第03章 靜電場(chǎng)的邊值問(wèn)題1

1、第三章 靜電場(chǎng)的邊值問(wèn)題,主 要 內(nèi) 容電位微分方程，鏡像法，分離變量法。,3.1.1 電位微分方程,3-1 鏡像法,靜態(tài)場(chǎng)問(wèn)題通常分為兩大類：分布型問(wèn)題和邊值問(wèn)題。由已知場(chǎng)源（電荷、電流）分布，直接從場(chǎng)的積分公式求空間各點(diǎn)的場(chǎng)分布，稱為分布型問(wèn)題。如果已知場(chǎng)量在場(chǎng)域邊界上的值，求場(chǎng)域內(nèi)的場(chǎng)分布，則屬于邊值型問(wèn)題。前面所講靜電場(chǎng)問(wèn)題就是一些簡(jiǎn)單的分布問(wèn)題。而本節(jié)的鏡像法以及接下來(lái)要講的分離變量法都是靜態(tài)場(chǎng)邊值問(wèn)題的具體

2、求解方法。此外，數(shù)值方法目前也已經(jīng)成為求解靜態(tài)場(chǎng)邊值問(wèn)題的一種十分普遍有效的手段，尤其目前計(jì)算機(jī)技術(shù)的飛速進(jìn)步，更是給數(shù)值方法帶來(lái)了十分美好前景。,那么，線性各向同性的均勻介質(zhì)中，電位滿足的微分方程式為,該方程稱為泊松方程。,對(duì)于無(wú)源區(qū)，上式變?yōu)?上式稱為拉普拉斯方程。,不管是電位函數(shù)的泊松方程還是拉普拉斯方程，從數(shù)學(xué)角度來(lái)說(shuō)，它們都是數(shù)學(xué)物理方程，一般是二階偏微分方程。事實(shí)上，所有靜電場(chǎng)問(wèn)題都是泊松方程或拉普拉斯在不同邊界條件下的具體

3、解答。,已知，電位 ? 與電場(chǎng)強(qiáng)度 E 的關(guān)系為,對(duì)上式兩邊取散度，得,對(duì)于線性各向同性的均勻介質(zhì)，電場(chǎng)強(qiáng)度 E 的散度為,數(shù)學(xué)物理方程是描述物理量隨空間和時(shí)間的變化規(guī)律。對(duì)于某一特定的區(qū)域和時(shí)刻，方程的解取決于物理量的初始值與邊界值，這些初始值和邊界值分別稱為初始條件和邊界條件，兩者又統(tǒng)稱為該方程的定解條件。靜電場(chǎng)的場(chǎng)量與時(shí)間無(wú)關(guān)，因此電位所滿足的泊松方程及拉普拉斯方程的解僅決定于邊界條件。根據(jù)給定的邊界條件求解空間任一點(diǎn)的電位，

4、或者在給定的邊界條件下，求解位函數(shù)的泊松方程或拉普拉斯方程就是靜電場(chǎng)的邊值問(wèn)題。,3.1.2 靜態(tài)場(chǎng)的邊值問(wèn)題的分類及唯一性定理,1.靜電場(chǎng)邊值問(wèn)題分類,第一類邊值問(wèn)題（或狄里赫利問(wèn)題）,已知場(chǎng)域邊界面上的位函數(shù)值，即,第三類邊值問(wèn)題（或混合邊值問(wèn)題）,已知場(chǎng)域邊界面上的位函數(shù)的法向?qū)?shù)值，即,第二類邊值問(wèn)題（或紐曼問(wèn)題）,已知場(chǎng)域一部分邊界面上的位函數(shù)值，而另一部分邊界面上則已知位函數(shù)的法向?qū)?shù)值，即,2.靜電場(chǎng)邊值問(wèn)題的唯一性

5、定理,對(duì)于任何數(shù)學(xué)物理方程需要研究解的存在、穩(wěn)定及惟一性問(wèn)題。,解的穩(wěn)定性是指當(dāng)定解條件發(fā)生微小變化時(shí)，所求得的解是否會(huì)發(fā)生很大的變化。,解的存在性是指在給定的定解條件下，方程是否有解。,泊松方程及拉普拉斯方程解的穩(wěn)定性在數(shù)學(xué)中已經(jīng)得到證明?？梢宰C明電位微分方程解也是惟一的。,由于實(shí)際中定解條件是由實(shí)驗(yàn)得到的，不可能取得精確的真值，因此，解的穩(wěn)定性具有重要的實(shí)際意義。,解的惟一性是指在給定的定解條件下所求得的解是否惟一。,靜電場(chǎng)是客觀存

