三角形的三條中線交于一點

1、為什么三角形的三條中線交于一點？（1.相似三角形法）（附圖）（原創(chuàng)）已知：△ABC的兩條中線AD、CF相交于點O，連接并延長BO，交AC于點E。求證：AE=CE證明：如圖，過點O作MN∥BC，交AB于點M，交AC于點N；過點O作PQ∥AB，交BC于點P，交AC于點Q。∵MN∥BC∴△AMO∽△ABD，△ANO∽△ACD∴MOBD=AOAD，NOCD=AOAD∴MOBD=NOCD∵AD是△ABC的一條中線∴BD=CD∴MO=NO∵PQ∥A

2、B∴△CPO∽△CBF，△CQO∽△CAF∴POBF=COCF，QOAF=COCF∴POBF=QOAF∵CF是△ABC的一條中線∴AF=BF∴PO=QO∵MO=NO，∠MOP=∠NOQ，PO=QO∴△MOP≌△NOQ(SAS)∴∠MPO=∠NQO∴MP∥AC（內(nèi)錯角相等，兩條直線平行）∴△BMR∽△BAE，△BPR∽△BCE即S△AOC（綠）=S△BOC（藍）∴S△AOB（紅）=S△BOC（藍）∵S△AOE:S△AOB（紅）=OE:OB

3、，S△COE:S△BOC（藍）=OE:OB∴S△AOE:S△AOB（紅）=S△COE:S△BOC（藍）∵S△AOB（紅）=S△BOC（藍）∴S△AOE=S△COE∴AE=CE命題得證。下面的是第三種方法：中位線法已知：△ABC的兩條中線AD、CF相交于點O，連接并延長BO，交AC于點E。求證：AE=CE證明：如圖，延長OE到點G，使OG=OB?！逴G=OB∴點O是BG的中點又∵點D是BC的中點∴OD是△BGC的一條中位線∴AD∥CG（三