工程力學(xué)第三章

1、第3章 空間力系的合成與平衡,3.1 力在空間直角坐標(biāo)軸上的投影3.2 力對(duì)軸之矩3.3 空間任意力系的平衡方程3.4 重 心小 結(jié),第3章 空間力系的合成與平衡,若力系中各力的作用線不在同一平面內(nèi)，該力系就稱為空間力系?？臻g力系按各力作用線的相對(duì)位置，又可分為空間匯交力系、空間平行力系和空間任意力系。 本章將討論空間力系問題的理論基礎(chǔ)，即力在空間直角坐標(biāo)軸上的投影及力對(duì)軸之矩的概念與運(yùn)算。對(duì)空間任意力系問題

2、的平衡計(jì)算，物體重心的概念及重心位置的求解方法。,下一頁(yè),返回,3.1 力在空間直角坐標(biāo)軸上的投影,力在空間坐標(biāo)軸上投影的概念與力在平面坐標(biāo)軸上投影的概念相同，由于力所對(duì)應(yīng)的參考系不同，故計(jì)算方法有所不同。力在空間坐標(biāo)軸上的投影有兩種方法，即直接投影法和二次投影法。,下一頁(yè),返回,3.1 力在空間直角坐標(biāo)軸上的投影,3.1.1 直接投影法當(dāng)力F在空間的方位直接采用F與x、y、z坐標(biāo)軸之夾角α、β、γ表示時(shí)（圖3-1），則力F在直

3、角坐標(biāo)軸上的投影可表示為 (3.1)各軸的投影方向與所對(duì)應(yīng)軸的正向一致時(shí)取正號(hào)，反之取負(fù)號(hào)。,下一頁(yè),上一頁(yè),返回,,3.1 力在空間直角坐標(biāo)軸上的投影,3.1.2 二次投影法若力在空間的方位采用力與任一坐標(biāo)軸（如z軸）的夾角γ及力在垂直于此軸（z軸）的坐標(biāo)平面（xy面）上的投影與另一軸的夾角φ表示，如圖3-2所示。則可先求出力F在xy平

4、面上的投影Fxy，然后，再將Fxy分別投影到x、y軸上，求出力F在坐標(biāo)軸上的投影。此法稱為二次投影法。,下一頁(yè),上一頁(yè),返回,3.1 力在空間直角坐標(biāo)軸上的投影,應(yīng)用二次投影法的過程可作如下歸納：,下一頁(yè),上一頁(yè),返回,,,3.1.3 合力投影定理設(shè)有一空間匯交力系F1，F(xiàn)2，…，F(xiàn)n，利用力的平行四邊形法則，可將其逐步合成為一個(gè)合力矢FR，且有

5、 (3.2)因此有 (3.3)空間匯交力系的合力在某一軸上的投影，等于力系中各力在同一軸上投影的代數(shù)和，式(3.3)稱為空間力系的合力投影定理。,上一頁(yè),返回,,,3.1 力在空間直角坐標(biāo)軸上的投影,3.2 力對(duì)軸之矩,3.2.1 力對(duì)軸之矩力使剛體繞一軸轉(zhuǎn)動(dòng)效應(yīng)的度量稱為力對(duì)該軸之矩，簡(jiǎn)稱力對(duì)軸之矩。它等于此力在垂直于該軸平面上的投

6、影對(duì)該軸與此平面的交點(diǎn)之矩（圖3-3）。記作，下標(biāo)z表示取矩的軸，力對(duì)軸之矩的單位為N·m或kN·m。力對(duì)軸之矩的符號(hào)可用右手定則來判定：用右手握住z軸，使四指指向力矩的轉(zhuǎn)向，若此時(shí)大拇指指向z軸的正向，則力矩為正；反之為負(fù)。,下一頁(yè),返回,3.2 力對(duì)軸之矩,3.2.2 合力矩定理在平面力系中，推證過的合力矩定理，在空間力系中也仍然適用，即力F對(duì)某軸（例如z軸）的力矩，為力F在x、y、z三個(gè)坐標(biāo)方向的分力F

7、x、Fy、Fz對(duì)同軸（z軸）力矩的代數(shù)和。 (3.5)因分力Fz平行于z軸，故，于是 (3.6a),下一頁(yè),上一頁(yè),返回,,,,,,同理可得

8、 應(yīng)用上式時(shí)，投影Fx、Fy、Fz及坐標(biāo)xA、yA、zA均應(yīng)考慮本身的正負(fù)號(hào)。所得力矩的正負(fù)號(hào)亦將表明力矩繞軸的轉(zhuǎn)向。,下一頁(yè),上一頁(yè),返回,,,,(3.6b),(3.6c),3.2 力對(duì)軸之矩,3.3 空間任意力系的平衡方程,空間任意力系的平衡條件也是通過力系的簡(jiǎn)化得出的。和平面任意力系相仿，空間任意力系也可簡(jiǎn)化為主矢和

9、主矩，當(dāng)主矢和主矩都等于零時(shí)力系平衡。由此而導(dǎo)出的空間任意力系的平衡方程為 (3.7)式(3.7)表明空間任意力系平衡的必要與充分條件是：各力在三個(gè)坐標(biāo)軸上的投影的代數(shù)和以及各力對(duì)此三軸之矩的代數(shù)和都等于零。,下一頁(yè),返回,,,式(3.7)有六個(gè)獨(dú)立的平衡方程，可以解六個(gè)未知量，它是解決空間力系平衡問題的基本方程。由式(3.7)可得出空間

