物體的彈性骨的力學性質(zhì)

1、第八章　物體的彈性　骨的力學性質(zhì),在研究剛體的運動時，我們忽略了在外力作用下物體形狀和大小的變化，從而引入了剛體這一理想模型。實際上任何物體在外力作用下其形狀和大小都會發(fā)生變化，即產(chǎn)生一定的形變。若形變不超過一定限度，當除去外力后，物體能完全恢復原狀，這種形變稱為彈性形變；若形變超過一定限度，當除去外力后，物體不能再恢復原狀，這種形變稱為塑性形變。研究物體在力的作用下所產(chǎn)生的形變，不僅在工程上，而且在生物醫(yī)學上也有著重

2、要意義。這一章主要討論物體的彈性形變及骨的力學性質(zhì)。,第一節(jié)　應力和應變,1.1　應力設一粗細均勻、截面積為S的棒，在棒的兩端施加大小相等、方向相反的拉力F，如圖所示。在棒上任取一截面BC，由于棒處于平衡狀態(tài)，根據(jù)牛頓第三定律，則被BC分開的兩部分存在有相互作用，這種相互作用稱為張力。對整個棒來說，張力是內(nèi)力，對被分開的部分來說，它又是外力，而且是作用在整個橫截面上的，其大小與所施加的拉力 F 相,等,在橫截面上均勻分布

3、。我們將橫截面上的力與橫截面積的比稱為應力，用σ表示，即 σ =F/S,當棒處于拉伸狀態(tài)時，這一應力稱為張應力；當棒處于壓縮狀態(tài)時，這一應力稱為壓應力。張應力和壓應力都是垂直于橫截面的，因此又稱正應力。應力的單位是N.m-2。設有一長方形物體，底面固定，現(xiàn)在上表面施加一與表面相切的作用力F，如圖所示。由于 物體 是處于平衡狀態(tài)，所以底面也受到一與F大小相等、方向相反的切向力作用。任取一與底面平行的橫截面，顯然橫截面上下

4、兩部分也受到與橫截,面相切的且與 F 大小相等的力的相互作用，這種力是沿切向的內(nèi)力。這種情況下單位截面上,的內(nèi)力稱為切應力，用τ 表示。若橫截面積為 S ，則切應力,當一固定體放在靜止的液體或氣體中時，固體要受到流體靜壓強的作用。不論固體表面的形狀如何，流體靜壓強總是垂直于固體表面的。這種壓強不僅作用于表面上，在固體內(nèi)任一平面，都有垂直于該面的壓強作用。這種壓強也是一種應力，是由于物體受到均勻壓強作用而產(chǎn)生的。同樣，

5、當液體或氣體的表面受到與其表面垂直的壓強作用時，其內(nèi)部任一想象平面上都有垂直該面的應力作用。,總之，應力是作用在物體內(nèi)單位截面積上的內(nèi)力。應力反應了發(fā)生形變的物體內(nèi)部的緊張程度。,對腱,例1、人骨骼上的二頭肌臂上部肌肉可以對相連的骨骼施加約600N的力，設二頭肌橫截面積為50cm2。腱將肌肉下端聯(lián)到肘關(guān)節(jié)下面的骨骼上，設腱的截面積約0.5cm2。試求二頭肌和腱的張應力。解： 張應力是作用在單位面積上的內(nèi)力，對二頭　

6、　肌有：,,1.2 應 變 物體受到應力作用時，其長度、形狀和體積都要發(fā)生變化，這種變化與物體原來的長度，形狀或體積的比稱為應變。上面所討論的每種應力都有與之相對應的應變。,當棒受到壓應力作用時，上式仍然成立，此時的,（1）張應變與壓應變有一原長為l0的棒的兩端受到大小相等，方向相反的作用力時，棒伸長到l，則棒的絕對伸長Δl=l－l0。棒的絕對伸長與原來的比稱為張應變，用ε表示，即：,應變稱為壓應變。壓

