一概率論的基本概念

1、概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì),,概率論產(chǎn)生于17世紀(jì)，是由保險(xiǎn)事業(yè)發(fā)展而產(chǎn)生的. 早在1654年，有一個(gè)賭徒梅勒向當(dāng)時(shí)的數(shù)學(xué)家帕斯卡提出了一個(gè)使他苦惱了很久的問(wèn)題：“兩個(gè)賭徒相約賭若干局，誰(shuí)先贏m局就算獲勝，全部賭本就歸勝者，但是當(dāng)其中一個(gè)人甲贏了a(a<m)局的時(shí)候，賭博中止，問(wèn)賭本應(yīng)當(dāng)如何分配才算合理？”但是這個(gè)的問(wèn)題，卻是數(shù)學(xué)家們思考概率論問(wèn)題的源泉. 　　概率論在物理、化學(xué)、生物、生態(tài)、天文、地質(zhì)、醫(yī)學(xué)等學(xué)科中，在控

2、制論、信息論、電子技術(shù)、預(yù)報(bào)、運(yùn)籌等工程技術(shù)中的應(yīng)用都非常廣泛。,序言,第一章 概率論的基本概念,第一節(jié) 樣本空間、隨機(jī)事件,第二節(jié) 概率、古典概型,第三節(jié) 條件概率、全概率公式,第四節(jié) 獨(dú)立性,第一節(jié) 樣本空間 隨機(jī)事件,1、隨機(jī)試驗(yàn),概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)是研究和揭示隨機(jī)現(xiàn)象統(tǒng)計(jì)規(guī)律性的一門(mén)基礎(chǔ)學(xué)科。,上一頁(yè),下一頁(yè),返 回,確定性現(xiàn)象 Certainty phenomena 在101325Ｐa的大氣壓下，將

3、純凈水加熱到 100℃時(shí)必然沸騰 垂直上拋一重物，該重物會(huì)垂直下落,隨機(jī)現(xiàn)象 Random phenomena擲一顆骰子，可能出現(xiàn)1，2，3，4，5，6點(diǎn)拋擲一枚均勻的硬幣，會(huì)出現(xiàn)正面向上、反面向上兩種不同的結(jié)果,則把這一試驗(yàn)稱(chēng)為隨機(jī)試驗(yàn)，常用E表示。,對(duì)隨機(jī)現(xiàn)象進(jìn)行的觀察或?qū)嶒?yàn)稱(chēng)為試驗(yàn)。,（2）每次試驗(yàn)的可能結(jié)果不止一個(gè)，并且事先可以知道試驗(yàn)的所有可能結(jié)果。,（3）進(jìn)行一次試驗(yàn)之前，不能確定會(huì)出現(xiàn)哪一個(gè)結(jié)果。,若一個(gè)試驗(yàn)具有下

4、列三個(gè)特點(diǎn)：,（1）在相同條件下可重復(fù)進(jìn)行。,上一頁(yè),下一頁(yè),返 回,上拋一枚硬幣在一條生產(chǎn)線上，檢測(cè)產(chǎn)品的等級(jí)情況 向一目標(biāo)射擊,在隨機(jī)試驗(yàn)中，可能出現(xiàn)也可能不出現(xiàn)，而在大量重復(fù)試驗(yàn)中具有某種規(guī)律性的事件叫做隨機(jī)事件(random Events )，簡(jiǎn)稱(chēng)事件（Events)． 隨機(jī)事件通常用大寫(xiě)英文字母Ａ、Ｂ、Ｃ等表示．,例如： 在拋擲一枚均勻硬幣的試驗(yàn)中，“正面向上”是一 個(gè)隨機(jī)事件，可用Ａ＝｛正面向上｝

5、表示． 擲骰子，“出現(xiàn)偶數(shù)點(diǎn)”是一個(gè)隨機(jī)事件，試驗(yàn)結(jié)果為2，4或6點(diǎn)，都導(dǎo)致“出現(xiàn)偶數(shù)點(diǎn)”發(fā)生。,隨機(jī)事件 random Events,基本事件與樣本空間,僅含一個(gè)樣本點(diǎn)的隨機(jī)事件稱(chēng)為基本事件．,樣本點(diǎn) Sample Point,樣本空間 Sample Space,基本事件,隨機(jī)試驗(yàn)中的每一個(gè)可能出現(xiàn)的試驗(yàn)結(jié)果稱(chēng)為這個(gè)試驗(yàn)的一個(gè) 樣本點(diǎn) ，記作 ．,全體樣本點(diǎn)組成的集合稱(chēng)為這個(gè)試驗(yàn)的樣本空間，記作Ω．即,含有

6、多個(gè)樣本點(diǎn)的隨機(jī)事件稱(chēng)為復(fù)合事件．,Ω={ｔ| 0≤ｔ≤ T},,E4: 在一批燈泡中任意抽取一只，測(cè)試它的壽命,,E2: 射手向一目標(biāo)射擊，直到擊中目標(biāo)為止,E3: 從四張撲克牌J,Q,K,A任意抽取兩張。,E1: 擲一顆勻質(zhì)骰子，觀察骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù),Ω={1,2,…},Ω={(J,Q),…(Q,A)},Ω={1，2，3，4，5，6},寫(xiě)出下列試驗(yàn)的樣本空間,在隨機(jī)試驗(yàn)中，隨機(jī)事件一般是由若干個(gè)基本事件組成的．,,A =｛出現(xiàn)奇數(shù)

