第4講模糊數(shù)學方法

1、2012數(shù)學建模培訓,第4講 模糊數(shù)學方法(一),“模糊數(shù)學方法”學習內(nèi)容,1. 如何理解模糊集合、隸屬函數(shù)以及隸屬度？2. 模糊集合的表示方法及常用運算。3. 構(gòu)造隸屬函數(shù)的常用方法。4. 如何理解模糊集合間的貼近度？5. 模糊模式識別的常用原則及適用場合。6. 模糊聚類的一般步驟。7. 模糊相似矩陣與模糊等價矩陣。,8. 什么是傳遞閉包矩陣，如何計算，有何用途？9. λ—截矩陣的概念及用途。10. 相似系數(shù)的確定方

2、法。11. 模糊聚類有哪幾類方法？分別詳述其原理與步驟。12. 模糊聚類編程與實例。13. 模糊綜合評價的基本思想和具體步驟。14. 如何理解評價對象的因素集和評價集？,15. 什么是模糊綜合評價矩陣，如何確定模糊綜合評價矩陣？16. 當評價指標分屬效益型和成本型時，如何建立評價矩陣？17. 怎樣理解評價指標的權(quán)重，確定權(quán)重有哪些常用方法？18. 何謂評價矩陣與權(quán)向量的模糊合成，常用的合成算子有哪些，各有什么特點？19.

3、 如何理解模糊綜合評價向量，為什么要,對其進行分析處理，如何分析處理？ 20. 模糊綜合評價法的缺陷。21. 模糊綜合評價法建模實例。22. 模糊綜合評價法通用程序的編制及軟件的使用。23. 灰色關(guān)聯(lián)分析法、層次分析法及模糊綜合評價法的異同點, 在實際中如何恰當?shù)剡x用上述方法？24. AHP與灰色關(guān)聯(lián)、模糊評價的集成。,現(xiàn)實世界中的許多現(xiàn)象及其相互之間的關(guān)系都是模糊的，模糊數(shù)學正是利用模糊集及其運算研究、處理模糊現(xiàn)象的數(shù)學分

4、支學科。 近年來的不少數(shù)學建模問題都涉及到大數(shù)據(jù)量的復雜問題，這類問題往往可以用模糊數(shù)學方法處理。 本次主要研討模糊集概念、模糊模式識別、模糊聚類和模糊綜合評價。,一、模糊集的相關(guān)概念,1. 模糊集 現(xiàn)實中的許多現(xiàn)象及關(guān)系比較模糊。如高與矮，長與短，大與小，多與少，窮與富，好與差，年輕與年老等。 為了研究上述模糊現(xiàn)象，美國控制論專家扎德1965年引入了模糊集合的概念。

5、 定義 設給定論域 U，所謂U上的一個模糊子集A是指對于任意的 ，都能確,定一個正數(shù) ，用其表示 x 屬于A的程度。映射 稱為A的隸屬函數(shù)， 稱為x 對A的隸屬度。 例1 從下列30條線段中選出長線段。,,解 設xi表示第i(i=1,2,…,30)條線段，則論域 U={x1,

6、x2,…, x30}。若A為 “長線段” 的集合，則線段xi作為集A的成員資格，就是xi對A的隸屬度。 下面建立A的一種隸屬函數(shù)。 因為線段越長，屬于A的程度越大, 所以線段的長短可作為A的隸屬度。從而, 令A(x1)=1, A(x30)=0，作直線,,從而得第i條線段xi屬于“長線段”集A的隸屬函數(shù) 例2 在標志年齡(0～100)的數(shù)軸上，標出“年老”、“年輕”區(qū)

7、間。 解 取論域 U=[0, 100]，集合A和B分別表示“年老”和“年輕”，它們的隸屬函數(shù)為,,,,2. 模糊集的表示方法,若論域U={x1, x2,…, xn}為有限集，模糊集 A的隸屬函數(shù)為 ，則A的表示形式有 (1) 向量表示法 (2) Zadeh記號法,若論域U為無限集，則A可表示為 例如，例1中的模糊集A可表示為 例2中的

