三角矩陣

1、三角矩陣三角矩陣在線性代數(shù)中，三角矩陣三角矩陣是方形矩陣的一種，因其非零系數(shù)的排列呈三角形狀而得名。三角矩陣分上三角矩陣上三角矩陣和下三角矩陣下三角矩陣兩種。上三角矩陣的對(duì)角線左下方的系數(shù)全部為零，下三角矩陣的對(duì)角線右上方的系數(shù)全部為零。三角矩陣可以看做是一般方陣的一種簡(jiǎn)化情形。比如，由于帶三角矩陣的矩陣方程容易求解，在解多元線性方程組時(shí)，總是將其系數(shù)矩陣通過(guò)初等變換化為三角矩陣來(lái)求解；又如三角矩陣的行列式就是其對(duì)角線上元素的乘積，很容

2、易計(jì)算。有鑒于此，在數(shù)值分析等分支中三角矩陣十分重要。一個(gè)可逆矩陣A可以通過(guò)LU分解變成一個(gè)下三角矩陣L與一個(gè)上三角矩陣U的乘積。描述描述一個(gè)如下形狀的矩陣：被稱為下三角矩陣下三角矩陣；同樣的，一個(gè)如下形狀的矩陣：被稱為上三角矩陣上三角矩陣。上（下）三角矩陣乘以系數(shù)后也是上（下）三角矩陣；上（下）三角矩陣間的加減法和乘法運(yùn)算的結(jié)果仍是上（下）三角矩陣；上（下）三角矩陣的逆也仍然是上（下）三角矩陣。這些事實(shí)說(shuō)明：所有上（下）三角矩陣的集合

3、以及相應(yīng)的運(yùn)算構(gòu)成一個(gè)方形矩陣集合的一個(gè)子代數(shù)。然而要注意的是上三角矩陣與下三角矩陣的乘積一般并不是三角矩陣。特殊的三角矩陣特殊的三角矩陣嚴(yán)格三角矩陣嚴(yán)格三角矩陣即是說(shuō)一個(gè)高斯矩陣的逆是將其非對(duì)角線上元素加上負(fù)號(hào)后得到的矩陣。性質(zhì)性質(zhì)一個(gè)同時(shí)是上三角矩陣和下三角矩陣的矩陣必然是對(duì)角矩陣。單位矩陣是唯一同時(shí)為單位上三角矩陣和單位下三角矩陣的矩陣。分別計(jì)算乘積AA與AA的系數(shù)并進(jìn)行比較后就可以發(fā)現(xiàn)：一個(gè)同時(shí)為三角矩陣和正規(guī)矩陣的矩陣也必然是

4、對(duì)角矩陣（因?yàn)檎?guī)矩陣滿足AA=AA）。上三角矩陣的轉(zhuǎn)置矩陣是下三角矩陣，反之亦然。三角矩陣的行列式等于其對(duì)角線上所有元素之乘積。對(duì)于三角矩陣A，其特征多項(xiàng)式xI?A也是三角矩陣。三角矩陣的對(duì)角線元素的集合實(shí)際上是它的特征值的集合（其重?cái)?shù)為在特征多項(xiàng)式中的重?cái)?shù)）[1]。矩陣的三角化矩陣的三角化每個(gè)復(fù)系數(shù)矩陣都與一個(gè)三角矩陣相似[1]。實(shí)際上，如果矩陣A的特征值都包含于其系數(shù)域中（比如一個(gè)代數(shù)閉域），那么A相似于一個(gè)三角矩陣。這個(gè)性質(zhì)可以

5、用歸納法證明。一個(gè)更進(jìn)一步的結(jié)論是由若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形定理得出，說(shuō)明了A實(shí)際上相似于一個(gè)十分特別的上三角矩陣（若爾當(dāng)形）[1][2]。在復(fù)系數(shù)的情況下，每個(gè)方陣A都有一個(gè)舒爾分解，即A酉相似（即在酉矩陣的基變換下）于一個(gè)上三角矩陣。求三角矩陣的逆比求一般矩陣的逆要簡(jiǎn)單很多，可以直接逐個(gè)元素算出，而不必用高斯消去法。一般用L來(lái)做下三角矩陣的記號(hào)，因?yàn)橛⑽闹械摹跋隆睘椤癓ower”，首字母為L(zhǎng)。同樣的，上三角矩陣的記號(hào)通常是U。推廣推廣上三角矩陣