結構力學-第六章-位移法2

1、3`1,結構力學,Structural Mechanics,周 強,土木工程學院風工程試驗研究中心E-mail：qzhou85@126.com,基本未知量——結點B 轉角θB ，設其為Z1 。在結點B 附加剛臂得基本結構。,原結構,基本結構,一、位移法的基本方程,1. 無側移剛架,§6-4 位移法的典型方程及計算步驟,+,=,R11+R1P=R1=0,2) 人為給予結點B以轉角θB ,由于轉角而引起附加約束的附加反力R

2、11。,在基本結構上分別考慮：,基本體系,+,=,1) 荷載引起的附加約束中的反力R1P。,由線形系統(tǒng)的疊加原理得到位移法基本體系.,§6-4 位移法的典型方程及計算步驟,設r11為單位轉角Z1=1時附加約束反力矩，則 R11=r11Z1，將其代入公式（8-3）得,思考：如何使基本體系的受力和變形情況與原結構完全等價？,要使基本體系與原結構完全相等，必須要有 R11+R1P=R1=0

3、即： R11+R1P=0 (8-3）,R 的下標: 第一個下標表示產(chǎn)生附加反力矩的位置， 第二個下標表示產(chǎn)生附加反力矩的原因。,§6-4 位移法的典型方程及計算步驟,r11Z1+R1P=0 （8-4）,------求解基本未知量Z1的位移法方程。,求系數(shù) r11,作基本結構當位移 Z1=1 時的彎矩圖（ 圖）。,i=EI/l 稱為該桿的線剛度。

4、,取結點B為隔離體，由力矩平衡條件,得,§6-4 位移法的典型方程及計算步驟,求自由項R1P，作出基本結構在荷載作用時的彎矩圖(MP圖)。,利用力矩平衡條件∑MB=0， 得,注意：系數(shù)r11和自由項R1P的正負號規(guī)定它們都與 轉角 Z1的正向一致時為正，即順時針為正。,取結點B為隔離體,§6-4 位移法的典型方程及計算步驟,將系數(shù)r11和自由項 R1P代入位移法方程式（8-4）有,得,疊加法繪制結構的彎矩圖。,

5、67;6-4 位移法的典型方程及計算步驟,2. 有側移剛架,圖示剛架，在荷載作用下該剛架將發(fā)生虛線所示的變形。,§6-4 位移法的典型方程及計算步驟,結點1的轉角Z1和結點1、2的獨立水平線位移Z2 。,(1) 基本未知量：,§6-4 位移法的典型方程及計算步驟,基本結構,(2) 基本方程基本體系轉化為原體系的條件為：附加約束上的反力——R1=0、R2=0 。,基本體系,§6-4 位移法的典型方程及計算步

6、驟,在小變形線彈性條件下，根據(jù)疊加原理可得,（8-5）,第一式：反應了結點1的矩平衡條件。,設Z1=1時附加剛臂的約束反力矩r11，附加鏈桿的約束力r21；Z2=1時附加剛臂的約束反力矩r12 ，附加鏈桿的約束力r22，則,§6-4 位移法的典型方程及計算步驟,將R11、R12、R21、R22 代入位移法方程式（8-5）的得位移法典型方程(基本方程),（8-6）,位移法典型方程的物理意義：基本結構在荷載和各結點位移共同作用下

7、，各附加約束中的反力等于零,反映了原結構的靜力平衡條件。,§6-4 位移法的典型方程及計算步驟,rij——表示基本結構僅在附加約束j發(fā)生單位位移Zj=1時，在附加約束i上產(chǎn)生的約束力（或約束反力矩）。,二、位移法典型方程,（8-7）,對于具有n個獨立結點位移的的結構,有n個基本未知量,可建立n個平衡方程，位移法典型方程,§6-4 位移法的典型方程及計算步驟,由剛度系數(shù)rij 組成的矩陣稱為結構剛度矩陣。,rij 反

8、映結構的剛度，稱為剛度系數(shù)。rij = rji （由反力互等定理）。RiP 稱為自由項，它表示在基本結構上僅有荷載作用時，在附加約束i上產(chǎn)生的約束反力或反力矩。,寫成矩陣形式——位移法方程也稱剛度方程,（8-8）,§6-4 位移法的典型方程及計算步驟,(3) 求典型方程中的系數(shù)和自由項。,1）作基本結構單獨在Z1=1作用時的彎矩圖,取剛結點1為隔離體，由平衡條件得,繼續(xù)求解,§6-4 位移法的典型方程及計算步驟,截取

9、橫梁12為隔離體，,取13桿為隔離體，由∑M3=0, 有,得,由平衡條件得,注意：桿端剪力FS13可根據(jù)桿端彎矩求出。,§6-4 位移法的典型方程及計算步驟,2) 作基本結構單獨在Z2=1作用時的彎矩圖 圖,取剛結點1為隔離體，由平衡條件得,在繪出 圖、 圖后，桿端剪力（包括大小和方向）即可確定，不必專門記憶。,§6-4 位移法的典型方程及計算步驟,截取橫梁12為隔離體,由平衡條件得,§

