由已知分布的隨機(jī)抽樣

1、第三章 由已知分布的隨機(jī)抽樣,隨機(jī)抽樣及其特點(diǎn)直接抽樣方法挑選抽樣方法復(fù)合抽樣方法復(fù)合挑選抽樣方法替換抽樣方法隨機(jī)抽樣的一般方法隨機(jī)抽樣的其它方法作 業(yè),,第三章 由已知分布的隨機(jī)抽樣,本章敘述由己知分布抽樣的各主要方法，并給出在粒子輸運(yùn)問題中經(jīng)常用到的具體實(shí)例。,,,隨機(jī)抽樣及其特點(diǎn),由巳知分布的隨機(jī)抽樣指的是由己知分布的總體中抽取簡單子樣。隨機(jī)數(shù)序列是由單位均勻分布的總體中抽取的簡單子樣，屬于一種特殊的由已知分

2、布的隨機(jī)抽樣問題。本章所敘述的由任意已知分布中抽取簡單子樣，是在假設(shè)隨機(jī)數(shù)為已知量的前提下，使用嚴(yán)格的數(shù)學(xué)方法產(chǎn)生的。 為方便起見，用XF表示由己知分布F(x)中產(chǎn)生的簡單子樣的個(gè)體。對(duì)于連續(xù)型分布，常用分布密度函數(shù)f(x)表示總體的己知分布，用Xf表示由己知分布密度函數(shù)f(x)產(chǎn)生的簡單子樣的個(gè)體。另外，在抽樣過程中用到的偽隨機(jī)數(shù)均稱隨機(jī)數(shù)。,,,直接抽樣方法,對(duì)于任意給定的分布函數(shù)F(x)，直接抽樣方法如下

3、： 其中，ξ1，ξ2，…，ξN為隨機(jī)數(shù)序列。為方便起見，將上式簡化為： 若不加特殊說明，今后將總用這種類似的簡化形式表示，ξ總表示隨機(jī)數(shù)。,,,,證明,下面證明用前面介紹的方法所確定的隨機(jī)變量序列X1，X2，…，XN具有相同分布F(x)。 對(duì)于任意的n成立，因此隨機(jī)變量序列X1，X2，…，XN具有相同分布F(x)。另外，由于隨機(jī)數(shù)序列ξ1，

4、ξ2，…，ξN是相互獨(dú)立的，而直接抽樣公式所確定的函數(shù)是波雷爾（Borel）可測(cè)的，因此，由它所確定的X1，X2，…，XN也是相互獨(dú)立的（[P.R.Halmos, Measure theory, N.Y.Von Nosrtand,1950]§45定理2）。,,,,,離散型分布的直接抽樣方法,對(duì)于任意離散型分布： 其中x1，x2，…為離散型分布函數(shù)的跳躍點(diǎn)，P1，P2，…為相應(yīng)的概率，根據(jù)前述直接

5、抽樣法，有離散型分布的直接抽樣方法如下： 該結(jié)果表明，為了實(shí)現(xiàn)由任意離散型分布的隨機(jī)抽樣，直接抽樣方法是非常理想的。,,,,,,例1. 二項(xiàng)分布的抽樣,二項(xiàng)分布為離散型分布，其概率函數(shù)為： 其中，P為概率。對(duì)該分布的直接抽樣方法如下：,,,,,,例2. 泊松(Possion)分布的抽樣,泊松(Possion)分布為離散型分布，其概率函數(shù)為： 其中，λ>0

6、。對(duì)該分布的直接抽樣方法如下：,,,,,,例3. 擲骰子點(diǎn)數(shù)的抽樣,擲骰子點(diǎn)數(shù)X=n的概率為： 選取隨機(jī)數(shù)ξ，如 則 在等概率的情況下，可使用如下更簡單的方法： 其中［］表示取整數(shù)。,,,,,,例4. 碰撞核種類的確定,中子或光子在介質(zhì)中發(fā)生碰撞時(shí)，如介質(zhì)是由多種元素組成，需要確定碰撞核的種類。假定介質(zhì)中每種核的宏觀總截面分別為Σ1，Σ2，…，Σn，則中

