基與維數的幾種求法

1、線性空間基和維數的求法方法一方法一根據線性空間基和維數的定義求空間的基和維數即：在線性空間V中，如果有個向量滿足:nn??1?(1)線性無關。n???21?(2)中任一向量總可以由線性表示。V?n???21?那么稱為維（有限維）線性空間，為的維數，記為，并稱VnnVdimvn?為線性空間的一組基。n???21?V如果在中可以找到任意多個線性無關的向量，那么就成為無限維的。VV例1設，為數域上矩陣，為數域上維向量，求??0VXAX??AP

2、mn?XPn的維數和一組基。V解設矩陣的秩為，則齊次線性方程組的任一基礎解系都是的基，且Ar0AX?V的維數為。Vnr?例2數域上全體形如的二階方陣，對矩陣的加法及數與矩陣的乘法所組P0aab???????成的線性空間，求此空間的維數和一組基。解易證為線性空間的一組線性無關的向01001001?????????????0aVabpab???????????????｜量組，且對中任一元素有V0aab???????001001001aaba

3、b???????????????????按定義為的一組基，的維數為2。01001001????????????VV方法二方法二在已知線性空間的維數為時，任意個向量組成的線性無關向量組均作成線nn性空間的基。例3假定是一切次數小于的實系數多項式添上零多項式所形成的線性空間，??nRxn證明：構成的基。??????211111nxxx???????nRx證明證明考察????1121110nnkkxkx?????????由的系數為得，并代入上

4、式可得的系數1nx?00nk?2nx?10nk??11112121nnaaa?????????21212222nnaaa?????????1122nnnnnnaaa?????????令111212122212nnnnnnaaaAaaaaaa??????????????如果為的一組基，那么當且僅當可逆時，也是的一12n????VA12n????V組基。例5已知是的一組基，證明也是的一231xxx??4px????231111xxx????

5、?4px組基。證明證明因為23111000xxx????????23111100xxxx???????????223111210xxxx???????????323111331xxxx?????????且11110123000120001A??所以也為的一組基。????231111xxx?????4px方法五方法五如果空間中一向量組與中一組基等價，則此向量組一定為此空間的一組VV基。例6設表示次數不超過2的一切實系數一元多項式添上零多項