第四節(jié)對(duì)面積的曲面積分

1、,第四節(jié),一、對(duì)面積的曲面積分的概念與性質(zhì),二、對(duì)面積的曲面積分的計(jì)算法,對(duì)面積的曲面積分,第十一章,1,一、對(duì)面積的曲面積分的概念與性質(zhì),引例: 設(shè)曲面形構(gòu)件具有連續(xù)面密度,類似求平面薄板質(zhì)量的思想, 采用,可得,求質(zhì),,“分割, 代替, 近似和, 求極限”,的方法,,量 M.,其中, ? 表示 n 小塊曲面的直徑的,(曲面的直徑為其上任意兩點(diǎn)間距離的最大者).,最大值,2,,,,,3,其中 f (x, y, z) 叫做被積,函數(shù)

2、, ? 叫做積分曲面.,據(jù)此定義, 曲面形構(gòu)件的質(zhì)量為,曲面面積為,4,則對(duì)面積的曲面積分存在.,? 對(duì)積分域的可加性.,則有,? 線性性質(zhì).,在光滑曲面? 上連續(xù),,對(duì)面積的曲面積分與對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分性質(zhì)類似.,? 積分的存在性.,若? 是分片光滑的,,例如分成兩,片光滑曲面,5,6,,定理: 設(shè)有光滑曲面,f (x, y, z) 在 ? 上連續(xù),,存在, 且有,,,二、對(duì)面積的曲面積分的計(jì)算法,則曲面積分,證明: 由定義知,,

3、,7,,而,(? 光滑),8,說(shuō)明:,可有類似的公式.,1) 如果曲面方程為,2) 若曲面為參數(shù)方程,,只要求出在參數(shù)意義下dS,的表達(dá)式 ,,也可將對(duì)面積的曲面積分轉(zhuǎn)化為對(duì)參數(shù)的,二重積分.,9,10,曲面為參數(shù)形式,其中,例1. 計(jì)算曲面積分,其中? 是球面,被平面,截出的頂部.,解:,11,思考:,若 ? 是球面,被平行平面 z =±h 截,出的上下兩部分,,則,12,例2. 計(jì)算,其中? 是由平面,坐標(biāo)面所圍成的四面體

4、的表面.,解: 設(shè),上的部分, 則,,與,原式 =,分別表示? 在平面,13,例3.,設(shè),計(jì)算,解: 錐面,,與上半球面,交線為,為上半球面夾于錐面間的部分,,它在 xOy 面上的,投影域?yàn)?則,14,思考: 若例3 中被積函數(shù)改為,,計(jì)算結(jié)果如何 ?,15,例4. 求半徑為R 的均勻半球殼 ? 的重心.,解: 設(shè) ? 的方程為,利用對(duì)稱性可知重心的坐標(biāo),而,用球面坐標(biāo),思考題: 例 3 是否可用球面坐標(biāo)計(jì)算 ?,,16,例5.

5、 計(jì)算,其中 ? 是球面,利用對(duì)稱性可知,解: 顯然球心為,半徑為,,,利用重心公式,,17,例6. 計(jì)算,其中 ? 是介于平面,之間的圓柱面,分析: 若將曲面分為前后(或左右),則,解: 取曲面面積元素,兩片,,則計(jì)算較繁.,18,,例7. 求橢圓柱面,位于 xOy 面上方及平面,z = y 下方那部分柱面 ? 的側(cè)面積 S .,解:,取,,19,例8. 計(jì)算,解: 取球面坐標(biāo)系, 則,20,內(nèi)容小結(jié),1. 定義:,2. 計(jì)算:

6、 設(shè),則,(曲面的其他兩種情況類似),注意利用球面坐標(biāo)、柱面坐標(biāo)、對(duì)稱性、質(zhì)心公式,簡(jiǎn)化計(jì)算的技巧.,21,思考與練習(xí),P222 題1；3；4 (1) ; 7,解答提示:,P222 題1.,P222 題3.,設(shè),則,P249 題2,22,P222 題4 (1).,? 在 xOy 面上的投影域?yàn)?這是 ? 的面積 !,23,P223 題7.,如圖所示, 有,,24,P249 題2.,限中的部分, 則有(

7、 ).,( 2000 考研 ),25,作業(yè)(5-23),P218 10 (2) (4) (7)P222-3 4(3); 5(2); 6(1), (3), (4); 8,第五節(jié),26,備用題 1. 已知曲面殼,求此曲面殼在平面 z =1以上部分? 的,的面密度,質(zhì)量 M .,解: ? 在 xOy 面上的投影為,故,27,2. 設(shè) ? 是四面體,面,