7、子或光子與每種核碰撞的概率分別為： 其中Σt＝Σ1＋Σ2＋…＋Σn。碰撞核種類的確定方法為：產(chǎn)生一個(gè)隨機(jī)數(shù)ξ，如果 則中子或光子與第I種核發(fā)生碰撞。,,,,,,例5. 中子與核的反應(yīng)類型的確定,假設(shè)中子與核的反應(yīng)類型有如下幾種:彈性散射，非彈性散射，裂變，吸收，相應(yīng)的反應(yīng)截面分別為Σel，Σin，Σf，Σa。則發(fā)生每一種反應(yīng)類型的概率依次為 ： 其中反應(yīng)總截面Σt＝Σel＋Σin＋Σ

8、f＋Σa。,,,,,,反應(yīng)類型的確定方法為：產(chǎn)生一個(gè)隨機(jī)數(shù)ξ,,,,,,連續(xù)型分布的直接抽樣方法,對(duì)于連續(xù)型分布，如果分布函數(shù)F(x) 的反函數(shù) F－1(x)存在，則直接抽樣方法是 ：,,,,,例6. 在［a，b］上均勻分布的抽樣,在［a，b］上均勻分布的分布函數(shù)為： 則,,,,,,例7. β分布,β分布為連續(xù)型分布，作為它的一個(gè)特例是： 其分布函數(shù)為：

9、 則,,,,,,例8. 指數(shù)分布,指數(shù)分布為連續(xù)型分布，其一般形式如下： 其分布函數(shù)為： 則 因?yàn)?－ξ也是隨機(jī)數(shù)，可將上式簡化為,,,,,,連續(xù)性分布函數(shù)的直接抽樣方法對(duì)于分布函數(shù)的反函數(shù)存在且容易實(shí)現(xiàn)的情況，使用起來是很方便的。但是對(duì)于以下幾種情況，直接抽樣法是不合適的。分布函數(shù)無法用解析形式給出，因而其反函數(shù)也無法給出。分布函數(shù)可以給出其解析形式，但是反函數(shù)給不出來。

10、分布函數(shù)即使能夠給出反函數(shù)，但運(yùn)算量很大。 下面敘述的挑選抽樣方法是克服這些困難的比較好的方法。,,,,挑選抽樣方法,為了實(shí)現(xiàn)從己知分布密度函數(shù)f(x)抽樣，選取與f(x)取值范圍相同的分布密度函數(shù)h(x)，如果 則挑選抽樣方法為：,,,,即從h(x)中抽樣xh，以 的概率接受它。 下面證明xf 服從分布密度函數(shù)f(x)。證明：對(duì)于任意x,,,,

11、,,,,,,使用挑選抽樣方法時(shí)，要注意以下兩點(diǎn)：選取h(x)時(shí)要使得h(x)容易抽樣且M的值要盡量小。因?yàn)镸小能提高抽樣效率。抽樣效率是指在挑選抽樣方法中進(jìn)行挑選時(shí)被選中的概率。按此定義，該方法的抽樣效率E為： 所以，M越小，抽樣效率越高。,,,,,當(dāng) f(x) 在［0，1］上定義時(shí)，取 h(x)=1，Xh=ξ， 此時(shí)挑選抽樣方法為,,,,,例9. 圓內(nèi)均勻分布抽樣,令圓半徑為R0，點(diǎn)到圓心的距離

12、為r，則r的分布密度函數(shù)為 分布函數(shù)為 容易知道，該分布的直接抽樣方法是,,,,,由于開方運(yùn)算在計(jì)算機(jī)上很費(fèi)時(shí)間，該方法不是好方法。下面使用挑選抽樣方法：取 則抽樣框圖為,,,,,顯然，沒有必要舍棄ξ1＞ξ2的情況，此時(shí)，只需取 就可以了，亦即 另一方面，也可證明 與 具有相同的分布

13、 。,,,,復(fù)合抽樣方法,在實(shí)際問題中，經(jīng)常有這樣的隨機(jī)變量，它服從的分布與一個(gè)參數(shù)有關(guān)，而該參數(shù)也是一個(gè)服從確定分布的隨機(jī)變量，稱這樣的隨機(jī)變量服從復(fù)合分布。例如，分布密度函數(shù) 是一個(gè)復(fù)合分布。其中Pn≥0，n=1，2，…，且 fn(x)為與參數(shù)n有關(guān)的分布密度函數(shù)，n=1，2，…， 參數(shù)n服從如下分布,,,,復(fù)合分布的一般形式為： 其中f2(x/y)表示與參數(shù)y有

