1第一節(jié) 中值定理

1、1習(xí)題習(xí)題3131.下列函數(shù)在給定區(qū)間上是否滿足羅爾定理的所有條件？如滿足，請求出滿足定理的1數(shù)值.?，；，.(1)2()23fxxx???[]11.5?(2)()3fxxx??[03]解:因為是多項式函數(shù)，所以在上連續(xù)，在(1)2()23fxxx???()fx[]11.5?內(nèi)可導(dǎo)，且，，所以函數(shù)在上滿足羅爾定理(11.5)?(1)0f??(01.5)f?()fx[]11.5?的所有條件.解方程，得.()410f??????111.(5

2、)4????因為，所以在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，且(2)()3fxxx??()fx[03](03)(0)0f?，，所以函數(shù)在上滿足羅爾定理的所有條件.(03)f?()fx[03]解方程，得.()3023f??????????2(03)???.驗證拉格朗日中值定理對函數(shù)在區(qū)間上的正確性.232()452fxxxx????[01]解：驗證定理，包括驗證定理條件與結(jié)論兩部分.因為是多項式函數(shù)，所以在上連續(xù)，在內(nèi)32()452fxxxx????()f

3、x[01](01)可導(dǎo)，且，解方程2()12101fxxx????，(1)(0)010ff????2()12101f???????得.故拉格朗日中值定理是正確的.(513)2(01)????.試證明對函數(shù)應(yīng)用拉格朗日中值定理時所求得的點總是位于32()fxpxqxr????區(qū)間的正中間.證明證明：設(shè)在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，則由拉格朗日中值定2()fxpxqxr???[]ab()ab理，至少存在一點，使得()ab??，()()(2)()fbf

4、apqba?????，22()()()()fbfapbqbrpaqar???????()()()pbabaqba?????3.()()ff??????證明證明：設(shè)，因為在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，所以在()()Fxxfx?()fx[01](01)()Fx上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，且.[01](01)(0)0(1)(1)0FFf???由羅爾中值定理，至少存在一點，使得1()0??，()()()0Fff?????????即.()()ff??????.若函數(shù)

5、在內(nèi)具有二階導(dǎo)函數(shù)，且9()fx()ab123()()()fxfxfx??12(axx??，證明：在內(nèi)至少有一點，使得.3)xb??13()xx?()0f????證明證明：因為在內(nèi)具有二階導(dǎo)函數(shù)，且，所以在()fx()ab12axx??3xb??()fx上可導(dǎo)，從而在上連續(xù)，又，所以在13[]xx()fx13[]xx123()()()fxfxfx??()fx和上都滿足羅爾中值定理，從而，在內(nèi)至少存在一點，使得12[]xx23[]xx12

6、()xx1?；在內(nèi)至少存在一點，使得.1()0f???23()xx2?2()0f???因為在內(nèi)可導(dǎo)，所以在上可導(dǎo)，進而在上連()fx?()ab()fx?12[]??()fx?12[]??續(xù)，又，故由羅爾中值定理，至少存在一點，使12()()0ff???????1213())(xx????得.()0f????.若次方程有個不同的實根，證明104043223140?????axaxaxaxa40234322130????axaxaxa的所有