第一節(jié)微分中值定理

1、第三章,,中值定理,應用,研究函數(shù)性質(zhì)及曲線性態(tài),利用導數(shù)解決實際問題,羅爾中值定理,拉格朗日中值定理,柯西中值定理,泰勒公式 (第三節(jié)),,,微分中值定理,與導數(shù)的應用,,一、羅爾( Rolle )定理,第一節(jié),二、拉格朗日( Lagrange )中值定理,三、柯西(Cauchy)中值定理,中值定理,第三章,費馬(fermat)引理,,一、羅爾( Rolle )定理,且,存在,,,證: 設,則,,,費馬,證畢,,羅爾（ Rolle

2、）定理,滿足:,(1) 在區(qū)間 [a , b] 上連續(xù),(2) 在區(qū)間 (a , b) 內(nèi)可導,(3) f ( a ) = f ( b ),使,證:,故在[ a , b ]上取得最大值,M 和最小值 m .,若 M = m , 則,因此,若 M > m , 則 M 和 m 中至少有一個與端點值不等,,不妨設,則至少存在一點,使,注意:,1) 定理條件條件不全具備, 結論不一定,成立.,則由費馬引理得,例如,,使,2) 定理條件

3、只是充分的.,,本定理可推廣為,在 ( a , b ) 內(nèi)可導, 且,在( a , b ) 內(nèi)至少存在一點,證明提示: 設,證 F(x) 在 [a , b] 上滿足羅爾定理 .,,,例1. 證明方程,有且僅有一個小于1 的,正實根 .,證: 1) 存在性 .,則,在 [0 , 1 ] 連續(xù) ,,且,由介值定理知存在,使,即方程有小于 1 的正根,2) 唯一性 .,假設另有,為端點的區(qū)間滿足羅爾定理條件 ,,至少存在一點,但,矛盾,,故假

4、設不真!,設,二、拉格朗日中值定理,,(1) 在區(qū)間 [ a , b ] 上連續(xù),滿足:,(2) 在區(qū)間 ( a , b ) 內(nèi)可導,至少存在一點,使,思路: 利用逆向思維找出一個滿足羅爾定理條件的函數(shù),作輔助函數(shù),顯然 ,,在[a, b] 上連續(xù),,在(a, b)內(nèi)可導,,且,,證:,問題轉化為證,,,由羅爾定理知至少存在一點,即定理結論成立 .,拉氏,證畢,,,,,,,,,拉格朗日中值定理的有限增量形式:,推論: 若函數(shù),在區(qū)間 I

5、 上滿足,則,在 I 上必為常數(shù).,證: 在 I 上任取兩點,格朗日中值公式 , 得,由 的任意性知,,在 I 上為常數(shù) .,令,則,,例2. 證明等式,證: 設,由推論可知,(常數(shù)),令 x = 0 , 得,又,故所證等式在定義域 上成立.,自證:,經(jīng)驗:,欲證,時,只需證在 I 上,例3. 證明不等式,證: 設,中值定理條件,,即,因為,故,因此應有,三、柯西(Cauchy)中值定理,,分析:

6、,及,(1) 在閉區(qū)間 [ a , b ] 上連續(xù),(2) 在開區(qū)間 ( a , b ) 內(nèi)可導,(3)在開區(qū)間 ( a , b ) 內(nèi),至少存在一點,使,滿足 :,問題轉化為證,,,柯西,構造輔助函數(shù),證: 作輔助函數(shù),且,使,即,由羅爾定理知, 至少存在一點,思考: 柯西定理的下述證法對嗎 ?,兩個 ? 不一定相同,錯!,,上面兩式相比即得結論.,柯西定理的幾何意義:,注意:,,,,,,,,,,弦的斜率,,切線斜率,,,例4. 設

7、,至少存在一點,使,證: 問題轉化為證,設,則,在 [0, 1] 上滿足柯西中值,定理條件,,因此在 ( 0 , 1 ) 內(nèi)至少存在一點 ? ,,使,,,即,證明,例5. 試證至少存在一點,使,證:,,法1 用柯西中值定理 .,則 f (x) , F(x) 在 [ 1 , e ] 上滿足柯西中值定理條件,,令,因此,,,,,即,,分析:,例5. 試證至少存在一點,使,法2 令,則 f (x) 在 [ 1 , e ] 上滿足羅爾中值

8、定理條件,,使,因此存在,,,內(nèi)容小結,1. 微分中值定理的條件、結論及關系,羅爾定理,拉格朗日中值定理,柯西中值定理,,,,2. 微分中值定理的應用,(1) 證明恒等式,(2) 證明不等式,(3) 證明有關中值問題的結論,關鍵: 利用逆向思維設輔助函數(shù),費馬引理,,,,,思考與練習,1. 填空題,1) 函數(shù),在區(qū)間 [1, 2] 上滿足拉格朗日定理,條件, 則中值,2) 設,有,,個根 , 它們分別在區(qū)間,,上.,方程,2. 設