7、應變是棒縮短的長度與棒原長之比。,我們可以用 φ 角來表示由切應力引起的形變，稱為切應變，也叫做剪應變。在彈性限度內(nèi)，φ角很小，因此有tgφ≈ φ,則切應變?yōu)椋?（2）切應變一長方體在切應力的作用下形狀發(fā)生變化，變?yōu)樾钡钠叫辛骟w。所有與底面平行的截面在切應力作用下都要發(fā)生相對位移。設上下兩面間的距離為OA= l0, 兩表面的相對位移為Δx=AA’，則有：,（3）體應變對應于流體靜壓強的應變，稱為體應變。體應變定義為物

8、體的體積變化ΔV與物體原來體積V0的比，用θ表示，即：,第二節(jié)　彈性模量,2.1　彈性與塑性,產(chǎn)生一定的變形所需要的應力決定了某種材料在受力狀態(tài)下的性質(zhì)，因此常需要通過測定材料的,應力與應變曲線來研究材料的性質(zhì)。不同材料的應力 ~ 應變曲線不同。如圖是某金屬材料進行拉伸實驗得到的應力 ~ 應變曲線。應力是張應力，應變是張應變。曲線的第一階段由O點到A點為一直線。這一階段應力不大，,相應的應變也不大，應力與應變成正比。A 點

9、稱為比例極限，在比例極限內(nèi)應力與應變成正比，這一規(guī)律稱為胡克定律，不同的材料其比例系數(shù)不同。由A點到B 點，,隨著應力的增大，相應的應變有比較大的增加，這時應力與應變不再成正比。但是由O 點至B 點之間,將引起形變的外力除去后，材料可沿原曲線返回，即恢復原來的長度，形變消失。這表明，在OB范圍內(nèi)材料具有彈性，所以將B點稱為彈性極限。當應力超過B 點后，就是曲線的第二階段，如到達C點，這時除去外力后，應變不會變?yōu)榱?，?/p>

10、料不會沿實線返回，而是沿虛線返回，存在剩余形變 OO’。超過C 點后，再增大外力，應變隨著有較大的增加，直到D點時材料發(fā)生斷裂。由B 點到D 點材料發(fā)生的不再是彈性形變，而是塑性形變。材料斷裂時的應力稱為抗張強度或極限強度。若對材料進行的是壓縮實驗，則斷裂點的應力稱為材料的抗壓強度?！　∪绻牧系臄嗔腰cD 離彈性極限B 較遠，即材,料能產(chǎn)生較大的塑性形變，則說這種材料具有塑性（或延性）；如果斷裂點D 離彈性極限點B 很

11、遠，則說這種材料具有脆性。,2.2彈性模量 根據(jù)胡克定律，在彈性限度內(nèi)，應力與應變是成正比的。 當材料受到正應力（張應力或正應力）作用時，胡克定律的形式為：,式中比例系數(shù) Y 稱為該材料的楊氏彈性模量或楊氏模量。有些材料，比如人的骨骼，其在張應力和壓應力下對應的楊氏模量不相等。,當材料受到切應力作用時，胡克定律的形式為：,式中比例系數(shù) G 稱為材料的切變彈性模量或剛性模量。大多數(shù)材料的切變模量

12、約是楊氏模量的1/2到1/3 。當物體的體積發(fā)生變化時，胡克定律的形式為：,式中比例系數(shù)B成為材料的體積彈性模量。由于體變時壓強增加，材料的體積縮小，△V為定值，式中的負號保證了等式兩邊均為正值。體積彈性,模量的倒數(shù)稱為壓縮率，用K表示,即,式中F/S應是壓強的變化量，用ΔP表示，則上式可表示成：,例2、一橫截面積為1.5cm2的圓柱形的骨樣品，在其上端加上一質(zhì)量為 10kg 的重物，則其長度縮小了0.0065%。求骨樣品

13、的楊氏模量。　解：,壓應力為,根據(jù)胡克定律　　　，即σ＝Y(jié)ε，則有楊氏模量為,第三節(jié)　形變勢能,在彈性限度內(nèi)，物體在外力的作用下 發(fā)生了彈性形變。在這一過程中，外力對彈性物體做了功，外力所做的功以彈性勢能的形式儲存在彈性物體中，也就是說外力所做的功轉(zhuǎn)變?yōu)閺椥晕矬w的形變勢能。 我們來討論一長為l0、橫截面積為S的均勻直棒在產(chǎn)生拉伸形變時的形變勢能。 設施加在棒上的拉力為F，棒被拉伸到 l（拉伸形變