6、在的，因此電位微分方程解的存在確信無(wú)疑。,唯一性定理是靜電場(chǎng)邊值問(wèn)題的一個(gè)重要定理，表述為：在場(chǎng)域V的邊界面S上，給定 或 的值，則泊松方程或拉普拉斯方程在場(chǎng)域V內(nèi)具有唯一解。,因此，對(duì)于導(dǎo)體邊界的靜電場(chǎng)問(wèn)題，當(dāng)邊界上的電位，或電位的法向?qū)?shù)給定時(shí)，或?qū)w表面電荷給定時(shí)，空間的靜電場(chǎng)即被惟一地確定。,惟一性定理的重要意義,給出了靜態(tài)場(chǎng)邊值問(wèn)題具有惟一解的條件,為靜態(tài)場(chǎng)邊值問(wèn)題的各種求解方法提供了理論依據(jù),

7、為求解結(jié)果的正確性提供了判據(jù),例：,（第三類邊值問(wèn)題）,例：,（第一類邊值問(wèn)題）,惟一性定理的證明,反證法：假設(shè)解不惟一，則有兩個(gè)位函數(shù)和 在場(chǎng)域V內(nèi)滿足同樣的方程，即,且在邊界面S 上有,且在邊界面S 上滿足同樣的邊界條件。,令 ，則在場(chǎng)域V內(nèi),或,或,由格林第一恒等式,可得到,,,,對(duì)于第一類邊界條件：,,,對(duì)于第二類邊界條件：若 和 取同一點(diǎn)Q為參考點(diǎn) ，則,對(duì)于

8、第三類邊界條件：,,,,當(dāng)有電荷存在于導(dǎo)體或介質(zhì)表面附近時(shí)，導(dǎo)體和介質(zhì)表面會(huì)出現(xiàn)感應(yīng)電荷或極化電荷，而感應(yīng)電荷或極化電荷將影響場(chǎng)的分布。,非均勻感應(yīng)電荷產(chǎn)生的電位很難求解，可以用等效電荷的電位替代,3.1.3 鏡像法,幾個(gè)實(shí)例　接地導(dǎo)體板附近有一個(gè)點(diǎn)電荷，如圖所示。,1.問(wèn)題的提出,接地導(dǎo)體球附近有一個(gè)點(diǎn)電荷，如圖。,非均勻感應(yīng)電荷產(chǎn)生的電位很難求解，可以用等效電荷的電位替代,接地導(dǎo)體柱附近有一個(gè)線電荷。情況與上例類似，但等效電

9、 荷為線電荷。,結(jié)論：所謂鏡像法是將不均勻電荷分布的作用等效為點(diǎn)電荷 或線電荷的作用。,問(wèn)題：這種等效電荷是否存在？ 這種等效是否合理？,2 鏡像法的原理,用位于場(chǎng)域邊界外虛設(shè)的較簡(jiǎn)單的鏡像電荷分布來(lái)等效替代該邊界上未知的較為復(fù)雜的電荷分布，從而將原含該邊界的非均勻媒質(zhì)空間變換成無(wú)限大單一均勻媒質(zhì)的空間，使分析計(jì)算過(guò)程得以明顯簡(jiǎn)化的一種間接求解法。,在導(dǎo)體形狀、幾何尺寸、帶電狀況和媒質(zhì)幾何結(jié)構(gòu)、特

10、性不變的前提條件下，根據(jù)惟一性定理，只要找出的解答滿足在同一泛定方程下問(wèn)題所給定的邊界條件，那就是該問(wèn)題的解答，并且是惟一的解答。鏡像法正是巧妙地應(yīng)用了這一基本原理、面向多種典型結(jié)構(gòu)的工程電磁場(chǎng)問(wèn)題所構(gòu)成的一種有效的解析求解法,3. 鏡像法的理論基礎(chǔ)——解的惟一性定理,像電荷的個(gè)數(shù)、位置及其電量大小——“三要素” ；,4. 鏡像法應(yīng)用的關(guān)鍵點(diǎn),5. 確定鏡像電荷的兩條原則,等效求解的“有效場(chǎng)域”。,鏡像電荷的確定,像電荷必須位于所求解的