9、,且在,內(nèi)可導, 證明至少存,在一點,使,提示:,由結論可知, 只需證,即,驗證,在,上滿足羅爾定理條件.,設,3. 若,可導, 試證在其兩個零點間一定有,的零點.,提示: 設,欲證:,使,只要證,亦即,作輔助函數(shù),驗證,在,上滿足,羅爾定理條件.,4. 思考: 在,即,當,時,問是否可由此得出,不能 !,因為,是依賴于 x 的一個特殊的函數(shù).,因此由上式得,表示 x 從右側以任意方式趨于 0 .,應用拉格朗日中值定理得,上對函數(shù),

10、作業(yè),P134 7, 8 , 10 , 12 , 14 , *15,提示:,題*15.,題14. 考慮,第二節(jié),費馬(1601 – 1665),費馬,法國數(shù)學家,,他是一位律師,,數(shù)學,只是他的業(yè)余愛好.,他興趣廣泛,,博,覽群書并善于思考,,在數(shù)學上有許多,重大貢獻.,他特別愛好數(shù)論,,他提出,的費馬大定理:,歷經(jīng)358年, 直到1993年才由美國普林斯頓大學的安德,魯.懷爾斯教授經(jīng)過十年的潛心研究才得到

11、解決 .,引理是后人從他研究解決最值的方法中提煉出來的.,,拉格朗日 (1736 – 1813),法國數(shù)學家.,他在方程論, 解析函數(shù)論,,及數(shù)論方面都作出了重要的貢獻,,近百,余年來, 數(shù)學中的許多成就都可直接或,間接地追溯到他的工作,,他是對分析數(shù)學,產(chǎn)生全面影響的數(shù)學家之一.,,柯西(1789 – 1857),,法國數(shù)學家,,他對數(shù)學的貢獻主要集中,在微積分學,,《柯,西全集》共有 27 卷.,其中最重要的是為巴黎綜合學校,編寫的

12、《分析教程》,,《無窮小分析概論》, 《微積分,在幾何上的應用》 等,,有思想有創(chuàng)建,,廣泛而深遠 .,對數(shù)學的影響,他是經(jīng)典分析的奠基人之一,,他為微積,分所奠定的基礎推動了分析數(shù)學的發(fā)展.,復變函數(shù)和微分方程方面 .,一生發(fā)表論文800余篇, 著書 7 本 ,,備用題,求證存在,使,1. 設,可導，且,在,連續(xù)，,證: 設輔助函數(shù),因此至少存在,顯然,在 上滿足羅爾定理條件,,即,使得,設,證明對任意,有,證：,2.

13、,不妨設,,三、其他未定式,,二、,型未定式,一、,型未定式,,,第二節(jié),洛必達法則,第三章,微分中值定理,函數(shù)的性態(tài),,,導數(shù)的性態(tài),函數(shù)之商的極限,導數(shù)之商的極限,轉化,( 或 型),,,本節(jié)研究:,洛必達法則,洛必達,一、,存在 (或為 ),,定理 1.,型未定式,(洛必達法則),( ? 在 x , a 之間),證:,無妨假設,在指出的鄰域內(nèi)任取,則,在以 x, a 為端點的區(qū)間上滿足柯,故,,定理條件:

14、,西定理條件,,存在 (或為 ),推論1.,定理 1 中,換為下列過程之一:,推論 2. 若,理1條件,,則,條件 2) 作相應的修改 , 定理 1 仍然成立.,洛必達法則,定理1,例1. 求,解:,原式,注意: 不是未定式不能用洛必達法則 !,,洛,洛,例2. 求,解: 原式,思考: 如何求,( n 為正整數(shù)) ?,洛,二、,型未定式,存在 (或為∞),,定理 2.,證: 僅就極限,存在的情形加以證明 .,(洛必達法則),1

15、),的情形,從而,2),的情形.,取常數(shù),,可用 1) 中結論,3),時, 結論仍然成立. ( 證明略 ),說明: 定理中,換為,之一,,條件 2) 作相應的修改 , 定理仍然成立.,定理2,例3. 求,解:,原式,例4. 求,解: (1) n 為正整數(shù)的情形.,原式,洛,例4. 求,(2) n 不為正整數(shù)的情形.,從而,由(1),用夾逼準則,存在正整數(shù) k , 使當 x > 1 時,,,例4.,例3.,說明:,1) 例3

16、, 例4 表明,時,,后者比前者趨于,更快 .,,例如,,事實上,用洛必達法則,,,2) 在滿足定理條件的某些情況下洛必達法則不能解決 計算問題 .,3) 若,例如,,極限不存在,不能用洛必達法則 !,即,三、其他未定式:,解決方法:,通分,,,,取倒數(shù),,,取對數(shù),例5. 求,解: 原式,,洛,解: 原式,例6. 求,,通分,,,,取倒數(shù),,,取對數(shù),,洛,例7. 求,解:,利用 例5,,,例5,通分,,,,取倒數(shù),,,取對

17、數(shù),,例8. 求,解: 注意到,原式,洛,例3,例9. 求,法1. 直接用洛必達法則.,下一步計算很繁 !,法2. 利用例3結果.,原式,例3,,例3,內(nèi)容小結,洛必達法則,,,,思考與練習,1. 設,是未定式極限 , 如果,是否,的極限也不存在 ? 舉例說明 .,極限不存在 ,,,說明3),原式,,分析:,說明3),分析:,,3.,,原式,,,,洛,則,4. 求,解: 令,原式,洛,洛,作業(yè),P138 1 (6)，(7)，(9

