數(shù)學(xué)建模之模糊數(shù)學(xué)

1、數(shù)學(xué)建模,數(shù)信學(xué)院 任俊峰,2,模糊數(shù)學(xué)緒論,用數(shù)學(xué)的眼光看世界，可把我們身邊的現(xiàn)象劃分為：1.確定性現(xiàn)象：如水加溫到100oC就沸騰，這種現(xiàn)象的規(guī)律 性靠經(jīng)典數(shù)學(xué)去刻畫； 2.隨機(jī)現(xiàn)象：如擲篩子，觀看那一面向上，這種現(xiàn)象的規(guī)律 性靠概率統(tǒng)計(jì)去刻畫;3.模糊現(xiàn)象：如 “今天天氣很熱”，“小伙子很帥”，…等等。此話準(zhǔn)確嗎？有多大的水分？靠模糊數(shù)學(xué)去刻畫。,3,年輕、重、熱、美、厚、薄、快、慢、大、小、高

2、、低、長(zhǎng)、短、貴、賤、強(qiáng)、弱、軟、硬、陰天、多云、暴雨、清晨、禮品。,共同特點(diǎn)：模糊概念的外延不清楚。,模糊概念導(dǎo)致模糊現(xiàn)象,模糊數(shù)學(xué)——研究和揭示模糊現(xiàn)象的定量處理方法。,模糊數(shù)學(xué)緒論,4,產(chǎn)生,1965年，L.A. Zadeh（扎德） 發(fā)表了文章《模糊集 》 (Fuzzy Sets，Information and Control, 8, 338-353 ),基本思想,用屬于程度代替屬于或不屬于。,某個(gè)人屬于禿子的程度為0.8, 另

3、一個(gè)人屬于,禿子的程度為0.3等.,模糊數(shù)學(xué)緒論,5,模糊代數(shù)，模糊拓?fù)洌：壿?，模糊分析，模糊概率，模糊圖論，模糊優(yōu)化等模糊數(shù)學(xué)分支,涉及學(xué)科,分類、識(shí)別、評(píng)判、預(yù)測(cè)、控制、排序、選擇；,模糊產(chǎn)品,洗衣機(jī)、攝象機(jī)、照相機(jī)、電飯鍋、空調(diào)、電梯,人工智能、控制、決策、專家系統(tǒng)、醫(yī)學(xué)、土木、農(nóng)業(yè)、氣象、信息、經(jīng)濟(jì)、文學(xué)、音樂,模糊數(shù)學(xué)緒論,6,模糊數(shù)學(xué),7,一、經(jīng)典集合與特征函數(shù),論域U中的每個(gè)對(duì)象u稱為U的元素。,模糊集合及其運(yùn)算,

4、8,. u,A,,A,. u,模糊集合及其運(yùn)算,9,其中,函數(shù) 稱為集合A的特征函數(shù)。,模糊集合及其運(yùn)算,非此及彼,10,模糊集合及其運(yùn)算,亦此亦彼,,U,A,,,,,,,,,模糊集合 ,,元素 x,若 x 位于 A 的內(nèi)部， 則用1來記錄，若 x 位于 A 的外部， 則用0來記錄，若 x 一部分位于 A 的內(nèi)部，一部分位于 A 的外部，,則用,x 位于 A 內(nèi)部的長(zhǎng)度來表示 x 對(duì)于 A 的隸屬程度。,11,

5、{ 0, 1 },[ 0, 1 ],特征函數(shù),隸屬函數(shù),二、模糊子集,12,模糊集合及其運(yùn)算,越接近于0,,表示 x 隸屬于A 的程度越?。?越接近于1,,表示 x 隸屬于A 的程度越大；,,＝0.5,,最具有模糊性，過渡點(diǎn),13,模糊子集通常簡(jiǎn)稱模糊集，其表示方法有：,（1）Zadeh表示法,這里 表示 對(duì)模糊集A的隸屬度是 。,如“將1,2,3,4組成一個(gè)’小’數(shù)的集合”可表示為,可省略,模

6、糊集合及其運(yùn)算,14,（3）向量表示法,（2）序偶表示法,若論域U為無(wú)限集，其上的模糊集表示為：,模糊集合及其運(yùn)算,15,例1. 有100名消費(fèi)者，對(duì)5種商品 評(píng)價(jià)，,結(jié)果為：,81人認(rèn)為x1 質(zhì)量好，53人認(rèn)為x2 質(zhì)量好，,所有人認(rèn)為x3 質(zhì)量好，沒有人認(rèn)為x4 質(zhì)量好，24人認(rèn)為x5 質(zhì)量好,則模糊集A（質(zhì)量好）,模糊集合及其運(yùn)算,16,例2：考慮年齡集U=[0,100]，O=“年老”

7、，O也是一個(gè)年齡集，u = 20 ? O ，40 呢？…札德給出了 “年老” 集函數(shù)刻畫:,1,0,U,50,100,,,,,,,,,模糊集合及其運(yùn)算,17,再如，Y= “年輕”也是U的一個(gè)子集，只是不同的年齡段隸屬于這一集合的程度不一樣，札德給出它的隸屬函數(shù)：,,,1,0,25,50,U,,,B（u）,,,模糊集合及其運(yùn)算,18,則模糊集O（年老）,則模糊集Y（年輕）,模糊集合及其運(yùn)算,19,2、模糊集的運(yùn)算,定義：設(shè)A，B是

8、論域U的兩個(gè)模糊子集，定義,相等：,包含：,并：,交：,余：,模糊集合及其運(yùn)算,20,例3.,模糊集合及其運(yùn)算,,則：,0.3,0.9,1,0.8,0.6,0.2,0.1,0.8,0.3,0.5,21,模糊集合及其運(yùn)算,并交余計(jì)算的性質(zhì),1. 冪等律,2. 交換律,3. 結(jié)合律,4. 吸收律,22,模糊集合及其運(yùn)算,6. 0-1律,7. 還原律,8. 對(duì)偶律,5. 分配律,23,幾個(gè)常用的算子：,（1）Zadeh算子,（2）取大、乘積算