14、關(guān)的條件分布密度函數(shù)， F1(y)表示分布函數(shù)。 復(fù)合分布的抽樣方法為:首先由分布函數(shù)F1(y) 或分布密度函數(shù)f1(y)中抽樣YF1或Yf1，然后再由分布密度函數(shù)f2(x/ YF1)中抽樣確定Xf2 (x/YF) 證明： 所以，Xf所服從的分布為f (x)。,,,,,例10. 指數(shù)函數(shù)分布的抽樣,指數(shù)函數(shù)分布的一般形式為： 引入如下兩個(gè)分布密度函數(shù)：,,,,,則

15、 使用復(fù)合抽樣方法，首先從f1(y)中抽取y 再由f2(x/ YF1)中抽取x,,,,復(fù)合挑選抽樣方法,考慮另一種形式的復(fù)合分布如下： 其中0≤H(x,y)≤M，f2(x/y)表示與參數(shù)y有關(guān)的條件分布密度函數(shù)，F(xiàn)1(y)表示分布函數(shù)。抽樣方法如下：,,,,證明： 抽樣效率為：E=1/M,,,,為了實(shí)現(xiàn)某個(gè)復(fù)雜的隨機(jī)變量 y 的抽樣，將其表示成若干個(gè)簡單的隨機(jī)變量 x

16、1，x2，…，xn 的函數(shù)得到 x1，x2，…，xn 的抽樣后，即可確定 y 的抽樣，這種方法叫作替換法抽樣。即,替換抽樣方法,,,,,例11. 散射方位角余弦分布的抽樣,散射方位角φ在［0,2π］上均勻分布，則其正弦和余弦sinφ和cosφ服從如下分布：直接抽樣方法為：,,,,,令φ=2θ，則θ在［0,π］上均勻分布，作變換其中0≤ρ≤1，0≤ρ≤π，則(x,y) 表示上半個(gè)單位圓內(nèi)的點(diǎn)。如果

17、 (x,y) 在上半個(gè)單位圓內(nèi)均勻分布，則θ在［0,π］上均勻分布，由于,,,,,因此抽樣sinφ和cosφ的問題就變成在上半個(gè)單位圓內(nèi)均勻抽樣 (x,y) 的問題。 為獲得上半個(gè)單位圓內(nèi)的均勻點(diǎn)，采用挑選法，在上半個(gè)單位圓的外切矩形內(nèi)均勻投點(diǎn)（如圖）。舍棄圓外的點(diǎn)，余下的就是所要求的點(diǎn)。抽樣方法為：抽樣效率E=π/4≈0.785,,,,,為實(shí)現(xiàn)散射方位角余弦分布抽樣，最重要的是在上半

18、個(gè)單位圓內(nèi)產(chǎn)生均勻分布點(diǎn)。下面這種方法，首先在單位圓的半個(gè)外切正六邊形內(nèi)產(chǎn)生均勻分布點(diǎn)，如圖所示。,,,,,于是便有了抽樣效率更高的抽樣方法：抽樣效率,,,,,例12. 正態(tài)分布的抽樣,標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布密度函數(shù)為：引入一個(gè)與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)隨機(jī)變量X獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量Y，則（X,Y）的聯(lián)合分布密度為：作變換,,,,,則（ρ,φ）的聯(lián)合分布密度函數(shù)為：由此可知，ρ與φ相互獨(dú)立，其分布密度函數(shù)分別為

19、分別抽取ρ，φ ：,,,,,從而得到一對(duì)服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的隨機(jī)變量X和Y： 對(duì)于一般的正態(tài)分布密度函數(shù) N(μ,σ2) 的抽樣，其抽樣結(jié)果為：,,,,,例13. β分布的抽樣,β分布密度函數(shù)的一般形式為：其中n，k為整數(shù)。為了實(shí)現(xiàn)β分布的抽樣，將其看作一組簡單的相互獨(dú)立隨機(jī)變量的函數(shù)，通過這些簡單隨機(jī)變量的抽樣，實(shí)現(xiàn)β分布的抽樣。設(shè) x1，x2，…，xn 為一組相互獨(dú)立、具有相同分布 F(x