18、)，(12)，(13)，(16), *4,第三節(jié),洛必達(1661 – 1704),法國數(shù)學家,,他著有《無窮小分析》,(1696),,并在該書中提出了求未定式極,限的方法,,后人將其命名為“ 洛必達法,的擺線難題 ,,以后又解出了伯努利提出的“ 最速降,線 ” 問題 ,,在他去世后的1720 年出版了他的關于圓,錐曲線的書 .,則 ”.,他在15歲時就解決了帕斯卡提出,,求下列極限 :,解:,備用題,洛,則,原式 =,解: 令,(

19、用洛必達法則),(繼續(xù)用洛必達法則),解:,原式 =,第三節(jié),洛,,二、幾個初等函數(shù)的麥克勞林公式,第三節(jié),一、泰勒公式的建立,三、泰勒公式的應用,應用,目的－用多項式近似表示函數(shù).,理論分析,近似計算,,泰勒公式,第三章,特點:,一、泰勒公式的建立,以直代曲,,,在微分應用中已知近似公式 :,需要解決的問題,如何提高精度 ?,如何估計誤差 ?,x 的一次多項式,,,1. 求 n 次近似多項式,要求:,故,令,則,2. 余項估計,令,(

20、稱為余項) ,,則有,,,,,,,公式 ① 稱為 的 n 階泰勒公式 .,公式 ② 稱為n 階泰勒公式的拉格朗日余項 .,泰勒(Taylor)中值定理 :,階的導數(shù) ,,時, 有,①,其中,②,則當,泰勒,公式 ③ 稱為n 階泰勒公式的佩亞諾(Peano) 余項 .,在不需要余項的精確表達式時 , 泰勒公式可寫為,注意到,③,④,* 可以證明:,,④ 式成立,特例:,(1) 當 n = 0 時, 泰勒公式變?yōu)?(2) 當

21、 n = 1 時, 泰勒公式變?yōu)?給出拉格朗日中值定理,可見,誤差,,稱為麥克勞林( Maclaurin )公式 .,,則有,在泰勒公式中若取,,則有誤差估計式,若在公式成立的區(qū)間上,麥克勞林,由此得近似公式,二、幾個初等函數(shù)的麥克勞林公式,其中,麥克勞林公式,,,其中,,麥克勞林公式,麥克勞林公式,類似可得,其中,,其中,,麥克勞林公式,已知,其中,因此可得,,麥克勞林公式,三、泰勒公式的應用,1. 在近似計算中的應用,誤差,M 為,

22、在包含 0 , x 的某區(qū)間上的上界.,需解問題的類型:,1) 已知 x 和誤差限 , 要求確定項數(shù) n ;,2) 已知項數(shù) n 和 x , 計算近似值并估計誤差;,3) 已知項數(shù) n 和誤差限 , 確定公式中 x 的適用范圍.,例1. 計算無理數(shù) e 的近似值 , 使誤差不超過,解: 已知,令 x = 1 , 得,由于,欲使,由計算可知當 n = 9 時上式成立 ,,因此,的麥克勞林公式為,,說明: 注意舍入誤差對計算結果的影響.,本

23、例,若每項四舍五入到小數(shù)點后 6 位,則,各項舍入誤差之和不超過,總誤差限為,這時得到的近似值不能保證誤差不超過,因此計算時中間結果應比精度要求多取一位 .,例2. 用近似公式,計算 cos x 的近似值,,使其精確到 0.005 , 試確定 x 的適用范圍.,解: 近似公式的誤差,令,解得,即當,時, 由給定的近似公式計算的結果,能準確到 0.005 .,2. 利用泰勒公式求極限,例3. 求,解:,由于,,用洛必達法則不方便 !,,,

24、,,3. 利用泰勒公式證明不等式,例4. 證明,證:,內(nèi)容小結,1. 泰勒公式,其中余項,當,時為麥克勞林公式 .,2. 常用函數(shù)的麥克勞林公式 ( P142 ~ P144 ),3. 泰勒公式的應用,(1) 近似計算,(3) 其他應用,,求極限 , 證明不等式 等.,(2) 利用多項式逼近函數(shù),,例如,泰勒多項式逼近,,,,,泰勒多項式逼近,,思考與練習,計算,解:,原式,第四節(jié),作業(yè) P145 1 ; 4 ; 5 ; 7 ;

25、 8;*10 (1), (2),泰勒 (1685 – 1731),英國數(shù)學家,,他早期是牛頓學派最,優(yōu)秀的代表人物之一 ,,重要著作有:,《正的和反的增量方法》(1715),《線性透視論》(1719),他在1712 年就得到了現(xiàn)代形式的泰勒公式 .,他是有限差分理論的奠基人 .,,麥克勞林 (1698 – 1746),英國數(shù)學家,,著作有:,《流數(shù)論》(1742),《有機幾何學》(1720),《代數(shù)論》(1742),在第一本著作中給出

