線性系統(tǒng)理論大作業(yè)

1、,汽車機器人建模,組員：魯沖 劉芷倩 賈末 劉曉東指導老師：蔡林沁,線控,目 錄CONTENTS,數(shù)學建模(魯沖),能控性能觀性(劉芷倩),穩(wěn)定性(劉芷倩),極點配置(賈末),狀態(tài)觀測器(劉曉東),,數(shù)學建模(魯沖),運動學模型自然坐標系下模型具體數(shù)學模型,運動學模型,L --前后輪間距離;,為車體航向角;,--后輪中心點M 距X 軸距離;,--后輪中心點M 距Y軸距離;,--兩前輪中心點的速度;,--兩后輪中心M點的速度;,-

2、-前輪轉(zhuǎn)向角;,運動學模型,基本方程：,增補方程：,自然坐標系下模型,原點: 在被跟蹤軌線上的某一被測到的點X 軸: 按右手定則垂直X 軸Y 軸: 與過該被測點的切線重合,正方向與車體正方向相同,基本方程：,將上頁(1)式子代入(3)(4)式,并去掉y(t),得到：,具體狀態(tài)空間模型,取狀態(tài)變量：,輸入為：前輪加速度 前輪轉(zhuǎn)角角速度,輸出為：后輪中心點M 距X 軸距離 前輪速度 方向盤

3、角度,狀態(tài)空間表達:,具體狀態(tài)空間模型,在工作點：,具體狀態(tài)空間表達:,代入?yún)?shù)：,線性化,,能控性能觀性(劉芷倩),秩判據(jù)PHB 判據(jù)約當規(guī)范形判據(jù),2.1 能控性判別方法,秩判據(jù),對n維連續(xù)時間線性時不變系統(tǒng)，構成能控性判別矩陣：,則系統(tǒng)完全能控的充分必要條件為：,Q 𝑐 =[𝐵?𝐴𝐵??? 𝐴 𝑛?1 𝐵,w

4、903;𝑎𝑛𝑘 Q 𝑐 =𝑟𝑎𝑛𝑘[𝐵?𝐴𝐵??? 𝐴 𝑛?1 𝐵]=𝑛,PHB判據(jù),對n維連續(xù)時間線性時不變系統(tǒng)，完全能控的充分必要條件為：,𝑟𝑎𝑛&

5、#119896;[𝑠𝐼?𝐴,𝐵]=𝑛,?𝑠∈?,或,𝑟𝑎𝑛𝑘[ 𝜆 𝑖 𝐼?𝐴,𝐵]=𝑛,𝑖=1,2,?,𝑛,其中， 為復頻域，

6、 為系統(tǒng)特征值。,?,𝜆 𝑖 (𝑖=1,2,?,𝑛,2.1 能控性判別方法,約當規(guī)范形判據(jù),對n維連續(xù)時間線性時不變系統(tǒng)，設n個特征值為 為兩兩相異，則系統(tǒng)完全能控的充分必要條件為，對狀態(tài)方程,𝜆 1 , 𝜆 2 ,?, 𝜆 ⻕

7、9;,𝑥 =𝐴𝑥+𝑏𝑢,𝑥(0)= 𝑥 0 ,𝑡≥0,通過線性非奇異變換導出的約當規(guī)范形：,𝑥 = 𝜆 1 0 0 0 0 𝜆 2 0 0 0 0 ? 0 0 0 0 𝜆 𝑛 𝑥 + ⻒

8、1; 𝑢,矩陣 不包含零行向量，即 的各個行向量滿足：,𝐵,𝐵,𝑏 𝑖 ≠0,𝑖=1,2,?,𝑛,2.2 能控性,MATLAB源代碼：,2.2 能控性,MATLAB代碼運行結果：,該系統(tǒng)是可控的。,2.2 能控性（極點配置后）,MATLAB源代碼：,2.2 能控性（極點配置后）,MATLAB代碼運行結果：,該系

9、統(tǒng)是可控的。,2.4 能觀性,MATLAB源代碼：,2.4 能觀性,MATLAB代碼運行結果：,該系統(tǒng)是可觀的。,2.4 能觀性（極點配置后）,MATLAB源代碼：,2.4 能觀性（極點配置后）,MATLAB代碼運行結果：,該系統(tǒng)是可觀的。,,穩(wěn)定性(劉芷倩),特征值判據(jù)李雅普羅夫判據(jù),3.1 穩(wěn)定性判據(jù),特征值判據(jù),,對n維連續(xù)時間線性時不變系統(tǒng)，原點平衡狀態(tài)即 是李雅普羅夫意義下穩(wěn)定的充分必要條件為，矩陣A的

10、特征值均為具有非正實部即實部為零或負，且零實部特征值只能為A的最小多相式的單根。,𝑥=0,李雅普羅夫判據(jù),對n維連續(xù)時間線性時不變系統(tǒng)，原點平衡狀態(tài)即 是漸進穩(wěn)定的充分必要條件為，對任給一個 正定矩陣Q，李雅普羅夫方程：,𝑥=0,𝑛×𝑛,𝐴 𝑇 𝑃+𝑃

