幾類常微分方程的典型解法[開(kāi)題報(bào)告]

1、<p><b>　　畢業(yè)論文開(kāi)題報(bào)告</b></p><p><b>　　數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)</b></p><p>　　幾類常微分方程的典型解法</p><p>　　一、選題的背景、意義(所選課題的歷史背景、國(guó)內(nèi)外研究現(xiàn)狀和發(fā)展趨勢(shì))</p><p>　　常微分方程,是一個(gè)有長(zhǎng)期歷史,而又正

2、在不斷發(fā)展的學(xué)科;是一個(gè)既有理論研究意義,又有實(shí)際應(yīng)用價(jià)值的學(xué)科;是一個(gè)既得力于其他數(shù)學(xué)分支的支持,又為其他數(shù)學(xué)分支服務(wù)的學(xué)科,是一個(gè)表現(xiàn)客觀自然規(guī)律的工具學(xué)科,又是一個(gè)數(shù)學(xué)可以為實(shí)際服務(wù)的學(xué)科.</p><p>　　當(dāng)牛頓、萊布尼茲創(chuàng)立了微積分以后,數(shù)學(xué)家便開(kāi)始謀求用微積分這一有力的工具區(qū)解決愈來(lái)愈多的物理問(wèn)題,但他們很快發(fā)現(xiàn)不得不去對(duì)付一類新的更復(fù)雜的問(wèn)題,這類問(wèn)題不能通過(guò)簡(jiǎn)單的積分解決,要解決這類問(wèn)題需要專

3、門(mén)的技術(shù),這樣,微分方程這門(mén)學(xué)科就應(yīng)運(yùn)而生了.</p><p>　　常微分方程是17世紀(jì)與微積分同時(shí)誕生的一門(mén)理論性極強(qiáng)且應(yīng)用廣泛的數(shù)學(xué)學(xué)科之一.文獻(xiàn)一中提到,常微分的發(fā)展主要可以分為四個(gè)階段: 常微分的經(jīng)典階段--以通解為主要研究?jī)?nèi)容、常微分方程的適定性理論階段--以定解問(wèn)題的適定性理論為研究?jī)?nèi)容、常微分方程的解析理論階段--以解析理論為研究?jī)?nèi)容、常微分方程的定性理論階段--以定性與穩(wěn)定性理論為研究?jī)?nèi)容.<

4、;/p><p>　　微分方程的發(fā)展初期是對(duì)具體的常微分方程希望能用初等函數(shù)或超越函數(shù)表示其解,屬于“求通解”時(shí)代.萊布尼茲(Leibniz)曾專門(mén)研究利用變量變換解決一階微分方程的求解問(wèn)題,而歐拉(Euler)則試圖用積分因子統(tǒng)一處理,伯努利(Bernoulli)、里卡蒂(Riccati)微分方程就是在研究初等積分時(shí)提出后人們以他們的名字命名的方程.早期的常微分方程的求解熱潮被劉維爾(Liouville)于1841年

5、證明里卡蒂方程不存在一般的初等解而中斷.加上柯西(Cauchy)初值問(wèn)題的提出,常微分方程從“求通解”轉(zhuǎn)向“適定性理論”階段.19世紀(jì)20年代,他建立了柯西問(wèn)題解的存在唯一性定理.1873年,德國(guó)數(shù)學(xué)家李普希茲(Rudolph Lipschitz.1832-1903)提出著名的”李普希茲條件”,對(duì)柯西的存在唯一性定理做了改進(jìn).在適定性理論的研究中,與柯西、李普希茲同一時(shí)期的還有皮亞拿跟皮卡,他們先后于1875年和1876年給出常微分方程

