第九章矩陣的處理與運算

1、MATLAB 程式設計入門篇矩陣的處理與運算,張智星 (Roger Jang)jang@mirlab.orghttp://mirlab.org/jang臺大資工系 多媒體檢索實驗室,9-1 矩陣的索引或下標,矩陣 A 中，位於第 i 橫列、第 j 直行的元素可表示為 A(i, j) i 與 j 即是此元素的下標（Subscript）或索引（Index） MATLAB 中，所有矩陣的內(nèi)部表示法都是以直行為主的一維向量A(i

2、, j) 和 A(i+(j-1)*m) 是完全一樣的，其中m為矩陣A的列數(shù) 我們可以使用一維或二維下標來存取矩陣,Quiz,Suppose that A is a 2-dimensional array of size m×n.Given A(i, j), how to find the linear index y such that A(y) = A(i, j)?Given A(y), how to find i a

3、nd j such that A(i, j)=A(y)?,矩陣的索引或下標,,,矩陣的索引或下標,可以使用矩陣下標來進行矩陣的索引（Indexing）A(4:5,2:3) -取出矩陣 A 的 第四、五 橫列與 二、三 直行所形成的部份矩陣A([9 14; 10 15]) - 用一維下標的方式來達到同樣目的 用冒號（:）, 取出一整列或一整行 A(:, 5) -取出矩陣 A 的第五個直行 用 end 這個保留字來代表某一維度

4、的最大值 A(:, end) - 矩陣 A 的最後一個直行 可以直接刪除矩陣的某一整個橫列或直行 A(2, :) = [] – 刪除A矩陣的第二列 A(:, [2 4 5]) = [] - 刪除 A 矩陣的第二、四、五直行,矩陣的索引或下標,可把矩陣 A 和其倒數(shù)「並排」起來，得到新矩陣 B B = [A 1./A] % 1./A 是矩陣 A 每個元素的倒數(shù)用 diag 指令取出矩陣的對角線各元素 D = diag(B

5、)% 取出矩陣 B 的對角線元素D = diag(v)% 產(chǎn)生以向量 v 為主對角線的方陣E = A*diag(v)% 將矩陣A的每個行向量乘上向量v的元素E = diag(v)*A% 將矩陣A的每個列向量乘上向量v的元素用 reshape 指令來改變一個矩陣的維度 B = B(1:4, 1:4);C = reshape(B, 2, 8)% 將矩陣 B 排成 2×8 的新矩陣 CMATLAB 會先將矩陣

6、 B 排成一個行向量（即 MATLAB 內(nèi)部的矩陣表示法），再將此行向量塞成 2×8 的新矩陣,9-2 特殊用途矩陣,產(chǎn)生各種特殊用途矩陣的好用指令 :,Hilbert矩陣 & 魔方陣,hilb(n) 指令可以產(chǎn)生 n×n 的 Hilbert 矩陣 Hilbert 矩陣的特性: 當矩陣變大時，其反矩陣會接近 Singular（即矩陣的行列式會接近於 0）Hilbert 矩陣常被用來評估各種反矩陣計算方

7、法的穩(wěn)定性 magic(n) 可以產(chǎn)生一個 n×n 的魔方陣（Magic Matrix），其各個直行、橫列及兩對角線的元素值總和都相等,,均勻和高斯分布,rand 指令及 randn 指令則常用於產(chǎn)生亂數(shù)矩陣 範例9-11: matrix11.m,9-3矩陣的數(shù)學運算,矩陣的加減與一般純量（Scalar）的加減類似 相加或相減的矩陣必需具有相同的維度 範例9-12: matrix12.mC =

8、 13 37 58 24 矩陣與純量可以直接進行加減，MATLAB 會直接將加減應用到每一個元素 >> A = [1 2 3 2 1] + 5 A = 6 7 8 7 6,矩陣的乘法與除法,純量對矩陣的乘或除，可比照一般寫法 >> A = [123 , 442]; >> C = A/3 >

9、;> B = 2*A C = B = 41.0000 147.3333 246 884 欲進行矩陣相乘，必需確認第一個矩陣的直行數(shù)目（ Column Dimension） 必需等於第二個矩陣的橫列數(shù)目（Row Dimension） 範例9-13: matrix12.m C = 3 4 5 6 8