11、場(chǎng)區(qū)域以外的空間中；,像電荷的個(gè)數(shù)、位置及電荷量的大小以滿足所求解的場(chǎng) 區(qū)域 的邊界條件來(lái)確定。,鏡像法的局限性：僅僅對(duì)于某些特殊的邊界以及特殊分布的電荷才有可能確定其鏡像電荷。,（1）點(diǎn)電荷對(duì)無(wú)限大接地導(dǎo)體平面的鏡像,滿足原問(wèn)題的邊界條件，所得的結(jié)果是正確的。,6. 鏡像法分類舉例,鏡像電荷,電位函數(shù),因z = 0時(shí)，,上半空間( z≥0 ）的電位函數(shù),,導(dǎo)體平面上的感應(yīng)電荷密度為,導(dǎo)體平面上的總感應(yīng)電荷為,(2)線電荷對(duì)

12、無(wú)限大接地導(dǎo)體平面的鏡像,鏡像線電荷：,滿足原問(wèn)題的邊界條件，所得的解是正確的。,電位函數(shù),原問(wèn)題,當(dāng)z=0時(shí)，,,（3）點(diǎn)電荷對(duì)相交半無(wú)限大接地導(dǎo)體平面的鏡像,如圖所示，兩個(gè)相互垂直相連的半無(wú)限大接地導(dǎo)體平板，點(diǎn)電荷q 位于(d1, d2 )處。,顯然，q1 對(duì)平面 2 以及q2 對(duì)平面 1 均不能滿足邊界條件。,對(duì)于平面1，有鏡像電荷q1=－q，位于(－d1, d2 ),對(duì)于平面2，有鏡像電荷q2=－q，位于( d1, －d2 ),

13、只有在(－d1, －d2 )處再設(shè)置一鏡像電荷q3 = q，所有邊界條件才能得到滿足。,電位函數(shù),對(duì)于半無(wú)限大導(dǎo)體平面形成的劈形邊界也可應(yīng)用鏡像法。但是僅當(dāng)這種導(dǎo)體劈的夾角等于 ? 的整數(shù)(n)分之一時(shí)，才可求出其鏡像電荷。為了保證這種劈形邊界的電位為零，必須引入(2n-1)個(gè)鏡像電荷。例如，夾角為 的導(dǎo)電劈需引入 5 個(gè)鏡像電荷。,,連續(xù)分布的線電荷位于無(wú)限大的導(dǎo)體平面附近時(shí)，根據(jù)疊加原理得知，同樣可以應(yīng)用鏡像法求解。,（4）點(diǎn)電

14、荷對(duì)接地導(dǎo)體球面的鏡像,球面上的感應(yīng)電荷可用鏡像電荷q'來(lái)等效。q'應(yīng)位于導(dǎo)體球內(nèi)（顯然不影響原方程），且在點(diǎn)電荷q與球心的連線上，距球心為d'。則有,如圖所示，點(diǎn)電荷q 位于半徑為a 的接地導(dǎo)體球外，距球心為d 。,方法：利用導(dǎo)體球面上電位為零確定d' 和q′。,問(wèn)題：,令r＝a，由球面上電位為零，即? ＝0，得,,此式應(yīng)在整個(gè)球面上都成立。,,條件：若,,,O,可見(jiàn)，導(dǎo)體球面上的總感應(yīng)電荷也

15、與所設(shè)置的鏡像電荷相等。,球外的電位函數(shù)為,導(dǎo)體球面上的總感應(yīng)電荷為,球面上的感應(yīng)電荷面密度為,點(diǎn)電荷對(duì)接地空心導(dǎo)體球殼的鏡像,如圖所示接地空心導(dǎo)體球殼的內(nèi)半徑為a 、外半徑為b，點(diǎn)電荷q 位于球殼內(nèi)，與球心相距為d ( d < a )，求球內(nèi)電位。,由于球殼接地，感應(yīng)電荷分布在球殼的內(nèi)表面上。與鏡像電荷q 應(yīng)位于導(dǎo)體球殼外，且在點(diǎn)電荷q與球心的連線的延長(zhǎng)線上。與點(diǎn)荷位于接地導(dǎo)體球外同樣的分析，可得到,| q'|>|

16、q|，可見(jiàn)鏡像電荷的電荷量大于點(diǎn)電荷的電荷量　像電荷的位置和電量與外半徑 b 無(wú)關(guān)（為什么？）,球殼內(nèi)的電位,感應(yīng)電荷分布在導(dǎo)體球面的內(nèi)表面上，電荷面密度為,導(dǎo)體球面的內(nèi)表面上上的總感應(yīng)電荷為,可見(jiàn)，在這種情況下，鏡像電荷與感應(yīng)電荷的電荷量不相等。,（5）點(diǎn)電荷對(duì)不接地導(dǎo)體球的鏡像,先設(shè)想導(dǎo)體球是接地的，則球面上只有總電荷量為q'的感應(yīng)電荷分布，則,導(dǎo)體球不接地時(shí)的特點(diǎn)：,導(dǎo)體球面是電位不為零的等位面,球面上既有感應(yīng)負(fù)電荷分布