7、點(diǎn)｝是由三個(gè)基本事件 “出現(xiàn)1點(diǎn)”、“出現(xiàn)3點(diǎn)” 、 “出現(xiàn)5 點(diǎn)” 組合而成的隨機(jī)事件．,樣本空間Ω的任一子集A稱(chēng)為隨機(jī)事件,隨機(jī)事件（Random Events),例如，拋擲一顆骰子，觀察出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)，那么“出現(xiàn)1點(diǎn)”、“出現(xiàn)2點(diǎn)”、...、“出現(xiàn)6 點(diǎn)”為該試驗(yàn)的基本事件．,屬于事件A的樣本點(diǎn)出現(xiàn)，則稱(chēng)事件A發(fā)生。,特例—必然事件Certainty Events,必然事件,樣本空間Ω也是其自身的一個(gè)子集Ω也是一個(gè)“隨機(jī)”事件

8、每次試驗(yàn)中必定有Ω中的一個(gè)樣本點(diǎn)出現(xiàn)必然發(fā)生,“拋擲一顆骰子，出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)不超過(guò)6”為 必然事件。,例,——記作Ω,特例—不可能事件Impossible Event,空集Φ也是樣本空間的一個(gè)子集,不包含任何樣本點(diǎn),不可能事件,Φ也是一個(gè)特殊的“隨機(jī)”事件,不可能發(fā)生,“拋擲一顆骰子，出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)大于6”是 不可能事件,例,——記作Φ,隨機(jī)試驗(yàn)：拋擲兩顆骰子,Rolling two die,拋擲兩顆骰子，觀察出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù),隨機(jī)

9、試驗(yàn),試驗(yàn)的樣本點(diǎn)和基本事件,樣本空間,Ω＝｛（1，1），（1，2）,（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），...，（6，1），（6，2），...，（6，6）｝．,隨機(jī)事件,試驗(yàn)：拋擲兩顆骰子，觀察出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù),A=“點(diǎn)數(shù)之和等于3”,={（1，2），（2，1）},B=“點(diǎn)數(shù)之和大于11”,={(6，6)},C=“點(diǎn)數(shù)之和不小于2”,D=“點(diǎn)數(shù)之和大于12”,,= Φ,=Ω,事件的關(guān)系與運(yùn)算,給定一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)，設(shè)Ω為其樣本空間，

10、事件Ａ，Ｂ，Ak ( k =1 , 2 , 3 , ... ) 都是Ω的子集．,,事件,事件之間的關(guān)系與事件的運(yùn)算,集合,集合之間的關(guān)系與集合的運(yùn)算,,,,,表示事件A包含于事件B或稱(chēng)事件B包含事件A,指事件A發(fā)生必然導(dǎo)致事件B發(fā)生.(A是B的子事件),3、事件間的關(guān)系及其運(yùn)算,事件A1，A2，…An 的和記為 ,或A1 ∪ A2 ∪ … ∪ An,表示事件A與事件B中至少有一個(gè)事件發(fā)生,稱(chēng)此事件為事件A與事件B

11、的和（并）事件,或記為A+B.,上一頁(yè),下一頁(yè),返 回,,,,A,B,,B,,,A,表示事件A與事件B同時(shí)發(fā)生, 稱(chēng)為事件A與事件B的積（交）事件，記為AB。積事件AB是由A與B的公共樣本點(diǎn)所構(gòu)成的集合。,可列個(gè)事件A1 , A2 , … , An 的積記為A1 ∩ A2 ∩ … ∩ An 或A1A2 … An ，也可簡(jiǎn)記為 。,在可列無(wú)窮的場(chǎng)合，用 表示事件“A1、A2 、 …諸事件同時(shí)發(fā)生。

12、”,上一頁(yè),下一頁(yè),返 回,,B,A,,,,,事件A發(fā)生但事件B不發(fā)生,稱(chēng)為事件A與事件B的差事件。,顯然有：,則稱(chēng)A和B是互不相容的或互斥的,指事件A與B不可能同時(shí)發(fā)生。,基本事件是兩兩互不相容的。,上一頁(yè),下一頁(yè),返 回,,A,B,,,B,A,,,A,B,則稱(chēng)A和B互為對(duì)立事件，或稱(chēng)A與B互為逆事件。事件A的逆事件記為 , 表示“A不發(fā)生”這一事件。,對(duì)于任意的事件A，B只有如下分解：,上一頁(yè),下一頁(yè),返 回,,,A,7.

