數(shù)值分析常微分方程的數(shù)值解法

1、《計算機數(shù)學(xué)基礎(chǔ)（2）》教學(xué)輔導(dǎo)51《計算機數(shù)學(xué)基礎(chǔ)》數(shù)值部分第五單元輔導(dǎo)14常微分方程的數(shù)值解法一、重點內(nèi)容一、重點內(nèi)容1.歐拉公式：)...()()(???????????????????nkkhxxyxhfyyxykkkkkk局部截斷誤差是O(h2)。2.改進(jìn)歐拉公式：預(yù)報－校正公式：??????????????)]()([2)(1111kkkkkkkkkkyxfyxfhyyyxhfyy校正值預(yù)報值即))](()([211kkkk

2、kkkkyxhfyxfyxfhyy??????或表成平均的形式：?????????????????????)()()(cpkpkkckkkpyyyyxhfyyyxhfyy改進(jìn)歐拉法的局部截斷誤差是O(h3)3.龍格－庫塔法二階龍格－庫塔法的局部截斷誤差是O(h3)三階龍格－庫塔法的局部截斷誤差是O(h4)四階龍格?庫塔法公式：)22(643211??????????hyykk其中?1=f(xkyk)；?2=f(xn12h，ykh?1)；

3、?3=f(xk12h，ynh?2)；?4=f(xkh，ykh?3)????四階龍格－庫塔法的局部截斷誤差是O(h5)。二、實例二、實例例1用歐拉法解初值問題，取步長h=0.2。計算過程保????????????????)().(yxxyyy留4位小數(shù)。解h=0.2f(x)=－y－xy2。首先建立歐拉迭代格式))((.)(?????????????????kyxyyhxhyyyxhfyykkkkkkkkkkk當(dāng)k=0，x1=0.2時，已知

4、x0=0y0=1，有《計算機數(shù)學(xué)基礎(chǔ)（2）》教學(xué)輔導(dǎo)53)1...210(5494.02016.1))578.1208.4()37.232.6(2)1.26.5(238(62.01??????????????nkyyyyyyykkkkkkk當(dāng)x0=0y0==2??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????......).(...

5、..).(yyyyyy例4設(shè)初值問題，證明用梯形公式求解該問題的近似解為???????)(yyynnhhy???????????證明證明解初值問題的梯形公式為(k=012…n－1))]()([2111??????kkkkkkyxfyxfhyyyyxf??)(?][211???????kkkkyyhyy整理成顯式(k=012…n－1)kkyhhy??????????221用k=nn－1n－2…10反復(fù)代入上式，得到012312122...

6、222222yhhyhhyhhyhhynnnnn?????????????????????????????????????????nnhhyy????????????????例5選擇填空題：1.取步長h=0.1用歐拉法求解初值問題的計算公式是????????????)(yyxyy答案答案：11...210])1.01(1.01.1[021???????ynkkyykk解答解答：歐拉法的公式)...()()(???????????????

7、????nkkhxxyxhfyyxykkkkkk此處，迭代公式為yxyyxf???)(??????????????????????????????ykkyykyyykkkkk...)).(..()).((.2.改進(jìn)歐拉法的平均形式公式是()(A)(B)???????????????????)()()(cpkpkkckkkpyyyyxhfyyyxhfyy???????????????????????)()()(cpkpkkckkkpyyy