17、也有感應(yīng)正電荷分布，但總的感應(yīng) 電荷為零,采用疊加原理來(lái)確定鏡像電荷,點(diǎn)電荷q 位于一個(gè)半徑為a 的不接地導(dǎo)體球外，距球心為d 。,然后斷開(kāi)接地線，并將電荷－q'加于導(dǎo)體球上，從而使總電荷為零。為保持導(dǎo)體球面為等位面，所加的電荷－q' 可用一個(gè)位于球心的鏡像電荷q"來(lái)替代，即,球外任意點(diǎn)的電位為,,,,q,P,,,,,,,,,,a,q',r,R',R,d,,d',,,q&quo

18、t;,,,,,,,,,,,,,,,,,,問(wèn)題：如圖 1 所示，一根電荷線密度為 的無(wú)限長(zhǎng)線電荷位于半徑為a 的無(wú)限長(zhǎng)接地導(dǎo)體圓柱面外，與圓柱的軸線平行且到軸線的距離為d。,特點(diǎn)：在導(dǎo)體圓柱面上有感應(yīng)電荷，圓軸外的電位由線電荷與感應(yīng)電荷共同產(chǎn)生。,分析方法：鏡像電荷是圓柱面內(nèi)部與軸線平行的無(wú)限長(zhǎng)線電荷，如圖2所示。,(6) 線電荷對(duì)接地導(dǎo)體圓柱面的鏡像,由于上式對(duì)任意的都成立，因此，將上式對(duì)求導(dǎo)，可以得到,由于導(dǎo)體圓柱接地

19、，所以當(dāng) 時(shí)，電位應(yīng)為零，即,所以有,設(shè)鏡像電荷的線密度為 ，且距圓柱的軸線為 ，則由 和 共同產(chǎn)生的電位函數(shù),,導(dǎo)體圓柱面外的電位函數(shù)：,由 時(shí)，,故,導(dǎo)體圓柱面上的感應(yīng)電荷面密度為,導(dǎo)體圓柱面上單位長(zhǎng)度的感應(yīng)電荷為,導(dǎo)體圓柱面上單位長(zhǎng)度的感應(yīng)電荷與所設(shè)置的鏡像電荷相等。,,(7) 兩平行圓柱導(dǎo)體的電軸,特點(diǎn)：由于兩圓柱帶電導(dǎo)體的電場(chǎng)互相影響，使導(dǎo)體表面的電荷分布不均勻，相對(duì)的一側(cè)電

20、荷密度大，而相背的一側(cè)電荷密度較小。,分析方法：將導(dǎo)體表面上的電荷用線密度分別為 、且相距為2b 的兩根無(wú)限長(zhǎng)帶電細(xì)線來(lái)等效替代，如圖 2所示。,問(wèn)題：如圖1所示，兩平行導(dǎo)體圓柱的半徑均為a，兩導(dǎo)體軸線間距為2h，單位長(zhǎng)度分別帶電荷 和 。,通常將帶電細(xì)線的所在的位置稱為圓柱導(dǎo)體的電軸，因而這種方法又稱為電軸法。,由,,,利用線電荷與接地導(dǎo)體圓柱面的鏡像確定b 。,思考：能否用電軸法求解半徑不同的兩平行

21、圓柱導(dǎo)體問(wèn)題？,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,(8) 點(diǎn)電荷與無(wú)限大電介質(zhì)平面的鏡像,特點(diǎn)：在點(diǎn)電荷的電場(chǎng)作用下，電介質(zhì)產(chǎn)生極化，在介質(zhì)分界面上形成極化電荷分布。此時(shí)，空間中任一點(diǎn)的電場(chǎng)由點(diǎn)電荷與極化電荷共同產(chǎn)生。,問(wèn)題：如圖 1 所示，介電常數(shù)分別為 和 的兩種不同電介質(zhì)的分界面是無(wú)限大平面，在電介質(zhì) 1 中有一個(gè)點(diǎn)電荷q，距分界平面為h 。,分析方法：計(jì)算電介質(zhì) 1 中的電位