13、完備事件組,若事件A1,A2,…,An為兩兩互不相容事件, 并且A1+A2+…+An=? (必然事件), 則稱(chēng)它們構(gòu)成一個(gè)完備事件組。實(shí)際意義：每次試驗(yàn)時(shí)，必然發(fā)生且僅能發(fā)生完備事件組A1,A2,…,An中的一個(gè)事件。,19,最常用的完備事件組是：某事件A與它的對(duì)立事件ā。,事件的運(yùn)算律,（1）交換律：A∪B=B∪A，AB=BA,（2）結(jié)合律（A∪B）∪C=A∪（B∪C）,（3）分配律：A ∩ （B∪C）= （A∩B）∪（ A ∩ C

14、 ）,（A∩B）∩C=A∩（B∩C）,A∪（B ∩ C）=（A∪B）∩（A∪C）,（4）德·摩根律（De Morgan）：,上一頁(yè),下一頁(yè),返 回,例: 設(shè)A，B，C為三個(gè)事件，試用A，B，C表示下列事件：（1）A發(fā)生且B與C至少有一個(gè)發(fā)生；（2）A與B都發(fā)生而C不發(fā)生；（3）A，B，C恰有一個(gè)發(fā)生；（4）A，B，C中不多于一個(gè)發(fā)生；（5）A，B，C都不發(fā)生；（6）A，B，C中至少有兩個(gè)發(fā)生。,上一頁(yè),下一頁(yè)

15、,返 回,（1）第三次未中獎(jiǎng),（2）第三次才中獎(jiǎng),（3）恰有一次中獎(jiǎng),（4）至少有一次中獎(jiǎng),（5）不止一次中獎(jiǎng),（6）至多中獎(jiǎng)二次,隨機(jī)事件的頻率Frequency,A=“出現(xiàn)正面”,隨機(jī)試驗(yàn),拋擲一枚均勻的硬幣,試驗(yàn)總次數(shù)n,將硬幣拋擲n次,隨機(jī)事件,事件A出現(xiàn)次數(shù)k,出現(xiàn)正面k次,隨機(jī)事件的頻率,如何定義隨機(jī)事件的概率呢？,定義1: 在相同條件下，進(jìn)行了n次試驗(yàn).若隨機(jī)事件A在這n次試驗(yàn)中發(fā)生了k次，則比值 稱(chēng)為事件

16、A在n次實(shí)驗(yàn)中發(fā)生的頻率，記為,頻率具有下列性質(zhì)：,(1)對(duì)于任一事件A，有,(2),上一頁(yè),下一頁(yè),返 回,歷史上著名的統(tǒng)計(jì)學(xué)家蒲豐（Buffon）和皮爾遜（Pearson）曾進(jìn)行過(guò)大量拋硬幣的試驗(yàn)，其結(jié)果如表所示.,可見(jiàn)出現(xiàn)正面的頻率總在0.5附近擺動(dòng).隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加,它會(huì)逐漸穩(wěn)定于0.5.,上一頁(yè),下一頁(yè),返 回,定義2: 設(shè)事件A在n次重復(fù)試驗(yàn)中發(fā)生了k次, n很大時(shí),頻率 穩(wěn)定在某一數(shù)值p的附近波動(dòng),而隨著

17、試驗(yàn)次數(shù)n的增加，波動(dòng)的幅度越來(lái)越小，則稱(chēng)p為事件A發(fā)生的概率，記為,上一頁(yè),下一頁(yè),返 回,第二節(jié) 概率、古典概率,1、概率（統(tǒng)計(jì)定義）,定義3：,2、概率的公理化定義,上一頁(yè),下一頁(yè),返 回,證明,由定義 3 知,所以,概率的性質(zhì),不可能事件的概率為零,注意事項(xiàng),但反過(guò)來(lái)，如果P(A)=0，未必有A=Φ,例如：,一個(gè)質(zhì)地均勻的陀螺的圓周上均勻地刻有[0 , 5)上諸數(shù)字，在桌面上旋轉(zhuǎn)它，求當(dāng)它停下來(lái)時(shí)，圓周與桌面接觸處的刻度為2的

18、概率等于0，但該事件有可能發(fā)生。,設(shè)A1，A2， … , An兩兩互不相容，則,證明,有限可加性,若 A B，則 P (B － A) = P(B) － P(A),,,,,Ｐ(Ｂ－Ａ)＝Ｐ(Ｂ)－Ｐ(Ａ),,差事件的概率,若 A B，則 P (B － A) = P(B) － P(AB),例,,已知P（A）=0.3,P(B)=0.6,試在下列兩種情形下分別求出P(A-B)與P(B-A),(1) 事件A,B互

19、不相容,(2) 事件A,B有包含關(guān)系,解,(2) 由已知條件和性質(zhì)3,推得必定有,解 （1）由于A與B互不相容，即AB=φ,所以,（2）,則有,（3）,則有,對(duì)任意兩個(gè)隨機(jī)事件Ａ、Ｂ ，有,,加法定理,加法定理,甲、乙兩人同時(shí)向目標(biāo)射擊一次，設(shè)甲擊中的概率為 0.85 ，乙擊中的概率為 0.8 ．兩人都擊中的概率為 0.68 ．求目標(biāo)被擊中的概率．,解,設(shè)Ａ表示甲擊中目標(biāo)，Ｂ表示乙擊中目標(biāo)，Ｃ表示目標(biāo)被擊中， 則,,＝ 0.85 ＋

20、0.8 － 0.68 ＝ 0.97,例,考察甲，乙兩個(gè)城市6月逐日降雨情況。已知甲城出現(xiàn)雨天的概率是0.3, 乙城出現(xiàn)雨天的概率是0.4, 甲乙兩城至少有一個(gè)出現(xiàn)雨天的概率為0.52, 試計(jì)算甲乙兩城同一天出現(xiàn)雨天的概率.,解 設(shè)A表示“甲城下雨”，B表示“乙城下雨”,則,所以,例,證明,由于Ａ與其對(duì)立事件互不相容，由性質(zhì)2有,而,所以,逆事件的概率,證,3、古典概型,定義4： 設(shè)隨機(jī)試驗(yàn)E滿足如下條件:試驗(yàn)的樣本空間只

