[學(xué)習(xí)]復(fù)變函數(shù)與積分變換

1、,復(fù)變函數(shù)與積分變換,第二節(jié) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,引言:,在十六世紀(jì)中葉，G. Cardano (1501-1576) 在研究一元二次,方程 時(shí)引進(jìn)了復(fù)數(shù)。他發(fā)現(xiàn)這個(gè)方程沒(méi)有根，并,把這個(gè)方程的兩個(gè)根形式地表為 。在當(dāng)時(shí)，,包括他自己在內(nèi)，誰(shuí)也弄不清這樣表示有什麼好處。事實(shí)上，,復(fù)數(shù)

2、被Cardano引入后，在很長(zhǎng)一段時(shí)間內(nèi)不被人們所理睬，并,被認(rèn)為是沒(méi)有意義的，不能接受的“虛數(shù)”。直到十七與十八世紀(jì)，,隨著微積分的產(chǎn)生與發(fā)展，情況才有好轉(zhuǎn)。特別是由于 L.Euler,的研究結(jié)果，復(fù)數(shù)終于起了重要的作用。例如大家所熟知的Euler,公式 揭示了復(fù)指數(shù)函數(shù)與三角函數(shù)之間的關(guān)系。,然而一直到威瑟爾( C.Wessel 挪威.1745-1818)和阿爾岡(

3、R.Argand,法國(guó).1768-1822）將復(fù)數(shù)用平面向量或點(diǎn)來(lái)表示，以及K.F.Gauss,(德國(guó)1777-1855)與漢密爾頓W.R.Hamilton (愛(ài)爾蘭1805-1865)定義,為一對(duì)有序?qū)崝?shù)后，才消除人們對(duì)復(fù)數(shù)真實(shí)性的長(zhǎng)久,疑慮，“復(fù)變函數(shù)”這一數(shù)學(xué)分支到此才順利地得到建立和發(fā)展。,,復(fù)數(shù),第二節(jié) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,,意大利醫(yī)生、數(shù)學(xué)家、占星術(shù)家。一般稱其英文拼法名字卡當(dāng)(Cardan)。

4、1501年9月24日生于帕維亞，1576年9月21日死于羅馬。早年學(xué)習(xí)古典文學(xué)、數(shù)學(xué)和星占學(xué)，后入帕維亞大學(xué)讀醫(yī)學(xué)，1526年獲醫(yī)學(xué)博士學(xué)位。1534年成為數(shù)學(xué)教師。1539年到米蘭醫(yī)學(xué)院任教，1543年成為帕維亞大學(xué)醫(yī)學(xué)教授。他在醫(yī)學(xué)上曾是聞名全歐的醫(yī)生，也是第一個(gè)記載斑疹傷寒病醫(yī)療方法的人。 　 在數(shù)學(xué)上以記載三次和四次代數(shù)方程的一般解法而著稱，發(fā)表在1545年出版的《大術(shù)》一書(shū)中。他說(shuō)明解法取自另一數(shù)學(xué)家塔爾塔利亞，并且一名

5、叫費(fèi)羅的人在 30年前已得知，但都沒(méi)有證明，他本人用幾何方法對(duì)三次方程求解公式進(jìn)行了證明。實(shí)際上塔爾塔利亞只告知了兩種特例情形，而卡爾達(dá)諾敘述的公式具有一般性，因此后人稱這一公式為「卡爾達(dá)諾公式」或「卡當(dāng)公式」。 　 書(shū)中還記載了他的學(xué)生費(fèi)拉里發(fā)現(xiàn)的四次代數(shù)方程的一般解法，還有代數(shù)基本定理和韋達(dá)定理的初級(jí)形式，解方程中虛根的使用等許多方程的基本理論。 　 他被譽(yù)為16世紀(jì)文藝復(fù)興時(shí)期人文主義的代表人物和百科全書(shū)式的學(xué)者，一生共寫(xiě)了

6、各種類(lèi)型論著200多種，內(nèi)容涉及力學(xué)、機(jī)械學(xué)、天文學(xué)、化學(xué)、生物學(xué)、密碼術(shù)、及占星術(shù)等等。,卡爾達(dá)諾（Cardano, Girolamo, 1501-1576）,第二節(jié) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,復(fù)變函數(shù)的理論和方法在數(shù)學(xué)，自然科學(xué)和工程技術(shù)中有著廣泛的應(yīng)用，是解決諸如流體力學(xué)，電磁學(xué)，熱學(xué)彈性理論中平面問(wèn)題的有力工具。,復(fù)變函數(shù)中的許多概念，理論和方法是實(shí)變函數(shù)在復(fù)數(shù)領(lǐng)域 的推廣和發(fā)展。,自變量為復(fù)數(shù)的函