9、子,（3）環(huán)和、乘積算子,模糊集合及其運(yùn)算,24,（4）有界和、取小算子,（5）有界和、乘積算子,（6）Einstain算子,模糊集合及其運(yùn)算,25,三、隸屬函數(shù)的確定,1、模糊統(tǒng)計(jì)法,模糊統(tǒng)計(jì)試驗(yàn)的四個(gè)要素：,模糊集合及其運(yùn)算,26,特點(diǎn)：在各次試驗(yàn)中， 是固定的，而 在隨機(jī)變動(dòng)。,模糊統(tǒng)計(jì)試驗(yàn)過程：,（1）做n次試驗(yàn)，計(jì)算出,模糊集合及其運(yùn)算,27,模糊集合及其運(yùn)算,對(duì)129人進(jìn)行調(diào)查, 讓他們給出“青年人”的年齡區(qū)間，,

10、問年齡 27屬于模糊集A（青年人）的隸屬度。,28,對(duì)年齡27作出如下的統(tǒng)計(jì)處理：,A(27) = 0.78,(變動(dòng)的圈是否蓋住不動(dòng)的點(diǎn)),29,2、指派方法,模糊集合及其運(yùn)算,一般會(huì)有一些大致的選擇方向：偏大型，偏小型，中間型。（見附件）,例如：在論域 中，確定A=“靠近5的數(shù)”的隸屬函數(shù),中間型,30,模糊集合及其運(yùn)算,可以選取柯西分布中間類型的隸屬函數(shù),先確定一個(gè)簡(jiǎn)

11、單的，比如,此時(shí)有,不太合理，故改變?chǔ)?31,模糊集合及其運(yùn)算,取,此時(shí)有,有所改善。,32,3、其它方法,模糊集合及其運(yùn)算,33,模糊集合及其運(yùn)算,四、模糊關(guān)系與模糊矩陣,與模糊子集是經(jīng)典集合的推廣一樣，模糊關(guān)系是普通關(guān)系的推廣.,設(shè)有論域X，Y，X ? Y 的一個(gè)模糊子集 R 稱為從 X 到 Y 的模糊關(guān)系. 模糊子集 R 的隸屬函數(shù)為映射R : X ? Y ?[0,1].并稱隸屬度R (x , y ) 為 (x , y

12、 )關(guān)于模糊關(guān)系 R 的相關(guān)程度. 特別地，當(dāng) X =Y 時(shí)，稱之為 X 上各元素之間的模糊關(guān)系.,34,模糊集合及其運(yùn)算,由于模糊關(guān)系 R就是X ? Y 的一個(gè)模糊子集，因此模糊關(guān)系同樣具有模糊子集的運(yùn)算及性質(zhì).,設(shè)R，R1，R2均為從 X 到 Y 的模糊關(guān)系.相等：R1= R2 ? R1(x, y) = R2(x, y)；包含： R1? R2 ? R1(x, y)≤R2(x, y)；并： R1∪R2 的隸屬函數(shù)為 (

13、R1∪R2 )(x, y) = R1(x, y)∨R2(x, y)；交： R1∩R2 的隸屬函數(shù)為(R1∩R2 )(x, y) = R1(x, y)∧R2(x, y)；余：Rc 的隸屬函數(shù)為Rc (x, y) = 1- R(x, y).,35,模糊集合及其運(yùn)算,(R1∪R2 )(x, y)表示(x, y)對(duì)模糊關(guān)系“R1或者R2”的相關(guān)程度， (R1∩R2 )(x, y)表示(x, y)對(duì)模糊關(guān)系“R1且R2”的相關(guān)程度，Rc (

14、x, y)表示(x, y)對(duì)模糊關(guān)系“非R”的相關(guān)程度.,模糊關(guān)系的矩陣表示,對(duì)于有限論域 X = {x1, x2, … , xm}和Y = { y1, y2, … , yn}，則X 到Y(jié) 模糊關(guān)系R可用m×n 階模糊矩陣表示，即R = (rij)m×n，其中rij = R (xi , yj )∈[0, 1]表示(xi , yj )關(guān)于模糊關(guān)系R 的相關(guān)程度.,36,模糊集合及其運(yùn)算,模糊關(guān)系的合成,設(shè) R1 是

15、 X 到 Y 的關(guān)系, R2 是 Y 到 Z 的關(guān)系, 則R1與 R2的合成 R1 ° R2是 X 到 Z 上的一個(gè)關(guān)系.(R1°R2) (x, z) = ∨{[R1 (x, y)∧R2 (y, z)]| y∈Y } 當(dāng)論域?yàn)橛邢迺r(shí)，模糊關(guān)系的合成化為模糊矩陣的合成. 設(shè)X = {x1, x2, …, xm}, Y = { y1 , y2 , … , ys}, Z= {z1, z2, … , zn

16、}，且X 到Y(jié) 的模糊關(guān)系R1 = (aik)m×s，Y 到Z 的模糊關(guān)系R2 = (bkj)s×n，則X 到Z 的模糊關(guān)系可表示為模糊矩陣的合成：R1 ° R2 = (cij)m×n，其中cij = ∨{(aik∧bkj) | 1≤k≤s}.,37,模糊集合及其運(yùn)算,模糊等價(jià)關(guān)系,若模糊關(guān)系R是X上各元素之間的模糊關(guān)系，且滿足： (1)自反性：R(x, x) =1； (2)對(duì)