6、的逐次逼近法,皮亞拿在僅僅要求在點(diǎn)領(lǐng)域連續(xù)的條件下證明了柯西問(wèn)題解的存在性.后來(lái)這方面的理論有了很大的發(fā)展,這些基本理論包括:解的存在及唯一解,延展性,解的唯一</p><p>　　常微分方程的形成于發(fā)展是與力學(xué)、天文學(xué)、物理學(xué)及其他自然科學(xué)技術(shù)的發(fā)展相互促進(jìn)和相互推動(dòng)的.數(shù)學(xué)的其他分支的新發(fā)展如復(fù)變函數(shù)、組合拓?fù)鋵W(xué)等都給常微分方程的發(fā)展已深刻地影響.當(dāng)前計(jì)算機(jī)的發(fā)展為常微分方程的應(yīng)用及理論研究提供了非常有力的工

7、具.現(xiàn)在,常微分方程在很多學(xué)科領(lǐng)域內(nèi)有著重要的應(yīng)用,自動(dòng)控制、各種電子學(xué)裝置的設(shè)計(jì)、彈道的計(jì)算、飛機(jī)和導(dǎo)彈飛行的穩(wěn)定性的研究、化學(xué)反應(yīng)過(guò)程穩(wěn)定性的研究等.這些問(wèn)題都可以化為求常微分方程的解,或者化為研究解的性質(zhì)的問(wèn)題.但是,數(shù)學(xué)家發(fā)現(xiàn),不是所有的微分方程的通解都能求出,從以前的“求通解”到“求解定解問(wèn)題”的轉(zhuǎn)變,所以能求出問(wèn)分方程的解是十分重要的.本文主要總結(jié)了幾種常微分方程的典型解法及其相關(guān)應(yīng)用.</p><p&g

8、t;　　二、研究的基本內(nèi)容與擬解決的主要問(wèn)題</p><p>　　本文研究的基本內(nèi)容為:</p><p>　　緒論,主要包括常微分方程的背景、由來(lái)以及發(fā)展動(dòng)態(tài).</p><p>　　幾類常微分方程的一般解法,主要內(nèi)容有常微分方程的基本概念、變量分離法、變量代換法、常數(shù)變易法.</p><p>　　幾類常微分方程的特殊解法,主要是介紹湊全微分法

9、、積分因子法.</p><p>　　幾類解法的應(yīng)用,主要是應(yīng)用前面的幾類解法來(lái)求解伯努利方程.</p><p>　　常微分方程是17世紀(jì)與微積分同時(shí)誕生的一門(mén)理論性極強(qiáng)且應(yīng)用廣泛的數(shù)學(xué)學(xué)科之一.20世紀(jì)以來(lái),隨著大量的邊緣學(xué)科諸如電磁流體力學(xué)、化學(xué)流體力學(xué)、動(dòng)力氣象學(xué)、海洋動(dòng)力學(xué)、地下水動(dòng)力學(xué)等的產(chǎn)生和發(fā)展,出現(xiàn)不少新型的微分方程.70年代隨著數(shù)學(xué)向化學(xué)和生物學(xué)的滲透,出現(xiàn)了大量的反應(yīng)擴(kuò)散

10、方程.現(xiàn)在微分方程已經(jīng)在各個(gè)方面的應(yīng)用越來(lái)越廣泛.后來(lái)數(shù)學(xué)家們發(fā)現(xiàn)微分方程有無(wú)窮多個(gè)解,但發(fā)覺(jué)不是所有的微分方程的通解都能求解出來(lái).從以前的“求通解”到“求定解問(wèn)題”的轉(zhuǎn)變,所以能求出微分方程的解是十分重要的.所以,本文通過(guò)總結(jié)幾類常微分方程的典型解法,來(lái)加深對(duì)其的了解.</p><p>　　通過(guò)查閱文獻(xiàn),了解常微分方程歷史背景、發(fā)展現(xiàn)狀,同時(shí),在了解常微分方程的定義及其基本解法的基礎(chǔ)上,總結(jié)出幾類常微分方程的典