14、時橫截面S的變化很小，可將其忽略），則棒的絕對伸長為 l－l0.。根據(jù)胡克定律，有,外力F將棒拉伸dl時作用的元功用dA表示，則,所以：,外力 F 將棒由l0拉長到 l 時作的總功應為上式的積分：,對一定的材料來說，Y、l0、S均為常數(shù)，令,k稱為彈性物體的力常數(shù)或勁度系數(shù)，則：,外力所作的功全部轉(zhuǎn)變?yōu)榘舻男巫儎菽?，用EP表示形變勢能，則有A＝EP，所以,或,式中，　為應變，Sl0為棒的體積。顯然，　　是單位體積內(nèi)的形變勢能，稱

15、為形變,勢能密度，用ωP表示，即,同理，可以求出在切變或體變情況下的形變勢能密度，分別用ωG 和ωB表示，則可得,根據(jù)上面的討論可以看出，物體發(fā)生彈性形變時，其形變勢能密度為彈性模量與應變平方的積的二分之一。對不同類型的彈性形變，應該用該形變所對應的彈性模量。,第四節(jié) 骨的力學性質(zhì)骨在人的生命活動中起著非常重要的作用，它的主要功能是支持、運動及對各種器官的保護作用等。人體具有206塊骨，形態(tài)各異，但基本上可以分為長骨

16、、短骨、扁骨和不規(guī)則骨四種類型。骨的形態(tài)及骨在人體上的分布是與功能相適應的，長骨分布在四肢，比如股骨，肌肉通過肌腱和韌帶附著在骨上，骨系統(tǒng)加上肌肉支持著人體，在肌肉,力的作用下人體通過骨關(guān)節(jié)產(chǎn)生運動；短骨一般分布在負重、受壓或運動復雜的部位，如手的腕骨和腳的跗骨；扁骨呈板狀，如肩胛骨和顱骨，顱骨圍成的顱骨腔起保護大腦和神經(jīng)的作用，不同形態(tài)的骨，其力學性質(zhì)是不同的。,骨是人體內(nèi)最主要的承載組織，骨骼的變形、損傷或破壞與受

17、力的方式有關(guān)。人體骨骼所受的力雖然有多種形式，但可以分為四種基本形式，即拉伸與壓縮、剪切、彎曲、扭轉(zhuǎn)這四種形式稱為基本載荷。若骨骼同時受到兩種或兩種以上的基本載荷作用，這種情況下骨骼受的力稱為復合,4.1　骨的受力,載荷。復合載荷可視為兩種或兩種以上的基本載荷復合而成。,1、拉伸與壓縮　　拉伸與壓縮載荷是施加于骨表面大小相等、方向相反的載荷，例如人在作懸垂運動或舉重時四肢長骨就是受到這種載荷的作用。如圖是人的潤濕長骨的

18、軸向拉伸與壓縮實驗曲線，即應力與應變曲線。拉伸曲線和壓縮曲線形狀相近，都有,較長的直線段，在這一階段應力與應變成正比，服從胡克定律，所以可以認骨骼具有彈性。但是拉伸和壓縮時楊氏彈性模量不同。此外，與一般金屬材,料不同的是骨骼在不同的方向上會表現(xiàn)出不同的力學特性，這種性質(zhì)稱為各向異性。,2、剪切　　在與骨骼橫截面平行的方向施加載荷，這種載荷就是剪切，這時骨的橫截面上的應力就是切應力。人的骨骼所能承受的剪切載荷比拉伸和壓

19、縮載荷低得多。,3、扭轉(zhuǎn)　　當骨骼的兩端受到與其軸線相垂直的一對大小相等、方向相反的力偶作用時，會使骨骼沿軸線形成受扭轉(zhuǎn)狀態(tài)。這一對力偶產(chǎn)生的力矩，稱為扭矩，用M 表示。扭矩M 就是扭轉(zhuǎn)載荷。骨骼,受到扭轉(zhuǎn)載荷作用時，橫截面承受切應力作用，其分布如圖。切應力的大小除與扭矩M成正比外，還與點到軸線的距離成正比，在軸線處切應力為零，越靠近邊緣切應力越,大，在邊緣處的切應力最大。人的四肢長骨是中空的，這種截面對抗扭來說合理