21、有有限個(gè)樣本點(diǎn)，即(2) 每個(gè)樣本點(diǎn)的發(fā)生是等可能的，即則稱(chēng)試驗(yàn)為古典概型，也稱(chēng)為等可能概型。,古典概型 中事件A的概率計(jì)算公式為,上一頁(yè),下一頁(yè),返 回,例: 拋擲一顆勻質(zhì)骰子，觀察出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)，求出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)是不小于3的偶數(shù)的概率.,解 設(shè)A表示出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)是不小于3的偶數(shù)，則基本事件總數(shù)n=6，A包含的基本事件是“出現(xiàn)4點(diǎn)”和“出現(xiàn)6點(diǎn)”即ｋ=2，故,例： (一個(gè)古老的問(wèn)題)一對(duì)骰子連擲25次.問(wèn)出現(xiàn)雙6與不出現(xiàn)雙6的概率哪

22、個(gè)大?,上一頁(yè),下一頁(yè),返 回,例: 設(shè)盒中有3個(gè)白球，2個(gè)紅球，現(xiàn)從盒中任抽2個(gè)球，求取到一紅一白的概率。,答:取到一紅一白的概率為0.6。,N =C52 ,,K =C31 C21 ,,P(A) =C31 C21 / C52 =0.6 .,解: 設(shè)A-----取到一紅一白,一般地，設(shè)盒中有N個(gè)球，其中有M個(gè)白球，從中任抽n個(gè)球，則這n個(gè)球中恰有k白球的概率是,例:設(shè)有同類(lèi)產(chǎn)品6件,其中有4件合格品,2件不合格品.從6件產(chǎn)品中任意抽

23、取2件,求抽得合格品和不合格品各一件的概率.,解:設(shè)A={抽得合格品和不合格品各一件}.因?yàn)榛臼录倲?shù)等于從6件可以區(qū)別的產(chǎn)品中任取2件的組合數(shù)目,故有基本事件總數(shù),且每一基本事件發(fā)生是等可能的.,事件A發(fā)生是指從4件合格品和2件不合格品中各抽出一件,抽取方法數(shù),即使事件A發(fā)生的基本事件數(shù)為,所以事件A發(fā)生的概率為,袋中有20個(gè)球，其中15個(gè)白球，5 個(gè)黑球，從中任取3個(gè)，求至少取到一個(gè)白球的概率．,設(shè)Ａ表示至少取到一個(gè)白球，Ａi 表

24、示剛好取 到i個(gè)白球，i＝0，1，2，3， 則,方法１ （用互不相容事件和的概率等于概率之和）,Ｐ(A)＝Ｐ(A1∪Ａ2∪Ａ3)＝Ｐ(Ａ1)＋Ｐ(Ａ2)＋Ｐ(Ａ3),解,方法２ （利用對(duì)立事件的概率關(guān)系）,練習(xí),設(shè)有 k 個(gè)不同的球, 每個(gè)球 等可能地落入 N 個(gè)盒子中（ ）, 設(shè) 每個(gè)盒子容球數(shù)無(wú)限, 求下列事件的概率:,（1）某指定的 k 個(gè)盒子中各有一球；,（4）恰有 k 個(gè)盒子

25、中各有一球；,（3）某指定的一個(gè)盒子沒(méi)有球；,（2）某指定的一個(gè)盒子恰有 m 個(gè)球( ),（5）至少有兩個(gè)球在同一盒子中；,（6）每個(gè)盒子至多有一個(gè)球.,（分房模型）,例4,課堂練習(xí),解,設(shè) (1）―(6)的各事件分別為,則,,,,,,,4、幾何概型,若試驗(yàn)具有如下特征:,上一頁(yè),下一頁(yè),返 回,例 (約會(huì)問(wèn)題)甲、乙兩人相約在某一段時(shí)間T內(nèi)在預(yù)定地點(diǎn)會(huì)面。先到者等候另一人，經(jīng)過(guò)時(shí)間t(t<T)后即離去,求甲乙

26、兩人能會(huì)面的概率.(假定他們?cè)赥內(nèi)任一時(shí)刻到達(dá)預(yù)定地點(diǎn)是等可能的),上一頁(yè),下一頁(yè),返 回,上一頁(yè),下一頁(yè),返 回,例:(Buffon投針問(wèn)題) 1777年法國(guó)科學(xué)家蒲豐提出了下列著名問(wèn)題，這是幾何概率的一個(gè)早期例子. 平面上畫(huà)著一些平行線，它們之間的距離都等于a，向此平面任投一長(zhǎng)度為l(l<a)的針，試求此針與任一平行線相交的概率 .,解:以x表示針的中點(diǎn)與最近一條平行線間的距離,又以φ表示針與此直線間的交角.,易知樣本

