三角形的三條中線交于一點(diǎn)

1、為什么三角形的三條中線交于一點(diǎn)？（1.相似三角形法）（附圖）（原創(chuàng)）已知：△ABC的兩條中線AD、CF相交于點(diǎn)O，連接并延長(zhǎng)BO，交AC于點(diǎn)E。求證：AE=CE證明：如圖，過點(diǎn)O作MN∥BC，交AB于點(diǎn)M，交AC于點(diǎn)N；過點(diǎn)O作PQ∥AB，交BC于點(diǎn)P，交AC于點(diǎn)Q?！進(jìn)N∥BC∴△AMO∽△ABD，△ANO∽△ACD∴MOBD=AOAD，NOCD=AOAD∴MOBD=NOCD∵AD是△ABC的一條中線∴BD=CD∴MO=NO∵PQ∥A

2、B∴△CPO∽△CBF，△CQO∽△CAF∴POBF=COCF，QOAF=COCF∴POBF=QOAF∵CF是△ABC的一條中線∴AF=BF∴PO=QO∵M(jìn)O=NO，∠MOP=∠NOQ，PO=QO∴△MOP≌△NOQ(SAS)∴∠MPO=∠NQO∴MP∥AC（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩條直線平行）∴△BMR∽△BAE，△BPR∽△BCE即S△AOC（綠）=S△BOC（藍(lán)）∴S△AOB（紅）=S△BOC（藍(lán)）∵S△AOE:S△AOB（紅）=OE:OB

3、，S△COE:S△BOC（藍(lán)）=OE:OB∴S△AOE:S△AOB（紅）=S△COE:S△BOC（藍(lán)）∵S△AOB（紅）=S△BOC（藍(lán)）∴S△AOE=S△COE∴AE=CE命題得證。下面的是第三種方法：中位線法已知：△ABC的兩條中線AD、CF相交于點(diǎn)O，連接并延長(zhǎng)BO，交AC于點(diǎn)E。求證：AE=CE證明：如圖，延長(zhǎng)OE到點(diǎn)G，使OG=OB。∵OG=OB∴點(diǎn)O是BG的中點(diǎn)又∵點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)∴OD是△BGC的一條中位線∴AD∥CG（三