最新亞太數(shù)學(xué)奧林匹克競(jìng)賽試題(2010,2011,2012)

1、2010年APMO試題時(shí)間：4小時(shí)每題7分1.已知中，點(diǎn)為的外心，為的外接圓.設(shè)與線ABCA90BAC???OABCA?BOCA?段交于點(diǎn)(異于)與線段交于點(diǎn)(異于).設(shè)為圓的直徑證明四邊ABPBACQCON?形是平行四邊形.APNQ2.若一個(gè)正整數(shù)能夠表示成為的形式(其中均為正整數(shù))則稱該數(shù)為純次方數(shù).kmmkk證明對(duì)于任意正整數(shù)都存在個(gè)不同的正整數(shù)它們之和是一個(gè)純2009次方數(shù)它們nn之積是一個(gè)純2010次方數(shù).3.設(shè)是一個(gè)正整數(shù).

2、個(gè)人參加某一晚會(huì).晚會(huì)中的任意兩人要么相互認(rèn)識(shí)要么相互不認(rèn)nn識(shí).若兩個(gè)互不相識(shí)的人存在一個(gè)人與均相識(shí)則稱為一組有緣組求ABCABAB這樣的有緣組數(shù)最大可能值.4.已知中分別表示的外心與垂心.設(shè)的ABCAABBC?ACBC?OHABCAAHCA外接圓與相交于(異于)的外接圓與相交于(異于).證明ABMAAHBAACNA的外接圓心在上.MNHAOH5.求所有滿足以下條件的函數(shù)對(duì)于均有:fRR?xyzR??.(()()())(()())(2

3、())2()ffxfyfzffxfyfxyfzfxzyz????????2011年APMO試題時(shí)間：4小時(shí)每題7分1.證明：存在正整數(shù)使得均為完全平方數(shù).abc222abcbcacab??????2.已知五個(gè)點(diǎn)在同一平面上且任意三點(diǎn)不共線，求所有角12345AAAAA中最小角的最大可能值.(15)ijkAAAijk?????3.已知中，的內(nèi)角平分線、外角平分線與分別交于點(diǎn)ABCA30BAC???ABC?AC、，的內(nèi)角平分線、外角平分線與

4、分別交于點(diǎn)、，設(shè)分別與1B2BACB?AB1C2C、為直徑的圓在內(nèi)的交點(diǎn)為.求證：.12BB12CCABCAP90BPC???4.設(shè)是一個(gè)固定的正奇數(shù).坐標(biāo)平面上相異的個(gè)點(diǎn)n2m?滿足以下三個(gè)條件：011(0)mPPPmmZ????(1)，的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)均是不小于1且不大于的整數(shù)；01(01)(1)mPPnn??(1)iPim??n(2)對(duì)于，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，平行于軸；當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，平行于0iZim???i1iiPP?xi1iiPP?軸；y

5、(3)對(duì)于任意，線段和線段最多相交于1點(diǎn)；0ijZijm????1iiPP?1jjPP?求的最大可能值.m5.求滿足以下兩個(gè)條件的所有函數(shù)::fRR?(1)，使得，都有成立；MR??xR??()fxM?(2)對(duì)于任意實(shí)數(shù)對(duì)，都有()xy(())()()()fxfyyfxxfyfxy???恒成立.2012年APMO試題時(shí)間：4小時(shí)每題7分1.設(shè)為內(nèi)的一點(diǎn)、、的延長(zhǎng)線分別與、、交于點(diǎn)、PABCAAPBPCPBCCAABD、，若、、的面積均為

6、1，求證：的面積為6.EFPFAAPDBAPECAABCA2.在一張方格表中的每一格都填上一個(gè)不小于0且不大于1的實(shí)數(shù)，用一20122012?條平行于方格表邊界的線把方格表分割成兩個(gè)長(zhǎng)方形.假設(shè)對(duì)于所有的分割方法都至少有一個(gè)長(zhǎng)方形格子里的數(shù)之和不大于1，求這個(gè)方格表所有格子里的數(shù)之和的最大值。3.已知為素?cái)?shù)，為正整數(shù)，求所有數(shù)對(duì)使得為整數(shù).pn()pn11pnnp??4.已知為銳角三角形.邊上的高為，為中點(diǎn)，為的垂ABCABCADMBC