自動控制理論鄒伯敏第三版第04章

1、2024/3/19,第四章 根軌跡法,1,第四章,根軌跡法,作者： 浙江大學 鄒伯敏 教授,自動控制理論,普通高等教育“十一五”國家級規(guī)劃教材,2024/3/19,第四章 根軌跡法,2,第一節(jié) 根軌跡法的基本概念,自動控制理論,什么是根軌跡法,閉環(huán)特性方程式,當K由0→∞變化,特征根s1和s2相應的變化關系如表4-1所示。,表4-1 根與K的關系,,圖4-1 二階系統(tǒng),(4-1),方程式(4-1)的根為,202

2、4/3/19,第四章 根軌跡法,3,圖4-2 系統(tǒng)的根軌跡,對于不同的K值,系統(tǒng)有下列三種不同的工作狀態(tài):,1) 0≤K＜¼， s1、 s1為兩相異的實數(shù)根（過阻尼狀態(tài)）2) K=¼， s1、 s1為兩相等實根，s1 = s2 =-0.5，（臨界阻尼）3) ¼＜K＜∞， s1 、s2為一對共軛復根（欠阻尼）,如要求系統(tǒng)在階躍信號的作用下，超調量為49%。,自動控制理論,由式（3-26）求得,由

3、于 ，在圖4-2上過坐標原點作與負實軸夾角為45°和射線，它與根軌跡的交點S= -05±j0.5，這就是所求的希望閉環(huán)極點。,2024/3/19,第四章 根軌跡法,4,圖4-3 控制系統(tǒng)的框圖,根軌跡的幅值條件與相角條件,特征方程：,,于是得：,假設系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)用零、極點形式表示：,自動控制理論,由上式可知，凡是滿足方程,的s值，就是該方程的根，或

4、是根軌跡上的一個點。由于s 是復數(shù)，故有：,2024/3/19,第四章 根軌跡法,5,則上式改寫為：,于是得：,自動控制理論,2024/3/19,第四章 根軌跡法,6,自動控制理論,圖4-4 一階系統(tǒng),設一控制系統(tǒng)的框圖如圖4-4所示，由根軌跡的幅值條件得：,即,令,（4-10）,（4-11）,式（4-11）表明，系統(tǒng)的等增益軌跡是一簇同心圓，如圖4-5所示。,圖4-5 圖4-4系統(tǒng)的等增益軌跡和根軌跡,202

5、4/3/19,第四章 根軌跡法,7,結論：,自動控制理論,根軌跡就是s 平面上滿足相角條件點的集合。由于相角條件是繪制根軌跡的基礎，因而繪制根軌跡的一般步驟是：,找出s 平面上滿足相角條件的點，并把它們連成曲線根據(jù)實際需要，用幅值條件確定相關點對應的K值,例4-1 求圖4-1所示系統(tǒng)的根軌跡,解：,1）用相角條件繪制根軌跡,2）用幅值條件確定增益K,2024/3/19,第四章 根軌跡法,8,圖4-6 用試探法確定

6、根軌跡,自動控制理論,2024/3/19,第四章 根軌跡法,9,第二節(jié) 根軌跡的基本規(guī)則,開環(huán)傳遞函數(shù)有如下兩種表示：,其中，K為系統(tǒng)的開環(huán)增益；K0為系統(tǒng)的根軌跡增益它們之間的關系為：,自動控制理論,2024/3/19,第四章 根軌跡法,10,繪制根軌跡的基本規(guī)則,規(guī)則1：根軌跡的對稱性,由于系統(tǒng)特征方程式的系數(shù)均為實數(shù),因而特征根或為實數(shù),或為共軛復數(shù).根軌跡必然對稱于S平面的實軸,規(guī)則2：根軌跡的分支數(shù)及其

7、起點和終點,閉環(huán)特征方程：,,當k由 變化時，方程中任一根由始點連續(xù)地向終點變化的軌跡稱為根軌跡的一條分支；,自動控制理論,2024/3/19,第四章 根軌跡法,11,因為n≥m，所以根軌跡分支共計為n條；,根軌跡起點就是k0=0時根的位置，當k0=0時有：,根軌跡終點就是當 時根的位置；,自動控制理論,2024/3/19,第四章 根軌跡法,12,規(guī)則3：根軌跡在實軸上的分布

8、,自動控制理論,2024/3/19,第四章 根軌跡法,13,圖4-7 實軸上根軌跡的確定,實軸上根軌跡的確定完全取決于試驗點 右方實軸上開環(huán)極點數(shù)與零點數(shù)之和的數(shù)是否為奇數(shù)。,自動控制理論,2024/3/19,第四章 根軌跡法,14,規(guī)則4：根軌跡的漸近線,1、漸近線的傾角,2、漸進線與實軸交點,3、用分子除以分母得,自動控制理論,2024/3/19,第四章 根軌跡法,15,則：,自動控制理論,20