20、截面，中空處切應力為零，而在外緣切應力較大處相應的載面尺寸較大，增強了抗扭能力。,4、彎曲　 當骨骼受到使其軸線發(fā)生彎曲的載荷作用時，,骨骼會發(fā)生彎曲形變。這種載荷可以是垂直軸線的橫向力，也可以是包括骨骼軸線在內(nèi)的平面中的一對大小相等、方向相反的力偶矩的作用。骨骼產(chǎn)生彎曲形變時，在軸線處有一層骨沒有產(chǎn)生應力和應變，稱為中性層。見圖，圖中的軸線 OO’表示中性層。圖也給出了骨骼受彎曲載荷作用時的應力分布，橫截面上的應

21、,力為正應力，應力的大小與至中性層的距離成正比。在凸側(cè)骨骼受拉伸作用，在凹側(cè)骨骼受壓縮作用。由于成人骨骼的抗拉伸能力低于抗壓縮能力，因此,在發(fā)生彎曲破壞時，斷裂是從凸面開始，然后凹面才開始斷裂。成人股骨受彎曲載荷時的極限強度比拉伸和壓縮時的極限強度都大得多，所以骨骼有較好的抗彎性能。,5、復合載荷 上面討論的都是骨骼受單一載荷作用的情況。實際生活中骨骼只受一種載荷的情況很少，大多是同時受到兩種或兩種以上載

22、荷的作用，這種載,荷稱復合載荷。左圖表示了髖關(guān)節(jié)受復合載荷作用的情況，股骨頭往往受到斜向壓力的作用，用 P 表示斜向壓力。圖中虛線是股骨頭的軸線，將 P 分解為與軸線平行和垂直,的兩個分量P//和P┴。 P//是壓縮載荷， P┴對股骨頭施加一個力矩，使股骨頭發(fā)生彎曲，因此P┴是彎曲載荷。顯然股骨頭所受的載荷是壓縮和彎曲兩種復合而成的載荷。,4.2 骨的力學特性,1、骨的力學特性與骨的結(jié)構(gòu)有關(guān) 骨主要由骨質(zhì)構(gòu)成，

23、骨質(zhì)分為兩種。一種構(gòu)成骨的表層，致密而堅硬，稱為密質(zhì)骨；另一種是分布在骨的內(nèi)部呈蜂窩狀的疏松體，稱為松質(zhì)骨，松質(zhì)骨具有一定的韌性，能承受較大的彈性形變。密質(zhì)骨和松質(zhì)骨的分布因骨的種類不同有所不同。長骨的密質(zhì)骨在中部骨干部分很厚，向兩端逐漸,變薄，松質(zhì)骨主要分布在長骨的兩端；短骨表面有一層較薄的密質(zhì)骨，內(nèi)部充滿松質(zhì)骨；扁骨是由密質(zhì)骨構(gòu)成內(nèi)外兩層骨板，中間夾有一層松質(zhì)骨。骨的成分中有骨膠原和骨礦物質(zhì)。骨膠原是存在于筋腱和韌

24、帶中的一種纖維蛋白，膠原纖維能拉長到大于本身線度的20%，　　骨的抗拉強度很大，約為90MN/m2，骨膠原使骨質(zhì)有較大的抗拉強度和韌性；骨礦物質(zhì)有很大的抗壓強度，使骨具有較大的抗壓強度。因此骨的構(gòu)成類似于鋼筋混凝土，既有一定的強度和硬度，又有一定的彈性和韌性?！　?　長骨的力學性質(zhì)　　長骨是人體骨骼的主要受力部分，長骨的中間部位是骨干，兩端是骨骺，而內(nèi)部是中空的骨髓腔,骨干松質(zhì)骨少，密質(zhì)骨厚，有較大的強度和硬度，抗壓