10、任意力系的特殊情況下的平衡方程式如表3-1 。求解空間力系的平衡問題基本方法與步驟同平面力系問題相同。即(1) 確定研究對(duì)象，取分離體，畫受力圖。(2) 確定力系類型，列出平衡方程。(3) 代入已知條件，求解未知量。,上一頁(yè),返回,,,3.3 空間任意力系的平衡方程,3.4 重 心,無論物體怎樣放置，其重力總是通過物體內(nèi)的一個(gè)確定點(diǎn)——平行力系的中心，這個(gè)確定的點(diǎn)稱為物體的重心。3.4.1 重心及形心的坐標(biāo)公式若將圖

11、3-4中的物體分成許多微小部分，每一微小部分的重力分別為G1，G2，…，Gn，組成空間平行力系，各部分重心坐標(biāo)為（x1，y1，z1），（x2，y2，z2），…（xn，yn，zn）。由于物體重力G是各部分重力G1，G2，…，Gn的合力。有,下一頁(yè),返回,,3.4 重 心,這個(gè)平行力系合力作用點(diǎn)即為物體的重心C，設(shè)C點(diǎn)的位置坐標(biāo)為。這些坐標(biāo)的值可由合力矩定理求得，即由,下一頁(yè),上一頁(yè),返回,,,得

12、 (3.10a),,,下一頁(yè),上一頁(yè),返回,同理,有 (3.10b),,,(3.10c),式(3.10)即為物體重心坐標(biāo)公式。均質(zhì)物體的重心位置完全決定于物體的幾何形狀，而與物體重量無關(guān)，因此均質(zhì)物體的重心也稱為形心，對(duì)于均質(zhì)物體來說，形心和重心是重合的。,3.4 重 心,3.4 重 心,式(3.12)稱為平面圖形形心坐標(biāo)

13、公式。其中，A、Ai分別為物體平面圖形總面積和各微元的面積。,下一頁(yè),上一頁(yè),返回,,(3.12),3.4 重 心,3.4.2 確定重心位置的方法重心位置的確定方法有很多種，這里著重介紹如下幾種。1. 對(duì)稱法對(duì)于均質(zhì)物體，如幾何體上具有對(duì)稱平面、對(duì)稱軸及對(duì)稱中心，則此物體的重心必在此對(duì)稱平面、對(duì)稱軸及對(duì)稱中心上。2. 平衡法如物體的形狀不是由基本形體組成，或過于復(fù)雜，或質(zhì)量分布不勻，其重心常用平衡法來確定。（1）懸

14、掛法。（2）稱量法。,下一頁(yè),上一頁(yè),返回,3.4 重 心,3. 解析法（1）積分法。求規(guī)則形體的形心時(shí)，可將形體分割成無限多塊微小形體，在此極限情況下，可將式3.11寫成定積分形式如下：,下一頁(yè),上一頁(yè),返回,,(3.13),3.4 重 心,式(3.13)中dV為體元，x、y、z則為體元的位置坐標(biāo)。物體的重心、面積形心坐標(biāo)積分公式可同理寫出。此法稱為積分法，也稱為無限分割法。（2）組合法。若一個(gè)復(fù)雜形體是由幾個(gè)簡(jiǎn)單基本

15、形體組合而成，而每個(gè)基本形體的形心位置又是已知的，則可將此復(fù)雜形體分割成幾個(gè)基本形體，應(yīng)用公式3.12通過有限項(xiàng)的合成求出它的形心。這種將一個(gè)復(fù)雜形體分割為有限個(gè)基本形體的和或差，應(yīng)用形心坐標(biāo)公式求出復(fù)雜形體形心的方法稱為組合法或有限分割法。這是工程中求物體形心位置常用的方法。,上一頁(yè),返回,小 結(jié),(1) 力在空間直角坐標(biāo)系上的投影計(jì)算與力對(duì)軸之矩的計(jì)算是解空間力系平衡問題的兩項(xiàng)基本運(yùn)算。力的投影計(jì)算有直接法與二次法。直接

16、法計(jì)算力在平面與坐標(biāo)軸上的投影為力和力與平面或坐標(biāo)軸之間夾角余弦的乘積。二次法是先將力向坐標(biāo)平面上投影，再向坐標(biāo)軸投影。其中每一次投影的作法都與直接法相同。力對(duì)軸之矩是力使物體繞該軸轉(zhuǎn)動(dòng)效應(yīng)的量度，力若與軸共面，則力對(duì)軸之矩為零。,下一頁(yè),返回,小 結(jié),力若與軸空間交錯(cuò)，則空間力對(duì)軸之矩即為力在垂直于軸的平面上的投影對(duì)軸與投影平面交點(diǎn)之矩。力對(duì)軸之矩的另一種計(jì)算則是將空間力沿x、y、z三軸方向分解得Fx、Fy、Fz三個(gè)分力。三

17、個(gè)分力對(duì)軸力矩的代數(shù)和就等于力F 對(duì)該軸的力矩。(2) 空間力系平衡問題的解法亦有兩種，一種是直接利用空間力系的六個(gè)平衡方程式進(jìn)行計(jì)算。另一種則是將物體連同物體上的作用力一起向坐標(biāo)面作投影，將一個(gè)空間力系問題轉(zhuǎn)化成三個(gè)平面力系問題來考慮，這就是空間問題的平面解法。,下一頁(yè),上一頁(yè),返回,小 結(jié),(3) 物體的重心即為地球?qū)ξ矬w中每一微小部分引力的合力作用點(diǎn)，在地球表面附近，可將一般的物體中各微部的引力看作為空間平行力系。(4)