. Rough Sets—Theoretical Aspects of Reasoning about Data [M]. Boston: Kluwer Academic Publishers, 1991.<

89、/p><p>　　王國胤, 姚一豫, 于洪. 粗糙集與應用研究綜述 [J]. 計算機學報, 2009, 32(7): 1229~1231.</p><p>　　Chan C C. A rough set approach to attribute generalization in datamining [J]. Journal of Information Sciences, 1998, 1

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93、<p>　　張文修, 吳偉志, 梁吉業(yè)等. 粗糙集理論與方法 [M]. 北京: 科學出版社, 2001.</p><p>　　Zhang W P. On a problem of Lehmer D H and its generalization [J]. Composito Mathematica, 1993, 86 :307～316.</p><p>　　Dubois D,

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95、 Knowledge Discovery: Methodology and Applications. Heidelberg: Physica-Verlag, 1998: 286～ 318.</p><p>　　張文修, 王國俊, 劉旺金, 方錦暄. 模糊數(shù)學引論 [M] . 西安: 西安交通大學出版社, 1996.</p><p><b>　　致謝</b></

96、p><p>　　本人在撰寫論文的過程中, 得到了許多老師和同學的熱心幫助. 這次論文的成功撰寫, 凝結了我四年大學生涯的心血. 感謝所有傳授我知識的老師, 感謝所有關心過我, 幫助過我的恩師們. 這里, 我要特別感謝吳老師和徐老師對我的悉心指導和嚴格要求, 使我完成了論文的研究工作, 提高了論文的寫作水平和研究問題的能力. 此外, 吳老師和徐老師詳盡的審閱了論文初稿, 給我提出了寶貴的修改意見, 對英文翻譯也進行了逐