20、) 的隨機(jī)變量，ζk為 x1，x2，…，xn 按大小順序排列后的第k個(gè)，記為：,,,,,則ζk的分布函數(shù)為：當(dāng) F(x)=x 時(shí)，不難驗(yàn)證，ζk的分布密度函數(shù)為β分布。因此， β分布的抽樣可用如下方法實(shí)現(xiàn)：選取n個(gè)隨機(jī)數(shù)，按大小順序排列后取第k個(gè)，即,,,,隨機(jī)抽樣的一般方法,加抽樣方法 減抽樣方法乘抽樣方法乘加抽樣方法乘減抽樣方法對(duì)稱抽樣方法積分抽樣方法,,,加抽樣方法,加抽樣方法是對(duì)如下加分布給出的

21、一種抽樣方法： 其中Pn≥0， ，且 fn(x)為與參數(shù)n有關(guān)的分布密度函數(shù)，n=1，2，…。 由復(fù)合分布抽樣方法可知，加分布的抽樣方法為:首先抽樣確定n’，然后由 fn’(x)中抽樣x，即：,,,,例14. 多項(xiàng)式分布抽樣,多項(xiàng)式分布密度函數(shù)的一般形式為： 將 f(x) 改寫成如下形式： 則該分布的抽樣方法為：,,,,,例15. 球殼內(nèi)均勻分布抽

22、樣,設(shè)球殼內(nèi)半徑為R0，外半徑為R1，點(diǎn)到球心的距離為r，則r的分布密度函數(shù)為 分布函數(shù)為該分布的直接抽樣方法是,,,,,為避免開立方根運(yùn)算，作變換：則 x∈[0,1]，其分布密度函數(shù)為：其中,,,,,則x及r的抽樣方法為：,,,,減抽樣方法,減抽樣方法是對(duì)如下形式的分布密度所給出的一種抽樣方法： 其中A1、A2為非負(fù)實(shí)數(shù)，f1(x) 、f2(x)均為分布密度函數(shù)。

23、 減抽樣方法分為以下兩種形式：,以上兩種形式的抽樣方法，究竟選擇哪種好，要看f1(x) 、f2(x)哪一個(gè)容易抽樣，如相差不多，選用第一種方法抽樣效率高。,,,,,（1）將f (x)表示為 令m表示f2(x)／f1(x)的下界，使用挑選法，從f1(x)中抽取Xf1 抽樣效率為：,,,,,（2）將f (x)表示為 使用挑選法，從f2(x)中抽取Xf2

24、 抽樣效率為：,,,,,例16. β分布抽樣,β分布的一個(gè)特例： 取A1＝2，A2＝1，f1(x)＝1，f2(x)＝2x，此時(shí)m＝0，則根據(jù)第一種形式的減抽樣方法，有或,,,,,由于1－ξ1可用ξ1代替，該抽樣方法可簡化為：對(duì)于ξ2＞ξ1的情況，可取 Xf＝ξ1 ，因此與β分布的推論相同。,,,,如下形式的分布稱為乘分布： 其中H(x)為非負(fù)函數(shù)， f1(x)為任意

25、分布密度函數(shù)。 令M為H(x)的上界，乘抽樣方法如下： 抽樣效率為：,乘抽樣方法,,,,例17. 倒數(shù)分布抽樣,倒數(shù)分布密度函數(shù)為： 其直接抽樣方法為：下面采用乘抽樣方法，考慮如下分布族：其中 i = 1，2，…，該分布的直接抽樣方法為：,,,,,利用這一分布族，將倒數(shù)分布

26、f(x) 表示成:其中，乘法分布的抽樣方法如下:該分布的抽樣效率為：,,,,例18. 麥克斯韋(Maxwell)分布抽樣,麥克斯韋分布密度函數(shù)的一般形式為： 使用乘抽樣方法，令該分布的直接抽樣方法為：,,,,,此時(shí)則麥克斯韋分布的抽樣方法為:該分布的抽樣效率為：,,,,在實(shí)際問題中，經(jīng)常會(huì)遇到如下形式的分布： 其中Hn(x)為非負(fù)函數(shù)，fn(x) 為任意