7、數(shù)就是復(fù)變函數(shù), 它是本課程的研究對(duì)象.由于在中學(xué)階段已經(jīng)學(xué)過(guò)復(fù)數(shù)的概念和復(fù)數(shù)的運(yùn)算,第一章將在原有的基礎(chǔ)上作簡(jiǎn)要的復(fù)習(xí)和補(bǔ)充; 然后再介紹復(fù)平面上的區(qū)域以及復(fù)變函數(shù)的極限與連續(xù)性的概念, 為進(jìn)一步研究解析函數(shù)理論和方法奠定必要的基礎(chǔ).,第二節(jié) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,第一章 復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù),§1.1復(fù)數(shù)及其表示法,一對(duì)有序?qū)崝?shù)（ ）構(gòu)成一個(gè)復(fù)數(shù)，記為 .,x, y

8、分別稱為 Z 的實(shí)部和虛部, 記作x=Re(Z), y=Im(Z), .,稱為 Z 的共軛復(fù)數(shù)。,與實(shí)數(shù)不同, 一般說(shuō)來(lái), 任意兩個(gè)復(fù)數(shù)不能比較大小.,兩個(gè)復(fù)數(shù)相等,他們的實(shí)部和虛部都相等,特別地，,,第二節(jié) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,1.代數(shù)形式 :,復(fù)數(shù)的表示法,1)點(diǎn)表示：,第二節(jié) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,2) 向量表示：,----復(fù)數(shù)z的輻角(argument),記作

9、Arg z=q .,任何一個(gè)復(fù)數(shù)z?0有無(wú)窮多個(gè)幅角,將滿足,0,x,y,,,,,,,x,y,q,z=x+iy,|z|=r,----復(fù)數(shù)z的模,- <q0? 的q0 稱為Arg z的主值, 記作q0=arg z .則,Arg z=q0+2k =arg z +2k (k為任意整數(shù)),第二節(jié) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,當(dāng) z = 0 時(shí), | z | = 0, 而幅角不確定. arg z可由

10、下列關(guān)系確定:,說(shuō)明：當(dāng) z 在第二象限時(shí)，,第二節(jié) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,2. 指數(shù)形式與三角形式,利用直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)的關(guān)系: x = r cosq, y = r sinq,可以將z表示成三角表示式:,利用歐拉公式 e iq = cosq + i sinq 得指數(shù)表示式:,例1 將下列復(fù)數(shù)化為三角表示式與指數(shù)表示式.,[解],1),z在第三象限, 因此,因此,第二節(jié) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè)

11、返回 結(jié)束,2) 顯然, r = | z | = 1, 又,因此,練習(xí)：,寫(xiě)出 的輻角和它的指數(shù)形式。,解：,第二節(jié) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,§1.2 復(fù)數(shù)的運(yùn)算,設(shè),z1+z2=z2+z1 ; z1z2=z2z1 ；z1+(z2+z3)=(z1+z2)+z3)；z1(z2z3)=(z1z2)z3 ; z1(z2+z3)=z1z

12、2+z1z3,復(fù)數(shù)運(yùn)算滿足交換律,結(jié)合律和分配律:,1 . 四則運(yùn)算：,第二節(jié) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,,,,,,,,,加減法與平行四邊形法則的幾何意義:,乘、除法的幾何意義:,,,,,,,定理1 兩個(gè)復(fù)數(shù)乘積的模等于它們的模的乘積, 兩個(gè)復(fù) 數(shù)乘積的幅角等于它們幅角的和.,第二節(jié) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,等式 Arg(z1z2)=Arg z1+Ar

13、g z2,的意思是等式的兩 邊都是無(wú)限集合, 兩邊的集合相等, 即每給定等式左邊 的一個(gè)數(shù), 就有等式右邊的一個(gè)數(shù)與之對(duì)應(yīng), 反之亦然.,幾何上 z1z2 相當(dāng)于將 z2 的模擴(kuò)大 |z1| 倍并旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度Arg z1 .,,,0,,,1,,,,,,,,,,,,第二節(jié) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,例2：設(shè),求,解：,若取,則,若取,則,第二節(jié) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,;,按照乘積

14、的定義, 當(dāng)z1?0時(shí), 有,定理2 兩個(gè)復(fù)數(shù)的商的模等于它們的模的商, 兩個(gè)復(fù)數(shù) 的商的輻角等于被除數(shù)與除數(shù)的幅角之差.,第二節(jié) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,2 . 乘方與開(kāi)方運(yùn)算,1）乘方,De Moivre （棣摩佛）公式：,第二節(jié) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,2 ）開(kāi)方:,若滿足，,則稱w為z的n次方根，,記為,于是,推得,第二節(jié) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè)