10、6-4 位移法的典型方程及計算步驟,3) 作基本結構單獨在荷載單獨作用時的彎矩圖MP圖。,截取橫梁12為隔離體,由平衡條件得,取剛結點1為隔離體，由平衡條件得,§6-4 位移法的典型方程及計算步驟,進行系數(shù)和自由項計算時，應注意以下兩點：,,(1) 桿端剪力可根據(jù)桿端彎矩求出。在繪出 圖、 圖、 后，桿端剪力（包括大小和方向）即可確定，不必專門記憶。,(2）由反力互等定理可知，必有r12=r21，計算時可

11、以互相校核，熟練后只需計算其中之一。,§6-4 位移法的典型方程及計算步驟,將系數(shù)和自由項代入典型方程（8-6），則,結果為正值，表明所設Z1、Z2的方向與實際方向一致。,(4) 解方程,§6-4 位移法的典型方程及計算步驟,(5) 彎矩圖,§6-4 位移法的典型方程及計算步驟,(6) 根據(jù)彎矩圖可作出剪力圖和軸力圖。,(7) 校核。,結點滿足力矩平衡條件。,取橫梁12為隔離體，它滿足剪力平衡條件，可以判

12、斷所得結果正確。,§6-4 位移法的典型方程及計算步驟,三、位移法典型方程計算結構的步驟,(1) 確定基本未知量——即原結構的獨立結點角位移和線位移;,(2) 建立基本結構——在原結構上增設與基本未知量相應的附加約束，限制結點的角位移和線位移，得到位移法基本結構;,(3) 建立位移法典型方程;,(4) 計算典型方程中系數(shù)和自由項;,繪出基本結構在各單位結點位移作用下的彎矩圖和荷載作用下的基本結構的彎矩圖，由平衡條件求出各系數(shù)和

13、自由項。,§6-4 位移法的典型方程及計算步驟,(6) 作內力圖；根據(jù) ，按疊加法繪制最后彎矩圖，利用平衡條件求出各桿桿端剪力和軸力，作剪力圖和軸力圖。,(7) 校核。按平衡條件進行校核。,(5) 解算典型方程；求出作為基本未知量的各結點位移Z1、Z2 、…、Zn 。,思考：位移法能用于計算靜定結構嗎？,能！凡是具有未知結點位移的結構, 不管是靜定或是超靜定, 都可以用位移法求

14、解。位移法比較適宜于編制通用計算程序 ,進行大規(guī)模的工程計算。,§6-4 位移法的典型方程及計算步驟,例8-1 用位移法計算圖示的剛架的內力。EI=常數(shù)。,解：(1) 確定基本未知量，結點C的角位移Z1。,(2) 建立基本結構，得到基本體系。,§6-4 位移法的典型方程及計算步驟,(3) 建立位移法典型方程。,（4）計算系數(shù)和自由項。 令 ，做出 圖,基本結構由于支座A產(chǎn)生位移

15、時，各桿端的彎矩：,§6-4 位移法的典型方程及計算步驟,作出MΔ圖（轉角位移方程）,(5) 解算位移法方程，,(6) 作內力圖。,按疊加法根據(jù),§6-4 位移法的典型方程及計算步驟,解：(1) 確定基本未知量，結點B的角位移Z1。,例8-2 用位移法計算圖示的連續(xù)梁的內力。EI=常數(shù)。,(2) 建立基本結構，得到基本體系。,(3) 建立位移法典型方程。,§6-4 位移法的典型方程及計算步驟,（4）計算系數(shù)

16、和自由項。 令 ，做出 圖,由隔離體——結點B的力矩平衡條件∑MB=0 ，得,§6-4 位移法的典型方程及計算步驟,作出MP圖（查表）,由∑MB=0,取結點B為隔離體，,將系數(shù)r11和自由項R1P代入位移法方程，解得,(5) 解算位移法方程，,§6-4 位移法的典型方程及計算步驟,(6) 作內力圖。,注意:桿端彎矩順時針為正。但彎矩圖仍畫在桿件纖維受拉一側。,§6-4

17、 位移法的典型方程及計算步驟,根據(jù)M圖利用平衡條件求出各桿桿端剪力, 繪出剪力圖。,取AB桿為隔離體,由 得,由 得,§6-4 位移法的典型方程及計算步驟,取BC桿為隔離體，,由,得,由,得,繪出剪力圖,(7)按平衡條校核,§6-4 位移法的典型方程及計算步驟,解： (1) 確定基本未知量結點D、E的角位移Z1和Z2 。,(2) 建立基本結構。

18、,例8-3 試用位移法計算圖示剛架，并繪出M圖。各桿的E為常數(shù)。,§6-4 位移法的典型方程及計算步驟,(3) 建立位移法典型方程,作出 圖，分別取結點1和結點2為隔離體，由力矩平衡條件得：,(4) 計算系數(shù)和自由項,§6-4 位移法的典型方程及計算步驟,作出 圖,分別取結點D和結點E為隔離體，由力矩平衡條件得：,§6-4 位移法的典型方程及計算步驟,作MP圖,分別取結點D和結點E為隔離體，