26、了后人以他的名字命名的,麥克勞林級數(shù) .,,證: 由題設對,備用題 1.,,有,且,,,點,,,,下式減上式 , 得,令,,兩邊同乘 n !,= 整數(shù) +,假設 e 為有理數(shù),( p , q 為正整數(shù)) ,,則當 時,,等式左邊為整數(shù);,矛盾 !,,2. 證明 e 為無理數(shù) .,證:,故 e 為無理數(shù) .,等式右邊不可能為整數(shù).,,第四節(jié),一、函數(shù)單調(diào)性的判定法,二、曲線的凹凸與拐點,函數(shù)的單調(diào)性與,曲線的凹凸性,第三

27、章,一、 函數(shù)單調(diào)性的判定法,若,定理 1. 設函數(shù),則 在 I 內(nèi)單調(diào)遞增,(遞減) .,證: 無妨設,任取,由拉格朗日中值定理得,故,這說明 在 I 內(nèi)單調(diào)遞增.,在開區(qū)間 I 內(nèi)可導,,證畢,例1. 確定函數(shù),的單調(diào)區(qū)間.,解:,令,得,,,,,,,故,的單調(diào)增區(qū)間為,的單調(diào)減區(qū)間為,,,,,,,,,說明:,單調(diào)區(qū)間的分界點除駐點外,也可是導數(shù)不存在的點.,例如,,2) 如果函數(shù)在某駐點兩邊導

28、數(shù)同號, 則不改變函數(shù)的單調(diào)性 .,例如,,例2. 證明,時, 成立不等式,證: 令,從而,因此,且,,證,證明,* 證明,令,則,從而,即,,,,,定義 . 設函數(shù),在區(qū)間 I 上連續(xù) ,,(1) 若恒有,則稱,圖形是凹的;,(2) 若恒有,則稱,圖形是凸的 .,二、曲線的凹凸與拐點,,連續(xù)曲線上有切線的凹凸分界點稱為拐點 .,拐點,定理2.(凹凸判定法),(1) 在 I 內(nèi),則 f (x) 在 I 內(nèi)圖形是凹的

29、;,(2) 在 I 內(nèi),則 f (x) 在 I 內(nèi)圖形是凸的 .,,,證:,利用一階泰勒公式可得,兩式相加,,說明 (1) 成立;,(2),,,,,設函數(shù),在區(qū)間I 上有二階導數(shù),證畢,,例3. 判斷曲線,的凹凸性.,解:,故曲線,在,上是向上凹的.,說明:,1) 若在某點二階導數(shù)為 0 ,,2) 根據(jù)拐點的定義及上述定理, 可得拐點的判別法如下:,若曲線,或不存在,,的一個拐點.,則曲線的凹凸性不變 .,在其兩側二階導數(shù)不變號,,

30、例4. 求曲線,的拐點.,解:,,,,,不存在,因此點 ( 0 , 0 ) 為曲線,的拐點 .,凹,凸,對應,例5. 求曲線,的凹凸區(qū)間及拐點.,解: 1) 求,2) 求拐點可疑點坐標,令,得,3) 列表判別,故該曲線在,及,上向上凹,,向上凸 ,,點 ( 0 , 1 ) 及,均為拐點.,凹,凹,凸,內(nèi)容小結,1. 可導函數(shù)單調(diào)性判別,,在 I 上單調(diào)遞增,,在 I 上單調(diào)遞減,2.曲線凹凸與拐點的判別,,,拐點,— 連續(xù)曲線上有切線的

31、凹凸分界點,思考與練習,上,則,或,的大小順序是 ( ),提示: 利用,單調(diào)增加 ,,及,B,1. 設在,.,2. 曲線,的凹區(qū)間是,凸區(qū)間是,拐點為,提示:,及,作業(yè) P152 3 (1),(7) ; 5 (2), (4) ; 9 (3), (6) ; 10 (3) ; 13 ; 14 ; *15,;,;,第五節(jié),有位于一直線的三個拐點.,1. 求證曲線,證明：,備用題,令,得,從而三個

32、拐點為,因為,所以三個拐點共線.,,,=,證明:,當,時, 有,證明: 令,, 則,是凸函數(shù),即,2 .,(自證),第五節(jié),,二、最大值與最小值問題,一、函數(shù)的極值及其求法,第五節(jié),函數(shù)的極值與,最大值最小值,第三章,定義:,在其中當,時,,(1),則稱 為 的極大值點 ,,稱 為函數(shù)的極大值 ;,(2),則稱 為 的極小值點 ,,稱 為函數(shù)的極小值 .