27、分布密度函數(shù)，n=1，2，…。不失一般性，只考慮n=2的情況： 將 f(x) 改寫成如下的加分布形式：,乘加抽樣方法,,,,其中,,,,,乘加抽樣方法為： 該方法的抽樣效率為：,,,,,這種方法需要知道P1的值(P2=1－P1），這對(duì)有些分布是很困難的。下面的方法可以不用計(jì)算P1 ： 對(duì)于任意小于1的正數(shù)P1 ，令P2=1－P1 ；,,則采用復(fù)合挑選抽樣方法，有：,

28、,,,當(dāng)取 時(shí)，抽樣效率最高 這時(shí)，乘加抽樣方法為：,,,,,由于 可知第一種方法比第二種方法的抽樣效率高。,,,,,例19. 光子散射后能量分布的抽樣,令光子散射前后的能量分別為 和 （以 m0c2 為單位，m0為電子靜止質(zhì)量，c 為光速）， ，則 x 的分布密度函數(shù)為： 該分布即為光子散射能量分布，它是由著名的Klin－Nis

29、hina 公式確定的。其中 K(α) 為歸一因子：,,,,,把光子散射能量分布改寫成如下形式：在［1, 1+2α］上定義如下函數(shù):,,,,,則有使用乘加抽樣方法：,,,,,光子散射能量分布的抽樣方法為：該方法的抽樣效率為：,,,,乘減分布的形式為：其中H1(x) 、H2(x)為非負(fù)函數(shù)，f1(x)、f2(x) 為任意分布密度函數(shù)。 與減抽樣方法類似，乘減分布的抽樣方法也分

30、為兩種。,乘減抽樣方法,,,,（1）將 f (x) 表示為令H1(x)的上界為M1， 的下界為m，使用乘抽樣方法得到如下乘減抽樣方法：,,,,,（2）將 f (x) 表示為令H2(x)的上界為M2，使用乘抽樣方法，得到另一種乘減抽樣方法：,,,,,例20. 裂變中子譜分布抽樣,裂變中子譜分布的一般形式為： 其中A，B，C，Emin，Emax 均為與元素有關(guān)的量。令

31、其中λ為歸一因子，γ為任意參數(shù)。,,,,,相應(yīng)的 H1(E)，H2(E) 為：于是裂變中子譜分布可以表示成乘減分布形式:容易確定 H1(E) 的上界為：為提高抽樣效率，應(yīng)取γ使得M1 達(dá)到最小，此時(shí),,,,,取 m＝0，令則裂變中子譜分布的抽樣方法為:抽樣效率,,,,對(duì)稱分布的一般形式為：其中 f1(x) 為任意分布密度函數(shù)，滿足偶函數(shù)對(duì)稱條件，H(x) 為任意奇函數(shù)，即對(duì)

32、任意x滿足：對(duì)稱分布的抽樣方法如下：取η=2ξ－1,對(duì)稱抽樣方法,,,,證明：因?yàn)棣?2ξ－1，η≤x 相當(dāng)于ξ≤ ，因此,,,,,例21. 質(zhì)心系各向同性散射角余弦分布抽樣,在質(zhì)心系各向同性散射的假設(shè)下，為得到實(shí)驗(yàn)室系散射角余弦，需首先抽樣確定質(zhì)心條散射角余弦：再利用下面轉(zhuǎn)換公式:得到實(shí)驗(yàn)室系散射角余弦μL。其中A為碰撞核質(zhì)量，θC、θL 分別為質(zhì)心系和實(shí)驗(yàn)室系散射角。,,,,,為

33、避免開方運(yùn)算，可以使用對(duì)稱分布抽樣。 根據(jù)轉(zhuǎn)換公式可得： 依照質(zhì)心系散射各向同性的假定，可得到實(shí)驗(yàn)室系散射角余弦μL 的分布如下：該密度函數(shù)中的第一項(xiàng)為偶函數(shù)，第二項(xiàng)為奇函數(shù)，因而是對(duì)稱分布。其中,,,,,從 f1(μL) 的抽樣可使用挑選法然后再以的概率決定接受或取負(fù)值。 上述公式涉及開方運(yùn)算，需要進(jìn)一步簡化。,,,,,注意以下事實(shí)：對(duì)于任意