8、模糊集A, B可分別表示為,3. 模糊集的運算,由于模糊集中沒有元素和集合間的絕對隸屬關(guān)系，所以模糊集的運算是通過隸屬函數(shù)完成的。 設F集A, B的隸屬函數(shù)為 ，則A與B的常用運算有 (1) 包含： (2) 相等： (3) 并：,(4) 交： (5) 余(補)：其中， 分別表示取大，小運算。

9、 (6) 內(nèi)積： (7) 外積： 模糊集的運算滿足交換律、結(jié)合律、分配律、摩根律，但不滿足互補律。,,4. 隸屬函數(shù)的確定,由模糊集的概念可知，模糊數(shù)學的基本思想是隸屬程度，所以應用模糊數(shù)學方法建立數(shù)學模型的關(guān)鍵是建立符合實際的隸屬函數(shù)。然而，如何確定一個模糊集的隸屬函數(shù)至今還是尚未完全解決的問題。 下面介紹幾種常用的確定隸屬度的方法： (1) 模糊統(tǒng)計

10、法,對論域U，選定 ，然后考慮 U的一個邊界可變的模糊子集 A，讓不同觀點的人判斷x0是否屬于A，則x0的隸屬度為其中，n為試驗總次數(shù)，N(A) 為 x0 屬于A 的次數(shù)。 在實際中，可取 。 上述方法與概率統(tǒng)計中以頻率近似概,,率類似，但兩者其實有本質(zhì)的不同。 (2) 指派法 模糊集A的隸屬函數(shù)

11、 其實即為一種模糊分布。所謂指派法就是根據(jù)問題的性質(zhì)主觀地選用某些形式的模糊分布，再依據(jù)相關(guān)數(shù)據(jù)確定分布中的參數(shù)。 下表中列出了常用的模糊分布及其適用類型：,,偏小型一般適用于描述“小”、“少”、“淺”、“淡”等偏向小的程度的模糊現(xiàn)象；偏大型正好與偏小型相反；而中間型一般適用于描述處于中間狀態(tài)的模糊現(xiàn)象。 用Matlab模糊邏輯工具箱可以很方便地生成某些類型的隸屬函數(shù)。如gbellmf、gaussmf、

12、sigmf等。 (3) 函數(shù)變換法 由于實際問題中的數(shù)據(jù)具有不同的屬,,性和題綱，因此建立隸屬函數(shù)可以根據(jù)模糊集的實際意義，通過函數(shù)變換將原始數(shù)據(jù)壓縮到[0,1]之間。 設原始數(shù)據(jù)為x=(x1, x2,…, xn), 常用的變換公式有,,二、模糊模式識別,所謂模式識別，就是指把要識別的對象通過與已知模式比較，確定它與哪個模式相近或類同的過程。 模糊模式識別方法基于模糊度量

13、和模糊識別原則進行模式識別。模糊模式識別中采用的度量是模糊集的貼近度；常用的識別原則有最大隸屬度原則和擇近原則。,1. 模糊集的貼近度,貼近度與距離相反，是反映兩個模糊集接近程度的一種度量。常用的貼近度有 (1) 海明貼近度 (2) 歐幾里得貼近度,(3) 最大(小)貼近度——格貼近度 通常，很難比較各種貼近度的優(yōu)劣。在實際中需要根據(jù)問題的性質(zhì)和特點選擇適當?shù)馁N近度

14、。,,2. 模糊識別準則,通常采用最大隸屬原則和擇近原則進行模糊識別。 (1) 最大隸屬原則 設論域 U上的模糊子集 A的隸屬函數(shù)為 。對U中待考察對象x1, x2,…, xn，若存在xk，使得則應使xk優(yōu)先屬于A。,設A1, A2,…, An為論域 U上的n個模糊子集，隸屬函數(shù)分別為 。對 ，若存在