17、稱性：R(x, y) =R(y, x)； (3)傳遞性：R2?R, 則稱模糊關(guān)系R是X上的一個(gè)模糊等價(jià)關(guān)系.,I ≤R (? rii =1 ),RT=R(? rij= rji),R2≤R.,38,模糊集合及其運(yùn)算,模糊相似關(guān)系,若模糊關(guān)系 R 是 X 上各元素之間的模糊關(guān)系，且滿足： (1) 自反性：R( x , x ) = 1； (2) 對(duì)稱性：R( x , y ) = R( y , x ) ； 則稱模糊

18、關(guān)系 R 是 X 上的一個(gè)模糊相似關(guān)系. 當(dāng)論域X = {x1, x2, …, xn}為有限時(shí)，X 上的一個(gè)模糊相似關(guān)系 R 就是模糊相似矩陣，即R滿足： (1) 自反性：I ≤R (? rii =1 )； (2) 對(duì)稱性：RT = R (? rij = rji ).,39,模糊集合及其運(yùn)算,例如：,40,（1）模糊矩陣間的關(guān)系及運(yùn)算,定義：設(shè)

19、 都是模糊矩陣，定義,相等：,包含：,模糊集合及其運(yùn)算,并：,交：,余：,41,例4：,模糊集合及其運(yùn)算,42,（2）模糊矩陣的合成,定義：設(shè) 稱模糊矩陣,為A與B的合成，其中 。,模糊集合及其運(yùn)算,即：,定義：,設(shè)A為 階，則模糊方陣的冪定義為,43,例5：,模糊集合及其運(yùn)算

20、,44,（3）模糊矩陣的轉(zhuǎn)置,模糊集合及其運(yùn)算,性質(zhì)：,45,（4）模糊矩陣的 截矩陣,顯然，截矩陣為Boole矩陣。,模糊集合及其運(yùn)算,46,例6：,模糊集合及其運(yùn)算,47,截矩陣的性質(zhì)：,性質(zhì)1.,性質(zhì)2.,性質(zhì)3.,性質(zhì)4.,模糊集合及其運(yùn)算,48,（5）特殊的模糊矩陣,定義：若模糊方陣滿足,則稱A為自反矩陣。,例如,是模糊自反矩陣。,定義：若模糊方陣滿足,則稱A為對(duì)稱矩陣。,例如,是模糊對(duì)稱矩陣。,模糊集合及其運(yùn)算,

21、49,模糊集合及其運(yùn)算,定義：若模糊方陣滿足,則稱A為模糊傳遞矩陣。,例如,是模糊傳遞矩陣。,50,模糊集合及其運(yùn)算,定義：若模糊方陣Q，S，A滿足,則稱 S 為 A 的傳遞閉包，記為 t (A)。,該定義指包含 A而且被任何包含A的傳遞矩陣所包含的傳遞矩陣，稱為A的傳遞閉包，或者是包含A的最小的模糊傳遞矩陣稱為A的傳遞閉包。,51,對(duì)所研究的事物按一定標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行分類的數(shù)學(xué)方法稱為聚類分析，它是多元統(tǒng)計(jì)“物以類聚”的一種分類方法 。

22、然而，在科學(xué)技術(shù)、經(jīng)濟(jì)管理中有很多事物的類與類之間并無(wú)清晰的劃分，邊界具有模糊性，它們之間的關(guān)系更多的是模糊關(guān)系，比如植物、微生物、動(dòng)物之間，溫飽型家庭與小康型家庭之間等。對(duì)上述事物的分類就應(yīng)該用模糊數(shù)學(xué)方法。根據(jù)事物的某些模糊性質(zhì)進(jìn)行分類的數(shù)學(xué)方法稱為模糊聚類分析 。,,模糊聚類分析,52,模糊聚類分析,一、基本概念及定理,53,模糊聚類分析,定理：,R是n階模糊等價(jià)矩陣,,是等,價(jià)的Boole矩陣。,意義：將模糊等價(jià)矩陣轉(zhuǎn)化

23、為等價(jià)的Boole矩陣，可以得到有限論域上的普通等價(jià)關(guān)系，而等價(jià)關(guān)系是可以分類的。因此，當(dāng)λ在[0,1]上變動(dòng)時(shí)，由 得到不同的分類。,54,模糊聚類分析,55,例6：設(shè)　　　　　　　　　　對(duì)于模糊等價(jià)矩陣,模糊聚類分析,56,模糊聚類分析,畫出動(dòng)態(tài)聚類圖如下：,,,,,,,,,,,,,,,,0.8,0.6,0.5,0.4,1,,,57,模糊聚類分析,58,例7：設(shè)有模糊相似矩陣,模糊聚類分析,59,二、模糊聚類的一般步驟

24、,１、建立數(shù)據(jù)矩陣,模糊聚類分析,60,（1）標(biāo)準(zhǔn)差標(biāo)準(zhǔn)化,模糊聚類分析,61,（2）極差正規(guī)化,（3）極差標(biāo)準(zhǔn)化,模糊聚類分析,62,２、建立模糊相似矩陣（標(biāo)定）,（1）相似系數(shù)法,①夾角余弦法,②相關(guān)系數(shù)法,模糊聚類分析,63,（2）距離法,①Hamming距離,②Euclid距離,③Chebyshev距離,模糊聚類分析,64,（3）貼近度法,①最大最小法,②算術(shù)平均最小法,③幾何平均最小法,模糊聚類分析,65,3、聚類并畫出動(dòng)態(tài)聚

25、類圖,（1）模糊傳遞閉包法,步驟：,模糊聚類分析,（2）boole矩陣法（略）,66,（3）直接聚類法,模糊聚類分析,當(dāng)不同相似類出現(xiàn)公共元素時(shí)，將公共元素所在類合并。,將對(duì)應(yīng)于 的等價(jià)分類中 所在類與 所在類合并，所有情況合并后得到相應(yīng)于 的等價(jià)分類。,③ 依次類推，直到合并到U成為一類為止。,（4）最大樹法,（5）編網(wǎng)法,67,模糊聚類分析,68,解：,由題設(shè)知特性指標(biāo)矩陣為,采用最大值規(guī)格化法將數(shù)