34、0≤a≤1令則上述挑選抽樣中的挑選條件簡化為：另一方面，在 即 的條件下，η2/a 在［－1, 1］上均勻分布，故可令η＝η2/a，則最終決定取正負(fù)值的條件簡化為：,,,,,于是，得到質(zhì)心系各向同性散射角余弦分布的抽樣方法為：,,,,如下形式的分布密度函數(shù)稱為積分分布密度函數(shù)，其中 f0(x，y) 為任意二維分布密度函數(shù)，H(x)為任意函數(shù)。該

35、分布密度函數(shù)的抽樣方法為：,積分抽樣方法,,,,證明：對(duì)于任意x,,,,,例22. 各向同性散射方向的抽樣,為了確定各向同性散射方向 ，根據(jù)公式： 對(duì)于各向同性散射，cosθ在［－1, 1］上均勻分布，φ在［0, 2π］上均勻分布。由于直接抽樣需要計(jì)算三角函數(shù)和開方。,,,,,定義兩個(gè)隨機(jī)變量：可以證明，當(dāng) 時(shí)，隨機(jī)變量 x

36、和 y 服從如下分布:定義區(qū)域?yàn)椋?,,,,則 w＝cosθ 的分布可以用上述分布表示成積分分布的形式：令 ，則屬于上述積分限內(nèi)的 y 一定滿足條件 。,,,,,各向同性散射方向的抽樣方法為：抽樣效率為：,,,,隨機(jī)抽樣的其它方法,偏倚抽樣方法近似抽樣方法近似-修正抽樣方法多維分布抽樣方法指數(shù)分布的抽樣,,

37、,,,使用蒙特卡羅方法計(jì)算積分時(shí)，可考慮將積分I改寫為其中 f *(x) 為一個(gè)與 f (x) 有相同定義域的新的分布密度函數(shù)。于是可以這樣計(jì)算積分I：這里 Xi 是從 f *(x) 中抽取的第 i 個(gè)子樣。,偏移抽樣方法,,,,由此可以看出，原來由 f (x) 抽樣，現(xiàn)改為由另一個(gè)分布密度函數(shù) f *(x) 抽樣，并附帶一個(gè)權(quán)重糾偏因子這種方法稱為偏倚抽樣方法。 從 f (x) 中抽取的

38、 Xf ，滿足而對(duì)于偏倚抽樣，有 一般情況下，Xf 是具有分布 f (x) 總體的簡單子樣的個(gè)體，只代表一個(gè)。Xf* 是具有分布 f *(x) 總體的簡單子樣的個(gè)體，但不代表一個(gè)，而是代表 W(Xf*) 個(gè)，這時(shí)Xf*是帶權(quán)W(Xf*)服從分布 f (x) 。,,,,在實(shí)際問題中，分布密度函數(shù)的形式有時(shí)是非常復(fù)雜的，有些甚至不能用解析形式給出，只能用數(shù)據(jù)或曲線形式給出。如中子散射角余弦分布多數(shù)是以曲線形式給

39、出的。對(duì)于這樣的分布，需要用近似分布密度函數(shù)代替原來的分布密度函數(shù)，用近似分布密度函數(shù)的抽樣代替原分布密度函數(shù)的抽樣，這種方法稱為近似抽樣方法。,近似抽樣方法,,,,設(shè) fa(x) ≈ f (x)，即 fa(x) 是 f (x) 的一個(gè)近似分布密度函數(shù)。對(duì)于階梯近似，有其中，x0，x1，… ，xn為任意分點(diǎn)。在此情況下，近似抽樣方法為：或,階梯近似,,,,,對(duì)于梯形近似，有其中，c 為歸一因子， fi ＝ f (x

40、i) ，x0，x1，… ，xn為任意分點(diǎn)。根據(jù)對(duì)稱抽樣方法，梯形近似抽樣方法為：,梯形近似,,,,,,,＞,≤,,除了上述這種近似外，近似抽樣方法還包括對(duì)直接抽樣方法中分布函數(shù)反函數(shù)的近似處理，以及用具有近似分布的隨機(jī)變量代替原分布的隨機(jī)變量。,,,,,例23. 正態(tài)分布的近似抽樣,我們知道，隨機(jī)數(shù)ξ的期望值為 1/2，方差為 1/12，則隨機(jī)變量漸近正態(tài)分布，因此，當(dāng) n 足夠大時(shí)便可用 Xn 作為正態(tài)分布的近似抽樣。特別