11、9860;=?𝑄,有唯一 正定對稱解陣P。,𝑛×𝑛,3.2 穩(wěn)定性,MATLAB源代碼：,3.3 穩(wěn)定性,MATLAB代碼運行結果：,可得該系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。,,極點配置(賈末),極點配置概念MATLAB源代碼,極點配置概念,通過比例環(huán)節(jié)的反饋把定常線性系統(tǒng)的極點移置到預定位置的一種綜合原理。極點配置的實質(zhì)是用比例反饋去改變原系統(tǒng)的自由運動模式，以滿足設計規(guī)

12、定的性能要求。傳統(tǒng)的輸出反饋方法雖然也能改變系統(tǒng)極點的位置，但有很大的局限性。對于單輸入單輸出情況，輸出反饋只能使極點在根軌跡曲線上變動，而不能把它們移到其他位置上去（見根軌跡法）。采用狀態(tài)反饋方法可以實現(xiàn)極點的任意配置。,請?zhí)鎿Q文字內(nèi)容,極點配置,請?zhí)鎿Q文字內(nèi)容,極點配置,𝑥 =𝐴𝑥+𝐵𝑢 𝑦=𝐶𝑥+

13、19863;𝑢,狀態(tài)空間描述為：,假定進入受控系統(tǒng)的信號為：,𝑢=𝑟?𝐾𝑥,則可將系統(tǒng)的閉環(huán)系統(tǒng)的狀態(tài)方程寫成：,𝑥=(𝐴?𝐵𝐾)𝑥+𝐵𝑟 𝑦=(𝐶?𝐷𝐾)𝑥+

14、9863;𝑟,（K為狀態(tài)反饋矩陣）,極點配置算法：,Ackermann算法計算狀態(tài)反饋K矩陣：,𝐾=?[0,0,?,0,1] 𝑇 𝑐 ?1 𝛼(𝐴,其中， 為講A帶入到下式中得到的：,𝛼(𝐴,𝛼(𝑠)= 𝑖=1 𝑛 𝑠

15、? 𝜇 𝑖 )= 𝑠 𝑛 + 𝛼 1 𝑠 𝑛?1 + 𝛼 2 𝑠 𝑛?2 +?+ 𝛼 𝑛?1 𝑠+ 𝛼 𝑛,MATLAB中可以通過調(diào)用acker()函數(shù)來實現(xiàn)Ackermann配置算法其基本調(diào)

16、用格式為：K=acker(A,B,P)。,其中A，B就是系統(tǒng)狀態(tài)方程描述的參考矩陣，P是希望的極點向量。,極點配置,MATLAB源代碼,。,請?zhí)鎿Q文字內(nèi)容,極點配置,MATLAB代碼運行結果：,極點配置階躍響應,MATLAB源代碼,請?zhí)鎿Q文字內(nèi)容,極點配置階躍響應,MATLAB代碼運行結果：(輸入1),。,請?zhí)鎿Q文字內(nèi)容,極點配置階躍響應,MATLAB代碼運行結果：（輸入2）,,狀態(tài)觀測器(劉曉東),狀態(tài)觀測器 帶狀態(tài)觀測器的

17、狀態(tài)反饋MATLAB源代碼,5.1 狀態(tài)觀測器,--觀測狀態(tài)變量,狀態(tài)觀測器：是基于輸出的測量和控制變量來估計狀態(tài)變量,誤差向量：,其中：,--權矩陣,用來修正觀測狀態(tài)變量,狀態(tài)觀測器的狀態(tài)空間表達：,狀態(tài)觀測器的典型結構,5.2 帶狀態(tài)觀測器的狀態(tài)反饋,化簡：將狀態(tài)反饋,寫成兩個子系統(tǒng)，分別由u和y驅(qū)動,帶有觀測器的狀態(tài)反饋控制結構,帶有觀測器的狀態(tài)反饋控制：,5.2 帶狀態(tài)觀測器的狀態(tài)反饋,G2(s)可寫成：,G1(s)可寫成：,

18、化簡過程1,化簡過程1：,5.2 帶狀態(tài)觀測器的狀態(tài)反饋,,從而,式中：L為觀測器向量； K為狀態(tài)反饋矩陣,化簡過程2,的狀態(tài)空間可寫為：,稱為基于觀測器的控制器,從而,圖中：,化簡過程2：,5.3 帶狀態(tài)觀測器的狀態(tài)反饋,Matlab代碼：,。,請?zhí)鎿Q文字內(nèi)容,5.3 帶狀態(tài)觀測器的狀態(tài)反饋,MATLAB代碼運行結果：,帶狀態(tài)觀測器的階躍響應,Matlab代碼：,。,請?zhí)鎿Q文字內(nèi)容,帶狀態(tài)觀測器的階躍響應,MA

19、TLAB代碼運行結果：（輸入1）,。,請?zhí)鎿Q文字內(nèi)容,帶狀態(tài)觀測器的階躍響應,MATLAB代碼運行結果：（輸入2）,5.4 兩者比較（階躍響應）,Matlab代碼：,請?zhí)鎿Q文字內(nèi)容,5.4 兩者比較（階躍響應）,MATLAB代碼運行結果：,,5.4 兩者比較（最小實現(xiàn)）,Matlab代碼：,請?zhí)鎿Q文字內(nèi)容,5.4 兩者比較（最小實現(xiàn)）,MATLAB代碼運行結果：,請?zhí)鎿Q文字內(nèi)容,5.4 兩者比較（最小實現(xiàn)）,MATLAB代碼運行結果：,

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