22、時(shí)，用位于介質(zhì) 2 中的鏡像電荷來(lái)代替分界面上的極化電荷，并把整個(gè)空間看作充滿介電常數(shù)為 的均勻介質(zhì)，如圖2所示。,介質(zhì)1中的電位為,計(jì)算電介質(zhì) 2 中的電位時(shí)，用位于介質(zhì) 1 中的鏡像電荷來(lái)代替分界面上的極化電荷，并把整個(gè)空間看作充滿介電常數(shù)為 的均勻介質(zhì)，如圖 3 所示。介質(zhì)2中的電位為,可得到,說(shuō)明：對(duì)位于無(wú)限大平表面介質(zhì)分界面附近、且平行于分界面的無(wú)限長(zhǎng)線電荷（單位長(zhǎng)度帶），其鏡像電荷為,,利用電位滿足的邊界條件

23、,3-2 直角坐標(biāo)系中的分離變量法,無(wú)源區(qū)中電位滿足的拉普拉斯方程在直角坐標(biāo)系中的展開(kāi)式為,令,代入上式，兩邊再除以 X(x)Y(y)Z(z)，得,顯然，式中各項(xiàng)僅與一個(gè)變量有關(guān)。因此，將上式對(duì)變量 x 求導(dǎo)，第二項(xiàng)及第三項(xiàng)均為零，求得第一項(xiàng)對(duì) x 的導(dǎo)數(shù)為零，說(shuō)明了第一項(xiàng)等于常數(shù)。同理，再分別對(duì)變量 y 及 z 求導(dǎo)，得知第二項(xiàng)及第三項(xiàng)也分別等于常數(shù)。令各項(xiàng)的常數(shù)分別為 ，分別求得,

24、式中kx ，ky ，kz 稱為分離常數(shù)，它們可以是實(shí)數(shù)或虛數(shù)。顯然，三個(gè)分離常數(shù)并不是獨(dú)立的，它們必須滿足下列方程,由上可見(jiàn)，經(jīng)過(guò)變量分離后，三維偏微分方程式被簡(jiǎn)化為三個(gè)一維常微分方程。常微分方程的求解較為簡(jiǎn)便，而且三個(gè)常微分方程又具有同一結(jié)構(gòu)，因此它們解的形式也一定相同。例如，含變量 x 的常微分方程的通解為,或者,式中A, B, C, D為待定常數(shù)。,分離常數(shù)也可為虛數(shù)。當(dāng) kx 為虛數(shù)時(shí)，令 ，則上述通解變?yōu)?或者,

25、含變量 x 或 y 的常微分方程的解具有完全相同的形式。這些解的線性組合仍然是方程的解。解的形式的選擇是非常重要的，它完全決定于給定的邊界條件。解中各個(gè)待定常數(shù)也取決于給定的邊界條件。,例 兩個(gè)相互平行的半無(wú)限大接地導(dǎo)體平面，間距為d ，其有限端被電位為?0的導(dǎo)電平面封閉，且與無(wú)限大接地導(dǎo)體平面絕緣，如圖所示。試求三個(gè)導(dǎo)體平面形成的槽中電位分布。,解 選取直角坐標(biāo)系。由于導(dǎo)電平面沿 z 軸無(wú)限延伸，槽中電位分布函數(shù)一定與 z 無(wú)

26、關(guān)，因此，這是一個(gè)二維場(chǎng)的問(wèn)題。電位所滿足的拉普拉斯方程變?yōu)?應(yīng)用分離變量法，令,根據(jù)題意，槽中電位應(yīng)滿足的邊界條件為,為了滿足 及 邊界條件，應(yīng)選 Y(y) 的解為,因?yàn)?y = 0 時(shí)，電位 ? = 0，因此上式中常數(shù) B = 0。為了滿足邊界條件 ，分離常數(shù) ky 應(yīng)為,求得,已知 ，求得,可見(jiàn)，分離常數(shù) kx 為虛數(shù)，故 X(x) 的解應(yīng)為,因?yàn)?x =

27、 0 時(shí)，?電位 ? ? ?，因此，式中常數(shù) C = 0，即,那么，,式中常數(shù) C = AD 。,由邊界條件獲知，當(dāng) x = 0 時(shí)，電位 ? = ?0 ，代入上式，得,上式右端為變量，但左端為常量，因此不能成立。這就表明此式不能滿足給定的邊界條件。因此，必須取上式的和式作為電位方程的解，即,為了滿足 x = 0， ? = ?0 邊界條件，由上式得,上式右端為傅里葉級(jí)數(shù)。利用傅里葉級(jí)數(shù)的正交性，可以求出系數(shù)Cn為,最后求得槽中電位分布