復變函數(shù)的積分-山東大學

1、第3章 復變函數(shù)的積分,§3.1 復變函數(shù)積分的概念和性質§3.2 柯西積分定理及其應用§3.3 柯西積分公式和解析函數(shù)的高階導數(shù) §3.4 解析函數(shù)與調和函數(shù)的關系,復習、引入,,,3.1 復變函數(shù)積分的概念和性質,一、 定義------化整為零,取零為整,,設在復平面C上有一條連接 及Z兩點的簡單曲線C。設f(z)=u(x,y)+iv(x,y)是在C上連續(xù)的函數(shù)。其中

2、u(x,y)及v(x,y)是f(z)的實部及虛部。,把曲線C用分點 分成n個更小的弧，在這里分點 在曲線C上,按從 到Z的次序排列的。,如果 是 到 的弧上任意一點，那么下列和式的極限(對任意分法和 的取法都存在且相同),記,與實函數(shù)中第二型線積分類比,C的參數(shù)方程,線積分,復積分,一個復積分的實質是兩個實二型線積分,二、積分存在的條件及其計算方法,1) C

3、為連續(xù)函數(shù)且是光滑(或按段光滑)曲線時，積分是一定存在的。,,3)化為參變量的定積分來計算。,2)可以通過兩個二元實變函數(shù)的積分來計算。,,,,,,,,,,,,,,,,例1 計算 其中 為以 為圓心， 為半徑的正向圓周, 為整數(shù).,三、積分的性質,,,,例2 計算 的值，其中 為沿從（0，0）到（1，0）的線段與從（1，0）到（1，1）的線段所連結成的折線。,,解 :,例3 計算

4、 的值，其中 為沿 從（0，0）到（1，1）的線段：,,解 :,,,,,,例4 計算 其中 為從原點到點 的直線段。,解 直線的方程可寫成,練習:對例4中的積分沿下列路徑計算 (1) 當C為從原點到(3,0),再從(3,0)到點(3,4)的折線; (2) 當C為從原點到(0,3