41、是 n＝12 時(shí)，有,,,,對(duì)于任意分布密度函數(shù) f (x) ，設(shè) fa(x) 是 f (x) 的一個(gè)近似分布密度函數(shù)，它的特點(diǎn)是抽樣簡單，運(yùn)算量小。令則分布密度函數(shù) f(x) 可以表示為乘加分布形式：其中 H1(x) 為非負(fù)函數(shù)，f1(x) 為一分布密度函數(shù)。 對(duì) f(x) 而言，fa(x) 是它的近似分布密度函數(shù)，而H1(x) f1(x)正好是這種近似的修正。,近似-修正抽樣方法,,,,近似-修正抽

42、樣方法如下：抽樣效率 由上述近似-修正抽樣方法可以看出，如果近似分布密度函數(shù) fa(x) 選得好，m 接近 1，這時(shí)有很大可能直接從 fa(x) 中抽取 Xfa ，而只有很少的情況需要計(jì)算與f (x) 有關(guān)的函數(shù) H1(Xf1)。在乘抽樣方法中，每一次都要計(jì)算 H(Xfa)＝f (Xfa)／fa(Xfa)。因此，當(dāng) f (x) 比較復(fù)雜時(shí)，近似-修正抽樣方法有很大好處。,,,,,例24. 裂變中子譜分

43、布的近似-修正抽樣,裂變中子譜分布的一般形式為： 其中A，B，C，Emin，Emax 均為與元素有關(guān)的量。對(duì)于鈾-235，A=0.965，B=2.29，C=0.453，Emin=0，Emax=∞。若采用乘減抽樣方法，其抽樣效率約為0.5。,,,,,令相應(yīng)的則從 fa(x) 的抽樣為從 f1(x) 的抽樣為,,,,,參數(shù)λ的確定，使1－Aλ＞0，且使 H1(E) 的上界M1 最小。

44、裂變中子譜的近似修正抽樣方法為對(duì)于鈾-235，m≈0.8746，M≈0.2678，λ≈0.5543，抽樣效率 E≈0.9333。而且近似修正抽樣方法有0.8746的概率直接用近似分布抽樣，只計(jì)算一次對(duì)數(shù)。因此，較之乘減抽樣方法大大節(jié)省了計(jì)算時(shí)間，提高了抽樣效率。,,,,為方便起見，這里僅討論二維分布的情況，對(duì)于更高維數(shù)的分布，可用類似的方法處理。對(duì)于任意二維分布密度函數(shù)，總可以用其邊緣分布密度函數(shù)和條件分布密度

45、函數(shù)的乘積表示:其中 fl(x)，f2(y|x) 分別為分布 f (x,y) 的邊緣分布密度函數(shù)和條件分布密度函數(shù)，即,多維分布抽樣方法,,,,二維分布密度函數(shù)的抽樣方法是:首先由 fl(x) 中抽取 Xf1，再由 f2(y|Xf1) 中抽樣確定 Yf2 。對(duì)于多維分布密度函數(shù)，也可直接采用類似于一維分布密度函數(shù)的抽樣方法。例如，對(duì)如下形式的二維分布密度函數(shù)：其中 H(x,y) 為非負(fù)函數(shù)，f1(x,y) 為任意二

46、維分布密度函數(shù)。設(shè) M 為 H(x,y) 的上界，則有二維分布的乘抽樣方法如下：,,,,,例25. 下面二維分布密度函數(shù)的抽樣,將 f (x,y) 寫為其中用直接抽樣方法分別從 fl(x) 和 f2(y|Xf1) 中抽樣，得到,,,,前面已經(jīng)介紹了，指數(shù)分布的直接抽樣為：這不僅需要計(jì)算對(duì)數(shù)，而且由于要使用偽隨機(jī)數(shù)，受精度的限制，該抽樣值在小概率處即數(shù)值較大處呈現(xiàn)明顯得離散性。下面介紹兩種抽樣方法可以