26、據(jù)規(guī)格化為,模糊聚類分析,,69,用最大最小法構(gòu)造模糊相似矩陣得到,模糊聚類分析,70,用平方法合成傳遞閉包,71,取 ，得,模糊聚類分析,72,取 ，得,取 ，得,模糊聚類分析,73,取 ，得,取 ，得,模糊聚類分析,74,畫出動(dòng)態(tài)聚類圖如下：,,,,,,,,,,,,,,,,,,0.7,0.63,0.62,0.53,1,模糊聚類分析

27、,,75,若利用直接聚類法,模糊相似矩陣,取λ＝1, 此時(shí) 為單位矩陣，故分類自然為,{x1}，{x2}，{x3}，{x4}，{x5}。,取λ＝0.70, 此時(shí),76,故分類應(yīng)為{x1}， {x3}， {x2, x4}，{x5}。,{x2, x4}為相似類,取λ＝0.63, 此時(shí),{x2, x4}， {x1, x4}為相似類，,有公共元素x4的相似類為 {x1, x2, x4},故分類應(yīng)為{x1 , x2, x4}， {x3

28、}， {x5}。,77,取λ＝0.62, 此時(shí),{x2, x4}, {x1, x4}, {x1, x3}為相似類，,有公共元素x4的相似類為 {x1, x2, x3,x4},故分類應(yīng)為{x1, x2, x3,x4}， {x5}。,78,取λ＝0.53, 此時(shí),故分類應(yīng)為{x1, x2, x3, x4 , x5} 。,79,,模糊聚類分析的簡(jiǎn)要流程:,,80,4、最佳閾值的確定,模糊聚類分析,（1） 按實(shí)際需要，調(diào)整 λ 的值，或者是專

29、家給值。,（2） 用 F - 統(tǒng)計(jì)量確定最佳λ值。,針對(duì)原始矩陣 X，得到,,其中，,設(shè)對(duì)應(yīng)于 λ 的分類數(shù)為 r ,,第 j 類的樣本數(shù)為 nj ,,第 j 類的樣本記為：,81,則第j類的聚類中心為向量：,其中， 為第k個(gè)特征的平均值,作F - 統(tǒng)計(jì)量,模糊聚類分析,82,模糊聚類分析,若是,則由數(shù)理統(tǒng)計(jì)理論知道類與類之間的差異顯著,若滿足不等式的 F 值不止一個(gè)，則可進(jìn)一步考察,差值 的大小

30、，從較大者中選擇一個(gè)即可。,其中,83,,模糊模式識(shí)別,84,模式識(shí)別是科學(xué)、工程、經(jīng)濟(jì)、社會(huì)以至生活中經(jīng)常遇到并要處理的基本問題。這一問題的數(shù)學(xué)模式就是在已知各種標(biāo)準(zhǔn)類型(數(shù)學(xué)形式化了的類型)的前提下，判斷識(shí)別對(duì)象屬于哪個(gè)類型？對(duì)象也要數(shù)學(xué)形式化，有時(shí)數(shù)學(xué)形式化不能做到完整，或者形式化帶有模糊性質(zhì)，此時(shí)識(shí)別就要運(yùn)用模糊數(shù)學(xué)方法。,模糊模式識(shí)別,85,在科學(xué)分析與決策中，我們往往需要將搜集到的歷史資料歸納整理，分成若干類型，以便使用管理

31、。當(dāng)我們?nèi)〉揭粋€(gè)新的樣本時(shí)，把它歸于哪一類呢？或者它是不是一個(gè)新的類型呢？這就是所謂的模式識(shí)別問題。在經(jīng)濟(jì)分析，預(yù)測(cè)與決策中，在知識(shí)工程與人工智能領(lǐng)域中，也常常遇到這類問題。 本節(jié)介紹兩類模式識(shí)別的模糊方法。一類是元素對(duì)標(biāo)準(zhǔn)模糊集的識(shí)別問題 —— 點(diǎn)對(duì)集；另一類是模糊集對(duì)標(biāo)準(zhǔn)模糊集的識(shí)別問題 —— 集對(duì)集。,模糊模式識(shí)別,86,例1. 蘋果的分級(jí)問題 設(shè)論域 X = {若干蘋果}。蘋果被摘下來后要分級(jí)。一般按

32、照蘋果的大小、色澤、有無(wú)損傷等特征來分級(jí)。于是可以將蘋果分級(jí)的標(biāo)準(zhǔn)模型庫(kù)規(guī)定為 = {Ⅰ級(jí)，Ⅱ級(jí)，Ⅲ級(jí)，Ⅳ級(jí)}，顯然，模型Ⅰ級(jí)，Ⅱ級(jí)，Ⅲ級(jí)，Ⅳ級(jí)是模糊的。當(dāng)果農(nóng)拿到一個(gè)蘋果 x0 后，到底應(yīng)將它放到哪個(gè)等級(jí)的筐里，這就是一個(gè)元素（點(diǎn)）對(duì)標(biāo)準(zhǔn)模糊集的識(shí)別問題。,模糊模式識(shí)別,87,例2. 醫(yī)生給病人的診斷過程實(shí)際上是模糊模型識(shí)別過程。設(shè)論域 X = {各種疾病的癥候} (稱為癥候群空間) 。各種疾病都有典型的癥狀，由長(zhǎng)期臨床積累的經(jīng)驗(yàn)可