15、 返回 結(jié)束,,從而,幾何解釋：z1/n的n個(gè)值就是以原點(diǎn)為中心, r1/n為半徑的圓 的內(nèi)接正n邊形的n個(gè)頂點(diǎn)。,例2 求,[解] 因?yàn)?所以,第二節(jié) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,即,注：四個(gè)根是內(nèi)接于中心在原點(diǎn)半徑為21/8的圓的正方形的四個(gè)頂點(diǎn).,第二節(jié) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,§1.3 復(fù)數(shù)形式的代數(shù)方程與平面幾何圖形,很多平面圖

16、形能用復(fù)數(shù)形式的方程(或不等式)來(lái)表示; 也可以由給定的復(fù)數(shù)形式的方程(或不等式)來(lái)確定 它所表示的平面圖形.,例3 將通過(guò)兩點(diǎn)z1=x1+iy1與z2=x2+iy2的直線用復(fù)數(shù)形式 的方程來(lái)表示. [解] ：通過(guò)點(diǎn)(x1,y1)與(x2,y2)的直線可用參數(shù)方程表示為,因此, 它的復(fù)數(shù)形式的參數(shù)方程為z=z1+t(z2-z1). (-?<t<+?),,第二節(jié) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返

17、回 結(jié)束,由此得知由z1到z2的直線段的參數(shù)方程可以寫(xiě)成z=z1+t(z2-z1). (0?t?1),取,得知線段,的中點(diǎn)為,例4 求下列方程所表示的曲線:,第二節(jié) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,解：,設(shè) z = x + i y , 方程變?yōu)?幾何上, 該方程表示到點(diǎn)2i和-2的距離相等的點(diǎn)的軌跡, 所以方程表示的曲線就是連接點(diǎn)2i和-2的線段的垂直平分線, 方程為 y = - x , 也可用代數(shù)的方法求出

18、。,第二節(jié) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,,,,,O,x,y,-2,2i,y=-x,設(shè) z = x + i y , 那末,可得所求曲線的方程為 y = -3 .,,,,O,y,x,y=-3,第二節(jié) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,復(fù)數(shù)域的幾何模型---復(fù)球面,,,,0,,,,,,,,,,,,,N,,除了復(fù)數(shù)的平面表示方法外, 還可以用球面上的點(diǎn)來(lái)表示復(fù)數(shù).,第二節(jié) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回

19、 結(jié)束,,,,,,,,,,,,,,,,,x2,x3,o,z(x,y),x1,y,P(x1,x2,x3),x1,x2,x3,N(0,0,2r),,對(duì)復(fù)平面內(nèi)任一點(diǎn)z, 用直線將z與N相連, 與球面相交于P點(diǎn), 則球面上除N點(diǎn)外的所有點(diǎn)和復(fù)平面上的所有點(diǎn)有一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系, 而N點(diǎn)本身可代表無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn), 記作?.這樣的球面稱作復(fù)球面.,x,第二節(jié) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,擴(kuò)充復(fù)數(shù)域 --- 引進(jìn)一個(gè)“新”的數(shù)∞:,

20、擴(kuò)充復(fù)平面 --- 引進(jìn)一個(gè)“理想點(diǎn)”: 無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn) ∞.,約定:,,第二節(jié) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,§ 1.4 區(qū)域,1. 區(qū)域的概念,平面上以 z0為中心, d (任意的正數(shù))為半徑的圓: |z-z0|<d 內(nèi)部的點(diǎn)的集合稱為z0的鄰域, 而稱由不等式 0<|z-z0|<d 所確定的點(diǎn)集為z0的去心鄰域.,包括無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)自身在內(nèi)且滿足 |z|>M 的所有點(diǎn)的集合, 其中實(shí)數(shù) M

21、>0 , 稱為無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)的鄰域. 即它是圓 |z|=M 的外部且包含無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)本身. 不包括無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)本身的僅滿足 |z|>M 的所有點(diǎn)稱為無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)的去心鄰域, 也記作 M<|z|<?.,第二節(jié) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,設(shè)G為一平面點(diǎn)集, z0為G中任意一點(diǎn). 如果存在z0的一個(gè)鄰域, 該鄰域內(nèi)的所有點(diǎn)都屬于G, 則稱z0為G的內(nèi)點(diǎn). 如果G內(nèi)的每個(gè)點(diǎn)都是它的內(nèi)點(diǎn), 則稱G為

22、開(kāi)集,平面點(diǎn)集D稱為一個(gè)區(qū)域, 如果它滿足下列兩個(gè)條件:1) D是一個(gè)開(kāi)集;2) D是連通的。就是說(shuō)D中任何兩點(diǎn)都可以用完全屬于D 的一條折線連接起來(lái).,設(shè)D為復(fù)平面內(nèi)的一個(gè)區(qū)域, 如果點(diǎn)P不屬于D, 但在P的任意小的鄰域內(nèi)總包含有D中的點(diǎn), 這樣的點(diǎn)P稱為D的邊界點(diǎn). D的所有邊界點(diǎn)組成D的邊界. 區(qū)域的邊界可能是由幾條曲線和一些孤立的點(diǎn)所組成的.,第二節(jié) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,區(qū)域 D與它的邊

