[學習]復變函數(shù)與積分變換課件1.5復變函數(shù)

1、§1.5 復變函數(shù),一、基本概念,在以后的討論中，D 常常是一個平面區(qū)域，稱之為定義域。,按照一定法則，有確定的復數(shù) w 與它對應，,一般情形下，所討論的“函數(shù)”都是指單值函數(shù)。,上定義一個復變函數(shù)，記作,比如,比如,則稱在 D,一、基本概念,一個復變函數(shù)對應于兩個二元實變函數(shù)。,分析,則 可以寫成,設,其中， 與 為實值二元函數(shù)。,分開上式的實部

2、與虛部得到,分開實部與虛部即得,代入 得,二、圖形表示,映射,復變函數(shù) 在幾何上被看作是把 z 平面上的一個,點集 變到 w 平面上的一個點集 的映射(或者變換)。,其中，點集 稱為像，點集 稱為原像。,,二、圖形表示,反函數(shù)與逆映射,雙方單值與一一映射,為 w 平面上的點集 G，,設函數(shù) 的定義域為 z 平面

3、上的點集 D，值域,的一個(或幾個)點 z，,一個函數(shù),它稱為函數(shù) 的反函數(shù)，也稱,為映射 的逆映射。,若映射 與它的逆映射 都是單值的，,則稱映射 是雙方單值的或者一一映射。,則 G 中的每個點 w 必將對應著 D 中,按照函數(shù)的定義，在 G 上就確定了,(2) 區(qū)域 D 可改寫為：,令

4、,則,可得區(qū)域 D 的像(區(qū)域)G 滿足,即,因此，它把 z 平面上的兩族雙曲線,分別映射成 w 平面上的兩族平行直線,,,三、極限,若存在復數(shù),使得,記作,或,(2) 趨向于 的方式是任意的。,則稱 A 為函數(shù) 當 z 趨向于 z0 時的極限，,幾何意義,三、極限,它的像點 就落在 A 的預先給定的 e 鄰域內(nèi)。,性質(zhì),三、極限,定理,三、極限,設,證明,則,必要性 “

5、 ”,證明,充分性 “ ”,則,當 時，,如果,定理,設,三、極限,則,三、極限,關(guān)于含 的極限作如下規(guī)定：,(3),所關(guān)心的兩個問題：,(1) 如何證明極限存在？,(2) 如何證明極限不存在？,選擇不同的路徑進行攻擊。,放大技巧 。,(1

6、),(2),,當 時，,當 時，,因此極限不存在。,,,解,當 時，,當 時，,因此極限不存在。,方法二,,方法三,沿著射線,與 有關(guān)，因此極限不存在。,討論函數(shù) 在 的極限。,例,,,,x,y,,,四、連續(xù)