25、強度較高，是松質(zhì)骨的4 ~ 5倍。所以骨干的力學改制接近脆性材料。骨骺密質(zhì)骨較薄，松質(zhì)骨發(fā)達且粗大，因此承載面積較大，受力比較均勻，可以承受較大的載荷，能產(chǎn)生較大的彈性變形而不損傷，抗拉性能較好，高于骨干，但抗壓強度較低，只是骨干的22%，骨骺的力學性質(zhì)接近塑性材料。由于長骨有塑性材料的彈性和韌性，又具有脆性材料的強度和硬度，所以,長骨既抗又抗壓。下表給出了人的脛骨與其他常用材料強度的比較，由表中可以看出，長骨的抗壓能

26、力與花崗巖相近，而抗拉強度卻比花崗巖大20倍。長骨除受拉伸與壓縮的載荷作用外，更多的是受扭轉(zhuǎn)或彎曲的載荷作用。受扭轉(zhuǎn)時，橫截面上主要是切應力的作用，在截面中心部位切應力最小，在邊緣處切應力最大；受彎曲時，橫截面上主要是正應力的作用，在中性層正應力最小，在邊緣處正應力最大。長骨的橫截面可以近似的視為空心圓截面，與實心截面相比，在,截面積相等的情況下，相當于將實心圓中心部位受應力很小的部分挖去填在截面的外緣，增大了邊緣的,

27、尺寸，相應的增加了外緣對應力的承受能力。因此空心圓截面對抗扭和抗彎來說是合理截面。人體長骨中部為骨骼腔，不僅具有生理作用，而且從力學角度來說也是完全合理的結(jié)構(gòu)。,3、骨的應刺激1）一定范圍的應力刺激，會影響骨的組織、結(jié)構(gòu)和形態(tài)，從而影響骨的力學性質(zhì)?！　」鞘腔钚晕镔|(zhì)，在不斷的生長發(fā)育。應力刺激對骨細胞的生長和吸收起著調(diào)節(jié)作用。一定范圍內(nèi)經(jīng)常性的、間歇式的壓應刺激，能助長骨的生長，使骨的形態(tài)變粗增厚，密度加大，改善骨的力

28、學性質(zhì)。骨的應力刺激減少，會使骨吸收大于骨生長，結(jié)果是骨骼萎縮，骨質(zhì)疏松。四肢癱瘓的病人，骨,骼所受的應力明顯減少，除受地心引力外，沒有由于肌肉收縮引起的應力作用，發(fā)生明顯的骨吸收，在大量高鈣尿排出體外，骨骼萎縮，產(chǎn)生骨質(zhì)疏松癥，使骨在形態(tài)、組織結(jié)構(gòu)和功能上變得異常，力學性能明顯降低。宇航員在太空中生活，由于是在失生狀態(tài)下，所以骨骼受的應力刺激大大減小，尿的含鈣量與在地面相比增加60%以上，同樣會引起骨質(zhì)疏松。因此，要

29、促進骨的生長，必須有經(jīng)常性的應力刺激，尤其是壓應力刺激。壓應力刺激是應力刺激的主要因素，對骨組織的影響最大，美國學者拉什指出：固定不變的壓應力刺激會引起骨萎縮，而間歇性的壓應力刺激才能促使骨的生長。所以，體育鍛煉是這種應力刺,激的好形式，不公刺激和影響肌肉組織，而且刺激骨組織的生長?！　?）應力刺激對骨損傷的修復、愈合和再長起重要作用　　骨組織是能再生和修復的組織，修復和再生后其化學成分和物理性質(zhì)與原來的骨完全相同。

30、應力刺激會使受傷后的骨組織進行再生，骨痂可以不斷的形成和增殖。所以，必須在骨損傷或骨折的斷端施加應力，使其發(fā)生形變，骨組織在形變的情況下產(chǎn)生骨痂。一般也，應力越大，骨痂越豐富，且增殖迅速，能夠促進骨的愈合和再生，最終成為與受傷前完全相同的骨組織。,習題：,1、一勻質(zhì)的鉛絲豎直懸掛，鉛絲的密度為ρ，ρ＝11.3?103kg/m3，長度為L0。求：（1）由于鉛絲自身的重量所產(chǎn)生的應在距懸點L/4處的值是距懸點3L/4處值的