11、型解法.并且將這幾種典型解法應(yīng)用于求解伯努利方程之中.</p><p>　　三、研究的方法與技術(shù)路線、研究難點(diǎn),預(yù)期達(dá)到的目標(biāo)</p><p>　　一、本課題的研究以綜述法為主,采用的技術(shù)路線是:首先在大量閱讀文獻(xiàn)的基礎(chǔ)上,了解常微分方程的歷史背景、發(fā)展動(dòng)態(tài)、研究意義.然后在了解常微分方程的定義及其基本解法的基礎(chǔ)上,總結(jié)歸納出幾種典型解法,掌握它們的特點(diǎn),并將它們應(yīng)用到伯努利方程的求解當(dāng)中

12、.</p><p>　　二、研究的主要難點(diǎn)是在幾種典型解法的歸納總結(jié)以及將他們應(yīng)用于伯努利方程的求解.</p><p>　　三、預(yù)期達(dá)到的目標(biāo),通過(guò)本課題的研究,總結(jié)歸納出前人研究所得的成果,總結(jié)出幾種比較典型的解法,形成自己的觀點(diǎn)和認(rèn)識(shí).并將這些典型解法應(yīng)用于伯努利方程的求解當(dāng)中,鞏固對(duì)這些解法的理解.</p><p>　　四、論文詳細(xì)工作進(jìn)度和安排</p&

13、gt;<p>　?。ㄒ唬┑谄邔W(xué)期第9-10周:</p><p>　　確定論文題目;開(kāi)始查閱文獻(xiàn)資料,收集各種紙質(zhì)、電子文件信息、材料并對(duì)其進(jìn)行加工整理,形成系統(tǒng)材料;確定外文翻譯資料;</p><p>　　（二）第七學(xué)期第11-12周:</p><p>　　收集常微分方程求解的相關(guān)資料,仔細(xì)研讀,分析資料,完成外文翻譯;</p><

14、p>　?。ㄈ┑谄邔W(xué)期第13-17周:</p><p>　　認(rèn)真閱讀文獻(xiàn)資料,加以歸納總結(jié),深入了解常微分方程的典型解法,完成文獻(xiàn)綜述及開(kāi)題報(bào)告; </p><p>　?。ㄋ模┑谄邔W(xué)期第18周:</p><p>　　完成網(wǎng)上確認(rèn);上傳外文翻譯,文獻(xiàn)綜述、開(kāi)題報(bào)告. </p><p><b>　　（五）寒假期間:</b&g

15、t;</p><p>　　全面開(kāi)展課題研究,按照研究方案和路線撰寫(xiě)論文,對(duì)常微分方程的典型解法做具體的分析、總結(jié)及相關(guān)應(yīng)用,完成論文初稿;</p><p>　?。┑诎藢W(xué)期第1-3周:</p><p>　　修改論文初稿,繼續(xù)完善論文初稿,把常微分方程的典型解法做詳細(xì)整理,對(duì)常微分方程的解法進(jìn)行相關(guān)應(yīng)用,完成研究任務(wù),并確定進(jìn)入實(shí)習(xí)階段;</p>&l

16、t;p>　?。ㄆ撸┑诎藢W(xué)期第4-10周:</p><p>　　進(jìn)入實(shí)習(xí)單位進(jìn)行畢業(yè)實(shí)習(xí),對(duì)論文再次進(jìn)行修改;</p><p>　?。ò耍┑诎藢W(xué)期第11周:</p><p>　　完成畢業(yè)實(shí)習(xí)返校,并遞交畢業(yè)實(shí)習(xí)報(bào)告;</p><p>　　（九）第八學(xué)期第12-14周:</p><p>　　對(duì)論文進(jìn)一步修改,并定稿;

17、</p><p>　?。ㄊ┑诎藢W(xué)期第15-16周:</p><p>　　準(zhǔn)備并完成畢業(yè)答辯.</p><p><b>　　五、主要參考文獻(xiàn):</b></p><p>　　[1] 張良勇,董曉芳.常微分方程的起源與發(fā)展[J].高等函授學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版).2006,20(3):34-39.</p><p

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