15、Ak，使得則應使x0優(yōu)先屬于Ak。 (2) 擇近原則 設A1, A2,…, An為論域 U上的n個模糊子集，被識別對象B也是U上的模糊子集。,,若存在Ak，使得則使B優(yōu)先屬于Ak。,,3. 模糊識別綜合舉例,例1 下表為湖泊水質(zhì)評價標準?，F(xiàn)測得杭州西湖、武漢東湖、青海湖、巢湖、滇池總磷的含量分別為130,105,20,30,25， 請使用模糊識別方法判別這些湖泊所屬級別。,解 本題的結(jié)論是顯然的。

16、 設A, B, C, D, E分別表示總磷屬于從極貧營養(yǎng)到極富營養(yǎng)各級別，其隸屬函數(shù)為,,經(jīng)計算，,根據(jù)最大隸屬原則，就總磷而言，杭州西湖和武漢東湖屬富營養(yǎng)，青海湖、巢湖、滇池屬中營養(yǎng)。,,例2 評價茶葉的因素集U={條索,色澤,凈度,湯色,香氣,滋味}。茶葉五種等級的模糊集為I=(0.5, 0.4, 0.3, 0.6, 0.5, 0.4), II=(0.3, 0.2, 0.2, 0.1, 0.2, 0.2), III

17、=(0.2, 0.2, 0.2, 0.1, 0.1, 0.2), IV=(0, 0.1, 0.2, 0.1, 0.1, 0.1), V=(0, 0.1, 0.1, 0.1, 0.1)?，F(xiàn)有一種待識別的茶葉A= (0.4, 0.2, 0.1, 0.4, 0.5, 0.6)，試確定A的等級。 解 經(jīng)計算，A與各模糊集的海明貼近,,度、歐氏貼近度、格貼近度分別為 可見，無論采用何種貼近度，A均屬于I

18、級。,,三、模糊聚類,對研究對象按一定標準進行分類的數(shù)學方法稱為聚類分析。在聚類分析中，有些分類是可以精確劃分的，有些分類則由于分類界限不明確而不能精確劃分。對于這類問題，可以采用模糊聚類方法。 模糊聚類通常按照下列步驟進行: (1) 數(shù)據(jù)標準化；(2) 建立模糊相似矩陣；(3) 按一定原則模糊聚類。,1. 數(shù)據(jù)標準化,設論域U={x1, x2,…, xm}為待分類的對象, 每個對象又由n個指標表示

19、其性態(tài), 即xi={xi1, xi2,…, xin}，i=1,2, …, m，從而得原始數(shù)據(jù)矩陣,數(shù)據(jù)化包括兩個方面，一是將原始數(shù)據(jù)無量綱化，即消除各指標量綱的影響；二是將原始數(shù)據(jù)變換至區(qū)間[0, 1]。 (1) 平移—標準差變換——去量綱 利用平移—標準差變換法將原始數(shù)據(jù)中第j個指標無量綱化：其中 是第j個指標的平均值，sj=,,是第j個指標的標準差。

20、 經(jīng)過變換后，每個指標的均值為0，標準差為1，且消除了量綱的影響。 (2) 平移—極差變換 經(jīng)過變換后，則 。 由此得到的矩陣稱為標準化矩陣。,,2. 建立模糊相似矩陣,(1) 模糊矩陣 定義 稱為模糊矩陣。 對模糊矩陣 ① ②

21、 ③ ④ ⑤,⑥ 設 ，則模糊矩陣 稱為A與B的合成， 。 ⑦ 設 ，則 。 (2) 模糊相似矩陣與模糊等價矩陣 定義 若模糊矩陣R滿足

22、 ① (自反性) ② (對稱性)則稱R為模糊相似矩陣。,,若R再滿足 ③ (傳遞性)則稱R為模糊等價矩陣。 例如，為模糊相似矩陣。但由于,,顯然， ，即R1為模糊等價矩陣，而R2不是。 (3) 傳遞閉包 定理 若R為模糊相似矩陣，則