33、,極大值點與極小值點統(tǒng)稱為極值點 .,一、函數(shù)的極值及其求法,注意:,為極大值點,為極小值點,不是極值點,2) 對常見函數(shù), 極值可能出現(xiàn)在導數(shù)為 0 或 不存在的點.,1) 函數(shù)的極值是函數(shù)的局部性質(zhì).,例如 ,,為極大值點,,是極大值,是極小值,為極小值點,,函數(shù),定理 1 (極值第一判別法),且在空心鄰域,內(nèi)有導數(shù),,(自證),點擊圖中任意處動畫播放\暫停,例1. 求函數(shù),的極值 .,解:,1) 求導數(shù),2) 求極值

34、可疑點,令,得,令,得,3) 列表判別,,,是極大值點，,其極大值為,是極小值點，,其極小值為,,,,定理2 (極值第二判別法),二階導數(shù) , 且,則 在點 取極大值 ;,則 在點 取極小值 .,,,證: (1),存在,,,由第一判別法知,(2) 類似可證 .,例2. 求函數(shù),的極值 .,解: 1) 求導數(shù),2) 求駐點,令,得駐點,3) 判別,因,故 為極小

35、值 ;,又,故需用第一判別法判別.,,,定理3 (判別法的推廣),則:,數(shù) , 且,1) 當 為偶數(shù)時,,是極小點 ;,是極大點 .,2) 當 為奇數(shù)時,,為極值點 , 且,不是極值點 .,,,當 充分接近 時, 上式左端正負號由右端第一項確定 ,,故結論正確 .,證:,利用 在 點的泰勒公式 ,,可得,例如 , 例2中,極值的判別法( 定理1 ~ 定理3 ) 都是充分的.,說明:,當這些充分

36、條件不滿足時, 不等于極值不存在 .,例如:,為極大值 ,,但不滿足定理1,~ 定理3 的條件.,,二、最大值與最小值問題,則其最值只能,在極值點或端點處達到 .,求函數(shù)最值的方法:,(1) 求 在 內(nèi)的極值可疑點,(2) 最大值,最小值,特別:,當 在 內(nèi)只有一個極值可疑點時,,當 在 上單調(diào)時,,最值必在端點處達到.,若在此點取極大 值

37、 , 則也是最大 值 .,(小),對應用問題 , 有時可根據(jù)實際意義判別求出的可疑點,是否為最大 值點或最小值點 .,(小),,例3. 求函數(shù),在閉區(qū)間,上的最大值和最小值 .,解: 顯然,且,故函數(shù)在,取最小值 0 ;,,因此也可通過,例3. 求函數(shù),說明:,求最值點.,與,最值點相同 ,,由于,令,( 自己練習 ),,在閉區(qū)間,上的最大值和最小值 .,( k 為某常數(shù) ),,例4. 鐵路上 AB 段的距離為100 km

38、 , 工廠C 距 A 處20,AC⊥ AB ,,要在 AB 線上選定一點 D 向工廠修一條,已知鐵路與公路每公里貨運,為使貨物從B 運到工,解: 設,則,令,得,又,所以 為唯一的,極小值點 ,,故 AD =15 km 時運費最省 .,總運費,廠C 的運費最省,,從而為最小值點 ,,問D點應如何取?,km ,,公路,,價之比為3:5 ,,例5. 把一根直徑為 d 的圓木鋸成矩形梁 ,,問矩形截面,的高 h 和 b 應如

39、何選擇才能使梁的抗彎截面模量最大?,解: 由力學分析知矩形梁的抗彎截面模量為,,,,令,得,從而有,即,由實際意義可知 , 所求最值存在 ,,駐點只一個,,故所求,結果就是最好的選擇 .,用開始移動,,,,例6. 設有質(zhì)量為 5 kg 的物體置于水平面上 , 受力 F 作,解: 克服摩擦的水平分力,正壓力,即,令,則問題轉化為求,的最大值問題 .,設摩擦系數(shù),,令,解得,而,因而 F 取最小值 .,解:,即,令,則問題轉化為求,的最大值

40、問題 .,,清楚(視角? 最大) ?,觀察者的眼睛1.8 m ,,例7. 一張 1.4 m 高的圖片掛在墻上 , 它的底邊高于,解: 設觀察者與墻的距離為 x m ,,則,令,得駐點,根據(jù)問題的實際意義, 觀察者最佳站位存在 ,,唯一,,駐點又,因此觀察者站在距離墻 2.4 m 處看圖最清楚 .,問觀察者在距墻多遠處看圖才最,存在一個取得最大利潤的生產(chǎn)水平? 如果存在, 找出它來.,售出該產(chǎn)品 x 千件的收入是,例8. 設某工廠生產(chǎn)

41、某產(chǎn)品 x 千件的成本是,解: 售出 x 千件產(chǎn)品的利潤為,問是否,故在 x2 = 3.414千件處達到最大利潤,,而在 x1= 0.586千件處發(fā)生局部最大虧損.,說明：在經(jīng)濟學中,稱為邊際成本,稱為邊際收入,稱為邊際利潤,由此例分析過程可見, 在給出最大利潤的生產(chǎn)水平上,即邊際收入＝邊際成本,（見右圖）,,,,,即,收益最大,虧損最大,內(nèi)容小結,1. 連續(xù)函數(shù)的極值,(1) 極值可疑點 :,使導數(shù)為0 或不存在的點,(2) 第一充

42、分條件,過,由正變負,,為極大值,過,由負變正,,為極小值,(3) 第二充分條件,,為極大值,,為極小值,,,(4) 判別法的推廣,定理3,定理3,最值點應在極值點和邊界點上找 ;,應用題可根據(jù)問題的實際意義判別 .,思考與練習,2. 連續(xù)函數(shù)的最值,1. 設,則在點 a 處( ).,的導數(shù)存在 ,,取得極大值 ;,取得極小值;,的導數(shù)不存在.,B,提示: 利用極限的保號性,2. 設,(A) 不可導 ;,(B) 可導

