幾種遞推數(shù)列通項公式的求法

1、幾種遞推數(shù)列通項公式的求法幾種遞推數(shù)列通項公式的求法1幾種遞推數(shù)列通項公式的求法遞推數(shù)列常常是高考命題的熱點之一.所謂遞推數(shù)列是指由遞推公式所確定的數(shù)列.由相鄰兩項的關系給出的遞推公式稱為一階遞推公式，由相鄰三項的關系給出的遞推公式稱為二階遞推公式，依次類推.等差數(shù)列和等比數(shù)列是最基本的遞推數(shù)列.遞推數(shù)列基本問題之一是由遞推關系求通項公式.下面是常見的遞推數(shù)列及其通項公式的求法1一階線性遞推數(shù)列求通項問題一階線性遞推數(shù)列主要有如下幾種形

2、式：（1）1()nnxxfn???這類遞推數(shù)列可通過累加法而求得其通項公式(數(shù)列f(n)可求前n項和).當為常數(shù)時，通過累加法可求得等差數(shù)列的通項公式而當為等差數(shù)列時，則()fn()fn為二階等差數(shù)列，其通項公式應當為形式，注意與等差數(shù)列求和公式一般形1()nnxxfn???2nxanbnc???式的區(qū)別，后者是，其常數(shù)項一定為０2nSanbn??（2）1()nnxgnx??這類遞推數(shù)列可通過累乘法而求得其通項公式(數(shù)列g(n)可求前n

3、項積).當為常數(shù)時，用累乘法可求得等比數(shù)列的通項公式()gn（3）；1(01)nnx=qxdqdqq??為常數(shù)這類數(shù)列通?？赊D化為，或消去常數(shù)轉化為二階遞推式.1()nnxpqxp????211()nnnnxxqxx??????［例１］已知數(shù)列中，求的通項公式nx｛｝11121(2)nnxxxn?????，nx｛｝［解析］解法一轉化為型遞推數(shù)列1()nnxpqxp????∵∴又，故數(shù)列｛｝是首項為２，公比為121(2)nnxxn????

4、，112(1)(2)nnxxn?????，112x??1nx?２的等比數(shù)列∴，即12nnx??21nnx??解法二轉化為型遞推數(shù)列211()nnnnxxqxx??????∵=2xn11(n≥2)①∴=2xn1②nx1nx?②－①，得(n≥2)，故｛｝是首項為x2x1=2，公比為２的等比數(shù)列，112()nnnnxxxx?????1nnxx??即，再用累加法得11222nnnnxx?????A21nnx??解法三用迭代法當然此題也可2123

5、1221212(21)12212222121nnnnnnnnxxxxx???????????????????????用歸納猜想法求之，但要用數(shù)學歸納法證明幾種遞推數(shù)列通項公式的求法幾種遞推數(shù)列通項公式的求法3這類數(shù)列可取對數(shù)得，從而轉化為等差數(shù)列型遞推數(shù)列.1lglglgnnxxc???2可轉化為等差、等比數(shù)列或一些特殊數(shù)列的二階遞推數(shù)列［例５］設數(shù)列求數(shù)列的通項公式12215521()333nnnnxxxxxxnN???????.｛｝

6、滿足：，，nx｛｝［解析］由可得2152()33nnnxxxnN?????，2111222()()333nnnnnnxxxxxxnN?????????.－設11212521333nnnnyxxyyxx????????，則｛｝是公比為的等比數(shù)列，且，故即用累加法得2()3nynN??n（）12(2)3nnxxn????n1（）或12111221222()()()()()333nnnnnnnxxxxxxxx?????????????????

7、??，11221112()()()222()()1333nnnnnnnxxxxxxxx????????????????????21()233[1()]2313nn?????).［例６］在數(shù)列求數(shù)列的通項公式12211()nnnnxxxxxxnN???????｛｝中，已知，，nx｛｝［解析］可用換元法將其轉化為一階線性遞推數(shù)列令使數(shù)列是以為公比的等比數(shù)列(待定)11nnnyxax???，ny｛｝2a1aa２即∴對照已給遞推式，有21121

8、1()nnnnxaxaxax??????，212112()nnnxaaxaax?????即的兩個實根121211aaaa????，，21210aaxx???、是方程從而1212151515152222aaaa???????－，；或，∴①211151515(222nnnnxxxx?????????)或②211151515(222nnnnxxxx?????????)由式①得；由式②得11515()22nnnxx?????11515()22n