33、得標(biāo)準(zhǔn)模型庫(kù) = {心臟病，胃潰瘍，感冒，…}，顯然，這些模型(疾病)都是模糊的。病人向醫(yī)生訴說癥狀(也是模糊的)，由醫(yī)生將病人的癥狀與標(biāo)準(zhǔn)模型庫(kù)的模型作比較后下診斷。這是一個(gè)模糊識(shí)別過程，也是一個(gè)模糊集對(duì)標(biāo)準(zhǔn)模糊集的識(shí)別問題。,模糊模式識(shí)別,88,點(diǎn)對(duì)集——,1. 問題的數(shù)學(xué)模型 (1) 第一類模型：設(shè)在論域 X 上有若干模糊集：A1，A2，…，An?F ( X )，將這些模糊集視為 n 個(gè)標(biāo)準(zhǔn)模式，x0? X 是待識(shí)別的對(duì)

34、象，問 x0 應(yīng)屬于哪個(gè)標(biāo)準(zhǔn)模式 Ai ( i =1，2，…， n ) ?,(2) 第二類模型：設(shè) A?F ( X )為標(biāo)準(zhǔn)模式，x1, x2, …, xn? X 為 n 個(gè)待選擇的對(duì)象，問最優(yōu)錄選對(duì)象是哪一個(gè) xi (i =1，2，…， n ) ?,模糊模式識(shí)別,89,一最大隸屬原則,最大隸屬原則Ⅰ：,最大隸屬原則Ⅱ：,模糊模式識(shí)別,90,模糊模式識(shí)別,91,例 選擇優(yōu)秀考生。設(shè)考試的科目有六門x1：政治

35、 x2：語(yǔ)文 x3：數(shù)學(xué)x4：理、化 x5：史、地 x6：外語(yǔ)考生為 y1，y2，…，yn，組成問題的論域 Y = { y1, y2, …, yn}。設(shè) A = “優(yōu)秀”，是 Y 上的模糊集，A(yi) 是第 i 個(gè)學(xué)生隸屬于優(yōu)秀的程度。給定 A(yi) 的計(jì)算方法如下：,,模糊模式識(shí)別,92,式中 i =1, 2, …, n 是考生的編號(hào)，j =1, 2,

36、 …,6 是考試科目的編號(hào)， ?j 是第 j 個(gè)考試科目的權(quán)重系數(shù)。按照最大隸屬度原則Ⅱ，就可根據(jù)計(jì)算出的各考生隸屬于“優(yōu)秀”的程度（隸屬度）來排序。 例如若令 ?1= ?2= ?3=1， ?4= ?5= 0.8， ?6= 0.7, 有 四個(gè)考生 y1, y2, y3, y4，其考試成績(jī)分別如表 3.4,模糊模式識(shí)別,93,表 3.4 考生成績(jī)表,模糊模式識(shí)別,94,則可以計(jì)算出于是這四個(gè)考生在

37、“優(yōu)秀”模糊集中的排序?yàn)椋簓2, y4, y1, y3.,模糊模式識(shí)別,95,閾值原則：,模糊模式識(shí)別,有時(shí)我們要識(shí)別的問題，并非是已知若干模糊集求論域中的元素最大隸屬于哪個(gè)模糊集（第一類模型），也不是已知一個(gè)模糊集，對(duì)論域中的若干元素選擇最佳隸屬元素（第二類模型），而是已知一個(gè)模糊集，問論域中的元素，能否在某個(gè)閾值的限制下隸屬于該模糊集對(duì)應(yīng)的概念或事物，這就是閾值原則，該原則的數(shù)學(xué)描述如下：,96,模糊模式識(shí)別,97,例

38、如 已知 “青年人” 模糊集 Y，其隸屬度規(guī)定為對(duì)于 x1 = 27 歲及 x2 = 30 歲的人來說，若取閾值,模糊模式識(shí)別,98,?1 = 0.7，,模糊模式識(shí)別,故認(rèn)為 27 歲和 30 歲的人都屬于“青年人” 范疇。,則因 Y(27) = 0.862 > ?1，,而 Y(30) = 0.5 < ?1 ，,故認(rèn)為 27 歲的人尚屬于“青年人” ，而 30 歲人的則不屬于“青年人” 。,若取閾值 ?2

39、= 0.5，,則因 Y(27) = 0.862 > ?2,,而 Y(30) = 0.5 = ?2 ，,99,模糊模式識(shí)別,集對(duì)集——,例如：論域?yàn)椤安枞~”，標(biāo)準(zhǔn)有5種 待識(shí)別茶葉為B，反映茶葉質(zhì)量的6個(gè)指標(biāo)為：條索，色澤，凈度，湯色，香氣，滋味，確定 B 屬于哪種茶,100,在實(shí)際問題中，我們常常要比較兩個(gè)模糊集的模糊距離或模糊貼近度，前者反映兩個(gè)模糊集的差異程度，后者則表

40、示兩個(gè)模糊集相互接近的程度，這是一個(gè)事情的兩個(gè)方面。如果待識(shí)別的對(duì)象不是論域 X 中的元素 x，而是模糊集 A，已知的模糊集是 A1, A2, …, An，那么問 A 屬于哪個(gè) Ai (i = 1, 2,…, n)？就是另一類模糊模式識(shí)別問題 — 集對(duì)集。解決這個(gè)問題，就必須先了解模糊集之間的距離或貼近度。,101,1. 距離判別分析定義 設(shè) A、B ?F ( X )。稱如下定義的dP(A, B) 為 A 與 B 的 M

41、inkowski (閔可夫斯基) 距離 (P≥1)： ⅰ) 當(dāng) X = {x1, x2, …, xn} 時(shí)， ⅱ) 當(dāng) X = [a, b] 時(shí)，,模糊模式識(shí)別,102,特別地，p=1 時(shí)，稱 d 1(A, B) 為 A 與 B 的 Hamming (海明) 距離。p=2 時(shí)，稱 d2(A, B) 為 A 與 B 的 Euclid (歐幾里德) 距離。 有時(shí)為了方便起見，須限制模糊集的距離在 [0, 1