9、24/3/19,第四章 根軌跡法,16,圖4-8 控制系統(tǒng)方框圖,例4-2 繪制圖4-8所示系統(tǒng)的根軌跡,1） 有三條根軌跡分支,它們的始點為開環(huán)極點(0,-1,-2）2） 三條根軌跡分支的終點均在無限遠3） 漸近線與正實軸的夾角,解：,4）實軸上的0至-1和-2至-∞間的線段為根軌跡,自動控制理論,2024/3/19,第四章 根軌跡法,17,規(guī)則5：分離點與會合點,當根軌跡分支在實軸上相交后走向復平面，此

10、交點稱為根軌跡的分離點。當根軌跡由復平面走向實軸時，它們在實軸上的交點稱為會合點,圖4-10 根軌跡的分離點和會合點,圖4-11 根軌跡的復數(shù)分離點,求解根軌跡的分離點和會合點,自動控制理論,2024/3/19,第四章 根軌跡法,18,例4-3 求圖4-8所示系統(tǒng)的分離點,解：特征方程,圖4-12 例4-4的根軌跡,例4-4 已知,求根的分離點,1）有4條根軌跡分支,它們的始點分別為0，-4，-2±j4

11、2） 漸近線與正實軸的夾角,解：,自動控制理論,2024/3/19,第四章 根軌跡法,19,3） 實軸上的0至-4間的線段是根軌跡4） 求分離點，系統(tǒng)的特征方程為,規(guī)則6：出射角與入射角,根軌跡離開開環(huán)復數(shù)極點處的切線與實軸正方向的夾角稱根軌跡的出射角，根軌跡進入開環(huán)復數(shù)零點處的切線與實軸正方向夾角稱入射角,,圖4-13 根軌跡出射角的確定,自動控制理論,2024/3/19,第四章 根軌跡法,20,規(guī)則7：根軌跡

12、與虛軸的交點,例 已知閉環(huán)特征方程式為,由勞斯判據(jù)：,自動控制理論,2024/3/19,第四章 根軌跡法,21,規(guī)則8：特征方程式根之和與根之積,把式（4-13）改為,自動控制理論,2024/3/19,第四章 根軌跡法,22,如果n-m≥2則閉環(huán)方程,于是得：,例4-5 已知一單位反饋控制系統(tǒng)的,自動控制理論,2024/3/19,第四章 根軌跡法,23,圖4-14 例4-5的根軌跡圖,自動控制理論

13、,2024/3/19,第四章 根軌跡法,24,第三節(jié) 參量根軌跡的繪制,圖4-18 雙閉環(huán)控制系統(tǒng)的框圖,例4-7 試繪制圖4-18所示的系統(tǒng)以α為參變量的根軌跡,解：,圖4-19 例4-7的根軌跡圖,一個可變量根軌跡的繪制,,自動控制理論,2024/3/19,第四章 根軌跡法,25,幾個可變參量根軌跡的繪制,例4-8 試繪制圖4-20所示,試繪制以K和α為參變量的根軌跡,圖4-21 根軌跡圖,圖4-20

14、 單位反饋控制系統(tǒng),解： 特征方程式,,自動控制理論,2024/3/19,第四章 根軌跡法,26,第四節(jié) 非最小相位系統(tǒng)的根軌跡,開環(huán)傳遞函數(shù)的零點、極點均位于S左半平面的系統(tǒng)，稱為最小相位系統(tǒng)；反之，則稱為非最小相位系統(tǒng)出現(xiàn)非最小相位系統(tǒng)有如下三種情況,1） 系統(tǒng)中有局部正反饋回路2） 系統(tǒng)中含有非最小相位元件3） 系統(tǒng)中含有純滯后環(huán)節(jié),圖4-22具有正反饋回路的控制系統(tǒng),正反饋回路的根軌跡,,內回路的閉環(huán)傳遞函數(shù)

15、為,自動控制理論,2024/3/19,第四章 根軌跡法,27,相應的特征方程為,由上式得,正反饋系統(tǒng)根軌跡與負反饋系統(tǒng)根軌跡的不同這處有：,1）實軸上線段成這根軌跡的充要條件是該線段右方實軸上開環(huán)零點數(shù)與極點數(shù)這和為偶數(shù)2）漸近線與實軸的傾角,3）開環(huán)共軛極點的出射角與開環(huán)共軛零點的入射角分別為,自動控制理論,2024/3/19,第四章 根軌跡法,28,系統(tǒng)中含有非最小相位元件,圖4-23 非最小相位系統(tǒng),,由相

16、角條件得,自動控制理論,2024/3/19,第四章 根軌跡法,29,滯后系統(tǒng)的根軌跡,圖4-25 滯后系統(tǒng)的框圖,,特征方程為,圖4-24,自動控制理論,2024/3/19,第四章 根軌跡法,30,自動控制理論,第五節(jié) 增加開環(huán)零、極點對根軌跡的影響,當按某一參變量作出系統(tǒng)的根軌跡圖后，如果系統(tǒng)的性能不能滿足設計要求時，一般可增加開環(huán)零點的方法實現(xiàn)。,增加開環(huán)零點,,設系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù),(4-50),當K由

