采樣控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)

1、第二節(jié) 采樣控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ),一、Z 變換的定義,二、求Z 變換的方法,三、Z 變換的基本定理,四、Z 反變換,五、差分方程極其求解,第七章 采樣控制系統(tǒng)分析,,,第二節(jié) 采樣控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ),連續(xù)函數(shù)f(t)的拉氏變換為,離散函數(shù)：,一、Z變換的定義,對(duì)離散函數(shù)求拉氏變換,,,引入新變量,則,F(z)為f*(t)的Z變換，記作,F (z) = Z[ f *(t) ],二、求Z變換的方法,1．級(jí)數(shù)求和法,根據(jù)定義式展開(kāi),= f

2、 (0)z0 + f (T)z-1 + f (2T)z-2 + f (3T)z-3 + ···,利用級(jí)數(shù)求和法可求得常用函數(shù)的z變換.,第二節(jié) 采樣控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ),(1) 單位階躍函數(shù),f (t) = 1(t) f (kT) = 1(kT) =1,| z | > 1,第二節(jié) 采樣控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ),= 1+ e–aT z-1 + e–2aT z-2 + e–3aTz-3 + &#

3、183;··,| ze at | > 1,（2）指數(shù)函數(shù),f (t) = e –at,（3）單位脈沖函數(shù),f (t)=δ(t ),f (kT)=δ(kT ),f (kT)= e –akT,第二節(jié) 采樣控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ),（4）單位斜坡函數(shù),f (t) = t f (kT) = kT,= Tz-1 + 2Tz-2 + 3Tz-3 + ···,| z | > 1,第

4、二節(jié) 采樣控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ),（5）正弦函數(shù),,,f (t)=cosωt,同理：,,第二節(jié) 采樣控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ),2．部分分式展開(kāi)法,pi— 極點(diǎn),如果已知連續(xù)函數(shù)f(t)的拉氏變換為F(s) ，則可將F(s)展開(kāi)成部分分式之和的形式，然后求F(z)。,設(shè),n>m,Ai— 待定系數(shù),,,基于,得,第二節(jié) 采樣控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ),,例 求F(s)的z變換F(z)。,解：,第二節(jié) 采樣控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ),,解：,例

5、 求F(s)的z變換F(z)。,第二節(jié) 采樣控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ),3．留數(shù)計(jì)算法,第二節(jié) 采樣控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ),已知連續(xù)函數(shù)f (t) 的拉氏變換F (s)及其全部極點(diǎn)pi ,F(z)可由留數(shù)計(jì)算公式求得:,式中 ：,ri 為s=pi 的重極點(diǎn)數(shù),第二節(jié) 采樣控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ),解：,例 求F(s)的z變換F(z)。,三、Z變換的基本定理,1. 線(xiàn)性定理,a1和a2為常數(shù),2．滯后定理,z變換的基本定理為z變換的運(yùn)算提供了

6、方便。,Z[a1 f1(t) ± a2 f2(t)] = a1 F1(z) ± a2 F2(z),Z[ f (t – k1T )] = Z – k1F(z),,求Z[ t –T ],Z[ t –T ] = Z[ t ] · z -1,例,解 ：,,第二節(jié) 采樣控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ),3．超前定理,例 求1(t-2T)的Z變換,解：,4．位移定理,,,例 求te-at 的Z 變換。,解：,5．初值定理,,

7、6．終值定理,第二節(jié) 采樣控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ),四、Z 反變換,Z 反變換：,記作,從函數(shù)F(z)求出原函數(shù)f*(t)的過(guò)程,Z -1[ F (z) ] = f * (t),由于F(z)只含有連續(xù)函數(shù)f(t)在采樣時(shí)刻的信息，因而通過(guò)z反變換只能求得連續(xù)函數(shù)在采樣時(shí)刻的數(shù)值。求反變換一般有兩種方法。,第二節(jié) 采樣控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ),可知：,得：,按Z-1的升冪級(jí)數(shù)展開(kāi)，即,1．長(zhǎng)除法,(m ≤ n),設(shè),F (z)=c0+c1z–1+

8、c2z –2+ ···,f (0) = c0 , f (T ) = c1 , f (2T ) = c2 , ···,f * (t)=c0δ(t)+c1δ(t –T)+c2δ(t–2T)+ ···,第二節(jié) 采樣控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ),例 求F(z)反變換f*(t) 。,解：,用F(z)的分子除以分母，得,f *(t)=δ(t)+δ(t –T)