27、空間滿足：,滿足這個(gè)不等式的區(qū)域?yàn)閳D中用陰影部分g,它是平面上一個(gè)矩形,針與平行線相交的充要條件是,所求的概率為,引例,,拋擲一顆骰子,觀察出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù),A={出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)是奇數(shù)}＝｛１，３，５｝,B={出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)不超過(guò)3}＝｛１，２，３｝,若已知出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)不超過(guò)3，求出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)是奇數(shù)的概率,即事件 B 已發(fā)生，求事件 A 的概率　Ｐ（Ａ｜Ｂ）,A B 都發(fā)生，但樣本空間縮小到只包含Ｂ的樣本點(diǎn),P(A)= P(AB)=3/10，,又如，1

28、0件產(chǎn)品中有7件正品，3件次品，7件正品中有3件一等品，4件二等品. 現(xiàn)從這10件中任取一件，記,B={取到正品},,A={取到一等品}，,P(A|B),則,這些例子給了我們一個(gè)“情報(bào)”，使我們得以在某個(gè)新的條件下來(lái)考慮概率問(wèn)題.,P(B )=7/10，,已知正品的條件下，取到一等品的概率,設(shè)Ａ，Ｂ為同一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)中的兩個(gè)隨機(jī)事件 , 且Ｐ（Ｂ）＞０， 則稱(chēng),為在事件Ｂ發(fā)生的條件下，事件Ａ發(fā)生的條件概率．,定義,第三節(jié) 條件概率

29、Conditional Probability,概率 P(A|B)與P(AB)的區(qū)別與聯(lián)系,聯(lián)系：事件A，B都發(fā)生了,區(qū)別：,（1）在P(A|B)中，事件A，B發(fā)生有時(shí)間上的差異，B先A后；在P（AB）中，事件A，B同時(shí)發(fā)生。,（2）樣本空間不同，在P(A|B)中，事件B成為樣本空間；在P（AB）中，樣本空間仍為 。,因而有,上一頁(yè),下一頁(yè),返 回,條件概率的性質(zhì)(自行驗(yàn)證),2)縮減樣本空間再計(jì)算,4. 條件概率的計(jì)算,

30、1) 用定義計(jì)算:,P(B)>0,P(A|B）=,B發(fā)生后的縮減樣本空間所含樣本點(diǎn)總數(shù),在縮減樣本空間中A所含樣本點(diǎn)個(gè)數(shù),(2)在原樣本空間中計(jì)算,由于,(1)在縮減的樣本空間中計(jì)算.因第一次已經(jīng)取得了次品,剩下的產(chǎn)品共19件其中3件次品,從而 P(B│A)=3/19,例1： 某批產(chǎn)品共20件,其中4件為次品,其余為正品,不放回地從中任取兩次,一次

31、取一件.若第一次取到的是次品,問(wèn)第二次再取到次品的概率是多少?,解 ：令A(yù)={第一次取到次品},B={第二次取到次品}, 需求P(B│A).,上一頁(yè),下一頁(yè),返 回,由條件概率的定義：,即 若P(B)>0,則P(AB)=P(B)P(A|B) (2),而 P(AB)=P(BA),2、 乘法公式,若已知P(B), P(A|B)時(shí), 可以反求P(AB).,將A、B的位置對(duì)調(diào)，有,故

32、 P(A)>0 , 則 P(AB)=P(A)P(B|A) (3),若 P(A)>0,則P(BA)=P(A)P(B|A),(2)和(3)式都稱(chēng)為乘法公式, 利用它們可計(jì)算兩個(gè)事件同時(shí)發(fā)生的概率,例:袋中裝有2個(gè)紅球和3個(gè)白球,從中依次取出2個(gè),求兩個(gè)都是紅球的概率.,解:設(shè)A1={第一次取得紅球},A2={第二次取得紅球}.(1)若用“不放回抽樣”,則P(A1A2)=P(A1)P(A2|

33、A1)=(2/5)×(1/4)=0.1(2)若用“有放回抽樣”,則P(A1A2)=P(A1)P(A2|A1)=(2/5)×(2/5)=0.16,例2： 設(shè)袋中有a只白球,b只黑球.任意取出一球后放回,并再放入與取出的球同色的球c只,再取第二次,如此繼續(xù),共取了n次,問(wèn)前n1次取出黑球,后n2 =n-n1 次取白球的概率是多少?,上一頁(yè),下一頁(yè),返 回,上一頁(yè),下一頁(yè),返 回,上一頁(yè),下一頁(yè),返 回,當(dāng) c &g

34、t; 0 時(shí)，由于每次取出球后會(huì)增加下一次也取到同色球的概率. 這是一個(gè)傳染病模型. 每次發(fā)現(xiàn)一個(gè)傳染病患者，都會(huì)增加再傳染的概率.,到底誰(shuí)說(shuō)的對(duì)呢？讓我們用概率論的知識(shí)來(lái)計(jì)算一下,每個(gè)人抽到“入場(chǎng)券”的概率到底有多大?,“大家不必爭(zhēng)先恐后，你們一個(gè)一個(gè)按次序來(lái)，誰(shuí)抽到‘入場(chǎng)券’的機(jī)會(huì)都一樣大.”,我們用Ai表示“第i個(gè)人抽到入場(chǎng)券”