17、 變化時，系統(tǒng)的根軌跡如圖4-29所示。,圖4-29 根軌跡圖,若增加一個開環(huán)零點-b，則開環(huán)傳遞函數(shù)變?yōu)?(4-51),2024/3/19,第四章 根軌跡法,31,自動控制理論,（1）假設零點-b位于 的實軸段上，若令b=5，即,(4-52),根據(jù)式（4-52）作出的根軌跡圖如圖4-30所示。由勞斯判據(jù)求得該系統(tǒng)穩(wěn)定的臨界增益k0=12，此值與未加零點前的值一樣大小。當k0>

18、;12，根軌跡中有兩條分支進入s的右半平面，這表明附加零點對系統(tǒng)根軌跡的影響甚小，即系統(tǒng)的動態(tài)性能不會因此而有明顯的改善，其原因是該零點距離虛軸較遠。,（2）假設零點-b位于 間的實軸段上，若令b=1.2，即,(4-53),據(jù)此作出系統(tǒng)的根軌跡如圖4-31所示。由圖可見，當K在 范圍內變化時，該系統(tǒng)總是穩(wěn)定的。,圖4-30 系統(tǒng)的根軌跡圖,2024/3/19,第四章 根軌跡法

19、,32,自動控制理論,（3）假設零點-b位于 間的實軸段上，若令b=0.4，即,(4-54),圖4-31 根軌跡圖,圖4-32 根軌跡圖,據(jù)此，作出系統(tǒng)的根軌跡圖如圖4-32所示。由圖可知：,1）當K由 變化時，系統(tǒng)的根軌跡都位于s平面的左方，因而該系統(tǒng)總是穩(wěn)定的。,2）當k>k1，3個團環(huán)極點中同樣有一對共軛復數(shù)極點s1、s2和一個實數(shù)極點s3，但由于極點s3距虛軸很近，因而

20、相應的瞬態(tài)分量衰減得很緩慢，從而導致系統(tǒng)的輸出響應有較長的過渡過程時間，這是一般的控制系統(tǒng)所不希望的。,由上述分析可知，增加的開環(huán)零點于s平面實軸上的不同位置，它對系統(tǒng)根軌跡所產生的影響是不同的。對于某一具體的開環(huán)傳遞函數(shù)，只有選擇合適的附加零點，才有可能使控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性及動態(tài)性能得到顯著地改善。,2024/3/19,第四章 根軌跡法,33,增加開環(huán)極點,,自動控制理論,若在開環(huán)傳遞函數(shù)中增加一個開環(huán)極點，-p(p&

21、gt;0)，則在根軌跡的相角方程中增加了一個負角[-arg(s+p)]，從而導致系統(tǒng)的根軌跡作向右傾斜變化，這顯然不利于系統(tǒng)的穩(wěn)定性及動態(tài)性能的改善。對此，舉例如下：設一單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為,系統(tǒng)的根軌跡如圖4-33所示。由圖可知，當參變量K由 變化時，該系統(tǒng)總是穩(wěn)定的。如增加一個開環(huán)極點-2，則開環(huán)傳遞函數(shù)變?yōu)?對應的根軌跡如圖4-34所示。當K>6時，系統(tǒng)就變?yōu)椴环€(wěn)定了。,圖4-34 根軌跡圖

22、,圖4-33 根軌跡圖,2024/3/19,第四章 根軌跡法,34,第六節(jié) 用根軌跡法分析控制系統(tǒng),用根軌跡法確定系統(tǒng)中的有關參數(shù),圖4-35 控制系統(tǒng),試用選擇參數(shù)K1和K2以使系統(tǒng)滿足下列性能指標,,,自動控制理論,2024/3/19,第四章 根軌跡法,35,在S左半平面上,過坐標原點作一與負實軸成45°角的射線,如圖4-36所示,圖4-36 在S平面上希望極點的區(qū)域,自動控制理論,2024/3

23、/19,第四章 根軌跡法,36,圖4-37為對應的根軌跡。,以β為參變量的根軌跡如圖4-38所示,該圖與由過坐標原點作一與負實軸成45°角的直線；并與根軌跡相交于-3.15±j3.17。由根軌跡幅值條件求得β=4.3=20K2 ； K2=0.215,因為所術閉環(huán)極點實部σ=3.15;因而,圖4-37 式（4-63）的根軌跡,圖4-38 式（4-64）的根軌跡,自動控制理論,2024/3/19,第四章

24、 根軌跡法,37,確定指定K0時的閉環(huán)傳遞函數(shù),例 已知,求K0=0.5時的閉環(huán)傳遞函數(shù)。,解 在分離點S=-0.423處，由幅值條件求得K0=0.385由此可知，K0=0.5時，系統(tǒng)有一對共軛復根和一個實根，經試樣法確定，當s3=-2.192時，K0≈0.5,圖4-39 根軌跡圖,,自動控制理論,2024/3/19,第四章 根軌跡法,38,確定具有指定阻尼比ξ的閉環(huán)極點和單位階躍響應,仍以圖4-8所示