9、+δ(t –2T)+ ···,第二節(jié) 采樣控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ),例 求F(z)反變換f*(t) 。,解：,Z[F (s)]=δ(t-T)-3δ(t-2T),+7δ(t-3T)-15δ(t-4T)+ ···,第二節(jié) 采樣控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ),2．部分分式法,先將F(z)/z展開(kāi)為部分分式，再把展開(kāi)式的每一項(xiàng)都乘上Z后，分別求Z反變換并求和。,例 求F(z)反變換f*(t)

10、 。,解：,,,即,f (kT)=1– 0.5k,k = 0,1,2 ···,f * (t) = f (0)δ(t)+ f (T)δ(t –T ),+f(2T)δ(t –2T)+ ···,則,第二節(jié) 采樣控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ),例 求F(z)反變換f*(t) 。,解:,f (kT)=1–e-akT,k = 0,1,2 ···,第二節(jié) 采樣控制

11、系統(tǒng)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ),3．留數(shù)計(jì)算法,第二節(jié) 采樣控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ),已知函數(shù)F (z)及其全部極點(diǎn)pi ,可由留數(shù)計(jì)算公式求z反變換:,式中 ：,ri 為z=pi 的重極點(diǎn)數(shù),第二節(jié) 采樣控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ),例 求F(s)的z變換F(z)。,解：,=4(0.5k -1)+2k,五、差分方程及其求解,差分又分為前向差分和后向差分。,1.差分的定義,差分：,,,f(k),t,k+1,k-1,k,,,,,,▽f(k),,0,…,離散函

12、數(shù)兩數(shù)之差,,,,△f(k),令：T = 1 s,第二節(jié) 采樣控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ),一階前向差分定義為：,△f (k) = f (k+1) – f (k),,二階前向差分定義為：,△2f (k) =△[△f(k)],=△[f (k+1) -f(k)],=△f (k+1) -△f(k),=f (k+2) -2f(k+1)+f(k),n階前向差分定義為：,,△nf (k)=,△n-1f (k+1) -△n-1f(k),,,,一階后向差分定義

13、為：,二階后向差分定義為：,=f(k)-2f(k-1)-f(k-2),▽2f (k) = ▽[▽f(k)],▽f (k) = f(k)- f(k-1),=▽ [f(k)- f(k-1)],=▽f (k) -▽f(k-1)],,n階后向差分定義為：,▽nf (k) = ▽n-1f(k)- ▽n-1f(k-1),2．差分方程,如果方程中除了含有f(k)以外，還有f(k)的差分,則此方程稱(chēng)為差 分方程。,差分方程的一般表達(dá)式為：,c(k+n)

14、+a1c(k+n–1)+···+an–1c(k+1)+anc(k),= b0r(k+m)+b1r(k+m–1)+···+bm–1r(k+1)+bm r(k),,描述線(xiàn)性連續(xù)系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型是微分方程，而描述線(xiàn)性離散系統(tǒng)的 數(shù)學(xué)模型是差分方程。用差分方程來(lái)近似表示微分方程，稱(chēng)為離散化。,第二節(jié) 采樣控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ),例 如圖所示為一階系統(tǒng)，一階微 分方

15、程為：,試將系統(tǒng)的微分方 程離散化。,解：,t = kT,(k= 0,1,2···),得,,c[(k+1)T]+(kT–1 )c(kT) = KTr(kT ),第二節(jié) 采樣控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ),例 將PID控制器的微分方程離散化， 使之轉(zhuǎn)變成差分方程。,解:,Kp— 比例系數(shù),TI — 積分時(shí)間常數(shù),PID控制器的微分方程為,TD — 微分時(shí)間常數(shù),用差分方程近似代替微分

16、方程：,,,(k = t / T ),代入,,,,,,增量式PID控制算法有：,Δu(k)=u(k)-u(k–1)=Kp[e(k)-e(k-1)],,=Kp[e(k)-e(k-1)],+KIe(k)+KD[e(k)-2e(k-1)+e(k-2)],,,其中：,常用的位置式PID控制的遞推算法：,u(k)=u(k-1)+Δu(k),= u(k-1)+Kp[e(k)-e(k-1)],+ KIe(k)+KD[e(k)-2e(k-1)+e(k-

17、2)],,第二節(jié) 采樣控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ),3．用Z變換解差分方程,用變換法求解差分方程與利用拉氏變換求解微分方程類(lèi)似，即將時(shí)域內(nèi)的差分方程轉(zhuǎn)換為Z 域內(nèi)的代數(shù)方程，求解后再進(jìn)行Z 反變換，求出系統(tǒng)在各采樣時(shí)刻的輸出響應(yīng)。,第二節(jié) 采樣控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ),例 已知差分方程,式中r(k)=1(k),試求c(k),對(duì)差分方程求Z變換，得,c(k-2)-5c(k-1)+6c(k) = r(k),解：,,,,求z反變換得：,第二節(jié) 采樣