02第二章極限與連續(xù)

1、1極限極限一、本章學習要求與內(nèi)容提要一、本章學習要求與內(nèi)容提要（一）學習要求（一）學習要求1了解極限的描述性定義2了解無窮小、無窮大的概念及其相互關系和性質(zhì)3會用兩個重要極限公式求極限4掌握極限的四則運算法則5理解函數(shù)在一點連續(xù)的概念，知道間斷點的分類6了解初等函數(shù)的連續(xù)性及連續(xù)函數(shù)在閉區(qū)間上的性質(zhì)（最大值和最小值定理、根的存在定理）7會用函數(shù)的連續(xù)性求極限重點重點極限的求法，兩個重要極限，函數(shù)在一點連續(xù)的概念難點難點分段函數(shù)在分段點的

2、連續(xù)性（二）內(nèi)容提要（二）內(nèi)容提要１極限的定義１極限的定義(1)函數(shù)極限、數(shù)列極限的描述性定義極限定義表極限定義表類型描述性定義極限記號極限的時函數(shù))(xfx??設函數(shù)在為某個正實數(shù))時)(xfy?bx?b(有定義，如果當自變量的絕對值無限增大時，相應x的函數(shù)值無限接近于某一個固定的常數(shù)，則稱為AA（讀作“趨于無窮”）時函數(shù)的極限??xx)(xf或Axfx???)(lim)()(???xAxf極限的時函數(shù))(xfx???設函數(shù)為某個實數(shù)

3、)內(nèi)有定義，aaxfy()()(???在如果當自變量無限增大時，相應的函數(shù)值無限x)(xf接近于某一個固定的常數(shù)，則稱為（讀AA???x作“趨于正無窮”）時函數(shù)的極限x)(xf或Axfx????)(lim)()(????xAxf極限的時函數(shù))(xfx???設函數(shù)(為某個實數(shù))內(nèi)有定)()(axfy???在a義，如果當自變量無限增大且時，相應的函x0?x數(shù)值無限接近于某一個固定的常數(shù)，則稱)(xfA為（讀作“趨于負無窮”）時函數(shù)A???x

4、x的極限)(xf或Axfx????)(lim)()(????xAxf極限的時函數(shù))(0xfxx?設函數(shù)在點的去心鄰域內(nèi)有)(xfy?0x)?(0?xN定義，如果當自變量在內(nèi)無限接近于時，x)?(0?xN0x相應的函數(shù)值無限接近于某一個固定的常數(shù)，)(xfA則稱為當（讀作“趨近于”）時函數(shù)A0xx?x0x的極限)(xf或Axfxx??)(lim0)()(0xxAxf??極限的時函數(shù))(0xfxx??設函數(shù)在點的左半鄰域)(xfy?0x內(nèi)有

5、定義，如果當自變量在此半鄰域內(nèi))(00xx??x從左側(cè)無限接近于時，相應的函數(shù)值無限0x0x)(xf接近于某個固定的常數(shù)，則稱為當趨近于時AAx0x函數(shù)的左極限)(xf或Axfxx???)(lim0AxfxxAxf?????)0()()(00或3其他極限變化過程有完全類似的結論（１）無窮小量在自變量的某個變化過程中，以零為極限的變量稱為該極限過程中的無窮小量，簡稱無窮小例如如果，則稱當時是無窮小量0)(lim0??xfxx0xx?)(x

6、f注意注意一般說來，無窮小表達的是變量的變化狀態(tài)，而不是變量的大小，一個變量無論多么小，都不能是無窮小量，數(shù)零是惟一可作為無窮小的常數(shù)（２）無窮大量在自變量的某個變化過程中，絕對值可以無限增大的變量稱為這個變化過程中的無窮大量，簡稱無窮大應該注意的是：無窮大量是極限不存在的一種情形，我們借用極限的記號，表示“當時是無窮大量”???)(lim0xfxx0xx?)(xf（３）無窮小量與無窮大量的關系在自變量的某個變化過程中，無窮大量的倒數(shù)是

7、無窮小量，非零無窮小量的倒數(shù)是無窮大量（４）無窮小量的運算①有限個無窮小量的代數(shù)和是無窮小量②有限個無窮小量的乘積是無窮小量③無窮小量與有界量的乘積是無窮小量④常數(shù)與無窮小量的乘積是無窮小量（5）無窮小量的比較下表給出了兩個無窮小量之間的比較定義無窮小量的比較表無窮小量的比較表設在自變量的變化過程中，均是無窮小量0xx?)()(xx??與無窮小的比較定義記號高階的無窮小是比)()(xx??0)()(lim0??xxxx????)()(x

8、x????（）0xx?是同階的無窮小與)()(xx??)()()(lim0為不等于零的常數(shù)CCxxxx????是等階無窮小與)()(xxa?1)()(lim0??xaxxx?（)(~)(xx??）0xx?5函數(shù)的連續(xù)性函數(shù)的連續(xù)性⑴函數(shù)在一點連續(xù)的概念①函數(shù)在一點連續(xù)的兩個等價的定義：定義１定義１設函數(shù)在點的某個鄰域內(nèi)有定義，若當自變量的增量趨)(xf0x0xxx???于零時，對應的函數(shù)增量也趨于零，即，??0)()(limlim000