35、 i＝1,2,3,4,5.,顯然，P(A1)=1/5，P( )＝4/5,第1個(gè)人抽到入場(chǎng)券的概率是1/5.,也就是說(shuō)，,則 表示“第i個(gè)人未抽到入場(chǎng)券”,因?yàn)槿舻?個(gè)人抽到了入場(chǎng)券，第1個(gè)人肯定沒(méi)抽到.,也就是要想第2個(gè)人抽到入場(chǎng)券，必須第1個(gè)人未抽到，,由于,由乘法公式,P(A2)= (4/5)(1/4)= 1/5,計(jì)算得：,這就是有關(guān)抽簽順序問(wèn)題的正確解答.,同理，第3個(gè)人要抽到“入場(chǎng)券”，必須第

36、1、第2個(gè)人都沒(méi)有抽到. 因此,＝(4/5)(3/4)(1/3)=1/5,繼續(xù)做下去就會(huì)發(fā)現(xiàn), 每個(gè)人抽到“入場(chǎng)券” 的概率都是1/5.,抽簽不必爭(zhēng)先恐后.,也就是說(shuō)，,,有三個(gè)箱子,分別編號(hào)為1,2,3.1號(hào)箱裝有1個(gè)紅球4個(gè)白球,2號(hào)箱裝有2紅3白球 , 3號(hào)箱裝有3 紅球. 某人從三箱中任取一箱,從中任意摸出一球,求取得紅球的概率.,解 記 Ai={球取自i號(hào)箱}, i=1,2

37、,3; B ={取得紅球},B發(fā)生總是伴隨著A1，A2，A3 之一同時(shí)發(fā)生，,其中 A1、A2、A3兩兩互斥,另一個(gè)例子:,將此例中所用的方法推廣到一般的情形，就得到在概率計(jì)算中常用的全概率公式.,對(duì)求和中的每一項(xiàng)運(yùn)用乘法公式得,P(B)=P( A1B)+P(A2B)+P(A3B),代入數(shù)據(jù)計(jì)算得：P(B)=8/15,運(yùn)用加法公式得到,即 B= A1B∪A2B ∪ A3B， 且

38、 A1B、A2B、A3B 兩兩互斥,3、全概率公式與貝葉斯公式,上一頁(yè),下一頁(yè),返 回,一個(gè)事件發(fā)生.（完備事件組）,全概率公式,上一頁(yè),下一頁(yè),返 回,解 設(shè)事件Ai是一批產(chǎn)品中有i個(gè)次品（i=0，1，2，3，4），設(shè)事件B是這批產(chǎn)品通過(guò)檢查，即抽樣檢查的10個(gè)產(chǎn)品都是合格品,則有P（B|A0）=1,,,,,所求的概率,某一事件B的發(fā)生有各種可能的原因 ，如果B是由原因Ai (i=1,2,…,n) 所引起，則A發(fā)生的概率

39、是,每一原因都可能導(dǎo)致B發(fā)生，故B發(fā)生的概率是各原因引起B(yǎng)發(fā)生概率的總和，即全概率公式.,P(BAi)=P(Ai)P(B |Ai),全概率公式.,我們還可以從另一個(gè)角度去理解,由此可以形象地把全概率公式看成為“由原因推結(jié)果”，每個(gè)原因?qū)Y(jié)果的發(fā)生有一定的“作用”，即結(jié)果發(fā)生的可能性與各種原因的“作用”大小有關(guān). 全概率公式表達(dá)了它們之間的關(guān)系 .,Ai是原因B是結(jié)果,該球取自哪號(hào)箱的可能性最大?,這一類(lèi)問(wèn)題是“已知結(jié)果求原因”. 在實(shí)

40、際中更為常見(jiàn)，它所求的是條件概率，是已知某結(jié)果發(fā)生條件下，探求各原因發(fā)生可能性大小.,某人從任一箱中任意摸出一球，發(fā)現(xiàn)是紅球,求該球是取自1號(hào)箱的概率.,,,或者問(wèn):,另一個(gè)引例:,貝葉斯公式,有三個(gè)箱子，分別編號(hào)為1,2,3，1號(hào)箱裝有1個(gè)紅球4個(gè)白球，2號(hào)箱裝有2紅球3白球，3號(hào)箱裝有3紅球. 某人從三箱中任取一箱，從中任意摸出一球，發(fā)現(xiàn)是紅球,求該球是取自1號(hào)箱的概率 .,1,,,,,,1紅4白,某人從任一箱中任意摸出一球，發(fā)現(xiàn)

41、是紅球，求該球是取自1號(hào)箱的概率.,記 Ai={球取自i號(hào)箱}, i=1,2,3; B ={取得紅球},求P(A1|B),運(yùn)用全概率公式計(jì)算P(B),將這里得到的公式一般化，就得到,貝葉斯公式,貝葉斯公式,上一頁(yè),下一頁(yè),返 回,該公式于1763年由貝葉斯 (Bayes) 給出. 它是在觀察到事件B已發(fā)生的條件下，尋找導(dǎo)致B發(fā)生的每個(gè)原因的概率.,例3：某工廠由甲,乙,丙三臺(tái)機(jī)器生產(chǎn)同一型號(hào)的產(chǎn)品,它們的產(chǎn)量各占30%