23、存在一個最小的自然數(shù) ，使得Rk為模糊等價矩陣，且對一切大于k的自然數(shù) l，恒有 。 Rk稱為R的傳遞閉包, 記為t(R)。 從上述定理可得將n階模糊相似矩陣R改造為n階模糊等價矩陣的方法：,,從n階模糊相似矩陣R出發(fā)，依次求平方 ，直到為止，則 。 例如，,,

24、故傳遞閉包 (4) 模糊矩陣的λ—截矩陣 定義 對模糊矩陣 及 ，令,,則稱 為R的λ—截矩陣。 例如，則,,(5) 相似系數(shù)的確定 設論域X={x1,x2,…,xm}，xi的觀察值為(xi1,xi2,…,xin)，即數(shù)據(jù)矩陣 A=(xij)。若xi和 xj的相似程度

25、為rij=R(xi, xj)，則稱之為相似系數(shù)。確定相似系數(shù)有下列方法： ① 數(shù)量積法 ② 相關(guān)系數(shù)法 ③ 夾角余弦法 ④ 最大最小法,,⑤ 算術(shù)平均法 ⑥ 幾何平均法 上述方法中的具體公式見相關(guān)資料書籍。至于選擇上述何種方法，要視具體情況而定。,,3. 模糊聚類方法與原則,模糊聚類分析方法大致分為三類：一是基于模糊等價關(guān)系的傳遞閉包法；二是基于模糊

26、相似關(guān)系的直接聚類法；三是基于模糊C—劃分的均值聚類法。 (1) 傳遞閉包法 ① 用逐步平方法求出模糊相似矩陣R的傳遞閉包t(R)=Rk。 ② 給定 ，求t(R)的λ—截矩陣,。 ③ 若 ，則xi與xj在分類水平λ上劃為一類；若 ，則xi與xj在分類水平λ上不為

27、一類。 對于不同的分類水平λ, 可得不同的聚類結(jié)果，從而形成動態(tài)聚類。 (2) 直接聚類法 直接聚類法包括最大樹法和編網(wǎng)法。 下面簡單介紹編網(wǎng)法。,,① 對模糊相似矩陣R，取定 ，做λ—截矩陣 。 ② 在 的對角線上依次填入x1,x2,…,xm在對角線下方以“*”代替1，0則略而不寫。 ③ 由節(jié)點“*”向?qū)蔷€

28、引經(jīng)線和緯線，稱之為編網(wǎng)；通過經(jīng)緯線能連接起來的元素劃為一類，否則不為一類。 從而就實現(xiàn)了λ水平上的聚類。,,(3) 模糊C－均值聚類法 設 。模糊C－均值聚類就是將X劃分為c類 ，V={v1,v2,…,vc}是c類聚類中心。令 uij 表示第i個樣本屬于第j 類的隸屬度，其中 。 模糊C－均值聚類的準則：

29、 定義目標函數(shù)為,,其中 。 顯然, J(U,V)為各類中樣本到聚類中心的加權(quán)距離平方和，權(quán)重是樣本xi 對第 J類隸屬度的e次方，聚類準則取為求J(U, V)的極小值。 模糊C－均值聚類的步驟： ① 取定c>1, e>1(通常取e=2)和初始隸屬矩陣 ，迭代步長k=0；

30、 ② 計算聚類中心V為,,③ 修正隸屬度矩陣U其中， 為第i個樣本到第j類中心的歐氏距離； ④ 對給定的 ，進行迭代計算直至 ，則算法終止，否則，k=k+1，轉(zhuǎn)向②；,,⑤ 若 ，則第i個樣本屬于第j0類。 Mat

31、lab中有直接實現(xiàn)模糊均值聚類的命令——fcm，其調(diào)用格式為： [center,U,obj_fcn]=fcm(data,cluster_n)其中，data—原始數(shù)據(jù)矩陣，每一行為一個樣本；cluster_n—算法中的聚類數(shù)(>1)； center—最終的聚類中心矩陣，其每一行為一個聚類中心；,,U—最終的隸屬度矩陣；obj_fcn—迭代過程中的目標函數(shù)值。 (4) 最佳閾值λ的確定