23、界一起構(gòu)成閉區(qū)域或閉域, 記作?D.如果一個(gè)區(qū)域可以被包含在一個(gè)以原點(diǎn)為中心的圓里面, 即存在正數(shù) M, 使區(qū)域 D的每個(gè)點(diǎn)z都滿足 |z|<M, 則稱 D為有界的, 否則稱為無(wú)界的.,平面曲線在數(shù)學(xué)上, 經(jīng)常用參數(shù)方程來(lái)表示各種平面曲線. 如果x(t)和y(t)是兩個(gè)連續(xù)的實(shí)變函數(shù), 則方程組x=x(t), y=y(t), (a?t?b)代表一條平面曲線, 稱為連續(xù)曲線. 如果令z(t)=x(t)+iy(t)則此曲

24、線可用一個(gè)方程z=z(t)(a?t?b)來(lái)代表. 這就是平面曲線的復(fù)數(shù)表示式.,2. 單連通域與多連通域,第二節(jié) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,設(shè)C: z=z(t) (a?t?b)為一條連續(xù)曲線, z(a)與z(b)分別為C的起點(diǎn)與終點(diǎn). 對(duì)于滿足 a<t1<b, a?t2?b 的 t1與 t2, 當(dāng) t1?t2而有 z(t1)=z(t2) 時(shí), 點(diǎn) z(t1)稱為曲線 C的重點(diǎn). 沒(méi)有重點(diǎn)的連續(xù)曲

25、線 C, 稱為簡(jiǎn)單曲線或若爾當(dāng)(Jardan)曲線. 如果簡(jiǎn)單曲線 C的起點(diǎn)與終點(diǎn)閉合, 即 z(a)=z(b) , 則曲線 C 稱為簡(jiǎn)單閉曲線.,第二節(jié) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,任意一條簡(jiǎn)單閉曲線 C 把整個(gè)復(fù)平面唯一地分成三個(gè)互不相交的點(diǎn)集, 其中除去 C 外, 一個(gè)是有界區(qū)域, 稱為 C 的內(nèi)部, 另一個(gè)是無(wú)界區(qū)域, 稱為 C 的外部, C 為它們的公共邊界. 簡(jiǎn)單閉曲線的這一性質(zhì), 其幾何直觀意義是很清楚

26、的.,第二節(jié) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,定義 復(fù)平面上的一個(gè)區(qū)域 B, 如果在其中任作一條簡(jiǎn)單閉曲線, 而曲線的內(nèi)部總屬于B, 就稱為單連通域, 一個(gè)區(qū)域如果不是單連通域, 就稱為多連通域.,第二節(jié) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,§1.5 復(fù)變函數(shù),1. 復(fù)變函數(shù)的定義,定義 設(shè) D 是復(fù)平面中的一個(gè)點(diǎn)集,,稱為復(fù)變函數(shù).,其確定了自變量為x和y的兩個(gè)二元實(shí)變函數(shù) u ,v .,例如,

27、 考察函數(shù) w = z2.令 z = x+iy, w = u+iv , 則u+iv = (x+iy)2 = x2-y2+i2xy ,因而 w = z2 對(duì)應(yīng)于兩個(gè)二元函數(shù):u = x2-y2, v = 2xy,第二節(jié) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,在以后的討論中, D常常是一個(gè)平面區(qū)域, 稱之為定義域, 并且, 如無(wú)特別聲明, 所討論的函數(shù)均為單值函數(shù).,2. 映射的概念,函數(shù) w=f (z) 在幾何上可以看

28、做是把 z平面上的一個(gè)點(diǎn)集D(定義集合)變到 w平面上的一個(gè)點(diǎn)集G (函數(shù)值集合)的映射(或變換). 如果 D 中的點(diǎn) z 被映射 w=f (z) 映射成 G中的點(diǎn) w, 則 w 稱為 z 的象(映象), 而 z 稱為 w 的原象.,x,u,,,,D,,,,G,Z,,z,,w,,W=f(z),v,y,W,第二節(jié) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,例1 設(shè)函數(shù)w = z =x – iy ; u=x , v=-y,,,,x,

29、y,O,,,u,v,O,,,第二節(jié) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,例2 設(shè)函數(shù) w = z2 = (x+iy)2 = x2-y2+i2xy , 有 u = x2-y2, v = 2xy,,,,,,,,,,,,如果函數(shù)(映射) w=f (z) 與它的反函數(shù)(逆映射) z =j (w)都是單值的, 則稱函數(shù)(映射) w =f (z)是一一的. 此時(shí), 我們也稱集合D與集合G是一一對(duì)應(yīng)的.,舉例：曲