三角形三條高線交于一點(diǎn)的證明

1、1QPOFEDCBA三角形三條高線交于一點(diǎn)的證明證法一：運(yùn)用同一法證三條高兩兩相交的交點(diǎn)是同一點(diǎn)。已知：△ABC的兩條高BE、CF相交于點(diǎn)O，第三條高AD交高BD于點(diǎn)Q，交高CF于點(diǎn)P。求證：P、Q、O三點(diǎn)重合證明：如圖，∵BE⊥AC，CF⊥AB∴∠AEB=∠AFC=90又∵∠BAE=∠CAF∴△ABE∽△ACF∴，AFAEACAB＝即ABAF=ACAE又∵AD⊥BC∴△AEQ∽△ADC，△AFP∽△ADB∴，AQADADAE＝ABAP

2、ADAF＝即ACAE=ADAQ，ABAF=ADAP∵ABAF=ACAE，ACAE=ADAQ，ABAF=ADAP∴ADAQ=ADAP∴AQ=AP∵點(diǎn)Q、P都在線段AD上∴點(diǎn)Q、P重合∴AD與BE、AD與CF交于同一點(diǎn)∵兩條不平行的直線只有一個(gè)交點(diǎn)∴BE與CF也交于此點(diǎn)∴點(diǎn)Q、P、O重合。3LNMFEDCBA證法三：證明兩條高的交點(diǎn)在第三條高線上，建立直角坐標(biāo)系運(yùn)用代數(shù)方法證明。證明：如圖6，以直線BC為x軸，高AD為y軸，建立直角坐標(biāo)系，

3、設(shè)A(0a)B(b0)C(c0)由兩條直線垂直的條件abkkackkABCFACBE??????11則三條高的直線方程分別為：)3()(CF)2()(BE)1(0ADcxabybxacyx?????：：：解（2）和（3）得0)()()(?????xcbcxabbxac)00(???cbcb?∴0?x這說(shuō)明BE和CF得交點(diǎn)在AD上，所以三角形的三條高相交于一點(diǎn)。注：有時(shí)候考慮直角坐標(biāo)系這一有力的數(shù)形結(jié)合工具可以有效地解決問(wèn)題。證法四：轉(zhuǎn)化