42、]中，因此定義模糊集的相對(duì)距離 dp’(A, B) ，相應(yīng)有 (1) 相對(duì) Minkowski 距離,模糊模式識(shí)別,103,(2) 相對(duì) Hamming 距離,模糊模式識(shí)別,104,(3) 相對(duì) Euclid 距離,模糊模式識(shí)別,105,有時(shí)對(duì)于論域中的元素的隸屬度的差別還要考慮到權(quán)重 W(x)≥0，此時(shí)就有加權(quán)的模糊集距離。一般權(quán)重函數(shù)滿足下述條件： 當(dāng) X ={ x1，x2，…，xn} 時(shí)，有 當(dāng) X = [

43、a, b] 時(shí)，有加權(quán) Minkowski 距離定義為,模糊模式識(shí)別,106,加權(quán) Hamming 距離定義為加權(quán) Euclid 距離定義為,模糊模式識(shí)別,107,例 欲將在 A 地生長(zhǎng)良好的某農(nóng)作物移植到 B地或 C 地，問 B、C 兩地哪里最適宜？ 氣溫、濕度、土壤是農(nóng)作物生長(zhǎng)的必要條件，因而 A、B、C 三地的情況可以表示為論域 X = { x1 (氣溫)，x2 (濕度)，x3 (土壤) }上的模糊

44、集，經(jīng)測(cè)定，得三個(gè)模糊集為,模糊模式識(shí)別,108,由于 dw1( A, B ) < dw1( A, C )，說明 A，B 環(huán)境比較相似，該農(nóng)作物宜于移植 B 地。,模糊模式識(shí)別,設(shè)權(quán)重系數(shù)為 W = ( 0.5, 0.23, 0.27 )。計(jì)算 A 與 B 及 A 與 C 的加權(quán) Hamming 距離，得,109,2、貼近度,模糊模式識(shí)別,按上述定義可知，模糊集的內(nèi)積與外積是兩個(gè)實(shí)數(shù)。,A⊙B=,定義 設(shè) A，B ?

45、F (U)，稱,為 A 與 B 的內(nèi)積，稱,為 A 與 B 的外積。,110,比較，可以看出 A°B 與 a·b 十分相似，只要把經(jīng)典數(shù)學(xué)中的內(nèi)積運(yùn)算的加 “+” 與乘 “ ? ” 換成取大 “?” 與取小 “?” 運(yùn)算，就得到 A°B。,模糊模式識(shí)別,若 X ={x1, x2, …xn}，記 A(xi) = ai，B(xi) = bi，則,與經(jīng)典數(shù)學(xué)中的向量 a = {a1, a2, …an} 與向量 b =

46、 {b1, b2, …bn} 的內(nèi)積,111,例 設(shè) X ={x1, x2, x3, x4, x5, x6},則,A ⊙ B,模糊模式識(shí)別,112,例 設(shè) A，B?F (R)，A、B 均為正態(tài)型模糊集，其隸屬函數(shù)如圖 3.33,模糊模式識(shí)別,113,由定義知A°B 應(yīng)為 max( A∩B ) ，隸屬度曲線CDE 部分的峰值，即曲線 A(x) 與 B(x) 的交點(diǎn) x* 處的縱坐標(biāo)。為求 x*，令,解得,于是,類似地，由于,故 A

47、 ⊙ B=0。,模糊模式識(shí)別,114,模糊模式識(shí)別,表示兩個(gè)模糊集A，B之間的貼近程度。,或 σL( A，B) = ( A°B) ? ( A ⊙ B)C,115,⊙C =,⊙C =,故B比A更貼近于Ｃ.,模糊模式識(shí)別,116,模糊模式識(shí)別,117,模糊模式識(shí)別,118,二、擇近原則,模糊模式識(shí)別,119,模糊模式識(shí)別,例如：論域?yàn)椤安枞~”，標(biāo)準(zhǔn)有5種 待識(shí)別茶葉為B，反映茶葉質(zhì)量

48、的6個(gè)指標(biāo)為：條索，色澤，凈度，湯色，香氣，滋味，確定 B 屬于哪種茶,,⊙B)]，,120,模糊模式識(shí)別,計(jì)算得,故茶葉 B 為 A1 型茶葉。,121,綜合評(píng)判：對(duì)受多個(gè)因素影響的事物（或?qū)ο螅┳龀鋈娴脑u(píng)價(jià)。 模糊綜合評(píng)判又稱為模糊綜合決策或模糊多元決策。傳統(tǒng)的評(píng)判方法有總評(píng)分法和加權(quán)平分法。,,模糊綜合評(píng)判,122,模糊綜合評(píng)判,一、一級(jí)模糊綜合評(píng)判,123,模糊綜合評(píng)判,124,模糊綜合評(píng)判,125,模糊綜合評(píng)

49、判,126,模糊綜合評(píng)判,127,根據(jù)運(yùn)算　的不同定義，可得到以下不同模型：,模糊綜合評(píng)判,128,例如有單因素評(píng)判矩陣,則B＝(0.18, 0.18, 0.18, 0.18),129,模糊綜合評(píng)判,130,模糊綜合評(píng)判,131,其中：,模糊綜合評(píng)判,132,實(shí)例：某平原產(chǎn)糧區(qū)進(jìn)行耕作制度改革，制定了甲(三種三收)乙(兩茬平作),丙(兩年三熟) 3種方案,主要評(píng)價(jià)指標(biāo)有：糧食畝產(chǎn)量，農(nóng)產(chǎn)品質(zhì)量，每畝用工量，每畝純收入和對(duì)生態(tài)平衡影響程