43、, 且,(C) 取得極大值 ;,(D) 取得極小值 .,D,提示: 利用極限的保號性 .,3. 設,是方程,的一個解,,若,且,(A) 取得極大值 ;,(B) 取得極小值 ;,(C) 在某鄰域內(nèi)單調(diào)增加 ;,(D) 在某鄰域內(nèi)單調(diào)減少 .,提示:,A,作業(yè),P162 1 (5), (9); 2 ; 3 ; 5 ; 10; 14; 15,第六節(jié),試問,為何值時,,在,

44、時取得極值,,還是極小.,解:,由題意應有,又,備用題 1.,求出該極值,,并指出它是極大,即,試求,解:,2.,故所求最大值為,第六節(jié),,第六節(jié),一、 曲線的漸近線,二、 函數(shù)圖形的描繪,函數(shù)圖形的描繪,第三章,無漸近線 .,點 M 與某一直線 L 的距離趨于 0,,一、 曲線的漸近線,定義 . 若曲線 C上的點M 沿著曲線無限地遠離原點,時,,則稱直線 L 為,曲線C 的漸近線 .,例如, 雙曲線,有漸近線,但拋物線,,或為“縱坐

45、標差”,,,,,,1. 水平與鉛直漸近線,若,則曲線,有水平漸近線,若,則曲線,有鉛直漸近線,例1. 求曲線,的漸近線 .,解:,為水平漸近線;,為鉛直漸近線.,,,,,2. 斜漸近線,斜漸近線,若,,,,,,,( P76 題14),例2. 求曲線,的漸近線.,解:,又因,為曲線的斜漸近線 .,二、函數(shù)圖形的描繪,步驟 :,1. 確定函數(shù),的定義域 ,,期性 ;,2. 求,并求出,及,3. 列表判別增減及凹凸區(qū)間 , 求出極值和拐點

46、 ;,4. 求漸近線 ;,5. 確定某些特殊點 , 描繪函數(shù)圖形 .,為 0 和不存在,的點 ;,并考察其對稱性及周,,例3. 描繪,的圖形.,解: 1) 定義域為,無對稱性及周期性.,2),3),,,,,(拐點),4),,例4. 描繪方程,的圖形.,解: 1),定義域為,2) 求關鍵點.,原方程兩邊對 x 求導得,①,①兩邊對 x 求導得,,3) 判別曲線形態(tài),,,,,(極大),(極小),4) 求漸近線,為鉛直漸近線,無定義,,又因

47、,即,5) 求特殊點,,,為斜漸近線,,6）繪圖,(極大),(極小),斜漸近線,鉛直漸近線,特殊點,,,,,,例5. 描繪函數(shù),的圖形.,解: 1) 定義域為,圖形對稱于 y 軸.,2) 求關鍵點,,,3) 判別曲線形態(tài),(極大),(拐點),,為水平漸近線,5) 作圖,4) 求漸近線,,,水平漸近線 ; 垂直漸近線;,內(nèi)容小結,,1. 曲線漸近線的求法,斜漸近線,,按作圖步驟進行,2. 函數(shù)圖形的描繪,思考與練習,1. 曲線,(

48、A) 沒有漸近線；,(B) 僅有水平漸近線；,(C) 僅有鉛直漸近線；,(D) 既有水平漸近線又有鉛直漸近線.,提示:,拐點為 ,,凸區(qū)間是 ,,2. 曲線,的凹區(qū)間是 ,,提示:,及,漸近線 .,,,P76 14 (2);

49、 P169 2 ; 5,作業(yè),第七節(jié),備用題 求笛卡兒葉形線,的漸近線 .,解: 令 y = t x ,,代入原方程得曲線的參數(shù)方程 :,因,,,,所以笛卡兒葉形線有斜漸近線,葉形線,笛卡兒葉形線,笛卡兒葉形線,,,,參數(shù)的幾何意義:,圖形在第四象限,圖形在第二象限,圖形在第一象限,,,,點擊圖中任意點動畫開始或暫停,,,第七節(jié),曲線的彎曲程度,與切線的轉角有關,與曲線的弧長有關,,主要內(nèi)容:,一、 弧微分,

50、二、 曲率及其計算公式,三、 曲率圓與曲率半徑,,,,,,,,,,,,,,,平面曲線的曲率,第三章,一、 弧微分,設,在(a , b)內(nèi)有連續(xù)導數(shù),,其圖形為 AB,,,弧長,,,,,,,,,,則弧長微分公式為,或,幾何意義:,若曲線由參數(shù)方程表示:,,二、曲率及其計算公式,在光滑弧上自點 M 開始取弧段, 其長為,對應切線,定義,弧段 上的平均曲率,,,,點 M 處的曲率,注意: 直線上任意點處的曲率為 0 !,轉角為,例1.

