初中數(shù)學(xué)解題中的分類思想

1、初中數(shù)學(xué)解題中的分類思想,一.與概念有關(guān)的分類,1. 一次函數(shù)y=kx+b的自變量的取值范圍是 -3≤x≤ 6，，相應(yīng)的函數(shù)值的取值范圍是 -5≤y≤-2 ，則這個(gè)函數(shù)的解析式 是 。,解析式為 Y= x-4, 或 y=- x-3,,2. 函數(shù)y=ax2-ax+3x+1與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)，求a的值與交點(diǎn)坐標(biāo)。,當(dāng)a=0

2、時(shí),為一次函數(shù)y=3x+1,交點(diǎn)為（- ，0）；當(dāng)a不為0時(shí),為二次函數(shù)y=ax2+(3-a)x+1, △ =a2 -10a+9=0.解得a=1或 a=9,交點(diǎn)為（-1，0）或（ ，0）,二.圖形位置的分類,3.平面上，過(guò)一點(diǎn)P任意作一條直線m,與半徑為r的圓O交于兩點(diǎn)A、B，如果設(shè)點(diǎn)P與點(diǎn)O的距離為d，那么PA·PB的值是多少？,分析：在這個(gè)問(wèn)題中，點(diǎn)P的位置不確定，可能在圓內(nèi)，也可能在圓上或圓外。所以這是一

3、個(gè)條件開(kāi)放題，需要對(duì)條件進(jìn)行分類討論。,解:1）如果點(diǎn)P在圓外（如圖1）則由切割線定理可知 PA·PB=PC·PD=（PO－CO）（ＰＯ＋ＯＤ）　　　　　　　　　　　 =（d－r)(d+r) =d2－r2,（2）如果點(diǎn)P在圓上（如圖2）則PO=d=r,PA=0(A、P重合）　

4、 PA·PB=0，即ＰＡ·ＰＢ＝ｄ２－ｒ２,（３）如果點(diǎn)Ｐ在圓內(nèi)（如圖３），則由相交弦定理可知　　　　　　　 ＰＡ·ＰＢ=PCPD=（OC－OP）（OD+OP） =（ｒ－ｄ）（ｒ＋ｄ）　　　　　　　　　　　　 =r2－d2,結(jié)論：過(guò)任一已知點(diǎn)作直線與

5、圓相交，則該點(diǎn)與交點(diǎn)的距離的乘積為定值，該定值是點(diǎn)到圓心的距離與半徑的平方差的絕對(duì)值。,4. 如圖，直線AB經(jīng)過(guò)圓O的圓心，與圓O交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)C在O上，且∠ACO=30，點(diǎn)P是直線AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（與點(diǎn)O不重合），直線PC與O相交于點(diǎn)Q，問(wèn)點(diǎn)P在直線AB的什么位置時(shí)，QP=QO？這樣的點(diǎn)P有幾個(gè)？并相應(yīng)地求出∠OCP的度數(shù)。,解：∵OQ=OC，OQ=OP ∴∠OQC=∠OCQ，∠QOP=∠QPO

6、 設(shè)∠OCP=x度 , 則有：,（2）如果點(diǎn)P在線段OB上，顯然有PQ＞OQ，所以點(diǎn)P不可能在線段OB上。,（1）如上圖， 當(dāng)點(diǎn)P在線段OA上時(shí)， ∵∠OQC=∠OCP=x, ∴∠QPO=（180－∠OQP）=（180－x)又∠QPO=∠OCP+∠COP，(180－x)=x+30, 解得x=40, 即∠OCP=40度,（3）如圖，當(dāng)點(diǎn)Ｐ在的ＯＡ延長(zhǎng)線上時(shí)， ∵∠OQC=∠OCQ=

7、180－ｘ， ∴∠OPQ= （180－x)= x. 又∵∠QCO=∠CPO+∠COP，∴180－x=x+30, 解得x=100 即∠OCP=100度,（4）如圖當(dāng)Ｐ在ＯＢ的延長(zhǎng)線上時(shí)， ∵∠OQC=∠OCQ=x,∴∠OQC=∠QPO+∠QOP, ∴∠QPO= ∠OQC= x, 又∠COA=∠OCP+∠CPO, 解方程

8、30=x+ x, 得到x=20 即∠OCP=20度,7。在Ｒｔ△ABC中，∠C=90，AC=3，BC=4。若以Ｃ為圓心，Ｒ為半徑的圓與斜邊只有一個(gè)公共點(diǎn)，則R的值為多少？,5。在半徑為1的圓O中，弦AB、AC的長(zhǎng)分別是 ，則∠BAC的度數(shù)是 。,6?！鰽BC是半徑為2cm的圓的內(nèi)接三角形，若BC=2 cm,則角A的度數(shù)是 。,,,,8.

9、.半徑為R的兩個(gè)等圓外切，則半徑為2R且和這兩個(gè)圓都相切的圓有幾個(gè)？,9. 兩圓半徑分別為2和4，它們有兩條公切線互相垂直，則這兩圓的圓心距為多少？,三.與相似三角形有關(guān)的分類,10。在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=6cm，點(diǎn)P沿AB邊從點(diǎn)A出發(fā)向B以2cm秒的速度移動(dòng);點(diǎn)Q沿DA邊從點(diǎn)D開(kāi)始向A以1cm/秒的速度移動(dòng)。如果P、Q同時(shí)出發(fā)，用t秒表示移動(dòng)的時(shí)間（0＜x＜6）那么：（1）當(dāng)t為何值時(shí)，△QAP為等腰直角三角形？

10、（2）求四邊形QAPC的面積；提出一個(gè)與計(jì)算結(jié)果有關(guān)的結(jié)論；（3）當(dāng)t為何值時(shí)，以點(diǎn)Q、A、P為頂點(diǎn)的三角形與ABC相似？,解：對(duì)于任何時(shí)刻t，AP=2t,DQ=t,　QA=6－ｔ，當(dāng)ＱＡ=AP時(shí)，△QAP為等腰直 角三角形，即6－t=2t,解得t=2（秒）,（3）根據(jù)題意，可分為兩種情況來(lái)研究在矩形ABCD中：①當(dāng) = 時(shí)，△QAP∽△ABC，則 = ，解得t=

11、 =1.2秒。所以當(dāng)t=1.2秒時(shí)，△QAP∽△ABC。②當(dāng) = 時(shí)，△PAQ∽△ABC，則 = ，解得t=3（秒）。所以當(dāng)t=3秒時(shí)，△PAQ∽△ABC。,（2）在△QAC中，S= QA·DC= （ 6－t)·12=36－６ｔ在△APC中，S= AP·BC= · ２ｔ·６＝６ｔQAPC的面積S=（３６－6t)+6t=36(cm2