42、,35%,35%,廢品率分別為5%,4%,3%.產(chǎn)品混在一起.(1)從該廠的產(chǎn)品任取一件,求它是廢品的概率.(2)若取出產(chǎn)品是廢品,求它是由甲,乙,丙三臺(tái)機(jī)器生產(chǎn)的概率各是多少?,上一頁(yè),下一頁(yè),返 回,上一頁(yè),下一頁(yè),返 回,例4： 對(duì)以往的數(shù)據(jù)分析結(jié)果表明,當(dāng)機(jī)器調(diào)整良好時(shí),產(chǎn)品的合格率為90%,而機(jī)器未調(diào)整良好時(shí),其合格率為30%.每天機(jī)器開(kāi)動(dòng)時(shí),機(jī)器調(diào)整良好的概率為75%.試求已知某日生產(chǎn)的第一件產(chǎn)品是合格品,機(jī)器調(diào)整良好的概率

43、是多少?,解: 設(shè)A={機(jī)器調(diào)整良好},B={生產(chǎn)的第一件產(chǎn)品為合格品}.已知,上一頁(yè),下一頁(yè),返 回,練習(xí):甲、乙、丙三人獨(dú)立地向同一飛機(jī)射擊.設(shè)三人射中飛機(jī)的概率分別為0.4,0.5,0.7;一人射中飛機(jī)被擊落的概率為0.2,兩人射中飛機(jī)被擊落的概率為0.6,三人射中,則飛機(jī)被擊落.求飛機(jī)被擊落的概率.,解:設(shè)Bi={有i人射中}(i=1,2,3),A={飛機(jī)被擊落}.則P(B1)=0.4×(1-0.5)×

44、;(1-0.7)+(1-0.4)×0.5×(1-0.7) +(1-0.4)×(1-0.5)×0.7=0.36 P(B2)=0.4×0.5×(1-0.7)+0.4×(1-0.5)×0.7 +(1-0.4)×0.5×0.7=0.41 P(B3)=0.4×0.5×0.7=0.14

45、P(A|B1)=0.2 P(A|B2)=0.6 P(A|B3)=1 且B1,B2,B3兩兩互不相容,故有由全概率公式得 P(A)=P(B1)P(A|B1)+P(B2)P(A|B2)+P(B3)P(A|B3) =0.36×0.2+0.41×0.6+0.14×1=0.458,貝葉斯公式在實(shí)際中有很多應(yīng)用.,它可以幫助人們確定某結(jié)果（事件 B）發(fā)生的最可能原因.,例 某一

46、地區(qū)患有癌癥的人占0.005，患者對(duì)一種試驗(yàn)反應(yīng)是陽(yáng)性的概率為0.95，正常人對(duì)這種試驗(yàn)反應(yīng)是陽(yáng)性的概率為0.04，現(xiàn)抽查了一個(gè)人，試驗(yàn)反應(yīng)是陽(yáng)性，問(wèn)此人是癌癥患者的概率有多大?,則 表示“抽查的人不患癌癥”.,已知 P(C)=0.005,P( )=0.995, P(A|C)=0.95, P(A| )=0.04,求解如下:,設(shè) C={抽查的人患有癌癥}， A={試驗(yàn)結(jié)果是陽(yáng)性}，,求 P(C|A).,現(xiàn)在來(lái)

47、分析一下結(jié)果的意義.,由貝葉斯公式，可得,代入數(shù)據(jù)計(jì)算得 P(C｜A)= 0.1066,2. 檢出陽(yáng)性是否一定患有癌癥?,1. 這種試驗(yàn)對(duì)于診斷一個(gè)人是否患有癌癥有無(wú)意義？,如果不做試驗(yàn),抽查一人,他是患者的概率,患者陽(yáng)性反應(yīng)的概率是0.95，若試驗(yàn)后得陽(yáng)性反應(yīng)則根據(jù)試驗(yàn)得來(lái)的信息，此人是患者的概率為,從0.005增加到0.1066,將近增加約21倍.,1. 這種試驗(yàn)對(duì)于診斷一個(gè)人是否患有癌癥有意義.,P(C｜A)= 0.10

48、66,P(C)=0.005,,試驗(yàn)結(jié)果為陽(yáng)性 , 此人確患癌癥的概率為 P(C｜A)=0.1066,2. 即使你檢出陽(yáng)性，尚可不必過(guò)早下結(jié)論你有癌癥，這種可能性只有10.66% (平均來(lái)說(shuō)，1000個(gè)人中大約只有107人確患癌癥)，此時(shí)醫(yī)生常要通過(guò)再試驗(yàn)來(lái)確認(rèn).,,P(Ai) (i=1,2,…,n) 是在沒(méi)有進(jìn)一步信息（不知道事件B是否發(fā)生）的情況下，人們對(duì)諸事件發(fā)生可能性大小的認(rèn)識(shí).,當(dāng)有了新的信

49、息（知道B發(fā)生），人們對(duì)諸事件發(fā)生可能性大小P(Ai | B)有了新的估計(jì).,貝葉斯公式從數(shù)量上刻劃了這種變化,在貝葉斯公式中，P(Ai)和P(Ai |B)分別稱(chēng)為原因的驗(yàn)前概率和驗(yàn)后概率.,解,引例,,一個(gè)盒子中有６只黑球、４只白球，從中有放回地摸球。求（1） 第一次摸到黑球的條件下，第二次摸到黑球的概率；（2） 第二次摸到黑球的概率。,例,A={第一次摸到黑球}，B={第二次摸到黑球},則,設(shè)Ａ、Ｂ為任意兩個(gè)隨機(jī)事件，如果Ｐ（

