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1、第三章微分中值定理與導數(shù)的應用第一節(jié)微分中值定理教學內(nèi)容和重點:教學內(nèi)容和重點:1、掌握并會應用羅爾定理、拉格朗日中值定理,2、了解柯西中值定理3、掌握定理的條件、結論及幾何意義;4、會用定理討論方程的根或證明不等式等問題一、羅爾定理一、羅爾定理1、羅爾定理:設函數(shù)同時滿足以下三條:??fx①、在上連續(xù);??fx??ab②、在內(nèi)可導;??fx??ab③、????.fafb?則至少存在一個圖形啟發(fā):最值點處導數(shù)為????..0.abstf
2、?????0。2、簡證:??????????1212abxxabs.t.fxMfxm.fx?????在上連續(xù),、①、????m=Mxmf?若則常數(shù),????ab0f???此時可取內(nèi)任意一點,有②、????????12mMxxababff???若,則、至少有一點在內(nèi)部,??????????????????????????1111111xx1111111xabxxxxxlim0xlim0xxxxxxx0xxabs.t.0.xxfffffff
3、ffff??????????????????????????????不妨設是存在的取則費馬引理:最值點???0.f????3、用處:????????abs.t.00abff??????????方程在內(nèi)至少有一個根。則羅爾定理可討論方程根的存在性(討論方程根的存在性有兩個:零點定理、羅爾定理)ab1?2?xyo)(xfy?????????2n11n0000aafxaxxx2n101123f0f10??????證:設=,在上考慮,、連續(xù),、
4、可導,、==,由羅爾定造函數(shù)理知結:選區(qū)間:論成立。二、拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理(解除羅爾定理中(解除羅爾定理中這個苛刻條件)這個苛刻條件)????fafb?1、拉格朗日中值定理:①、在上連續(xù);??fx??ab②、在內(nèi)可導;??fx??ab則,至少存在一個????????fbfa...baabstf???????2、幾何解釋:在曲線弧AB上至少有一點,在該點處的切線平行于弦?AB。3、簡證:用羅爾定理,造函數(shù),驗證端點值相同。?
5、?????????????????????????????????????????????????????????????????????????000y=fxLLxxfxLxab0xfbfaxbafxfbfaLxfaxabafbfaxfxLxxfxfaxaba1xab2xab3ab0fbfa..0.babstf?????????????????????????????????????????曲線弦=造==另:令=點斜式寫出弦軌跡。令=
6、=、在上連續(xù);、在內(nèi)可導;、=。則即.a?4、幾點應注意的問題:①、羅爾定理是拉格朗日定理的特例;②、????????fbfafbaab?????、大小無關;③、又稱有限增量定理,微分中值定理,精確表達:????????????????xfxIyfxxfxfxxxxdfxfxxyxx01xxxy=fxxxdydy???????????????AAAAAAAAAAA設在可導==有限增量定理其中在與之間=若=其中在與之間,微分中值定理。④、
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