32、 在應用傳遞閉包法或直接聚類法進行聚類時，當λ值變動時形成了一個動態(tài)聚類。這固然便于我們?nèi)媪私饩垲惽闆r，但也產(chǎn)生了一個問題：哪個λ對應的分類是最合理的呢？即如何選擇閾值λ。除了憑經(jīng)驗外，一般用F-統(tǒng)計量來選取。,,設X={x1,x2,…,xm}為待分類對象，xi= (xi1,xi2,…,xin)為描述對象xi的特征向量。又設c為對應于λ值的類數(shù)，mk為劃歸第k類的對象的個數(shù)，第k類的對象記為 ，相應地記

33、 。 令,,它們分別為第k類對象和全體對象的第j個特征的平均值。分別稱為第k類對象和全體對象的聚類中心向量。 構(gòu)造F-統(tǒng)計量則易見其分子表征類與類間的距離，分母表征類內(nèi)對象間的距離, 故F值越大, 說明,,分類越合理，從而與此分類相對應的F-統(tǒng)計量最大的閾值λ即為最佳值。,,4. 模糊聚類程序及綜合例題與練習,用Matlab 編制了

34、傳遞閉包法模糊聚類程序。該程序可用多種方法給出模糊相似矩陣，計算傳遞閉包，確定適當?shù)姆诸愃剑o出各分類水平下的分類方案，并求出最合理的分類方案。,例1 設U={x1,x2,…,x7}, x1=(7,9,2, 5), x2 =(3, 5, 5, 6), x3=(7, 7, 5, 4), x4=(7, 6, 7.2, 3), x5=(6, 4, 2, 6), x6=(3, 8, 5, 4), x7=(4, 7, 6, 3)。試用算術(shù)平

35、均最小法建立模糊相似矩陣，用傳遞閉包法進行模糊聚類。 解 利用所編程序按下列五步計算： (1) 輸入原始數(shù)據(jù)矩陣； (2) 計算A的標準化矩陣B； (3) 用算術(shù)平均最小法建立B的模糊相,,似矩陣R； (4) 計算R的傳遞閉包tR； (5) 根據(jù)閉包計算分類水平λ，λ是tR中所有互異的數(shù)(從小到大)； (6) 求不同水平下的分

36、類方案，并求出最合理的分類方案。 動態(tài)模糊聚類圖見下：,,例2 設U={x1,x2, x3,x4,x5}表示父、子、女、鄰居、母五人組成的一個集合，請用直接法對這五人按相貌相像程度進行模糊分類。 解 首先對五人按相貌相像程度打分，得到相似矩陣,,然后，求λ—截矩陣R0.6再編制下列表格，畫出經(jīng)緯線,,顯然，在λ=0.6分類水平下，U分為兩類{x1,x2, x3, x5}和{x4}。,例3

37、根據(jù)下表對各地區(qū)生產(chǎn)力水平進行模糊C-均值聚類分析：,,,,本題可直接調(diào)用Matlab模糊C-均值聚類命令fcm進行計算，有興趣者可以一試。,,四、模糊綜合評價,事物通常需要用多個指標刻畫其性質(zhì)和特征，人們對事物的評價又往往不是簡單的是與非，而是采用比較模糊的語言給出不同程度的評價。由于評價等級間的關(guān)系是模糊的，沒有絕對明確的界限，對于這類模糊評價問題，經(jīng)典的評價方法存在著不合理性，應用模糊數(shù)學方法進行綜合評價應該可以取得更好的實際效果

38、。,模糊綜合評價作為模糊數(shù)學的一種具體應用，最早由我國學者汪培莊提出?；舅枷胧牵阂阅：龜?shù)學為基礎，應用模糊關(guān)系合成原理，將一些邊界不清、不易定量的因素定量化，從多個因素對被評價事物隸屬等級狀況進行綜合評價。具體步驟為：首先確定被評價對象的因素集和評價集，然后再分別確定各因素的權(quán)重及它們的隸屬度向量，獲得模糊評價矩陣，最后,,將模糊評價矩陣與因素的權(quán)向量進行模糊運算并歸一化，從而得到模糊評價綜合結(jié)果。 模糊綜合評價法簡單