50、Ｂ｜Ａ）＝Ｐ（Ｂ）即事件Ｂ發(fā)生的可能性不受事件Ａ的影響，則稱(chēng)事件Ｂ對(duì)于事件Ａ獨(dú)立．,顯然，Ｂ對(duì)于Ａ獨(dú)立，則Ａ對(duì)于Ｂ也獨(dú)立，故稱(chēng)Ａ與Ｂ相互獨(dú)立．,事件的獨(dú)立性 independence,定義,,事件的獨(dú)立性 判別定義,事件Ａ與事件Ｂ獨(dú)立的充分必要條件是,證明,實(shí)際問(wèn)題中，事件的獨(dú)立性可根據(jù)問(wèn)題的實(shí)際意義來(lái)判斷,如甲乙兩人射擊，“甲擊中”與“乙擊中”可以認(rèn)為相互之間沒(méi)有影響，即可以認(rèn)為相互獨(dú)立,定理 下列四組事件，有相同的獨(dú)立性：,證

51、明 若A、B獨(dú)立，則,所以， 獨(dú)立。,定理,定義8:,上一頁(yè),下一頁(yè),返 回,定義:設(shè)A,B,C是三事件,如果具有等式P(AB)=P(A)P(B)，P(BC)=P(B)P(C)P(CA)=P(C)P(A) 則稱(chēng)三事件A,B,C兩兩獨(dú)立.,定義9:,上一頁(yè),下一頁(yè),返 回,定義:設(shè)A1,A2,…,An是n個(gè)事件,如果對(duì)于任意的1≤i<j≤n有P(AiAj)=P(Ai)P(Aj) 則稱(chēng)這n個(gè)事件A1

52、,A2,…,An是兩兩獨(dú)立的.,注意:一組事件兩兩獨(dú)立并不能保證它們相互獨(dú)立.,概念辨析,事件Ａ與事件Ｂ獨(dú)立,事件Ａ與事件Ｂ互不相容,事件Ａ與事件Ｂ為對(duì)立事件,例1： 假設(shè)我們擲兩次骰子,并定義事件A={第一次擲得偶數(shù)},B={第二次擲得奇數(shù)},C={兩次都擲得奇數(shù)或偶數(shù)},證明A,B,C兩兩獨(dú)立,但A,B,C不相互獨(dú)立.,證明： 容易算出,上一頁(yè),下一頁(yè),返 回,例2： 甲、乙兩射手射擊同一目標(biāo),他們擊中目標(biāo)的概率分別為0.9與0.

53、8,求在一次射擊中(每人各射一次)目標(biāo)被擊中的概率.,上一頁(yè),下一頁(yè),返 回,2、 伯努利試驗(yàn)?zāi)Ｐ?定義10:,上一頁(yè),下一頁(yè),返 回,定理1:,上一頁(yè),下一頁(yè),返 回,例 有一批棉花種子,其出苗率為0.67,現(xiàn)每穴種4粒種子, (1) 求恰有ｋ粒出苗的概率(0≤k≤4)； (2) 求至少有兩粒出苗的概率．,(1) 該試驗(yàn)為4 重伯努利試驗(yàn),解,(2) 設(shè)Ｂ表示至少有2粒出苗的事件,則,,

54、,例 設(shè)某人打靶，命中率為0.7，重復(fù)射擊5次，求恰好命中3次的概率。,解 該試驗(yàn)為5重伯努利試驗(yàn)，且,所求概率為,n=5,p=0.7;q=0.3;k=3,練習(xí):設(shè)有8門(mén)大炮獨(dú)立地同時(shí)向一目標(biāo)各射擊一次,若有不少于2發(fā)炮彈命中目標(biāo)時(shí),目標(biāo)就被擊毀,如果每門(mén)炮命中目標(biāo)的概率為0.6,求目標(biāo)被擊毀的概率.,解:8門(mén)大炮獨(dú)立地同時(shí)向一目標(biāo)各射擊一次,相當(dāng)于8重貝努里試驗(yàn).所求概率為,p= p8(2)+ p8(3)+…+ p8(8),=1

55、- p8(0)- p8(1),=1- C800.60×0.48-C810.61×0.47=0.991,練習(xí) 甲、乙、丙三人同時(shí)對(duì)飛機(jī)進(jìn)行射擊, 三人擊中的概率分別為0.4、0.5、0.7. 飛 機(jī)被一人擊中而擊落的概率為0.2,被兩人擊中而擊落的概率為0.6, 若三人都擊中, 飛機(jī)必定被擊落, 求飛機(jī)被擊落的概率.,設(shè)B={飛機(jī)被擊落} Ai={飛機(jī)被i人擊中}, i=1,2,3,由全概率公式,則

56、 B=A1B+A2B+A3B,解,P(B)=P(A1)P(B |A1)+ P(A2)P(B|A2),+ P(A3)P(B |A3),可求得,為求P(Ai ) , 設(shè) Hi={飛機(jī)被第i人擊中}, i=1,2,3,將數(shù)據(jù)代入計(jì)算得,P(A1)=0.36;P(A2)=0.41;P(A3)=0.14.,P(B)=P(A1)P(B |A1)+ P(A2)P(B|A2)+P(A3)P(B|A3),,=0.458,=0.36