19、由力矩平衡條件得：,§6-4 位移法的典型方程及計算步驟,(5) 解算位移法方程,(6) 作彎矩圖。根據(jù) 按疊加法繪制最后彎矩圖。,將系數(shù)和自由項代入位移法方程，得,(7) 校核 取結點D和結點E為隔離體。,易見滿足結點的力矩平衡條件, 計算無誤。,§6-4 位移法的典型方程及計算步驟,(2) 建立基本結構。,(3) 建立位移法典型方程。,剛結

20、點B角位Z1，水平線位移Z2,解：(1) 基本未知量,例8-4 試用位移法計算圖示剛架，并繪出M圖。各桿的E為常數(shù)。,§6-4 位移法的典型方程及計算步驟,(4) 計算系數(shù)和自由項。,令 ,作出 圖,取橫梁ABC為隔離體，,由剪力平衡條件得,由力矩平衡條件有,取結點B為隔離體,§6-4 位移法的典型方程及計算步驟,取結點B為隔離體，有,（反力互等定理）,作 圖,取橫梁ABC為隔離體，,有,

21、§6-4 位移法的典型方程及計算步驟,作MP圖,取結點B為隔離體,取橫梁ABC為隔離體，有,(5) 解算位移法方程,解之得,將系數(shù)和自由項代入位移法方程，得,有,§6-4 位移法的典型方程及計算步驟,(6) 作彎矩圖。,根據(jù) 按疊加法繪制最后彎矩圖。,(7) 校核。滿足結點的力矩平衡條件，由此判定計算無誤。,§6-4 位移法的典型方程及計算步驟,解：(1) 確定基本未

22、知量剛結點C角位移Z1，結點C和結點D有相同的水平線位移Z2 。,例8-5 試用位移法計算圖示剛架，并繪出M圖。各桿的EI為常數(shù)。,(2) 建立基本體系,§6-4 位移法的典型方程及計算步驟,由力矩平衡條件∑MC =0，得,(3) 建立位移法典型方程。,(4) 計算系數(shù)和自由項。作出 圖。令 。,截取桿CD為隔離體，,由投影平衡條件∑Fx =0 ，得,取結點C為隔離體，,§6-4 位移法的典型方程及

23、計算步驟,作 圖,由力矩平衡條件 ∑MC =0 得,由投影平衡條件∑Fx =0 得,（滿足r12=r21）,截取桿CD為隔離體，,取結點C為隔離體，,§6-4 位移法的典型方程及計算步驟,作MP圖,由投影平衡條件∑Fx =0 ，得,由力矩平衡條件∑MC =0 ，得,取結點C為隔離體,截取桿CD為隔離體,§6-4 位移法的典型方程及計算步驟,將系數(shù)和自由項代入位移法方程，便有,(5) 解算位移法方程。,(7) 校

24、核。,(6) 作彎矩圖。根據(jù) 按疊加法繪制最后彎矩。,滿足結點的力矩平衡條件，計算無誤。,§6-4 位移法的典型方程及計算步驟,解： (1) 確定基本未知量。基本未知量為獨立的結點線位移Z1 。,(2) 建立基本結構。,(3) 建立位移法典型方程。,例8-6 試用位移法計算圖所示排架。,§6-4 位移法的典型方程及計算步驟,(4) 計算系數(shù)和自由項。,作 圖，取橫

25、梁CD為隔離體,由∑X=0, 得,§6-4 位移法的典型方程及計算步驟,將系數(shù)r11和自由項 R1P代入位移法方程，解得,(5) 解算位移法方程。,由MP圖，有自由項,§6-4 位移法的典型方程及計算步驟,(6) 作內力圖。根據(jù),按疊加法繪制最后彎矩圖,§6-4 位移法的典型方程及計算步驟,橫梁彎曲剛度無窮大，結點處不產(chǎn)生轉動，本題只有一個線位移未知量。,例8-7 試用位移法計算圖示橫梁剛度無窮大的剛架

26、，繪彎矩圖。E=常數(shù)。,(2) 建立基本體系。,解: (1) 確定基本未知量,思考：剛結點處為什么不產(chǎn)生轉動？,§6-4 位移法的典型方程及計算步驟,(3) 建立位移法方程,(4) 計算系數(shù)和自由項,由 圖得系數(shù),§6-4 位移法的典型方程及計算步驟,荷載作用在橫梁上不引起立柱 MP彎矩。,自由項,將系數(shù)r11和自由項R1P代入位移法方程，解得,(5) 解算位移法方程。,§6-4 位移法的典型方程及

27、計算步驟,(6) 用疊加法作內力圖。,注意: 1. 橫梁上的彎矩按平衡條件確定。 2. 由彎矩圖，利用平衡條件，可進一步繪出剪力圖。,§6-4 位移法的典型方程及計算步驟,例8-8用位移法作圖示結構的彎矩圖。,解:利用對稱性取半個結構計算。,(1) 確定基本未知量,剛結點C角位移Z1,結點A水平線位移Z2，,(2) 建立基本體系。,(3) 建立位移法典型方程。,§6-4 位移法的典型方程及計算步驟,(4