39、易掌握，對多因素、多層次的復雜問題評價效果比較好，很難為其它評價方法所替代。,,1. 確定評價指標和評價等級,設U={u1, u2,…, um}為刻畫被評價對象的m種因素，即評價指標；V={v1,v2,…,vn}為刻畫每一因素所處狀態(tài)的n種評語, 即評價等級。 這里，m 為評價因素的個數(shù)，通常由具體指標體系決定; n為評語的個數(shù), 一般劃分為3～5個等級。,例如，某服裝廠欲采用模糊綜合評價法來了解顧客對某種服裝的歡

40、迎程度。 顧客是否喜歡某種服裝，通常與這種服裝的花色、樣式、價格、耐用度和舒適度等因素有關(guān)，故確定評價服裝的因素集為U={花色, 樣式, 價格, 耐用度, 舒適度}。 綜合評價的目的是弄清楚顧客對衣服各方面的歡迎程度。因此，評價集應為V ={很歡迎, 歡迎, 一般, 不歡迎}。,,2. 構(gòu)造模糊綜合評價矩陣,在確定了評價指標和評價等級后，接著就要對每個評價指標ui (i=1,2,…m) 逐一進行模糊評價。

41、 具體評價方法是：對某個評價指標 ui 給出其能被評為等級 vj 的隸屬度 rij。rij 可理解為指標 ui 能評為等級vj 的頻率，通常要將rij 歸一化以便于使用。,設指標ui的模糊評價為ri=(ri1,ri2,…,rin),則對所有評價指標ui (i=1,2,…m) 進行的模糊評價構(gòu)成的矩陣稱為各指標的模糊綜合評價矩陣。,,確定隸屬度 rij 的方法通常有兩種。 對于主觀或定性的指標可

42、采用等級比重法，即計算評價者給出的等級比重。應用等級比重法時要注意: (1)評價者的人數(shù)要足夠多; (2)評價者對被評事物要有相當?shù)牧私狻?對于客觀和定量指標，可以采用頻率法，即以評價值在各等級區(qū)間中出現(xiàn)的頻率作為隸屬度。,,例如，在前例中，對該服裝的花色，眾多被調(diào)查者中有20%認為“很歡迎”, 50%認為“歡迎”，30%認為“一般” ，沒有人認為“不歡迎”，則u1的評價向量為R1=(0.2, 0.5, 0.3,

43、0)同理可得其它指標的評價向量為R2=(0.1, 0.3, 0.5, 0.1)，R3=(0, 0.1, 0.6, 0.3),R4=(0, 0.4, 0.5, 0.1)， R5=(0.5, 0.3, 0.2, 0)。 由此可得模糊綜合評價矩陣為,,,,,,3. 評價指標權(quán)重的確定,確定了模糊綜合評價矩陣，尚不足以對事物做出評價。原因在于，各評價指標在評價目標中有不同的地位和作用，即各評價指標在綜合評價中占有不同的權(quán)重

44、。 通常引入一個模糊向量A=(a1,a2,…,an)來表示各評價指標在目標中所占權(quán)重，稱之為權(quán)重向量。其中ai為ui的權(quán)重, 且滿足 。,確定權(quán)重的常用方法有主觀和客觀兩類方法。主觀法也稱專家評測法，即請若干專家就各指標的重要性進行評分，平均后即得各指標權(quán)重?？陀^法是根據(jù)各指標間的聯(lián)系，利用數(shù)學方法計算出各指標的權(quán)重，如質(zhì)量分數(shù)法、變異系數(shù)法等。 其實，利