51、 求半徑為R 的圓上任意點處的曲率 .,解: 如圖所示 ,,可見: R 愈小, 則K 愈大 , 圓弧彎曲得愈厲害 ;,R 愈大, 則K 愈小 , 圓弧彎曲得愈小 .,,,,,,,有曲率近似計算公式,故曲率計算公式為,又,曲率K 的計算公式,二階可導,,設曲線弧,則由,說明:,(1) 若曲線由參數(shù)方程,給出, 則,,(2) 若曲線方程為,則,例2. 我國鐵路常用立方拋物線,作緩和曲線,,處的曲率.,點擊圖片任意處播放\暫停,,說明:,鐵路

52、轉彎時為保證行車,平穩(wěn)安全,,求此緩和曲線在其兩個端點,且 l << R.,其中R是圓弧彎道的半徑, l 是緩和曲線的長度,,離心力必須,連續(xù)變化 ,,因此鐵道的,曲率應連續(xù)變化 .,例2. 我國鐵路常用立方拋物線,作緩和曲線,,且 l << R.,處的曲率.,其中R是圓弧彎道的半徑, l 是緩和曲線的長度,,求此緩和曲線在其兩個端點,解:,顯然,,,,,,,例3. 求橢圓,在何處曲率最大?,解:,故曲率為,K

53、最大,最小,,,求駐點:,,,設,從而 K 取最大值 .,這說明橢圓在點,處曲率,,,,計算駐點處的函數(shù)值:,最大.,,,三、 曲率圓與曲率半徑,,,,,,,設 M 為曲線 C 上任一點 ,,在點,在曲線,把以 D 為中心, R 為半徑的圓叫做曲線在點 M 處的,曲率圓,( 密切圓 ) ,,R 叫做曲率半徑,,D 叫做,曲率中心.,在點M 處曲率圓與曲線有下列密切關系:,(1) 有公切線;,(2) 凹向一致;,(3) 曲率相同 .,M

54、處作曲線的切線和法線,,的凹向一側法線上取點 D 使,,設曲線方程為,且,求曲線上點M 處的,曲率半徑及曲率中心,設點M 處的曲率圓方程為,故曲率半徑公式為,滿足方程組,的坐標公式 .,滿足方程組,,,由此可得曲率中心公式,當點 M (x , y) 沿曲線,移動時,,的軌跡 G 稱為曲線 C 的漸屈線 ,,相應的曲率中心,曲率中心公式可看成漸,曲線 C 稱為曲線 G 的漸伸線 .,,屈線的參數(shù)方程(參數(shù)為x).,點擊圖中任意點動畫開始或

55、暫停,例4. 設一工件內(nèi)表面的截痕為一橢圓, 現(xiàn)要用砂輪磨,削其內(nèi)表面 , 問選擇多大的砂輪比較合適?,解: 設橢圓方程為,由例3可知, 橢圓在,,處曲率最大,,即曲率半徑最小, 且為,,顯然, 砂輪半徑不超過,才不會產(chǎn)生過量磨損 ,,或有的地方磨不到的問題.,,例3,( 仍為擺線 ),例5. 求擺線,的漸屈線方程 .,解:,代入曲率中心公式,,,得漸屈線方程,擺線,,,擺線,擺線,擺線,,半徑為 a 的圓周沿直線無滑動地滾動時,,點擊

56、圖中任意點動畫開始或暫停,,其上定點,M 的軌跡即為擺線 .,參數(shù)的幾何意義,擺線的漸屈線,點擊圖中任意點動畫開始或暫停,內(nèi)容小結,1. 弧長微分,或,2. 曲率公式,3. 曲率圓,曲率半徑,曲率中心,,思考與練習,1. 曲線在一點處的曲率圓與曲線有何密切關系?,答: 有公切線 ;,凹向一致 ;,曲率相同.,2. 求雙曲線,的曲率半徑 R , 并分析何處 R 最小?,解:,則,,利用,作業(yè),第八節(jié),P177 4 ； 5 ； 7 ；

57、 8 ； *9,,二、 導數(shù)應用,習題課,一、 微分中值定理及其應用,中值定理及導數(shù)的應用,第三章,,一、 微分中值定理及其應用,1. 微分中值定理及其相互關系,羅爾定理,,,,,,,柯西中值定理,2. 微分中值定理的主要應用,(1) 研究函數(shù)或?qū)?shù)的性態(tài),(2) 證明恒等式或不等式,(3) 證明有關中值問題的結論,3. 有關中值問題的解題方法,利用逆向思維 , 設輔助函數(shù) .,一般解題方法:,證明含一個中值的等式或根的存在 ,,(2

58、) 若結論中涉及含中值的兩個不同函數(shù) ,,(3) 若結論中含兩個或兩個以上的中值 ,,可用原函數(shù)法找輔助函數(shù) .,多用羅爾定理,,可考慮用柯,西中值定理 .,必須多次應用,中值定理 .,(4) 若已知條件中含高階導數(shù) , 多考慮用泰勒公式 ,,(5) 若結論為不等式 , 要注意適當放大或縮小的技巧.,有時也可考慮對導數(shù)用中值定理 .,例1. 設函數(shù),在,內(nèi)可導, 且,證明,在,內(nèi)有界.,證: 取點,再取異于,的點,對,為端點的區(qū)間上用

