工程數(shù)學(xué)線性代數(shù)第五版linearalgebra-15-wed

1、線性代數(shù)Linear Algebra,十五石春超,習(xí)題講解,p.107, 4 — 判斷向量組是否線性無關(guān),p.107, 4 — 判斷向量組是否線性無關(guān),,,,,（列虧損矩陣）,（列滿秩矩陣）,p.107, 4 — 判斷向量組是否線性無關(guān),方法一：求矩陣行階梯形，得到秩之值。,方法二：求方陣之行列式，得到是否滿秩信息。,p.107, 6 — 向量(組)的線性相關(guān)性與線性表示,定義,則稱向量組 是線性相關(guān)的，否則稱它線性無關(guān)．,p.

2、107, 6 — 向量(組)的線性相關(guān)性與線性表示,p.107, 6 — 判斷下列推導(dǎo)之正誤,×,√,p.107: 9 — 向量(組)的線性相關(guān)性,證,即,證一,,p.107: 9 — 向量(組)的線性相關(guān)性,證二,p.107: 9 — 向量(組)的線性相關(guān)性,證三,p.107: 9— 向量(組)的線性相關(guān)性,本講主要內(nèi)容—線性方程組解的結(jié)構(gòu),一.如何求得基礎(chǔ)解系以得到齊次方程組的通解？ 二. 非齊次方程組解的結(jié)構(gòu)。非齊次

3、方程組的解的性質(zhì)。如何求得非齊次方程組的通解？,線性方程組解集的結(jié)構(gòu),—齊次方程組—非齊次方程組,方法：向量組線性相關(guān)性理論,齊次方程組解的性質(zhì),—基礎(chǔ)解系怎樣表示通解？,—解的通解的形式如何？,基礎(chǔ)解系與齊次線性方程組的通解,,,從求解方程組的過程、結(jié)果可知：這里基礎(chǔ)解系所含向量的個(gè)數(shù) t (即方程組解集的秩)，正是方程組中自由未知量的個(gè)數(shù)，即 t=n-R(A).,,齊次方程組基礎(chǔ)解系的求法,方法：如果能確定自由未知數(shù)的個(gè)數(shù)t

4、，則尋找基礎(chǔ)解系即為，求出t 個(gè)線性無關(guān)的解。,解空間的最大無關(guān)組,,解,對(duì)系數(shù)矩陣 作初等行變換，變?yōu)樾凶詈喚仃嚕?,,,例 解齊次線性方程組,解,對(duì)系數(shù)矩陣施行初等行變換,即方程組有無窮多解，,其基礎(chǔ)解系中有三個(gè)線性無關(guān)的解向量.,,,所以原方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系為,故原方程組的通解為,,齊次線性方程組解向量、解集的性質(zhì),解向量性質(zhì)1 若 為 Ax=0 的解，則

5、 也是方程組的解。解向量性質(zhì)2 若 為 Ax=0 的解， k 為實(shí)數(shù)，則 也是方程組的解。定理（解集性質(zhì)） 設(shè)m×n矩陣A的秩為 r，則n元齊次線性方程組 Ax=0 的解集 S的秩為 n-r。解向量性質(zhì) 齊次線性方程組 Ax=0 的通解為 其中，向量組

6、 稱為該齊次方程組的基礎(chǔ)解系。,非齊次方程組解的結(jié)構(gòu),—通解為什么可寫成如此 形式？,—通解的形式如何？,實(shí)例：求解非齊次線性方程組 (p.109, Ex. 26 (2)),,,實(shí)例：求解非齊次線性方程組 (p.109, Ex. 26 (2)),,,實(shí)例：求解非齊次線性方程組 (p.109, Ex. 26 (2)),,,又∵ 自由未知數(shù)的個(gè)數(shù)為2，,,非齊次線性方程組Ax=b的通解為對(duì)應(yīng)齊

7、次線性方程組Ax=0的通解加上 Ax=b一個(gè)特解。,接下來要證明：為什么非齊次方程組的通解有上例所示的形式？,方法：先證明非齊次線性方程組解的性質(zhì)； 然后證明通解的形式。,證明,１．非齊次線性方程組解的性質(zhì),證明,證畢．,其中 為對(duì)應(yīng)齊次線性方程組Ax=0的通解， 為非齊次線性方程組的任意一個(gè)特解.,２．非齊次線性方程組的通解,非齊次

8、線性方程組Ax=b的通解為,首先說明，方程組的任一解都可以 表示成形式 (2)。,(∵解的性質(zhì)1),其中 為對(duì)應(yīng)齊次線性方程組Ax=0的通解， 為非齊次線性方程組的任意一個(gè)特解.,２．非齊次線性方程組的通解,非齊次線性方程組Ax=b的通解為,然后說明， (2) 式所表示的任一向量

9、都是方程組的解。,(∵解的性質(zhì)2),非齊次方程組通解的求法,方法：求出非齊次方程組一個(gè)特定的解，并求得對(duì)應(yīng)的齊次方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系。,例 求解方程組,解,,解,練習(xí) 求下述方程組的解,所以方程組有無窮多解.,且原方程組等價(jià)于方程組,求基礎(chǔ)解系,令,依次得,求特解,所以方程組的通解為,故得基礎(chǔ)解系,,另一種解法,則原方程組等價(jià)于方程組,所以方程組的通解為,,證明,,,,,注意 本例是對(duì)非齊次線性方程組　　　　的解的結(jié)構(gòu)作進(jìn)一