45、用灰色關(guān)聯(lián)分析法和層次分析法確定權(quán)重是非常新穎、有效的方法。這涉及到多種方法的融合，較為復雜。,,,下面通過兩個實例分別介紹質(zhì)量分數(shù)法和變異系數(shù)法。 例1 水質(zhì)分級標準如下表：現(xiàn)測得某水井上述各污染物含量分別為,,0.008, 0.185, 0.004, 0.164, 0.140，試確定酚, 氰, 汞, 鉻, 砷在確定水質(zhì)等級中的權(quán)重。 解 根據(jù)質(zhì)量分數(shù)法，可根據(jù)下列步驟確定各污染物的權(quán)重：

46、 (1) 計算Pi=Ci/C0i，其中Ci為第i 種污染物在水中的實測濃度, C0i為第i 種污染物在水中濃度的平均允許值； (2) 歸一化后的Pi即 即為第i 種污染物的權(quán)重 。,,若未給出各污染物的平均允許值，則用第 i 項評價指標和各級標準值的平均值代替C0i。,,,所以各評價指標的權(quán)重分別為0.196, 0.217, 0.213, 0.205, 0.169。

47、 例2 已知5個投資方案如下表，試確定4個評價指標的權(quán)重。,,變異系數(shù)法的設計原理是：若某項指標的數(shù)值能明確區(qū)分開各個被評價對象，說明該指標在這項評價上的分辨信息豐富,因而應給該指標以較大的權(quán)重；反之，若各個被評價對象在某項指標上的數(shù)值差異較小，那么這項指標區(qū)分各評價對象的能力較弱，因而應給該指標較小的權(quán)重。,解 根據(jù)變異系數(shù)法，可根據(jù)下列步驟確定各指標的權(quán)重： (1) 計算第i 項指標的均值與方差

48、 (2) 令 ，則歸一化的vi 即為各指標的權(quán)重，即,,同理， 。從而，4項評價指標的權(quán)重為,,4. 模糊合成與綜合評價,模糊綜合評價矩陣 R 中的不同行反映了被評價事物從不同的指標評價對各等級的隸屬程度。用權(quán)向量A 將不同的行進行綜合，就可得到被評價事物從總體上對各等級的隸屬程度，即模糊綜合評

49、價結(jié)果。 通常采用所謂“模糊合成”來實現(xiàn)上述綜合，基本思想是：對評價矩陣 R和權(quán)向量A進行某種適當?shù)哪：\算，將兩者合,成為一個模糊向量B={b1,b2,…,bn}，即B=A ，然后對B 按照一定法則進行綜合分析后即可得出最終的模糊綜合評價結(jié)果。 常用的模糊合成算子 有： (1) ——主因素決定型 (2)

50、 ——主因素突出型 (3) ——主因素顯著型 (4) ——加權(quán)平均型 上述四種模糊合成算子的特點是：,,其實，也可以取 為普通的矩陣乘法，此時合成即為加權(quán)平均。至于到底取何種算子取決于問題的性質(zhì)和算子的特點。,,例3 設試用上述四種合成算子計算向量B。 解 (1)B=(0.3,

51、0.3, 0.3, 0.2)。,,(2)B=(0.15, 0.12, 0.12, 0.08)。 (3) B=(0.8, 0.8, 0.7, 0.3)。,,(4)B=(0.32, 0.29, 0.24, 0.11)。,,B稱為模糊綜合評價向量或決策集，bij滿足 ，且通常需要歸一化。 B一般不能直接用于被評價對象間的排序評優(yōu), 而必須經(jīng)進一步的分析處理后方可使

52、用。 分析處理B的常用方法有： (1) 最大隸屬原則，即認定被評價對象的等級為最大隸屬度對應的等級； (2) 加權(quán)平均原則，具體方法是：給評,價等級集V={v1,v2,…,vn}中的各等級賦以適當?shù)膮?shù) C={c1,c2,…,cn}，用歸一化的權(quán)向量B={b1,b2,…,bn}對C的加權(quán)平均值做為模糊綜合評價結(jié)果。 例如，設權(quán)向量B={0.4, 0.3, 0.2, 0.