50、度共5項(xiàng)，根據(jù)當(dāng)?shù)貙?shí)際情況，這5個(gè)因素的權(quán)重分別為0.2, 0.1, 0.15, 0.3, 0.25,其評(píng)價(jià)等級(jí)如下表,133,經(jīng)過典型調(diào)查，并應(yīng)用各種參數(shù)進(jìn)行謀算預(yù)測(cè)，發(fā)現(xiàn)3種方案的5項(xiàng)指標(biāo)可達(dá)到下表中的數(shù)字，問究竟應(yīng)該選擇哪種方案。,過程：,因素集,,權(quán)重,A＝（0.2, 0.1, 0.15, 0.3, 0.25）,評(píng)判集,134,建立單因素評(píng)判矩陣：因素與方案之間的關(guān)系可以通過建立隸屬函數(shù)，用模糊關(guān)系矩陣來表示。,135,136,

51、137,138,139,二、多級(jí)模糊綜合評(píng)判（以二級(jí)為例）,問題：對(duì)高等學(xué)校的評(píng)估可以考慮如下方面,模糊綜合評(píng)判,140,二級(jí)模糊綜合評(píng)判的步驟：,模糊綜合評(píng)判,141,模糊綜合評(píng)判,142,模糊綜合評(píng)判,143,模糊綜合評(píng)判,144,模糊綜合評(píng)判,145,模糊綜合評(píng)判,146,模糊綜合評(píng)判,147,模糊綜合評(píng)判,148,,模糊線性規(guī)劃,149,模糊線性規(guī)劃,一、模糊約束條件下的極值問題,例：某人想買一件大衣，提出如下標(biāo)準(zhǔn)：式樣一般，質(zhì)

52、量好，尺寸較合身，價(jià)格盡量便宜，設(shè)有5件大衣X＝{x1,x2,x3,x4,x5}供選擇，經(jīng)調(diào)查結(jié)果如表,問他應(yīng)該購(gòu)買哪一件大衣？,150,模糊線性規(guī)劃,該類問題的解題過程：,2. 目標(biāo)函數(shù)f(x)模糊化,1.將語(yǔ)言真值(評(píng)價(jià)結(jié)果)轉(zhuǎn)化為各模糊約束集的隸屬度,,3.定義模糊判決：,加權(quán)型：,對(duì)稱型：,4. 由最大隸屬原則求出x*, 則x*為模糊條件極大值點(diǎn)。,151,解：將式樣，質(zhì)量，尺寸化為三個(gè)模糊約束A1,A2,A3,價(jià)格化為模糊目標(biāo)

53、G：,將表中的評(píng)價(jià)結(jié)果轉(zhuǎn)化為各模糊約束集的隸屬度,其中模糊目標(biāo),152,總約束集,模糊目標(biāo)集,約束與目標(biāo)對(duì)等時(shí)，用對(duì)稱型模糊判決,由最大隸屬原則，應(yīng)該買x5.,153,如果要求價(jià)格更便宜，則放松約束，令a=0.4, b=0.6,加權(quán)型判決為,由最大隸屬原則，應(yīng)該買x1.,154,模糊線性規(guī)劃,實(shí)例： 采區(qū)巷道布置是礦井開拓中的重要內(nèi)容，其目的就是建立完善的礦井生產(chǎn)系統(tǒng)，實(shí)現(xiàn)采區(qū)合理集中生產(chǎn)，改善技術(shù)經(jīng)濟(jì)指標(biāo).因此，合理地選擇最優(yōu)巷道布

54、置方案，對(duì)于礦井生產(chǎn)具有十分重要的意義.根據(jù)煤礦開采的特點(diǎn)和采區(qū)在礦井生產(chǎn)的作用，在選擇最優(yōu)巷道布置方案時(shí)，要求達(dá)到下列標(biāo)準(zhǔn)：(1)生產(chǎn)集中程度高； (2)采煤機(jī)械化程度高；(3)采區(qū)生產(chǎn)系統(tǒng)十分完善； (4)安全生產(chǎn)可靠性好；(5)煤炭損失率低； (6)巷道掘進(jìn)費(fèi)用盡可能低.上述問題,實(shí)際上就是一個(gè)模糊約束下的條件極值問題，我們可以把(1)～(5)作為模糊約束，而把(6)作為目標(biāo)函數(shù).設(shè)某礦井的采區(qū)巷

55、道布置有六種方案可供選擇，即,=｛,(方案Ⅰ),,(方案Ⅱ),,(方案Ⅲ),,(方案Ⅳ),,(方案Ⅴ),,(方案Ⅵ)｝.,155,模糊線性規(guī)劃,經(jīng)過對(duì)六種方案進(jìn)行審議，評(píng)價(jià)后，將其結(jié)果列于表1,,略,156,普通線性規(guī)劃的一般形式為,目標(biāo)函數(shù),約束條件,矩陣表達(dá)形式,模糊線性規(guī)劃,二、模糊線性規(guī)劃問題,(1),157,模糊線性規(guī)劃是將約束條件和目標(biāo)函數(shù)模糊化，引入隸屬函數(shù)，從而導(dǎo)出一個(gè)新的線性規(guī)劃問題，它的最優(yōu)解稱為原問題的模糊最優(yōu)解.

