數(shù)學(xué)建模方法詳解--模糊數(shù)學(xué)

1、數(shù)學(xué)建模方法詳解數(shù)學(xué)建模方法詳解模糊數(shù)學(xué)模糊數(shù)學(xué)在生產(chǎn)實(shí)踐、科學(xué)實(shí)驗(yàn)以及日常生活中，人們經(jīng)常會(huì)遇到模糊概念（或現(xiàn)象）。例如大與小、輕與重、快與慢、動(dòng)與靜、深與淺、美與丑等都包含著一定的模糊概念。隨著科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，各學(xué)科領(lǐng)域?qū)τ谶@些模糊概念有關(guān)的實(shí)際問題往往都需要給出定量的分析，這就需要利用模糊數(shù)學(xué)這一工具來(lái)解決。模糊數(shù)學(xué)是一個(gè)較新的現(xiàn)代應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)科，它是繼經(jīng)典數(shù)學(xué)、統(tǒng)計(jì)數(shù)學(xué)之后發(fā)展起來(lái)的一個(gè)新的數(shù)學(xué)學(xué)科。統(tǒng)計(jì)數(shù)學(xué)是將數(shù)學(xué)的應(yīng)用范圍從確

2、定性的領(lǐng)域擴(kuò)大到了不確定性的領(lǐng)域，即從必然現(xiàn)象到偶然現(xiàn)象，而模糊數(shù)學(xué)則是把數(shù)學(xué)的應(yīng)用范圍從確定性的領(lǐng)域擴(kuò)大到了模糊領(lǐng)域，即從精確現(xiàn)象到模糊現(xiàn)象。在各科學(xué)領(lǐng)域中，所涉及的各種量總是可以分為確定性和不確定性兩大類。對(duì)于不確定性問題，又可分為隨機(jī)不確定性和模糊不確定性兩類。模糊數(shù)學(xué)就是研究屬于不確定性，而又具有模糊性的量的變化規(guī)律的一種數(shù)學(xué)方法。本章對(duì)于實(shí)際中具有模糊性的問題，利用模糊數(shù)學(xué)的理論知識(shí)建立數(shù)學(xué)模型解決問題。1.1模糊數(shù)學(xué)的基本概

3、念1.1.1模糊集與隸屬函數(shù)1.模糊集與隸屬函數(shù)一般來(lái)說(shuō)，我們對(duì)通常集合的概念并不陌生，如果將所討論的對(duì)象限制在一定的范圍內(nèi)，并記所討論的對(duì)象的全體構(gòu)成的集合為，則稱之為論域（或U稱為全域、全集、空間、話題）。如果是論域，則的所有子集組成的集合UU稱之為的冪集，記作。在此，總是假設(shè)問題的論域是非空的。為了與模U)(UF糊集相區(qū)別，在這里稱通常的集合為普通集。對(duì)于論域的每一個(gè)元素和某一個(gè)子集，有或，二UUx?UA?Ax?Ax?者有且僅有一

4、個(gè)成立。于是，對(duì)于子集定義映射A10:?UA?即??????01)(AxAxxA，?則稱之為集合的特征函數(shù)，集合可以由特征函數(shù)唯一確定。AA所謂論域上的模糊集是指：對(duì)于任意總以某個(gè)程度UAUx?屬于，而不能用或描述。若將普通集的特征函數(shù))]10[(?AA??AAx?Ax?的概念推廣到模糊集上，即得到模糊集的隸屬函數(shù)。定義1.1設(shè)是一個(gè)論域，如果給定了一個(gè)映射U]10[)(]10[:??xxUAA???則就確定了一個(gè)模糊集，其映射稱為模糊

5、集的隸屬函數(shù)，稱為對(duì)模AA?AA?x糊集的隸屬度。A定義1.1表明，論域上的模糊集由隸屬函數(shù)來(lái)表征，的取值范UAA?A?圍為閉區(qū)間，的大小反映了對(duì)模糊集的從屬程度，值接近于]10[A?xAA?1，表示從屬的程度很高，值接近于0，表示從屬的程度很低，使xAA?xA1.1.2隸屬函數(shù)的確定方法正確地確定隸屬函數(shù)是運(yùn)用模糊集合理論解決實(shí)際問題的基礎(chǔ)。隸屬函數(shù)是對(duì)模糊概念的定量描述。應(yīng)用模糊數(shù)學(xué)方法建立數(shù)學(xué)模型的關(guān)鍵是建立符合實(shí)際的隸屬函數(shù)。然

6、而，如何確定一個(gè)模糊集的隸屬函數(shù)至今還是尚未完全解決的問題。隸屬函數(shù)的確定過(guò)程，本質(zhì)上應(yīng)該是客觀的，但每個(gè)人對(duì)于同一個(gè)模糊概念的認(rèn)識(shí)理解又有差異，因此，隸屬函數(shù)的確定又帶有主觀性。一般是根據(jù)經(jīng)驗(yàn)或統(tǒng)計(jì)進(jìn)行確定，也可由專家、權(quán)威給出。下面僅介紹幾種常用的確定隸屬函數(shù)的方法。不同的方法結(jié)果會(huì)不同，但隸屬函數(shù)建立是否適合標(biāo)準(zhǔn)，要用實(shí)際使用的效果來(lái)檢驗(yàn)。1.模糊統(tǒng)計(jì)方法模糊統(tǒng)計(jì)方法可以算是一種客觀方法，主要是在模糊統(tǒng)計(jì)試驗(yàn)的基礎(chǔ)上，根據(jù)隸屬度的

7、客觀存在性來(lái)確定，所謂的模糊統(tǒng)計(jì)試驗(yàn)必須包含下面的四個(gè)要素：1）論域。U2）中的一個(gè)固定元素。U0x3）中的一個(gè)隨機(jī)變動(dòng)的集合（普通集）。U?A4）中的一個(gè)以作為彈性邊界的模糊集，對(duì)的變動(dòng)起著制約作U?AA?A用。其中或，致使對(duì)的隸屬關(guān)系是不確定的。??Ax0??Ax00xA假設(shè)做次模糊統(tǒng)計(jì)試驗(yàn)，則可計(jì)算出n對(duì)的隸屬頻率0xAnAx的次數(shù)???0事實(shí)上，當(dāng)不斷增大時(shí)，隸屬頻率趨于穩(wěn)定，其頻率的穩(wěn)定值稱為對(duì)n0x的隸屬度，即AnAxxnA