53、1},給評價等級集{很好, 好, 一般,差}分別賦值{4, 3, 2, 1}，則模糊綜合評價等級為,5. 模糊綜合評價舉例,例1 在教學過程的綜合評價中，取U= {清楚易懂，教材熟悉，生動有趣，板書整齊清晰}, V={很好，較好，一般，不好}。設某班學生對教師的教學評價矩陣為,若考慮權(quán)重A=(0.5, 0.2, 0.2, 0.1)，試求學生對這位教師的綜合評價。 解 根據(jù) A和 R，利用四種合成算子，編程計算得

54、結(jié)果表明，學生對該老師在 “教材熟悉” 方,面最認可，“清楚易懂”次之，面“板書整齊清晰”則得不到認可。A=[];R=[];[m,n]=size(R);for j=1:n H=[]; for i=1:m H=[H min(A(i), R(I,j))];,end B(1,j)=max(H); B(2,j)=sum(H); B(3,j)=max(A.*R(: ,

55、 j)’); B(4,j)=sum(A.*R(: , j)’);Endfor i=1:m B(i ,:)= B(i ,:)/ sum(B(i ,:));end,例2 對第3節(jié)例2中的5個方案進行綜合評價。 解 在例2中的4個指標中，投資額、風險損失為成本型，期望凈現(xiàn)值、風險盈利值為效益型。首先對指標矩陣進行無量綱化，得各方案關(guān)于理想方案的相對優(yōu)級屬度矩陣,其中，然后計算各評價指標的權(quán)，得權(quán)向

56、量W=(0.259, 0.235, 0.246, 0.259)最后加權(quán)平均得b=(0.9042, 0.6912, 0.8274, 0.6547, 0.6303)故方案排序為1, 3, 2, 4, 5。,例3 現(xiàn)有下列5個農(nóng)業(yè)技術(shù)經(jīng)濟方案，試評價各方案的優(yōu)劣。,五、綜合評價方法的組合,常用的綜合評價方法有層次分析法、模糊綜合評價法、灰色關(guān)聯(lián)分析法、數(shù)據(jù)包絡分析法和人工神經(jīng)網(wǎng)絡評價法等。 應用不同的評價方法對同一評價

57、對象可能得到不同的評價結(jié)果，這是綜合評價理論中的一個難題。 每個方法的提出都有其特殊的背景、意義和適用范圍，即方法的優(yōu)劣沒有絕對,的標準，單純從機理上判別方法的好壞是不可行的。為此，有學者提出了所謂組合評價方法。 為了理解“組合”的含義，先將評價法做一下分類。 評價法通常可分為兩類：主觀賦權(quán)評價法和客觀賦權(quán)評價法。前者如層次分析法、模糊綜合評價法，后者有灰色關(guān)聯(lián)分析法、數(shù)據(jù)包絡分析法和人工

58、神經(jīng)網(wǎng)絡評,價法。組合的基本思想是將兩類方法綜合,以實現(xiàn)二者的優(yōu)勢互補，得到更合理、科學的評價結(jié)果。當然，也可以將同一類評價方法進行組合。 從理論上講，組合評價法應該比單一評價方法更合理、更科學。但絕不能說組合評價法就一定優(yōu)于單一評價法，而且并不是任兩種評價法都能隨意組合。 最常用的組合評價方法是將層次分析,法與模糊綜合評價法、灰色關(guān)聯(lián)分析法、數(shù)據(jù)包絡分析法和人工神經(jīng)網(wǎng)絡評價法組合，其基本思想是，將評價指

59、標體系分成若干層次結(jié)構(gòu)，運用層次分析法確定各指標的權(quán)重，然后分層次再利用另一方法進行綜合評價，最后綜合出總的評價結(jié)果。 上述方法較為復雜，詳見相關(guān)書籍與專著。(現(xiàn)代綜合評價方法與案例精選),模糊綜合評價練習,1. 下表為三峽水利工程樞紐確定正常蓄水位的四個技術(shù)方案。對其進行綜合評價，找出最優(yōu)方案。,2. 給定有關(guān)數(shù)據(jù)如下，試利用綜合評價法，對上海、北京、天津、云南的科技進步進行排名。,3. 2005年安徽省各地市水資源數(shù)