56、,普通線性規(guī)劃其約束條件和目標(biāo)函數(shù)都是確定的，但在一些實(shí)際問題中，約束條件可能帶有彈性，目標(biāo)函數(shù)可能不是單一的，可以借助模糊集的方法來處理.,158,模糊線性規(guī)劃，其模型為,為了體現(xiàn)這個(gè)近似小于等于，我們引入伸縮指標(biāo)di ,,159,模型又可寫成,,當(dāng),（2）,160,模糊線性規(guī)劃,161,162,163,模糊線性規(guī)劃,164,模糊線性規(guī)劃,165,模糊線性規(guī)劃,166,模糊線性規(guī)劃,167,模糊線性規(guī)劃,168,模糊線性規(guī)劃,169,

57、實(shí)例1：飲料配方問題,某種飲料含有三種主要成份A1,A2,A3, 每瓶含量分別為75±5 mg, 120±5 mg, 138±5 mg,這三種成份主要來自于五種原料 B1, B2, B3, B4, B5. 各種原料每千克所含成分與單價(jià)如下表所示，若生產(chǎn)此種飲料一萬(wàn)瓶，如何選擇原料成本最小？,170,多目標(biāo)線性規(guī)劃,在相同的條件下,要求多個(gè)目標(biāo)函數(shù)都得到最好的滿足,這便是多目標(biāo)規(guī)劃. 若目標(biāo)函數(shù)和約束條件都是

58、線性的,則為多目標(biāo)線性規(guī)劃.,一般來說,多個(gè)目標(biāo)函數(shù)不可能同時(shí)達(dá)到其最優(yōu)值,因此只能求使各個(gè)目標(biāo)都比較“滿意”的模糊最優(yōu)解.,模糊線性規(guī)劃,171,例2 解多目標(biāo)線性規(guī)劃問題,模糊線性規(guī)劃,172,⑴解普通線性規(guī)劃問題：,得最優(yōu)解為x1 = 0, x2 = 2, x3 = 2, 最優(yōu)值為2，此時(shí) f 2 = 8.,模糊線性規(guī)劃,173,⑵解普通線性規(guī)劃問題：,得最優(yōu)解為x1 = 10, x2 = 0, x3 = 0, 最優(yōu)值為20，此時(shí)

59、f 1 = 10.,模糊線性規(guī)劃,174,⑴的最優(yōu)解為x1 = 0, x2 = 2, x3 = 2, 最優(yōu)值為2,此時(shí) f 2 = 8.⑵的最優(yōu)解為x1 = 10, x2 = 0, x3 = 0, 最優(yōu)值為20，此時(shí)f 1 = 10.,同時(shí)考慮兩個(gè)目標(biāo)，合理的方案是使f 1∈[ 2, 10 ], f 2∈[ 8, 20 ], 可取伸縮指標(biāo)分別為d1 = 10 - 2 = 8, d2 = 20 - 8 = 12. 如

60、果認(rèn)為目標(biāo) f 1更重要,可單獨(dú)縮小d1; 如果認(rèn)為目標(biāo) f 2更重要，可單獨(dú)縮小d2.,175,⑶再分別將兩個(gè)目標(biāo)函數(shù)模糊化,變?yōu)榻馄胀ň€性規(guī)劃問題：,得最優(yōu)解為x1 = 6.29, x2 = 0.29, x3 = 1.43, ? = 0.57.,此時(shí)f 1 = 5.43, f 2 = 14.86.,176,實(shí)例2：風(fēng)險(xiǎn)投資問題,某人計(jì)劃將自己的資金的20%±3%作為機(jī)動(dòng)資金，其余用于投資5種證券：A1, A2, A3,

61、 A4, A5, 已知它們的投資收益率和風(fēng)險(xiǎn)損失率如下表，問如何投資才能使收益最大，風(fēng)險(xiǎn)最小。,177,(1) 偏大型 (S 型) ：這種類型的隸屬函數(shù)隨 x 的增大而增大，隨所選函數(shù)的形式不同又分為： 1）升半矩形分布（圖3.7） 2）升半 ? 分布 （圖3.8） 3）升半正態(tài)分布 （圖3.9） 4）升半柯西分布（圖3.10） 5）升半梯形分布（圖3.11） 6）升嶺形分布

62、 （圖3.12）,178,(2) 偏小型 ( Z型 ) ：這種類型的隸屬函數(shù)隨 x 的增大而減小，隨所選函數(shù)的形式又可分為： 1）降半矩形分布（圖3.13） 2）降半 ? 分布 （圖3.14） 3）降半正態(tài)分布（圖3.15） 4）降半柯西分布（圖3.16） 5）降半梯形分布（圖3.17） 6）降嶺形分布 （圖3.18）,179,(3) 中間型 ( ? 型) ：這

63、種類型的隸屬函數(shù)在(－?，a)上為偏大型，在 (a，+?) 為偏小型，所以稱為中間型，隨所選函數(shù)的形式又可分為: 1）矩形分布 （圖3.19） 2）尖 ? 分布 （圖3.20） 3）正態(tài)分布 （圖3.21） 4）柯西分布 （圖3.22） 5）梯形分布 （圖3.23） 6）嶺形分布 （圖3.24）,180,(1) 偏大型（S 型）：這種類型的隸屬函數(shù)隨 x 的增大而增大，隨所選函數(shù)的形式

64、不同又分為：1）升半矩形分布（圖3.7）,181,2）升半? 分布（圖3.8）,182,3）升半正態(tài)分布（圖3.9）,183,4）升半柯西分布（圖3.10）,184,5）升半梯形分布（圖3.11）,185,6）升嶺形分布（圖3.12）,186,(2) 偏小型 (Z 型 )：這種類型的隸屬函數(shù)隨 x 的增大而減小，又可分為：1）降半矩形分布（圖3.13）,187,2）降半?分布（圖 3.14）,188,3）降半正態(tài)分布（圖3.15）

65、,189,4）降半柯西分布（圖3.16）,190,5）降半梯形分布（圖3.17）,191,6）降嶺形分布（圖3.18）,192,(3) 中間型（? 型）：這種類型的隸屬函數(shù)在 ( －?，a) 上為偏大型，在 (a, +?) 為偏小型，所以稱為中間型，又可分為:1）矩形分布（圖 3.19）,193,2）尖?分布（圖3.20）,194,3）正態(tài)分布（圖 3.21）,195,4）柯西分布（圖 3.22）,返回,196,5）梯形分布（圖3.