59、拉氏中值定理,,得,(定數(shù)),可見對任意,即得所證 .,例2. 設,在,內(nèi)可導, 且,證明至少存在一點,使,上連續(xù), 在,證: 問題轉化為證,設輔助函數(shù),顯然,在 [ 0 , 1 ] 上滿足羅爾定理條件,,故至,使,即有,少存在一點,例3.,且,試證存在,證: 欲證,因 f ( x ) 在 [ a , b ] 上滿足拉氏中值定理條件,,故有,將①代入② , 化簡得,故有,①,②,即要證,例4. 設實數(shù),滿足下述等式,證明方程,在 (

60、 0 , 1) 內(nèi)至少有一,個實根 .,證: 令,則可設,且,由羅爾定理知存在一點,使,即,例5.,設函數(shù) f (x) 在[ 0, 3 ]上連續(xù), 在( 0, 3 )內(nèi)可導, 且,分析: 所給條件可寫為,(2003考研),試證必存在,想到找一點 c , 使,,證: 因 f (x) 在[0, 3]上連續(xù),,所以在[ 0, 2 ]上連續(xù), 且在,[ 0, 2 ]上有最大值 M 與最小值 m,,故,,由介值定理, 至少存在一點,,由羅爾定理

61、知, 必存在,例6. 設函數(shù),在,上二階可導,,且,證明,證:,由泰勒公式得,兩式相減得,,二、 導數(shù)應用,1. 研究函數(shù)的性態(tài):,增減 ,,極值 ,,凹凸 ,,拐點 ,,漸近線 ,,曲率,2. 解決最值問題,目標函數(shù)的建立與簡化,最值的判別問題,3. 其他應用 :,求不定式極限 ;,幾何應用 ;,相關變化率;,證明不等式 ;,研究方程實根等.,4. 補充定理 (見下頁),設函數(shù),在,上具有n 階導數(shù),,且,則當,時,證: 令,則,利

62、用,在,處的 n －1 階泰勒公式得,因此,時,定理.,的連續(xù)性及導函數(shù),例7. 填空題,(1) 設函數(shù),其導數(shù)圖形如圖所示,,單調(diào)減區(qū)間為 ;,極小值點為 ;,極大值點為 .,提示:,的正負作 f (x) 的示意圖.,,,單調(diào)增區(qū)間為

63、 ;,,,.,在區(qū)間 上是凸弧 ;,拐點為,提示:,的正負作 f (x) 的示意圖.,形在區(qū)間 上是凹弧;,則函數(shù) f (x) 的圖,(2) 設函數(shù),的圖形如圖所示,,,,,,,,,例8. 證明,在,上單調(diào)增加.,證:,令,在 [ x , x +1 ]上利用拉氏中值定理,,,,故當 x > 0 時,

64、,從而,在,上單調(diào)增.,得,例9. 設,在,上可導, 且,證明 f ( x ) 至多只有一個零點 .,證: 設,則,故,在,上連續(xù)單調(diào)遞增,,從而至多只有,一個零點 .,又因,因此,也至多只有一個零點 .,思考: 若題中,改為,其他不變時, 如何設輔助函數(shù)?,,,,例10. 求數(shù)列,的最大項 .,證: 設,用對數(shù)求導法得,令,得,,,因為,在,只有唯一的極大值點,因此,在 處,也取最大值 .,又因,中的最大項 .,

65、極大值,,,列表判別:,例11. 證明,證: 設,, 則,故,時,,單調(diào)增加 ,,從而,即,思考: 證明,時, 如何設輔助,函數(shù)更好 ?,提示:,例12. 設,在,上,存在 , 且單調(diào),遞減 ,,有,證: 設,則,所以當,令,得,即所證不等式成立 .,,,證明對一切,例13.,證: 只要證,利用一階泰勒公式, 得,故原不等式成立.,例14. 證明當 x > 0 時,,證: 令,則,法1. 由,在,處的二階泰勒公式 ,,

66、得,故所證不等式成立 .,與 1 之間),法2. 列表判別.,,,,,,,,,即,,例15. 求,解法1 利用中值定理求極限,原式,,,解法2 利用泰勒公式,令,則,原式,,解法3 利用洛必達法則,原式,,,P182 5 ; *7 ; *8 ; 10 (2) , (3) ; 11 (1) ; 17 ; 20,作業(yè),備用題,1. 設函數(shù),上具有二階導數(shù)，且滿足,證：,故序列,發(fā)散.,,

67、,(2007 考研）,保號性 定理,2. 設,在區(qū)間,上連續(xù) , 且,試證存在,使,證: 不妨設,,必有,使,故,保號性 定理,,必有,使,故,又在,上,連續(xù),,由零點定理知, 存在,使,3. 已知函數(shù),內(nèi)可導, 且,證: (1) 令,故存在,使,即,(2005 考研）,,內(nèi)可導, 且,(2) 根據(jù)拉格朗日中值定理, 存在,,使,3. 已知函數(shù),,,階導數(shù), 且存在相等的最大值, 并滿足,4. 設函數(shù),證:,據(jù)泰勒定理, 存