10、 10 矩陣的除法，常藉由反矩陣或解線性方程式來達成,矩陣的次方運算,矩陣的次方運算，可由「^」來達成，但矩陣必需是方陣，其次方運算才有意義 範例9-14: matrix14.m B = 91 67 67 67 91 67 67 67 91 在「*」，「/」及「^」之前加上一個句點，MATLAB 將會執(zhí)行矩陣內(nèi)「元素對元素」（Element-

11、by-element） 的運算,轉置和「共軛轉置」矩陣,複數(shù)矩陣 z，其「共軛轉置」矩陣（Conjugate Transpose） 可表示成矩陣 z' 範例9-16: conjTranspose01.mw = 1.0000-1.0000i 3.0000 2.0000 1.0000-2.0000i 想得到任何矩陣 z 的轉置（Transpose），則可表

12、示成矩陣 z. ' 範例9-17: transpose01.mw = 1.0000+1.0000i 3.0000 2.0000 1.0000+2.0000i若 z 為實數(shù)，則 z' 和 z.' 的結果是一樣的,向量的Lp-norm,一個向量 a 的 Lp-norm 可以定義為p=1 ? taxicab distance, or M

13、anhattan distancep=2 ? Euclidean Length (length of a) P=inf ? max. distance 欲求一向量的 p-norm，可使用 norm 指令 norm(x,p)範例9-18: normVector01.m,,,Quiz!,Quiz for Lp-norm,ProveOn a 2D space, plot the trajectory of,,,矩陣的Lp-nor

14、m,一個矩陣 A 的 Lp-norm 可以定義如下：norm 指令亦可用於計算矩陣的 Lp-norm範例9-19: normMatrix01.m MATLAB 有相當完整的數(shù)學函數(shù),三角函數(shù)還有計算向量元素統(tǒng)計量的函數(shù)(課本 9-15~9-17),,Sort指令,sort 指令可對向量元素進行排序（Sorting） 範例9-20: sort01.msorted = 1 3 4

15、 5 8index = 4 1 5 2 3sorted 是排序後的向量，index 則是每個排序後的元素在原向量 x 的位置，因此 x(index) 即等於 sorted 向量。 如何使用 sort 指令加上前例中的 sorted 及 index 來求得原先的向量 x？,Exerrcise!,矩陣的最大元素,找出一矩陣最大元素的位置 範例9-21: max01.m

16、 colMax = 23 24 25 21 22colMaxIndex = 2 1 5 4 3colMax 代表每一直行的最大值，colMaxIndex 則是每一直行出現(xiàn)最大值的位置 求得 x 的最大元素的位置 範例9-22: max02.mMax value = x(5, 3) = 25x 的最

17、大元素即是 maxValue，發(fā)生位置為 [colMaxIndex(maxIndex), maxIndex] = [5 , 3] 若只要找出一矩陣 x 的最大值，可輸入 max(max(x))或是 max(x(：)),9-4 矩陣的內(nèi)部資料型態(tài),一般矩陣的內(nèi)部資料型態(tài)都是 double（雙精準浮點數(shù)），但在 MATLAB 5.3 版之後，也支援不同長度的整數(shù)與浮點數(shù)資料態(tài),不同資料的儲存,我們要節(jié)省記憶體空間，可以依矩陣元素值的範

18、圍，選用不同的資料來儲存 範例9-23: datatype01.mName Size Bytes Class x16 10x10 200 uint16 array x32 10x10 400 uint32 array x8

19、 10x10 100 uint8 array x_double 10x10 800 double array x_single 10x10 400 single arrayGrand total is 500 elements using 1900 bytes

20、 uint8 來儲存變數(shù)所佔的空間只有 double 的八分之一 !,資料儲存的注意事項,整數(shù)資料型態(tài)的範圍有限，若超過此範圍，則超出部分將會被「裁掉」>> uint8(300)% uint8 的最大值為 255 ans = 255 >> int8(-500)% int8 的最小值為 -128 ans = -128 整數(shù)資料型態(tài)可以比較大小，亦可直接進行數(shù)學運算，但必須注意其資

21、料型態(tài)的自動轉換： >> uint8(20)== 20% 可比較大小 ans = 1 >> z=uint8(magic(3))>> z*2.5(Please try it by yourself to get the conversion rule!) 若要進行精準的數(shù)學運算，需先用 double 指令將整數(shù)型態(tài)之變數(shù)轉成雙倍精準浮點數(shù),Interestin